2019年安徽省合肥市高考数学一模试卷(文科)

2019年安徽省合肥市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∪B＝（）A．{x|x＜1}B．{x|﹣1≤x＜1}C．{x|x≤2}D．{x|﹣2≤x＜1} 2．（5分）设i是虚数单位，复数（a+i）（1+2i）为纯虚数，则实数a为（）A．﹣2B．2C．D．
3．（5分）设双曲线（a＞0，b＞0）的虚轴长为4，一条渐近线为，则双曲线C的方程为（）
A．B．
C．D．
4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出n的值为（）
A．63B．47C．23D．7
5．（5分）设向量，向量与向量方向相反，且，则向量的坐标为（）
A．B．（﹣6，8）C．D．（6，﹣8）
6．（5分）设a＝0.23，b＝log20.3，c＝log32，则（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b
7．（5分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．
A．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
8．（5分）已知，则＝（）
A．B．C．D．
9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为（）
A．6πB．24πC．48πD．96π
10．（5分）已知函数f（x）＝|x|（e x﹣e﹣x），对于实数a，b，“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．（5分）已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于点A，B，，抛物线的准线l与x轴交于点C，AM⊥l于点M，则四边形AMCF的面积为（）
A．B．12C．D．
12．（5分）若关于x的方程e x+ax﹣a＝0没有实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣e2，0]B．[0，e2）C．（﹣e，0]D．[0，e）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.
13．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的取值范围为．
14．（5分）部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图．现在上述图（3）中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为．
15．（5分）设等差数列{a n}满足a2＝5，a6+a8＝30，则数列的前n项的和等于．
16．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列，，延长BC至D，若BD＝2，则△ACD面积的最大值为．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，设函数h（x）＝f（x）﹣g（x）．
（Ⅰ）求函数h（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若，求h（α）的值．
18．（12分）已知：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△BCD为等边三角形，，，AB＝AD＝PB＝PD，∠BAD＝120°．
（Ⅰ）若点E为PC的中点，求证：BE∥平面P AD；
（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．
19．（12分）某学校九年级三个班共有学生140人．为了了解学生的睡眠情况，现通过分层抽样的方法获得这三个班部分学生周一至周五睡眠时间的数据（单位：小时）
甲班30 31 32 32.5 34 35 36；
乙班30 32 33 35.5 37 39 39.5；
丙班30 30 31 33.5 39 40．
（Ⅰ）试估算每一个班的学生数；
（Ⅱ）设抽取的这20位学生睡眠时间的平均数为．若在丙班抽取的6名学生中，再随机选取3人作进一步地调查，求选取的这3名学生睡眠时间既有多于、又有少于的概率．
20．（12分）设椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若椭圆E的离心率为，△ABF2的周长为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线．
21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣1﹣a（x﹣1）+lnx（a∈R，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）设g（x）＝f'（x）（其中f'（x）是f（x）的导数），求g（x）的极小值；
（Ⅱ）若对x∈[1，+∞），都有f（x）≥1成立，求实数a的取值范围．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为（α为参数）．以坐标原点
O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．
（Ⅰ）求C1、C2交点的直角坐标；
（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B是曲线C2上的点，求△AOB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x+1|．
（Ⅰ）若f（x）+2x＞2，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）＝f（x）+f（ax）（a＞1），若g（x）的最小值为，求a的值．
2019年安徽省合肥市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∪B＝（）A．{x|x＜1}B．{x|﹣1≤x＜1}C．{x|x≤2}D．{x|﹣2≤x＜1}【考点】1D：并集及其运算．
【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∪B．
【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，
