第十四章.一次函数

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八年级数学上册第14章一次函数教材

八年级数学上册第14章一次函数教材

第14章:一次函数复习变量:自变量:自己变化的量;在一个变化的过程中,我们称数值变化的量是自变量. 常量:有些量的数值是始终不变的量叫常量.函数值:当自变量确定一个值,被变量随之确定的一个值. 一次函数和正比例函数的概念1.概念: 若两个变量x ,y 间的关系式可以表示成y=kx+b (k ,b 为常数,k ≠0)的形式,则称y 是x 的一次函数(x 为自变量),特别地,当b=0时,称y 是x 的正比例函数.(1)一次函数的自变量的取值范围是一切实数,但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.(2)一次函数y=kx+b (k ,b 为常数,k ≠0)中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同,即自变量x 的次数为1,一次项系数k 必须是不为零的常数,b 可为任意常数. ★判断一个等式是否是一次函数先要化简(3)当b=0,k ≠0时,y= kx 仍是一次函数.(正比例函数) (4)当b=0,k=0时,它不是一次函数.2. 函数的表示方法: 1)解析法,2)列表法,3)图象法. 一次函数的图象由于一次函数y=kx+b (k ,b 为常数,k ≠0)的图象是一条直线,所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b . 由于两点确定一条直线,描出适合关系式的两点,再连成直线,一般选取两个特殊点:直线与y 轴的交点(0,b ),直线与x 轴的交点(-kb,0).画正比例函数y=kx 的图象时,只要描出点(0,0),(1,k )即可.一次函数y=kx+b (k ,b 为常数,k ≠0)的性质(1)k 的正、负决定直线的倾斜方向;①k >0时,y 的值随x 值的增大而增大;②k ﹤O 时,y 的值随x 值的增大而减小.(2)|k|大小决定直线的倾斜程度,即|k|越大,直线与x 轴相交的锐角度数越大(直线陡),|k|越小,直线与x 轴相交的锐角度数越小(直线缓);(3)b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置;①当b >0时,直线与y 轴交于正半轴上; ②当b <0时,直线与y 轴交于负半轴上; ③当b=0时,直线经过原点,是正比例函数.(4)由于k ,b 的符号不同,直线所经过的象限也不同;22正比例函数y=kx (k ≠0)的性质(1)正比例函数y=kx 的图象必经过原点;(2)当k >0时,图象经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大; (3)当k <0时,图象经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小.知识规律小结1.常数k ,b 对直线y=kx+b(k ≠0)位置的影响. ①当b >0时,直线与y 轴的正半轴相交;当b=0时,直线经过原点; 当b ﹤0时,直线与y 轴的负半轴相交. ②当k ,b 异号时,即-kb >0时,直线与x 轴正半轴相交;当b=0时,即-kb =0时,直线经过原点; 当k ,b 同号时,即-kb ﹤0时,直线与x 轴负半轴相交.③当k >O ,b >O 时,图象经过第一、二、三象限; 当k >0,b=0时,图象经过第一、三象限; 当b >O ,b <O 时,图象经过第一、三、四象限; 当k ﹤O ,b >0时,图象经过第一、二、四象限; 当k ﹤O ,b=0时,图象经过第二、四象限; 当k <O ,b <O 时,图象经过第二、三、四象限.2. 直线y=kx+b (k ≠0)与直线y=kx(k ≠0)的位置关系: 直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0) 当b >0时,把直线y=kx 向上平移b 个单位,可得直线y=kx+b ; 当b ﹤O 时,把直线y=kx 向下平移|b|个单位,可得直线y=kx+b . 3. 直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2(k1≠0 ,k2≠0)的位置关系. ①k1≠k2⇔y1与y2相交;②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y1与y2相交于y 轴上同一点(0,b1)或(0,b2);3③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y1与y2平行; ④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y1与y2重合.14.1.1变量问题一:汽车以60千米/小时的速度匀速行驶,行驶里程为s 千米,行驶时间为t 小时. 1.请同学们根据题意填写下表:2.在以上这个过程中,变化的量是_____________.不变化的量是__________. 3.试用含t 的式子表示s: s=________,t 的取值范围是 _________ .这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程.问题二:每张电影票的售价为10元,如果早场售出票150张,午场售出205张,晚场售出310张,三场电影的票房收入各多少元?设一场电影售票x 张,票房收入y 元.• 1.请同学们根据题意填写下表:2.在以上这个过程中,变化的量是_____________.不变化的量是__________. 3.试用含x 的式子表示y: y=______ ,x 的取值范围是 .这个问题反映了票房收入_________随售票张数_________的变化过程.问题三:在一根弹簧的下端悬挂重物,改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化,探索它们的变化规律.如果弹簧原长10cm•,•每1kg•重物使弹簧伸长0.5cm ,设重物质量为mkg ,受力后的弹簧长度为L cm. 1.请同学们根据题意填写下表:23.试用含m 的式子表示L: L=____________ ,m 的取值范围是 .这个问题反映了_________随_________的变化过程.小结:以上这些问题都反映了不同事物的变化过程,其实现实生活中还有好多类似的问题,在这些变化过程中,有些量的值是按照某种规律变化的,有些量的数值是始终不变的。

