对数螺线与蜘蛛网

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PROE各种常见曲线方程及图示解析

PROE各种常见曲线方程及图示解析

PRO/E各种常见曲线方程及图示Eagles fly alone, but sheep flock together.1.碟形弹簧圓柱坐标方程:r = 5 theta = t*3600 z =(sin(3.5*theta-90))+24*t2.葉形线.笛卡儿坐標标方程:a=10x=3*a*t/(1+(t^3))y=3*a*(t^2)/(1+(t^3))3.螺旋线(Helical curve)圆柱坐标(cylindrical)方程: r=ttheta=10+t*(20*360)z=t*34.蝴蝶曲线球坐标方程:rho = 8 * t theta = 360 * t * 4 phi = -360 * t * 85.渐开线采用笛卡尔坐标系方程:r=1ang=360*ts=2*pi*r*tx0=s*cos(ang)y0=s*sin(ang)x=x0+s*sin(ang)y=y0-s*cos(ang)z=0Eagles fly alone, but sheep flock together.6.螺旋线笛卡儿坐标方程:x = 4 * cos ( t *(5*360)) y = 4 * sin ( t *(5*360))z = 10*t7.对数曲线笛卡尔坐标系方程:z=0x = 10*ty = log(10*t+0.0001)8.球面螺旋线采用球坐标系方程:rho=4theta=t*180phi=t*360*209.双弧外摆线卡迪尔坐标方程: l=2.5b=2.5x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360) Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360)Eagles fly alone, but sheep flock together.10.星行线卡迪尔坐标方程:a=5x=a*(cos(t*360))^3 y=a*(sin(t*360))^311.心脏线圓柱坐标方程:a=10r=a*(1+cos(theta)) theta=t*36012.圆内螺旋线采用柱座标系方程:theta=t*360r=10+10*sin(6*theta) z=2*sin(6*theta)13.正弦曲线笛卡尔坐标系方程:x=50*ty=10*sin(t*360)z=0Eagles fly alone, but sheep flock together.14.费马曲线(有点像螺纹线)数学方程:r*r = a*a*theta圓柱坐标方程1: theta=360*t*5a=4r=a*sqrt(theta*180/pi)方程2: theta=360*t*5a=4r=-a*sqrt(theta*180/pi)由于Pro/e只能做连续的曲线,所以只能分两做15.Talbot 曲线卡笛尔坐标方程:theta=t*360a=1.1b=0.666c=sin(theta)f=1x = (a*a+f*f*c*c)*cos(theta)/ay = (a*a-2*f+f*f*c*c)*sin(theta)/b16.Rhodonea 曲线采用笛卡尔坐标系方程:theta=t*360*4x=25+(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta)y=25+(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)17.抛物线笛卡儿坐标方程:x =(4 * t)y =(3 * t) + (5 * t ^2)z =0Eagles fly alone, but sheep flock together.18.螺旋线圓柱坐标方程:r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-90))+24*t19.三叶线圆柱坐标方程:a=1theta=t*380b=sin(theta)r=a*cos(theta)*(4*b*b-1)20.外摆线迪卡尔坐标方程:theta=t*720*5b=8a=5x=(a+b)*cos(theta)-b*cos((a/b+1)* theta)y=(a+b)*sin(theta)-b*sin((a/b+1)* theta)z=0Eagles fly alone, but sheep flock together.21.Lissajous 曲线theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*theta+c)y=b*sin(theta)22.长短幅圆内旋轮线卡笛尔坐标方程:a=5b=7c=2.2theta=360*t*10x=(a-b)*cos(theta)+c*cos((a/b-1)*thet a)y=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta)23.长短幅圆外旋轮线卡笛尔坐标方程:theta=t*360*10a=5b=3c=5x=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta)24.三尖瓣线a=10x = a*(2*cos(t*360)+cos(2*t*360)) y = a*(2*sin(t*360)-sin(2*t*360))25.概率曲线!方程:笛卡儿坐标x = t*10-5y = exp(0-x^2)26.箕舌线笛卡儿坐标系a = 1x = -5 + t*10y = 8*a^3/(x^2+4*a^2)27.阿基米德螺线柱坐标a=100theta = t*400r = a*theta28.对数螺线柱坐标theta = t*360*2.2a = 0.005r = exp(a*theta)29.蔓叶线笛卡儿坐标系a=10y=t*100-50solvex^3 = y^2*(2*a-x)for x30.tan曲线笛卡儿坐标系x = t*8.5 -4.25y = tan(x*20)31.