B＝{x|x﹣1＜0}＝{x|x＜1}，
∴A∪B＝{x|x≤2}．
故选：C．
【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）设i是虚数单位，复数（a+i）（1+2i）为纯虚数，则实数a为（）A．﹣2B．2C．D．
【考点】A5：复数的运算．
【专题】38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得实数a的值．
【解答】解：∵复数（a+i）（1+2i）＝（a﹣2）+（2a+1）i为纯虚数，
∴，解得a＝2．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）设双曲线（a＞0，b＞0）的虚轴长为4，一条渐近线为，则双曲线C的方程为（）
A．B．
C．D．
【考点】KB：双曲线的标准方程．
【专题】34：方程思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由已知可得b及的值，从而求得a，则双曲线方程可求．
【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）是焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为y＝，
由其一条渐近线为，可得，
∵2b＝4，∴b＝2，则a＝4．
∴双曲线C的方程为．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．
4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出n的值为（）
A．63B．47C．23D．7
【考点】EF：程序框图．
【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序框图依次写出每次循环得到的n，i的值，当i＝4时满足条件i＞3，退出循环，输出n的值为23．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
n＝7，i＝1
不满足条件n是3的倍数，n＝15，i＝2，
不满足条件i＞3，执行循环体，满足条件n是3的倍数，n＝11，i＝3，
不满足条件i＞3，执行循环体，不满足条件n是3的倍数，n＝23，i＝4，
满足条件i＞3，退出循环，输出n的值为23．
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的n，i的值是解题的关键，属于基础题．
5．（5分）设向量，向量与向量方向相反，且，则向量的坐标为（）
A．B．（﹣6，8）C．D．（6，﹣8）
【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．
【分析】根据与方向相反即可设，其中λ＜0，而根据即可得出﹣5λ＝10，从而求出λ＝﹣2，这样便可得出向量的坐标．
【解答】解：∵与的方向相反；
∴，λ＜0；
又；
∴﹣5λ＝10；
∴λ＝﹣2；
∴．
故选：D．
【点评】考查相反向量的概念，共线向量基本定理，根据向量坐标求向量长度的方法，
向量坐标的数乘运算．
6．（5分）设a＝0.23，b＝log20.3，c＝log32，则（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b
【考点】4M：对数值大小的比较．
【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】容易得出，从而可得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵0＜0.23＜0.2，log20.3＜log21＝0，；
∴c＞a＞b．
故选：D．
【点评】考查指数函数和对数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．
7．（5分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．
A．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
【考点】B8：频率分布直方图．
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5I：概率与统计．
【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多．
【解答】解：在A中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，故A正确；
在B中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，故B正确；
在C中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多，故C正确；
在D中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．（5分）已知，则＝（）
A．B．C．D．
【考点】GS：二倍角的三角函数．
【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵已知，∴平方可得1﹣2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝，
则＝sin2α＝2sinαcosα＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为（）
A．6πB．24πC．48πD．96π
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【专题】36：整体思想；44：数形结合法；5Q：立体几何．
【分析】由题意知该三棱锥的外接球，是长、宽和高分别为4、2、2的长方体的外接球，求出外接球的直径即可．
【解答】解：由题意知该几何体是三棱锥P﹣ABC，把该三棱锥放入长、宽、高分别为4、
2、2的长方体中，
则该三棱锥的外接球，即为长方体的外接球，如图所示；
且外接球的直径为（2R）2＝22+22+42＝24，
所以该三棱锥外接球的表面积为S＝4πR2＝24π．
故选：B．
【点评】本题考查了长方体与三棱锥的三视图以及外接球的表面积计算问题，是基础题．10．（5分）已知函数f（x）＝|x|（e x﹣e﹣x），对于实数a，b，“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】33：函数思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．