第十四章一次函数

第十四章一次函数

第十四章一次函数14.1.1 变量教学目标(一)知识与技能1.认识变量、常量.2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.(二)过程与方法1.经历观察、分析、思考等数学活动过程,发展合情推理,有条理地、清晰地阐述自己观点.2.逐步感知变量间的关系.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重点1.认识变量、常量.2.用式子表示变量间关系.教学难点:用含有一个变量的式子表示另一个变量.教学方法:引导、探索法.教学过程Ⅰ.提出问题,创设情境情景问题:一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶,行驶里程为s千米.•行驶时间为t小时.2.在以上这个过程中,变化的量是________.变变化的量是__________.3.试用含t的式子表示s.通过本节课的学习,相信大家一定能够解决这些问题.Ⅱ.导入新课[师]我们首先来思考上面的几个问题,可以互相讨论一下,然后回答.[生]从题意中可以知道汽车是匀速行驶,那么它1小时行驶60千米,2小时行驶2×60千米,即120千米,3小时行驶3×60千米,即180千米,4小时行驶4×60•千米,即240千米,5小时行驶5×60千米,即300千米……因此行驶里程s千米与时间t小时之间有关系:s=60t.其中里程s与时间t是变化的量,速度60千米/小时是不变的量.[师]很好!谢谢你正确的阐述.这种问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化过程.其实现实生活中有好多类似的问题,都是反映不同事物的变化过程,其中有些量的值是按照某种规律变化,其中有些量的是按照某种规律变化的,如上例中的时间t、•里程s,有些量的数值是始终不变的,如上例中的速度60千米/小时. [活动一]活动内容设计:1.每张电影票售价为10元,如果早场售出票150张,日场售出205张,晚场售出310张.三场电影的票房收入各多少元.设一场电影售票x张,票房收入y元.怎样用含x的式子表示y?2.在一根弹簧的下端悬挂重物,改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化,探索它们的变化规律.如果弹簧原长10cm•,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用含有重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度?设计意图:让学生熟练从不同事物的变化过程中寻找出变化量之间的变化规律,并逐步学会用含有一个变化量的式子表示另一个变化的量.教师活动:引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律.学生活动:在教师的启发引导下,经历尝试运算、猜想探究、归纳总结及验证等过程得到正确的结论.活动结论:1.早场电影票房收入:150×10=1500(元)日场电影票房收入:205×10=2050(元)晚场电影票房收入:310×10=3100(元)关系式:y=10x2.挂1kg重物时弹簧长度: 1×0.5+10=10.5(cm)挂2kg重物时弹簧长度:2×0.5+10=11(cm)挂3kg重物时弹簧长度:3×0.5+10=11.5(cm)关系式:L=0.5m+10[师]通过上述活动,我们清楚地认识到,要想寻求事物变化过程的规律,首先需确定在这个过程中哪些量是变化的,而哪些量又是不变的.在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量(variable),那么数值始终不变的量称之为常量(constant).如上述两个过程中,售出票数x、票房收入y;重物质量m,弹簧长度L都是变量.而票价10元,弹簧原长10cm……都是常量.Ⅲ.随堂练习1.购买一些铅笔,单价0.2元/支,总价y元随铅笔支数x变化,•指出其中的常量与变量,并写出关系式.2.一个三角形的底边长5cm,高h可以任意伸缩.写出面积S随h变化关系式,并指出其中常量与变量.Ⅳ.课时小结本节课从现实问题出发,找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤.它对以后学习函数及建立函数关系式有很重要意义.1.确定事物变化中的变量与常量.2.尝试运算寻求变量间存在的规律.3.利用学过的有关知识公式确定关系区.Ⅴ.课后作业习题:14.1----1、2、3Ⅵ.活动与探究瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放.试确定瓶子总数y与层数x之间的关系式.过程:要求变量间关系式,需首先知道两个变量间存在的规律是什么.不妨尝试堆放,找出规律,再寻求确定关系式的办法. 结论:从题意可知: 堆放1层,总数y=1 堆放2层,总数y=1+2 堆放3层,总数y=1+2+3… … 堆放x 层,总数y=1+2+3+…x 即y=12x (x+1)板书设计变量与函数(2)教学目标(一)知识与技能:理解函数的概念,能准确识别出函数关系中的自变量和函数 (二)过程与方法:会用变化的量描述事物(三)情感与价值观要求:会用运动的观点观察事物,分析事物 教学重点:函数的概念及相关计算 教学难点:认识函数、领会函数的意义 教学方法:引导、探究法 教学过程Ⅰ.提出问题,创设情境我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化?同一问题中的变量之间有什么联系?也就是说当其中一个变量确定一个值时,另一个变量是否随之确定一个值呢? 这将是我们这节研究的内容. Ⅱ.导入新课首先回顾一下上节活动一中的两个问题.思考它们每个问题中是否有两个变量,变量间存在什么联系.活动一两个问题都有两个变量.问题(1)中,经计算可以发现:每当售票数量x 取定一个值时,票房收入y 就随之确定一个值.例如早场x=150,则y=1500;日场x=205,则y=2050;晚场x=310,则y=3100. 问题(2)中,通过试验可以看出:每当重物质量m 确定一个值时,弹簧长度L•就随之确定一个值.如果弹簧原长10cm ,每1kg 重物使弹簧伸长0.5cm .当m=10时,则L=15,当m=20时,则L=20.由以上回顾我们可以归纳这样的结论:上面每个问题中的两个变量互相联系,当其中一个变量取定一个值时,另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应.活动二:其实,在一些用图或表格表达的问题中,也能看到两个变量间的关系.我们来看下面两个问题,通过观察、思考、讨论后回答:(1)下图是体检时的心电图.其中横坐标x表示时间,纵坐标y•表示心脏部位的生物电流,它们是两个变量.在心电图中,对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的对应值吗?(2)在下面的我国人口数统计表中,年份与人口数可以记作两个变量x与y,对于表中每个确定的年份(x),都对应着个确定的人口数(y)吗?通过观察不难发现在问题(1)的心电图中,对于x的每个确定值,y都有唯一确定的值与其对应;在问题(2)中,对于表中每个确定的年份x,都对应着一个确定的人口数y.一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.据此可以认为:上节情景问题中时间t是自变量,里程s是t的函数.t=1时的函数值s=60,t=2时的函数值s=120,t=2.5时的函数值s=150,…,同样地,在以上心电图问题中,时间x是自变量,心脏电流y是x的函数;人口数统计表中,年份x是自变量,人口数y是x的函数.当x=1999时,函数值y=12.52亿.从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系.例1:一辆汽车油箱现有汽油50L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(L)随行驶里程x(km)的增加而减少,平均耗油量为0.1L/km.1.写出表示y与x的函数关系式.2.指出自变量x的取值范围.3.汽车行驶200km时,油桶中还有多少汽油?结论:1.行驶里程x是自变量,油箱中的油量y是x的函数.行驶里程x时耗油为:0.1x油箱中剩余油量为:50-0.1x所以函数关系式为:y=50-0.1x2.仅从式子y=50-0.1x上看,x可以取任意实数,但是考虑到x•代表的实际意义是行驶里程,所以不能取负数,并且行驶中耗油量为0.1x,它不能超过油箱中现有汽油50L,即0.1x≤50,x≤500.因此自变量x的取值范围是:0≤x≤5003.汽车行驶200km时,油箱中的汽油量是函数y=50-0.1x在x=200时的函数值,将x=200代入y=50-0.1x得: y=50-0.1×200=30汽车行驶200km时,油箱中还有30升汽油.Ⅲ.随堂练习下列问题中哪些量是自变量?哪些量是自变量的函数?试写出用自变量表示函数的式子.1.改变正方形的边长x,正方形的面积S随之改变.2.秀水村的耕地面积是106m2,这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化.解答:1.正方形边长x是自变量,正方形面积S是x的函数.函数关系式:S=x22.这个村人口数n是自变量,人均占有耕地面积y是n的函数.Ⅴ.作业1、p14--1,6题.教学反思:变量与函数(3)教学目标(一)知识与技能:进一步理解掌握确定函数关系式.会确定自变量取值范围.(二)过程与方法:会用变化的量描述事物(三)情感与价值观要求:会用运动的观点观察事物,分析事物教学重点:1.进一步掌握确定函数关系的方法.2.确定自变量的取值范围.教学难点:认识函数、领会函数的意义.教学方法:引导法、合作学习教学过程1.在计算器上按照下面的程序进行操作:填表:显示的数y是输入的数x的函数吗?为什么?2.在计算器上按照下面的程序进行操作.下表中的x与y是输入的5所按的第三、四两个键是哪两个键?y是x的函数吗?如果是,写出它的表达式(用含有x的式子表示y).活动结论:1.从计算结果完全可以看出,每输入一个x的值,操作后都有一个唯五的y值与其对应,所以在这两个变量中,x是自变量、y是x的函数.2.从表中两行数据中不难看出第三、四按键是1这两个键,且每个x•的值都有唯一一个y值与其对应,所以在这两个变量中,x是自变量,y是x的函数.关系式是:y=2x+1关于函数自变量的取值范围1.实际问题中的自变量取值范围问题1:在上面的联系中所出现的各个函数中,自变量的取值有限制吗?如果有.各是什么样的限制?问题2:某剧场共有30排座位,第l排有18个座位,后面每排比前一排多1个座位,写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式,自变量的取值有什么限制。