双曲余弦x = 6*t-3y = (exp(x)+exp(0-x))/2Eagles fly alone, but sheep flock together.32.双曲正弦x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/233.双曲正切x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/(exp(x)+exp(0-x))34.一峰三驻点曲线x = 3*t-1.5 y=(x^2-1)^3+135.八字曲线x = 2 * cos ( t *(2*180)) y = 2 * sin ( t *(5*360)) z = 036.螺旋曲线r=t*(10*180)+1theta=10+t*(20*180)z=tEagles fly alone, but sheep flock together.37.圆x = cos ( t *(5*180))y = sin ( t *(5*180))z = 038.封闭球形环绕曲线rho=2theta=360*tphi=t*360*1039.柱坐标螺旋曲线x = 100*t * cos ( t *(5*180)) y = 100*t * sin ( t *(5*180)) z = 040.蛇形曲线x = 2 * cos ( (t+1) *(2*180)) y = 2 * sin ( t *(5*360))z = t*(t+1)Eagles fly alone, but sheep flock together.41.8字形曲线柱坐标theta =t*360r=10+(8*sin(theta))^242.椭圆曲线笛卡尔坐标系 a = 10 b = 20theta = t*360 x = a*cos(theta) y = b*sin(theta)43.梅花曲线柱坐标theta = t*360r=10+(3*sin(theta*2.5))^244.另一个花曲线theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2 z=4*sin(theta*3)^2Eagles fly alone, but sheep flock together.45.螺旋上升的椭圆线a = 10b = 20theta = t*360*3 x = a*cos(theta) y = b*sin(theta) z=t*1246.螺旋花曲线theta = t*360*4r=10+(3*sin(theta*2.5))^2 z = t*1647. 鼓形线笛卡尔方程r=5+3.3*sin(t*180)+t theta=t*360*10 z=t*1048. 长命锁曲线笛卡尔方程:a=1*t*359.5 b=q2*t*360c=q3*t*360 rr1=w1 rr2=w2 rr3=w3x=rr1*cos(a)+rr2*cos(b)+rr3*cos(c) y=rr1*sin(a)+rr2*sin(b)+rr3*49. 簪形线球坐标 方程: rho=200*t theta=900*t phi=t*90*1050.螺旋上升曲线r=t^10theta=t^3*360*6*3+t^3*360*3*3 z=t^3*(t+1)51.蘑菇曲线rho=t^3+t*(t+1) theta=t*360phi=t^2*360*20*2052. 8字曲线a=1b=1x=3*b*cos(t*360)+a*cos(3*t*360) Y=b*sin(t*360)+a*sin(3*t*360)53.梅花曲线theta=t*360r=100+50*cos(5*theta)z=2*cos(5*theta)54.桃形曲线rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*10*1055.名稱:碟形弹簧建立環境:pro/e圓柱坐r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24 56.环形二次曲线笛卡儿方程:x=50*cos(t*360)y=50*sin(t*360)z=10*cos(t*360*8)Eagles fly alone, but sheep flock together.57. 蝶线球坐标:rho=4*sin(t*360)+6*cos(t*360^2) theta=t*360phi=log(1+t*360)*t*36058.正弦周弹簧笛卡尔:ang1=t*360 ang2=t*360*20 x=ang1*2*pi/360y=sin(ang1)*5+cos(ang2) z=sin(ang2)59.环形螺旋线x=(50+10*sin(t*360*15))*cos(t*360)y=(50+10*sin(t*360*15))*sin(t*360) z=10*cos(t*360*5)Eagles fly alone, but sheep flock together.60.内接弹簧x=2*cos(t*360*10)+cos(t*180*10) y=2*sin(t*360*10)+sin(t*180*10) z=t*661.多变内接式弹簧x=3*cos(t*360*8)-1.5*cos(t*480*8) y=3*sin(t*360*8)-1.5*sin(t*480*8) z=t*862.柱面正弦波线柱坐标:方程r=30theta=t*360z=5*sin(5*theta-90)63. ufo(漩涡线)球坐标:rho=t*20^2theta=t*log(30)*60 phi=t*7200Eagles fly alone, but sheep flock together.64. 手把曲线thta0=t*360 thta1=t*360*6 r0=400 r1=40r=r0+r1*cos(thta1) x=r*cos(thta0) y=r1*sin(thta1) z=065.篮子圆柱坐标r=5+0.3*sin(t*180)+t theta=t*360*30 z=t*566. 圆柱齿轮齿廓的渐开线方程:afa=60*tx=10*cos(afa)+pi*10*afa/180*sin(afa) x=10*sin(afa)-pi*10*afa/180*cos(afa) z=0注:afa为压力角,取值范围是0到60,10为基圆半径。