【分析】根据条件判断函数f（x）是奇函数，同时也是增函数，结合函数奇偶性和单调性的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：∵f（x）＝|x|（e x﹣e﹣x），
∴f（﹣x）＝|﹣x|（e﹣x﹣e x）＝﹣|x|（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）是奇函数，当x≥0，f（x）为增函数，
则由a+b＞0得a＞﹣b，此时f（a）＞f（﹣b）＝﹣f（b），即f（a）+f（b）＞0成立，即充分性成立，
若f（a）+f（b）＞0得f（a）＞﹣f（b）＝f（﹣b），则a＞﹣b，即a+b＞0成立，即必要性成立，
则“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”成立的充要条件，
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．
11．（5分）已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于点A，B，，抛物线的准线l与x轴交于点C，AM⊥l于点M，则四边形AMCF的面积为（）
A．B．12C．D．
【考点】K8：抛物线的性质．
【专题】35：转化思想；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设|BF|＝m，|AF|＝3m，则|AB|＝4m，∠BAA1＝60°⇒CF＝p＝m＝2，利用梯形的面积公式，即可求得四边形AMCF的面积，
【解答】解：过B作BN⊥l于N，过B作BK⊥AM于K，
设|BF|＝m，|AF|＝3m，则|AB|＝4m，AK＝2m，⇒∠BAA1＝60°⇒CF＝p＝m＝2
∴m＝．⇒AM＝3m＝4，MC＝AF sin60°＝3m×＝2
则四边形AMCF的面积为S＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的性质，注意抛物线定义、平面几何知识的应用，属于中档题．
12．（5分）若关于x的方程e x+ax﹣a＝0没有实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣e2，0]B．[0，e2）C．（﹣e，0]D．[0，e）
【考点】53：函数的零点与方程根的关系．
【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】将方程没有实数根转化为函数y＝e x与y＝﹣a（x﹣1）没有交点，求出函数函数y＝e x过（1，0）点的切线斜率，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：方程e x+ax﹣a＝0没有实数根，
得方程e x＝﹣a（x﹣1）没有实数根，
等价为函数y＝e x与y＝﹣a（x﹣1）没有交点，
当a＞0时，直线y＝﹣a（x﹣1）与y＝e x恒有交点，不满足条件．
当a＝0时，直线y＝0与y＝e x没有交点，满足条件．
当a＜0时，当过（1，0）点的直线y＝e x相切时，
设切点为（m，e m），
则f′（x）＝e x，则f′（m）＝e m，
则切线方程为y﹣e m＝e m（x﹣m）＝e m x﹣me m．
即y＝e m x﹣me m+e m，
∵切线过（1，0）点，则e m﹣me m+e m＝0，
得m＝2，即切线斜率为e2，
要使y＝e x与y＝﹣a（x﹣1）没有交点，
则满足0＜﹣a＜e2，即﹣e2＜a＜0，
综上e2＜a≤0，即实数a的取值范围是（﹣e2，0]，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数与方程之间的关系，转化为两个函数没有交点，求出函数的切线斜率是解决本题的关键．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.
13．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的取值范围为[﹣1，6]．
【考点】7C：简单线性规划．
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案
【解答】解：x，y满足约束条件，对应的区域如图：
当直线y＝2x﹣z经过A时，目标函数最小，当经过B时最大；其中A（3，0），
由B（0，1），
所以目标函数z＝2x﹣y的最小值为2×0﹣1＝﹣1，最大值为2×3﹣0＝6；故目标函数z ＝2x﹣y的取值范围为[﹣1，6]；
故答案为：[﹣1，6]．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．（5分）部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图．现在上述图（3）中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为．
【考点】F1：归纳推理．
【专题】11：计算题；5M：推理和证明．
【分析】由归纳推理得：设图（3）中1个小阴影三角形的面积为S，则图（3）中阴影部分的面积为：9S，又图（3）中大三角形的面积为16S，
由几何概型中的面积型得：此点取自阴影部分的概率为＝，得解
【解答】解：设图（3）中1个小阴影三角形的面积为S，
则图（3）中阴影部分的面积为：9S，
又图（3）中大三角形的面积为16S，
由几何概型中的面积型可得：
此点取自阴影部分的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了归纳推理及几何概型中的面积型题型，属简单题．
15．（5分）设等差数列{a n}满足a2＝5，a6+a8＝30，则数列的前n项的和等于
．
【考点】8E：数列的求和．
【专题】35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】首先求出等差数列{a n}的首项和公差，确定，然后由裂项求和得结果．
【解答】解：∵a6+a8＝30，∴a7＝15，
又∵a2＝5，∴d＝＝2，
∴a1＝3，∴a n＝2n+1，
∴a n2＝（2n+1）2＝4n2+4n+1，
∴＝＝（﹣）
∴数列的前n项的和为：
[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝[1﹣]＝