八年级上册数学第十四章知识点总结

八年级上册数学第十四章知识点总结

八年级上册数学第十四章知识点总结第十四章一次函数一、知识点1. 函数:在某一变化过程中,有两个变量x和y,对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量。

2. 一次函数:一般地,如果y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0,k,b是常数),那么y随x增大而增大,我们就称它为一次函数。

3. 正比例函数:对于两个相关联的变量x,y,如果它们的函数关系式中,k,b为常数且k≠0,那么就称y按照关于x的一次函数关系随x变化。

4. 正比例函数图象:一般地,当我们把形如y=kx(k≠0)的函数的图象画在同一个直角坐标系中时,正比例函数的图象是经过原点的一条直线。

二、理解与应用1. 理解一次函数的概念:我们需要关注函数的表达方式和形式(即定义),了解常数k的几何意义,并理解b的含义。

2. 应用一次函数解决实际问题:我们要能够将实际问题转化为数学问题,通过运用一次函数的性质来求解。

例如,我们可以利用一次函数的增减性来解决问题,根据实际情况做出选择。

3. 注意在解题过程中运用画图辅助的方法:利用图象可以直观地看出两个变量之间的变化关系,有助于我们更好地理解问题,找到解题的关键点。

三、例题解析【例】已知正比例函数y=kx的图象经过点(2,4),求k的值并画出这个函数的图象。

【解析】根据题目中的条件,我们可以直接将点(2,4)代入函数表达式中求得k的值。

根据所求得的k值,我们可以画出这个函数的图象。

通过观察图象,我们可以更好地理解一次函数与自变量之间的关系。

解:将点(2,4)代入函数表达式中,可得k=2×4=8。

画出这个函数的图象如下:这个图象是一条经过原点和点(2,4)的直线。

通过观察图象,我们可以发现当x>0时,y随x的增大而增大。

这对于我们解决实际问题非常有帮助。

四、练习题请完成以下练习题,尝试运用一次函数的知识来解决实际问题。

1. 已知正比例函数y=kx的图象经过点(3,2),求k的值并画出这个函数的图象。

人教版 八年级数学上册 第十四章 一次函数

人教版 八年级数学上册 第十四章  一次函数

14.2.2 一次函数(3)——确定一次函数解析式教学目标1.知识与技能会用待定系数法求解一次函数的解析式.体会二元一次方程组的实际应用.2.过程与方法经历探索求一次函数解析式的过程,感悟数学中的数与形的结合.3.情感、态度与价值观培养抽象的数学思维和与人合作的学习习惯,形成良好的学习态度.重、难点与关键1.重点:待定系数法求一次函数解析式.2.难点:解决抽象的函数问题.3.关键:熟练应用二元一次方程组的代入法、•加减法解一次函数中的待定系数.教学方法采用“问题解决”的方法,让学生在问题解决中感受一次函数的内涵.教学过程一、范例点击,获取新知【例4】已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9),求这个一次函数的解析式.【思路点拨】求一次函数y=kx+b的解析式,关键是求出k、b的值,从已知条件可以列出关于k、b的二元一次方程组,并求出k、b.【教师活动】分析例题,讲解方法.【学生活动】联系已学习的二元一次方程组,以此为工具,解决问题,参与教师讲例,主动思考.解:设这个一次函数的解析式为y=kx+b.依题意得:352 491 k b kk b b+==⎧⎧⎨⎨-+=-=-⎩⎩解得这个一次函数的解析式为y=2x-1.【方法流程】【教师活动】引导学生归纳总结知识的流程图,提高认识.二、随堂练习,巩固深化课本P118练习.三、课堂总结,发展潜能根据已知的自变量与函数的对应值,可以利用待定系数法确定一次函数解析式,具体步骤如下:1.写出函数解析式的一般形式,其中包括未知的系数(需要确定这些系数,•因此叫做待定系数).2.•把自变量与函数的对应值(可能是以函数图象上点的坐标的形式给出)代入函数解析式中,得到关于待定系数的方程或方程组.(有几个待定系数,就要有几个方程)3.解方程或方程组,求出待定系数的值,从而写出所求函数的解析式.四、布置作业,专题突破课本P121习题14.2第6,7,8题.。

第14章一次函数知识总结

第14章一次函数知识总结

人教版八年级上册第十四章 一次函数 知识总结1.函数的概念:在一个变化过程中,有两个变量,例如,x 、y ,对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与之对应,我们称y 是x 的函数.其中x 是自变量.2.正比例函数解析式: y=kx (k ≠0)3.正比例函数图象: 经过原点的直线4.正比例函数性质: 当k >0时,图象经过第三、一象限,y 随x 的增大而增大,当k <0时,图象经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小5.描点法画函数图像的一般步骤:列表 描点 连线6. 一次函数解析式: y =kx +b (k ≠0),与x 轴交点坐标为 与y 轴交点坐标为(0,b ),当b=0时,y =kx +b 即 y =kx ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.7.一次函数y =kx +b (k ≠0)与坐标轴所围三角形面积公式为b k b S ⋅-=∆218.求函数解关系的一般步骤是怎样的呢?可归纳为:“一设、二列、三解、四还原”一设:设出函数关系式的一般形式y=kx+b;二列:根据已知两点的坐标列出关于k 、b 的二元一次方程组; 三解:解这个方程组,求出k 、b 的值;四还原:把求得的k 、b 的值代入y=kx+b ,写出函数关系式.像这样先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从⎪⎭⎫ ⎝⎛-,0kb而具体写出这个式子的方法,叫做待定系数法.9.一次函数y=kx+b 的图象与正比例函数y=kx 图象有什么关系? 一次函数y=kx+b 的图象是一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到。

(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移)当 k 相等时,两直线平行;反之,若两直线平行,则 k 值相等. 当 k 不相等时,两直线相交;反之,两直线相交,则k 不相等. 当 b 值相等时,两直线相交于y 轴. 交点坐标为(0,b )10.一次函数 的图象是一条直线,一次项系数k 确定直线的倾斜程度,常数项b 决定直线与y 轴交点的位置。

一次函数

一次函数

第十四章一次函数一、一次函数及其图像知识总结(一)知识总结(二)例题精讲知识点一:变量与函数知识点二:一次函数与正比例函数的意义知识点三:待定系数法求一次函数的解析式知识点一:变量与函数A、夯实基础每个同学购买一支钢笔,每支笔 5 元,求总金额y(元)与学生数出式中的函数与自变量,写出自变量的取值范围。

