【教案】4.2.1 指数函数的概念 高中数学人教A版(2019)必修第一册优质课

第四章 指数函数与对数函数

4.2 指数函数

4.2.1 指数函数的概念

教学设计

一、教学目标

1.通过实际问题提炼出指数函数的概念，达到数学抽象和直观想象核心素养学业质量水平一的层次．

2.理解指数函数中底数的取值范围，达到逻辑推理核心素养学业质量水平一的要求．

二、教学重难点

1.教学重点

指数函数的概念及其应用．

2.教学难点

将实际问题转化为数学模型．

三、教学过程

（一）新课导入

问题1：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系?

师问：（1）生物死亡后体内碳14含量每年衰减的比例是多少？

（2）能否求出生物体内碳14含量随死亡年数变化的函数解析式？ 师生活动：教师提出问题，并让学生对提出的问题进行思考．通过对问题的分析，引导学生用函数

[)()+∞∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=,02157301x y x

刻画碳14衰减的规律． 设计意图：通过描述碳14衰减的规律，引出用函数刻画指数衰减的问题，为抽象得到指数函数作准

备．

问题2：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式，由于旅游人数不断增加，B A ，两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A 地提高了景区门票价格，而B 地则取消了景区门票，表4.2-1（见教材）给出了B A ，两地景

区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量.

比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律?

师问：（1）能否作出B A ，两地景区游客人次变化的图象，根据图象并结合年增加量，说明两地景

区游客人次的变化情况？

（2）我们发现，用“增加量”不能刻画B 地景区游客人次的变化规律.能不能换一个量来刻画？例如用“增长率”，即从2002年起，将B 地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，看看能否发现什么规律？

（3）能否求出两地景区游客人次随时间（经过的年数）变化的函数解析式，并根据解析式说明两地景区游客人次的变化情况？

师生活动：教师给出问题，并通过追问引导学生对问题进行分析.首先通过画出图象直观感受A,B 两

地景区游客增长的情况；为进一步刻画和比较两地游客人次的变化规律，需要通过对相邻两年游客人次进行运算，得到B 地景区游客人次年增长率为常数，进而将其用函数

[)()+∞∈=,011.1x y x 来描述.

设计意图：通过寻求B A ，两地景区游客人次增加的规律，引出用函数刻画指数增长的问题，为抽

象出指数函数作准备.

学生讨论思考，总结关系式[)[)1573011.110,+0,+2x

x y x y x =∈∞=∈∞ （），（（）） （）. 问题3：比较问题1,2中的两个实例：碳14衰减与B 地景区游客人次增长，它们所反映的变化规律有

什么共同特征？

师问：（1）从碳14衰减和游客人次增长的数据看，它们的变化有什么共同特征？

（2）从碳14衰减和游客人次增长的图象看，它们的变化有什么共同特征？

（3）碳14衰减的函数解析式[)()+∞∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=,02157301x y x

与B 地景区游客人次增长的函数解析式[)()+∞∈=,011.1x y x

有什么共同特征？ 师生活动：教师引导学生从数据、图象、解析式等角度进行归纳概括，发现刻画问题1中的指数衰减

和问题2中的指数增长的函数的共同特征.从解析式上看，如果用字母a 代替两个式子中

的底数，并将自变量的取值范围扩展到实数集，那么上述两个函数就都可以表示为

()10≠>=a a a y x 且的形式，从而引出指数函数的概念.

（二）探索新知

指数函数的概念：

师问: [)[)1573011.110,+0,+2x

x y x y x =∈∞=∈∞ （），（（）） （）. 这类函数的解析式有何共同特征?

学生回答：函数解析式都是指数形式，底数为定值，且自变量在指数位置．

思考：若用a 代替两个式子中的底数，并将自变量的取值范围扩展到实数集则得到什么?

学生讨论总结．

教师讲解：指数函数的定义：一般地，函数()10≠>=a a a y x

且叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域为R ．

设计意图：通过分析、比较两个实例，概括它们的共同本质特征，从而得到指数函数概念的本质属

性，得出指数函数的概念．

思考：指数函数的定义域是什么?其定义中指明了底数10≠>a a 且，为什么会有这样的限制条件?

根据指数函数的定义来判断说明：因为0>a ，x 是任意一个实数时，x

a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R ．

教师提问1：当0=a 时，指数函数还有没有意义?

教师提问2：当0

教师提问3：当1=a 时，指数函数还有没有研究价值?

学生举例说明． 教师总结：

{>=000,x x x a x a a ≤=当0，当时，无意时，义.

若 若<0a ，如()x y 2-=，当11,68x x =

=等时，在实数范围内的函数值不存在． 若1=a ，11x y ==，是一个常量，没有研究的意义．

故只有满足()10≠>=a a a y x

且的形式才能称为指数函数，a 为常数． 如：123,2,,31x x x x

y y y x y =-===+都不符合()10≠>=a a a y x 且的形式，所以都不是指数函数．

判断：（1）2

x y =是指数函数．（ ）