故答案为：．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和，考查了推理能力与计算能力，属基础题．
16．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列，，延长BC至D，若BD＝2，则△ACD面积的最大值为．
【考点】GP：两角和与差的三角函数．
【专题】11：计算题；56：三角函数的求值．
【分析】由两角和、差的余弦和正弦定理可得：三角形ABC为正三角形，
由基本不等式得：S△ACD＝＝＝（当且仅当x＝2﹣x即x＝1时取等号），得解．
【解答】解：因为，
所以cos（A﹣C）+cos（A+C）＝，
所以cos A cos C＝，①
又因为长a，b，c成等比数列，
所以b2＝ac，
由正弦定理得：sin2B＝sin A sin C，②
①﹣②得：，
化简得：4cos2B+4cos B﹣3＝0，
解得：cos B＝，
又0＜B＜π，
所以B＝，
①+②：
cos（A﹣C）＝1，
即A﹣C＝0，
即A＝C，
即三角形ABC为正三角形，
设边长为x，由已知有0＜x＜2，
则S△ACD＝＝＝（当且仅当x＝2﹣x即x＝1时取等号），
故答案为：
【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，基本不等式，根据三角函数的值求角，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，设函数h（x）＝f（x）﹣g（x）．
（Ⅰ）求函数h（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若，求h（α）的值．
【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图象与性质．
【分析】（Ⅰ）根据图象平移关系得到g（x）的解析式，然后求出h（x）的解析式，结合三角函数的单调性质进行求解即可．
（Ⅱ）根据条件，利用三角换元法结合三角函数的诱导公式进行化简是求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）由已知可得g（x）＝sin2（x+）＝sin（2x+），
则．
令，解得．∴函数h（x）的单调递增区间为．
（Ⅱ）由得，
设2α+＝θ则2α＝﹣+θ，则sinθ＝，
则sin（2α﹣）＝sin（﹣+θ﹣）＝sin（﹣π+θ）＝﹣sin（π﹣θ）＝﹣sinθ＝﹣，
∴，即．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式以及利用三角函数的诱导公式进行转化和化简是解决本题的关键．
18．（12分）已知：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△BCD为等边三角形，，，AB＝AD＝PB＝PD，∠BAD＝120°．
（Ⅰ）若点E为PC的中点，求证：BE∥平面P AD；
（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．
【专题】31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）取CD的中点为M，连结EM，BM．证明BM∥AD．得到BM∥平面P AD．再由E为PC的中点，M为CD的中点，得EM∥PD．进一步得到EM∥平面P AD．利用面面平行的判定可得平面BEM∥平面P AD．从而得到BE∥平面P AD；
（Ⅱ）连结AC交BD于O，连结PO．证明PO⊥OA．结合PO⊥BD，得到PO⊥平面ABD，即四棱锥P﹣ABCD的高为PO＝1，代入棱锥体积公式求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取CD的中点为M，连结EM，BM．
∵△BCD为等边三角形，∴BM⊥CD．
∵∠BAD＝120°，AD＝AB，∴∠ADB＝30°，
∴AD⊥CD，∴BM∥AD．
又∵BM⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，
∴BM∥平面P AD．
∵E为PC的中点，M为CD的中点，∴EM∥PD．
又∵EM⊄平面P AD，PD⊂平面P AD，
∴EM∥平面P AD．
∵EM∩BM＝M，∴平面BEM∥平面P AD．
又∵BE⊂平面BEM，∴BE∥平面P AD；
（Ⅱ）解：连结AC交BD于O，连结PO．
∵CB＝CD，AB＝AD，
∴AD⊥BD，O为BD的中点．
又∵∠BAD＝120°，，△PBD≌△ABD，∴AO＝PO＝1．
又∵，∴P A2＝PO2+OA2，则PO⊥OA．
又∵PO⊥BD，∴PO⊥平面ABD，即四棱锥P﹣ABCD的高为PO＝1，
∴四棱锥P﹣ABCD的体积．
【点评】本题考查面面平行的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．
19．（12分）某学校九年级三个班共有学生140人．为了了解学生的睡眠情况，现通过分层抽样的方法获得这三个班部分学生周一至周五睡眠时间的数据（单位：小时）
甲班30 31 32 32.5 34 35 36；
乙班30 32 33 35.5 37 39 39.5；
丙班30 30 31 33.5 39 40．
（Ⅰ）试估算每一个班的学生数；
（Ⅱ）设抽取的这20位学生睡眠时间的平均数为．若在丙班抽取的6名学生中，再随机选取3人作进一步地调查，求选取的这3名学生睡眠时间既有多于、又有少于的概率．
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）利用分层抽样的性质能求出每一个班的学生数．
（Ⅱ）先求出，设事件A＝“3名学生睡眠时间既有多于、又有少于的学生”．丙班睡眠时间少于的有4人，设为A1，A2，A3，A4，多于的有2人，设为B1，B2．从这6名学生中随机选取3人，利用列举法能求出选取的3人睡眠时间既有多于、又有少于学生的概率．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）甲班：（人），
乙班（人），
丙班（人）．……………（5分）
（Ⅱ）＝
（30+31+32+32.5+34+35+36+30+32+33+35.5+37+39+39.5+30+30+31+33.5+39+40）＝34．设事件A＝“3名学生睡眠时间既有多于、又有少于的学生”．
丙班睡眠时间少于的有4人，设为A1，A2，A3，A4，多于的有2人，
设为B1，B2．从这6名学生中随机选取3人的基本事件共有20种，