解答: y=5n, n 是自变量, y 是 n 的函数。

自变量n 的取值范围是:解析:这里的自变量的取值范围,要考虑它的实际意义。

n(个)的函数关系并指n 为自然数。

B、双基固化如果 A、 B两人在一次百米赛跑中,路程s(米)与赛跑的时间t (秒)的关系如图所示,则下列说法正确的是((A) A 比 B 先出发(B)A、B两人的速度相同(C) A 先到达终点( D) B 比 A 跑的路程多C )C、能力提升一水管以均匀的速度向容积为如下表,请从表中找出 t 与100 立方米的空水池中注水,注水的时间t 与注入的水量Q Q之间的函数关系式,且求当t=5 分 15 秒时水池中的水量Q的值.T(分钟)2468...Q(立方米)481216...解答:∵水管是匀速流出水于池中,速度是(4 ÷ 2)=2 ,即每分钟Q=2t,自变量 t 为非负数 .又∵水池容积为100 立方米,时间不能超过100÷2=50( 分钟 ) ,∴0≤ t ≤ 50.2 立方米,函数解析式为当t=5 分 15 秒时, Q=2× 5.25=10.5( 立方米 )即当 t 为 5 分 15 秒时,水量为10.5立方米.知识点二:一次函数与正比例函数的意义A、夯实基础下列函数中 , 哪些是一次函数(1)Y = -3X+7是一次函数.(2)Y = 6X2-3X不是一次函数.(3)Y = 8X是一次函数, 也是正比例函数(4)Y = 1+9X是一次函数(5)Y =6不是一次函数XB、双基固化列出下列函数关系式,判别其中哪些为一次函数、正比例函数.(1)正方形周长 p 和一边的长 a.解答 :(1)∵p=4a.自变量 a 为一次且其系数为4( 不为零 ) .∴p为 a 的一次函数.又∵不含常数项∴也是正比例函数.(2) 长 a 一定时矩形面积y 与宽 x.解答:∵ y=ax,自变量x 为一次且系数 a 为长度 ( 不为零 ) .∴y是 x 的一次函数.∵不含常数项.∴y也是 x 的正比例函数.(3)定期存 100 元本金,月利率 1.8 %,本息和 y 与所存月数 x.解答 : ∵ y=100+100× 1.8%x,自变量 x 的次数为一次,又含有常数项.∴ y 是 x 的一次函数但不是正比例函数.(4) 水库原存水Q立方米,现以每小时 a 立方米的流量开闸放水,同时上游以每小时 b 立方米的流量向水库注水,求这时水库的蓄水量M与时间 t 的函数关系.解答 : ∵ M=Q+(b-a)t ,因为自变量 t 的次数为一次,当 a≠ b 时, M是 t 的一次函数.若 Q=0 时,M是 t 的正比例函数;若 a=b 时, M是常量函数,不是 t 的一次函数.C、能力提升已知 y = -(m2+2m)xm2+m-1 ,当 m是什么数值时,为正比例函数?解答:设正比例函数为y = kx (k≠ 0),∵正比例函数k≠ 0,x 的指数为1.∴m2+2m≠ 0,解得 m1≠ 0, m2≠-2 ,且m2+m-1 = 1 ,解得 m3 = -2 ,m4 = 1 .∴当 m = 1 时,为正比例函数.知识点三:待定系数法求一次函数的解析式B、双基固化已知一次函数y=kx+b 在 x=-4 时的值为9,在 x=6 时的值为 3,求k 与 b解:由已知得:9 = - 4k + b3 = 6k + b解得 k=- 0.6, b = 6.6C、能力提升一次函数的图象经过点(0,2)和点( 4, 6)。

第十四章 一次函数

第十四章 一次函数

全章共包括三节:14.1 变量与函数14.2 一次函数14.3 用函数观点看方程(组)与不等式14.4 课题学习选择方案其中,14.1节是全章的基础部分,14.2节是全章的重点内容,14.3节是引申的内容,起加强知识前后联系的作用,14.4节是探究性学习的内容,以课题学习的形式呈现,突出建立数学模型的实际意义和思想方法.函数的概念是数学中极为重要的基本概念,它的抽象性较强,接受并理解它有一定难度,这也是本章的难点.变化与对应的思想体现在函数概念之中,用运动变化的眼光,以函数为工具,从数量关系和图象两方面动态地分析问题,是本章学习的特点.本章知识结构框图:2.本单元知识与其他单元知识之间的关系:本单元的主要内容为正比例函数,一次函数的性质与图像及由这些知识引申出来的有关实际应用的问题.从整个初中及本单元知识是属于比较基础的一类.本单元知识是以前面的方程(组)的知识为解决问题的工具,作为今后学习反比例函数、二次函数等这些章节的基础知识储备,也可以说本单元的知识是整个初中数学知识体系中函数部分的必备基础知识.本章最后的14.3节“用函数观点看方程(组)与不等式”,从函数的角度对前面学习过的一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组重新进行了分析,这种再认识不是原来水平上的回顾复习,而是站在更高的起点上的动态分析.加深对已经学习过的方程(组)及不等式内容的认识,构建和发展相互联系的知识体系.通过本单元的教学,应加强知识间横向和纵向的联系,发挥函数对相关内容的统领作用,能用一次函数可以把以前学习的方程和不等式等不同的数学概念统一起来,使得新旧知识融会贯通,从而进一步体现函数概念的重要性,提高灵活地分析解决问题的能力,加大分析问题的深度.进一步在学生已有的建立方程或不等式这样的数学模型的基础上,继续重视数学与实际的关系,在建立函数这种应用更广泛的数学模型的过程中继续体现建模思想.3.本单元学习方法及对以后单元的启示:本章节采用讲练结合,自主探究,小组讨论等方法.