蜘蛛网最佳结网模型探究

蜘蛛网最佳结网模型探究

蜘蛛网最佳结网模型探究摘要:世界上生存着许多蜘蛛,其中大部分种类都通过结网进行捕食。

蜘蛛网模型是通过建立最有利于蜘蛛捕食的网结构来探讨蜘蛛结网的适用性,从而进一步探究出最佳的蜘蛛网结构。

利用数学、物理以及生物方面的知识并结合蜘蛛结网的实际过程,建立数学模型,对问题做出相应的解答和处理,从而得出蜘蛛的最佳结网模型。

关键词:蒙特卡罗对数螺旋线弹性力学 visio软件中图分类号:q61 文献标识码:a 文章编号:1007-3973(2013)003-086-031 问题分析1.1 蜘蛛结网的机理蜘蛛会先向空中放出一根长长的“搜索丝”,任其随微风或气流飘荡。

之后,蜘蛛会放出一根悬垂丝,并在这根丝的中段加上第三根丝成y字状,形成蜘蛛网最初的3根不规则半径,再加上50多条线形成一张网的雏形,接下来的工作是铺设螺旋线,纺织成网。

蜘蛛以网心为起点,织出一根自内向外的螺旋线,作为下一道工序的“脚手架”。

需要指出的是,直到“脚手架”搭好,蜘蛛所织出的网还没有黏性,也就是说还粘不住昆虫。

这时,蜘蛛便从外向网心开始铺设有黏性的丝,即捕食螺线,同时把“脚手架”吃掉,完成最后一道工序。

1.2 需要解决的问题(1)如何模拟蜘蛛选择结网位置。

(2)如何确定蜘蛛结网的最优模型。

(3)蜘蛛结网后,捕食受哪些因素制约。

(4)如何对得到的蜘蛛最佳结网模型进行进一步推广。

1.3 解决方法建立适合的数学模型,提出问题,做出相应假设。

在所选择的模型的基础下,导出模型的数学表达式,求解模型最终得出结论。

2 建立模型2.1 模型假设(1)假设蜘蛛所结网的面积一定。

(2)忽略蜘蛛的生长特点以及蜘蛛的其它各种需求量。

(3)假设猎物落在蜘蛛网中任意一处的概率相同且蜘蛛捕食的速度均匀。

(4)忽略蜘蛛捕食的繁殖周期及各阶段的生长情况,设它们的生长率不变。

(5)忽略蜘蛛在捕食过程中自然因素的影响。

2.2 对蜘蛛织网位置的预测用一个具体的长方形模拟蜘蛛生长的具体环境,按机会均等原则向此长方形中投点。

数学与蜘蛛网

数学与蜘蛛网

数学与蜘蛛网蛛网是一种简单而优美的自然造物.那结满露珠的网在晨曦的照射下散射着光辉,沁人心脾,令人陶醉!然而,当人们试图用数学去描述那美丽的结构时,其所需要的公式之复杂是令人惊异的.有许许多多蛛网的图案,它们由各种不同的蜘蛛织成,有片状的,三角形状的,漏斗状的或圆顶状的.让我们看一看球蜘蛛的网所揭示的数学概念吧!人们很难猜到它联系着怎样一种建筑工作.在蛛网中人们首先注意到的数学对象大概是两条类似于螺线的蛛网曲线.我们把从蛛网中心放射出去的那几股线称为“半径”.类似螺线的曲线则由连接两相邻半径的弦形成.位于两条相邻半径间的弦互相平行,沿半径的所有同位角也全都相等.假如蜘蛛网的半径有无穷多条,那么整段蛛网将具有单一的形式,这时替代锯齿般螺形线的是一条平滑的曲线.这种曲线就是对数螺线.对数螺线的性质.●在螺线与半径的交点处画切线,则切线与半径所形成的角全都相等.这就是为什么对数螺线也称等角螺线的原因.●螺线截半径所得的各线段长,依次成等比数列.螺线按几何比率增大,其对数螺线的名称即由此而来.●当蛛网缠绕将近完结时,它的尺寸会发生变化,但这不是对数螺线的形状.●如果一条螺线形式的线,从它位于中心处的端点逐渐解开,同时永远使线保持一种绷紧的状态,那线的端头在解开时将形成一条对数螺线.●类似于螺线的蛛网,既经济又规则地充满了空间,它不仅强韧而且花用的材料最少.蜘蛛怎样构造它的网:蜘蛛最初为它的网设置一个三角形的框架.这对于产生最大的强度和韧性极为必要,而且所用的丝也可以减少到最低限度.