而不满足条件的基本事件（3人睡眠时间都低于）有A1A2A3，A1A2A4，A1A3A4，A2A3A4共4种情况，
所以满足条件的基本事件数为16种，，
即在丙班被抽取的6名学生中，再随机地选取3人作进一步地调查，
选取的3人睡眠时间既有多于、又有少于学生的概率为．……………………（12分）【点评】本题考查学生数、概率的求法，考查古典概型、列举法、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20．（12分）设椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若椭圆E的离心率为，△ABF2的周长为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线．
【考点】K4：椭圆的性质．
【专题】11：计算题；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）由已知椭圆E的离心率为，△ABF2的周长为，解得：a，c，b值，可得椭圆E的方程；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．利用点差法，可得，，进而证得结论．
【解答】（本小题满分12分）
（Ⅰ）由题意知，．
又∵，∴，，
∴椭圆E的方程为．…………………………（5分）
（Ⅱ）易知，当直线AB、CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线；
当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，且设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．
联立方程得相减得，
∴，
∴，，即，
∴．
同理可得，∴k OM＝k ON，所以O，M，N三点共线．………………………（12分）
【点评】本题考查的知识点是椭圆的性质，椭圆的方程，直线与椭圆的综合应用，难度中档．
21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣1﹣a（x﹣1）+lnx（a∈R，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）设g（x）＝f'（x）（其中f'（x）是f（x）的导数），求g（x）的极小值；
（Ⅱ）若对x∈[1，+∞），都有f（x）≥1成立，求实数a的取值范围．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值．
【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极小值即可；
（Ⅱ）通过讨论a的范围，求出导函数的单调性，从而判断函数的单调性，确定a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ），．
令，∴，
∴g'（x）在（0，+∞）上为增函数，g'（1）＝0．
∵当x∈（0，1）时，g'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，
∴g（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞），
∴g（x）极小＝g（1）＝2﹣a．…………………………（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f'（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
∴f'（x）≥f'（1）＝2﹣a．
当a≤2时，f'（x）≥0，f（x）在[1，+∞）上单调递增，f（x）≥f（1）＝1，满足条件；
当a＞2时，f'（1）＝2﹣a＜0．
又∵，∴∃x0∈（1，lna+1），使得f'（x0）＝0，
此时，x∈（1，x0），f'（x）＜0；x∈（x0，lna+1），f'（x）＞0，
∴f（x）在（1，x0）上单调递减，x∈（1，x0），都有f（x）＜f（1）＝1，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，2]．………………………（12分）
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．
（Ⅰ）求C1、C2交点的直角坐标；
（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B是曲线C2上的点，求△AOB面积的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）先求出曲线C1、C2的直角坐标方程，联立方程组，能求出C1、C2交点的直角坐标．
（Ⅱ）设B（ρ，θ），则ρ＝2cosθ．则△AOB的面积
＝
，由此能求出△AOB面积的最大值．
【解答】（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）∵曲线C1的方程为（α为参数）．
∴，
∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．∴ρ2＝2ρcosθ，
∴C2：x2+y2＝2x．
联立方程组得，解得，，
∴所求交点的坐标为，．………………………（5分）
（Ⅱ）设B（ρ，θ），则ρ＝2cosθ．
∴△AOB的面积
＝，
∴当时，△AOB面积的最大值．………………………（10分）【点评】本题考查两个曲线的交点的直角坐标的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x+1|．
（Ⅰ）若f（x）+2x＞2，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）＝f（x）+f（ax）（a＞1），若g（x）的最小值为，求a的值．
【考点】3H：函数的最值及其几何意义；R5：绝对值不等式的解法．
【专题】11：计算题；5T：不等式．
【分析】（Ⅰ）分x≥﹣1和x＜﹣1两种情况解不等式，再相并．
（Ⅱ）将g（x）变成分段函数后分段求出最小值为1﹣，与已知最小值相等，列式解得a＝2
【解答】解：（Ⅰ）f（x）+2x＞2，即|x+1|＞2﹣2x⇔或，∴实数x的取值范围是．………………………（5分）
（Ⅱ）∵a＞1，∴，∴，
易知函数g（x）在时单调递减，在时单调递增，∴．
∴，解得a＝2．………………………（10分）
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。