人的认识过程是波浪式前进、螺旋式上升的.学习数学中的一个重要的基本概念,需要分阶段地完成,逐步深化认识程度.本套教科书将对代数函数的学习分三章安排,即八年级上学期学习第十四章“一次函数”,八年级下学期学习第十七章“反比例函数”,九年级下学期学习第二十六章“二次函数” .在学习这些内容之前,分别安排了学习二元一次方程(组)、分式方程和一元二次方程,即按代数运算类型划分阶段,将函数作为方程的后续内容.(三)典型题归纳例1:下列函数(1)y=πx (2)y=2x-1 (3)y= (4) (5)中,是一次函数的有()(A)4个.(B)3个.(C)2个.(D)1个.分析:这一例题是一次函数定义的直接应用,但是部分同学可能会出现错误,注意2点,一次项系数不能为0,且未知数的次数是1次,因此(3)(5)都不是一次函数,正确答案是(B).例2:已知y -2与x成正比,且当x=1时,y=-6.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)若点(a,2)在这个函数图象上,求a.分析考察正比例函数的定义,还有图像上的点与其函数关系式的关系.(1)由正比例函数的定义可知,y-2=kx且把x=1,y=-6代入得k=-8,即可得y=-8x+2.(2)点在函数图象上,直接将点的坐标代入该函数关系式即可,2=-8a+2,得a=0.例3:某公司到果园基地购买某种优质水果,慰问医务工作者,果园基地对购买量在3000千克以上(含3000千克)的有两种销售方案,甲方案:每千克9元,由基地送货上门.乙方案:每千克8元,由顾客自己租车运回,已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元.(1)分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所购买的水果质量x(千克)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(2)依据购买量判断,选择哪种购买方案付款最少?并说明理由.分析:本题考查一次函数的应用与方案选择问题.(1)得甲方案的关系式是:y=9x.乙方案:y=8x+5000.x≥3000.(2)需要分情况进行讨论,当>时,9x>8x+5000,即x>5000时,此时乙方案付款少.当=时,9x=8x+5000,即x=5000时,甲,乙方案付款一样多.当<时,9x<8x+5000,即3000≤x<5000时,此时甲方案付款少.(四)思想方法归纳本单元所涉及到的思想方法主要有:数形结合的思想方法,转化的思想方法,函数与方程思想方法.五、学习评价(一)选择题1.下列各曲线中不能表示y是x的函数是()2.若点A(2,4)在函数y=kx-2的图象上,则下列各点在此函数图象上的是()(A)(0,-2).(B)(1.5,0).(C)(8,20).(D)(0.5,0.5).3.函数y=k(x-k)(k<0)的图象不经过()(A)第一象限.(B)第二象限.(C)第三象限.(D)第四象限.4.如果直线y=2x+m与两坐标轴围成的三角形面积等于m,则m的值是()(A)±3.(B)3.(C)±4.(D)4.5.若把一次函数y=2x-3,向上平移3个单位长度,得到图象解析式是( )(A)y=2x. (B) y=2x-6.(C) y=5x-3.(D)y=-x-3.6.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,则k、b的符号是( )(A)k>0,b>0. (B)k>0,b<0. (C)k<0,b>0. (D)k<0,b<0.(二)填空题7.若函数是正比例函数,则m的值是.8.已知一次函数y=kx-5,请你补充一个条件,使y随x的增大而减小.9.出租车按公里收费,3公里内收费8元,以后每超过1公里加收1.5元,若行驶了x公里(x≥3),则需车费y(元)与x(公里)之间的函数关系式是.10.某市自来水公司为了鼓励市民节约用水,采取分段收费标准,某市居民每月交水费y(元)与水量x(吨)的函数关系如图所示,请你通过观察函数图象,回答自来水公司收费标准:若用水不超过5吨,水费为元/吨;若用水超过5吨,超过部分的水费为元/吨.11.已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为(-5,-8),则方程组的解是________.12.若直线y=kx+b平行直线y=5x+3,且过点(2,-1),则k=______ ,b=______ .(三)解答题:13.已知一次函数图象经过(3, 5)和(-4,-9)两点,(1)求此一次函数的解析式;(2)若点(a,2)在函数图象上,求a的值.14、画出函数y=2x+6的图象,利用图象:(1)求方程2x+6=0的解;(2)求不等式2x+6>0的解;(3)若-1≤y≤3,求x的取值范围.15.如图,已知直线,直线直线、分别交x轴于B、C两点,、相交于点A.(1) 求A、B、C三点坐标;(2) 求△ABC的面积.答案与提示一、选择题1.C ; 2.A ; 3.A ; 4.C ; 5.A; 6. C.二、填空题7.-1 ;8.k=-1.提示:k<0即可;9.y=1.5x+3.5;10.0.72,0.9; 11. 12.5,-11.三、解答题13.(1)y=2x-1,(2)a=14.(1)x=-3,(2)x>-3,(3)15.(1)A(-,0),B(5,0),。

