四种命题与充要条件

常用逻辑用语与充要条件

【高考考情解读】1•本讲在高考中主要考查集合的运算' 充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查2试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下.

1.命题的定义

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的述句叫做命题.其中判断为頁•的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.

2.四种命题及其关系

(1)原命题为“若"则gj 则它的逆命题为若q则p ；否命题为若「p则「q :逆否命题为若

-1 q则一1 P・

(2)原命题与它的逆否命题等价:逆命题与它的查命題等价.四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正而解决困难的，采用转化为反而情况处理，即，

可以转化为判断它的逆否命题的頁•假.

命题真假判断的方法：

(1)对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明.若判断其为假命题只需举岀一个反例.

(2)对于复合命题的真假判断应利用真值表.

(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，判断英逆否命题的貞•假.

3.充分条件与必要条件的定义

(1)若pnq」L §±7，，则“是的充分非必要条件.

(2)若° W」丄。出“,则“是彳的必要非充分条件.

⑶若/Z 则卩是q的充要条件•

(4)若“出。且q士则“是"的非充分非必要条件.

设集合A={X\X满足条件B={X\X满足条件q},则有

(1)若AUB,则p是q的充分条件，若A^B,则p是g的充分不必要条件；

(2)若医则p是q的必要条件，若B=A,则p是g的必要不充分条件；

(3)若A=B、则p是q的充要条件：

(4)若£ B,且万则p是q的既不充分也不必要条件.

2.充分、必要条件的判定方法

(1)泄义法，直接判断若P则q、若q则P的真假.

(2)传递法.

(3)集合法：若p以集合月的形式出现，g以集合万的形式岀现，即A={x\p^}, B={x g(x)}, 则①若压氏则p是g的充分条件：②若医则p是q的必要条件：③若A=B,则p是q 的充要条件.

(4)等价命题法：利用A=>B与1 B=>n A, B=> A -与i A=>-)B, AoB与i B<=>-| A的等价关系，对于条件或结论是否左式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得岀结果，是反证法的理论基础.

1.简单的逻辑联结词

⑴命题中的“亘”、"或”、"韭”叫作逻辑联结词.

(2)

(1)常见的全称量词有“任意一个” “一切” “每一个”"任给” “所有的”等.

(2)常见的存在量词有“存在一个” “至少有一个” “有些”“有一个” “某个”“有

的”等.

3.全称命题与特称命题

(1)含有全称量词的命题叫全称命题.

(2)含有存在量词的命题叫特称命题.

4.命题的否定

(1)全称命题的否左是特称命题:特称命题的否怎是全称命题.

(2加或彳的否泄：非"且非g：卩且g的否泄：非p或非q.

注：

1.逻辑联结词''或”的含义

逻辑联结词中的"或”的含义,与并集概念中的"或"的含义相同.如"xGA或xWB”，是指：xGA且且X GB； A EA JL X GB三种情况.再如““真或g真”是指：p

真且®假：“假且"真；p真且g真三种情况.

2.命题的否定与否命题

'‘否命题”是对原命題'‘若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；"命题的否定”即“非"”，只是否定命题0的结论.

命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系.

3.含一个童词的命题的否定

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.

1.（2013-皖南八校）命题''若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）

A.'‘若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B.“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D."若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

解析依题意得原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数.选B.

2.（2012-）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否左是（）

A.任意一个有理数，它的平方是有理数

B.任意一个无理数，它的平方不是有理数

C.存在一个有理数，它的平方是有理数

D.存在一个无理数，它的平方不是有理数

答案B

解析这是一个特称命题，特称命题的否泄不仅仅要否泄结论而且要将相应的存在量词“存在一个”改为全称量词“任意一个”，故选B。

2.已知“，b, cGR,命题"若“+b+c=3,则0+b2+c2N3”的否命题是（）

A.若a+b+cH3,则以+护+C2<3

B.若“+b+c=3,则护+沪+（2<3

C.若a+b+cH3,则以+夕+於鼻3

D.若a2+，+Q3,则“+b+c=3

答案A

解析从'‘否命題”的形式入手，但要注意“否命题”与“命题的否定”的区别.命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以A正确.

【省市某重点中学2014届高三9月月考】命题“若函数/（x） = log fl心>0"1）在其定义域

是减函数，则log。2 v 0. ”的逆否命题是（）

A.若log。2 no,则函数/（劝=呱心>0卫工1）在其定义域不是减函数