新人教版八年级数学上册第14章一次函数精品课件

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活动二.分析思考,理解定义 1.问题:正方形的边长x与面积S的函数关系为S=x2, 你能想 到更直观地表示S与x 的关系的方法吗? 2.定义. 一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每 对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些 点组成的图形,就是这个函数的图象。
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例2 .在下列式子中,对于x的每一确定的值,y有唯一的对 应值,即y是x的函数,画出这些函数的图象:
(1)y=x+0.5; 解:
(2)y= 6 (x&g009 版权所有 盗版必究
活动四:知识巩固,课堂练习 1.课后小练习1,2题 2.思考:画函数图象的一般步骤是什么? 活动五.知识梳理,课堂小结 (1)什么是函数图象 (2)画函数图象的一般步骤 活动六.知识反馈,布置作业 课本第106-107页第5,6,7题
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活动三.知识应用,强化提高 例1.下面的图象反映的过程是小明从家去菜地浇水,有去玉米 地锄草,然后回家.其中x表示时间,y表示小明离家的距离. 根据图象回答问题:
(1)菜地离小明家多远?小明走到菜地用了多少时间?; (2)小明给菜地浇水用了多少时间? (3)菜地离玉米地多远?小明从菜地到玉米地用了多少时间? (4)小明给玉米锄草用了多少时间? (5)玉米地离小名家多远?小明从玉米地走回家的平均速度是多 少?
新人教版八年级数学上册第14章一次函数 第1节变量与函数第3小节 第1课时函数图象
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八年级数学上《第14章 一次函数》全章课件(17份)-16

八年级数学上《第14章 一次函数》全章课件(17份)-16

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3 8 y x 5 5
3 8 y x 上的每个点的坐标(x,y)都是方程 5 5
3x+5y =8的解.
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任意的二元一次方程是否都能转化成y=kx+b的 形式呢? 我们说任意的二元一次方程都能进行这样的转 化,所以每个二元一次方程都对应一个一次函数, 故也对应一条直线. 3x 5 y 8 解二元一次方程组 2 x y 1
14.3.3 一次函数与二元一次方程(组)
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ห้องสมุดไป่ตู้
一次函数与一元一次方程有什么关系?
一次函数与一元一次不等式有什么关系?
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方程3x+5y =8如何转化成y=kx+b的形式?
故我们可以用图象法解方程组,画出两函数图象: 两直线交点坐标为(1,1) .
所以原方程 组的解为
x 1 y 1
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例 一家电信公司给顾客提供两种上网收费方 式:方式 A 以每分 0.1 元的价格按上网时间计费; 方式 B除收月基费 20元外再以每分 0.05元的价格按 上网时间计费.上网时间为多少分,两种方式的 计费相等? 解:设上网时间为x分,若按方式A则收y=0.1x 元;若按方式B则收y=0.05x+20元. 在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象.
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3 8 y x 方程组可转化为 5 5 y 2x 1
从“数”上看
相当于求当自变量 x 为何值时两函数的 值相等?这个函数值是多少? 从“形”上看 相当于求两条直线的交点坐标.

人教版数学八年级上册 第十四章 一次函数.pptx

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为 s=x(5-x) .其中常量是 5 ,变量是 x, s ,自变
量是___x _,因变量是 s , s 是 x 的函数.当x=3时
的函数值s= 6 .
2019-10-2
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13
请你辨析
4.下列关于变量 x,y 的关系式:
① y 3x7 , 2
② y2 5x 1 ,
③ y 3x ,
(1)写出表示y与x的函数关系的式子.
(2)指出自变量x的取值范围.
(3)汽车行驶200km时,油箱中还有多少汽油?
(4)当油箱中还有10L汽油时,汽车已行驶了多少里程?
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16
反思总结
今天我知道了······
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颗粒归仓
在一个变化过程中,数值发生变化的量,叫做 变量. 数值始终不变的量,称之为源自量.y 10 m (kg)
0
1
2
34
l (cm) 10 10.5 11 11.5 12
l
10, 0.5
“气温变化问题” t
在一个变化的过程中 有两个变量
T
/
图 17.1.1
对于其中一个变量的每一
个确定的值,另一个变量都有
唯一确定的值与其对应
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因变量是感谢自你变的欣量赏 的函数
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一.变量、常量的定义
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一.变量、常量的定义
在一个变化过程中,数值发生变化的量,称为 变量. 数值始终不变的量,称之为常量.
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7
巩固练习

第十四章一次函数复习

第十四章一次函数复习
(1)已知直线l:y=3x+2则它与坐标轴的交点
坐标为 .
(2)直线y=x与直线y=-x-2交点A的坐标。
3、若函数y=kx+b的图象平行于y= -2x的图象且 经过点(0,4), 则直线y=kx+b与两坐标轴围 成的三角形的面积多少?
解:∵y=kx+b图象与y= - 2x图象平行 ∴k=-2 ∵图像经过点(0,4) ∴b=4 ∴此函数的解析式为y= - 2x+4 ∵函数y= - 2x+4与两坐标轴的交点为(0,4)和 (2,0)
第十四章 一次函数复习课
第一节、变量与函数
第二节、一次函数 第三节、用函数观点看方程(组)和不等式
一、函数的概念: 在一个变化过程中,如果有两个变量 x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都 有唯 一确定的值与其对应,那么我们就说x 是自变量 ,y是x的函数。
二、函数有几种表示方式? 正方形的面积S 与边长 x的函数关系为: 2 (x>0) S=x
(A)
(B)
(C)
(D)
七、求函数解析式的方法:
待定系数法
先设出函数解析式,再根 据条件确定解析式中未知的系 数,从而具体写出这个式子的 方法。
1、如图,直线a是一次函数y=kx+b的图象, 求其解析式?
解:由图象知直线过(-2,0),(0,-1)两点 把两点的坐标分别代入y=kx+b,得: 0=-2k+b -1=b y k= - 0.5 b= -1
⑴当k>0时,图象过______象限;y随x的增大而____。
⑵当k<0时,图象过______象限;y随x的增大而____。
5、一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的性质: ⑴k决定_________ ⑵b决定_________。 。

【初中数学精品资料】第十四章 第2节 一次函数,一次函数

【初中数学精品资料】第十四章 第2节 一次函数,一次函数

年 级 初二 学 科 数学版 本人教新课标版课程标题 第十四章第2节一次函数——一次函数编稿老师 陈孟伟 一校 林卉二校黄楠审核王百玲一、学习目标:1. 理解一次函数的概念和性质,知道其图象的形状、位置及其与解析式系数的关系,会用待定系数法确定函数解析式,能运用函数知识解决一些实际问题;2. 通过学习,进一步体会数形结合的思想和分类讨论、化归、待定系数法等数学思想。

二、重点、难点:重点:一次函数的性质和解析式的确定。

难点:运用一次函数解决实际问题。

三、考点分析:一次函数是中考重点考查的内容之一,从近几年各地的中考试卷来看,试题类型比较全面,有填空题、选择题及解答题。

考查内容以图象为主,主要体现在以生活实际为背景,与生活实际相联系,具有浓厚的生活气息。

我们要把一次函数的图象、性质与列方程解应用题结合起来,才能把握好本节内容,以至于在中考中不丢分。

知识点一:一次函数的定义例1. 已知23(2)3m y m x -=-+,当m 为何值时,y 是x 的一次函数?解析式图象性质一次函数形式为(0)y kx b k =+≠利用待定系数法确定解析式需要两对对应值一条直线 取两点增减性:0k >时,y 随着x 的增大而增大; 0k <时,y 随着x 的增大而减小。

图象位置:直线y kx b =+过两个象限或三个象限,由,k b 的符号共同决定。

思路分析:根据一次函数的定义知,形如(0)y kx b k =+≠的函数叫一次函数。

这里有几点需要注意:x 的次数为1,系数不为0,常数项可以为0。

解答过程:由题意,得23120m m ⎧-=⎨-≠⎩解得2m =-所以,当2m =-时,23(2)3m y m x -=-+可化为43y x =-+,y 是x 的一次函数。

解题后的思考:判断某函数是否是一次函数时,易忽略y kx b =+中0k ≠这个重要条件。

小结:学习一次函数的定义,应注意以下几个问题:(1)由一次函数的定义可知:函数为一次函数⇔其解析式可化为y kx b =+(,k b 为常数,0k ≠)的形式。

新人教版八年级数学上册第14章一次函数精品课件ppt

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我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点,那么 它的图象有什么特征呢?
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活动三.共同探究,理解知识 1.例题.画出下列正比例函数的图象,并进行比较,寻找两个 函数图象的相同点与不同点,考虑两个函数的变化规律. 1.y=2x 2.y=-2x
学生通过活动,了解正比例函数图象特点及函数变化规 律,让学生自己动手、动口、动脑,经历规律发现的整个过 程,从而提高各方面能力及学习兴趣.并能正确画图、积极 探索、总结规律、准确表述.
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 -2 -4 -6
画出图象如图(1). (2)y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数,列表表示几组对应 值:画出图象如图(2).
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(3)分析比较两个图象的共同点和不同点 1)共同点:都是经过原点的直线. 2)不同点:函数y=2x的图象从左向右呈上升状态,即随着x的 增大y也增大;经过第一、三象限.函数y=-2x的图象从左向 右呈下降状态,即随x增大y反而减小;经过第二、四象限.
一九九六年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥뼈မ鸟) 套上标志环.4个月零1周后人们在2.56万千米外的澳 大利亚发现了它. (1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米 (精确到10千米)? (2)这只燕鸥的行程y(千米)与飞行时间x(天)之间有 什么关系? (3)这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米?
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活动四.自己动手,课堂练习
在同一坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行
比较.(1)y=0.5x
(2)y= -0.5x
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第十四章.一次函数(总分:100)
一、填空题(每小题4分,共24分)
1、若函数y= -2x m+2是正比例函数,则m 的值是 .
2、已知一次函数y =kx -5,请你补充一个条件 ,使y 随x 的增大而减小。

3、从A 地向B 地打长途电话,按时收费,3分钟内收费2.4元,以后每超过1分钟加收1元,若通话t 分钟(t ≥3),则需付电话费y (元)与t (分钟)之间的函数关系式是 。

4、某市自来水公司为了鼓励市民节约用水,采取分段收费标准,某市居民每月交水费y (元)与水量x (吨)的函数关系如图所示,请你通过观察函数图象,回答自来水公司收费
标准:若用水不超过5吨,水费为 元/吨;若用水超过5吨,超过部分的水费为 元/吨。

5.已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为(-5,-8),则方程组30220x y x y --=⎧⎨
-+=⎩的解是________.
6.若直线y=kx+b 平行直线y=5x+3,且过点(2,-1),则k=______ ,b=______ .
二、选择题(每小题4分,共24分):
7、下列各曲线中不能表示y 是x 的函数是( )。

8、若点A (2, 4)在函数y =k x -2的图象上,则下列各点在此函数图象上的是( )
A 、(0,-2)
B 、(1.5,0)
C 、(8, 20)
D 、(0.5,0.5)。

O
x(吨)
y(元)
85
6.3
3.6O x y O x y O x y O x y
9、函数y =k (x -k ) (k <0 )的图象不经过( )
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限 10、如果直线y =2x +m 与两坐标轴围成的三角形面积等于m ,则m 的值
是( )
A 、±3
B 、3
C 、±4
D 、4
11.若把一次函数y=2x -3,向上平移3个单位长度,得到图象解析式是
( )
(A)y=2x (B) y=2x -6 (C ) y=5x -3 (D )y=-x -3 12.已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示,则k 、b 的符号是( ) (A)k>0,b>0 (B)k>0,b<0 (C)k<0,b>0 (D)k<0,b<0
三.解答题(共52分)
13.(本题8分)知一次函数图象经过(3, 5)和(-
4,-9)两点,①求此一次函数的解析式;②若点(a ,2)在函数图象上,求a 的值。

14、画出函数y =2x +6的图象,利用图象:①求方程2x +6=0的解;②求不等式2x +6>0的解;③若-1≤y ≤3,求x 的取值范围。

(本题8分)
y
0 x
15.(本题8分)如图,已知直线1:23l y x =+,直线2:5l y x =-+,直线1l 、
2l 分别交x 轴于B 、C 两点,1l 、2l 相交于点A 。

(1) 求A 、B 、C 三点坐标; (2) 求△ABC 的面积。

16、(8分)如图,直线y=
1
2
x+2交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,点P (x , y )是线段AB 上一动点(与A,B不重合),△PAO 的面积为S ,求S 与x 的函数关系式。

17.(本题10分)小强骑自行车去郊游,右图表示他离家的距离y (千米)与所用的时间x (小时)之间关系的函数图象,小明9点离开家,15点回家,根据这个图象,请你回答下列问题:①小强到离家最远的地方需几小时?此时离家多远?②何时开始第一次休息?休息时间多长?③小
O
P
Y
B
A
x
y
x
l 2
l 1
O
C
B
A
强何时距家21㎞?(写出计算过程)
18、(本题10分)网络时代的到来,很多家庭都接入了网络,电信局规定了拨号入网两种收费方式,用户可以任选其一:A :计时制:0.05元/分;B :全月制:54元/月(限一部个人住宅电话入网)。

此外B 种上网方式要加收通信费0.02元/分。

①某用户某月上网的时间为x 小时,两种收费方式的费用分别为1y (元)、2y (元),写出1y 、2y 与x 之间的函数关系式。

②在上网时间相同的条件下,请你帮该用户选择哪种方式上网更省钱?
j
距离(km)时间(h)
15
13
121110.5O 15
30。

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