第二条螺线是蜘蛛结网时作为陷阱的主要部分,它是用很粘的丝从外部向中心部分兜转而成的.蜘蛛所织的两种网都是对数螺线.(①原注:蜘蛛开始织网时利用不同的腺体来产生丝,一些腺体产出很粘的丝,而另一些腺体产生不粘的丝.框架、半径和第一条螺线(临时性的)是用不粘的丝,这样蜘蛛不至于自己抓住自己,蜘蛛则记住了网的各种情况.这样,当一个猎物被网粘住时,便能立即判断该猎物的大小和所在的位置(根据猎物挣扎时拖曳半径引起振动的感觉),然后很快地经由不粘的丝爬到猎物的旁边,并最终抓住它的猎物.)当早晨的露凝布在蜘蛛网上时,互相靠拢的水结成小小的水滴(特别对于较粘的丝).蛛网的弦由于水滴的负荷而弯曲,使得每条弦都变成为悬链线!悬链线是由一条自由悬挂着的柔软的绳子或链条所形成的曲线.它的一般性方程为:这里a是Y轴上的截距.出现在悬链线方程中的e为:它是一个无理数和超越数,也算是一件被蜘蛛网“捕捉”的“猎物”.还有许多其他的数学概念,如半径、弦、平行线段、三角形、相等的同位角、对数螺线、悬链线等,也和e一样都“落入”了蜘蛛所编织的陷阱.。

蜘蛛网的对数螺旋线模型

蜘蛛网的对数螺旋线模型

. 装 = = = 、 . : \
设 k为对数螺线 围绕中心 旋转 的圈数, 则螺线长度 L : :
\ } , 、 \、 \ / \\ 牟 Z ×n 。 \ \ \\
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蜘 蛛 网的对 数螺旋 线模 型
口 赵连坤 石珍珍 李柏锋 王 镁
0 1 0 0 2 1 )
( 内蒙古大学数学科学学院 内蒙古 ・ 呼和浩特

要: 针对蜘蛛 网结构进行研究, 建立 以对数螺线为核心的数学模型。通过计算 圆形蜘蛛网与对数螺线形蛛
网的覆 盖面积与长度 的关系, 得到在面积相同时, 对数螺线形蛛 网更节省蛛 丝的结论 ; 运用蒙特卡 洛方法 , 模拟 昆虫触 网的过程 , 得 出从概率 的角度来说 , 对数螺线更利于捕食 的结论 。 关键词 : 蜘蛛 网结构 对数螺旋线 蒙特卡洛方法
中图分类号 : 02 4 2 . 1 文献标识码 : A 文章编号 : 1 0 0 7 . 3 9 7 3 ( 2 0 1 3 ) 00 8 . 1 1 8 . O 2

l问题 背 景 在 自然 界 中 ,蜘 蛛 共 有约 4万 种 。虽 然 不是 所 有 的 蜘蛛
少越好。
为 了 能 更清 晰 的 了解 标 准 圆形 蜘 蛛 网与 对 数 螺 线 形 蜘蛛 网 的不 同 , 令 C=C : 一C . , 如图 3 。显 然 当 k< 1 7时 , C< 0 ; 参考文献: 1 】V o l l r a t h F , Do wn e s M & Kr a c k o w S . De s i g n v a r i a b i l i t y i n k> 1 7时, C> 0 , 即 圈数 。这说明当围绕圈数小于 1 7时, 圆 【

对数螺线_精品文档

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对数螺线引言对数螺线是一种特殊的螺线,它在极坐标系中的方程是$r = a \\cdote^{b\\theta}$,其中a和b为常数。

对数螺线在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍对数螺线的性质和一些常见的应用。

基本性质对数螺线具有许多独特的性质,下面将介绍其中一些重要的性质:1. 对称性对数螺线是关于极轴对称的,即对称轴为极轴。

这意味着螺线上的点关于极轴对称,可以通过旋转180度得到对称点。

2. 周期性对数螺线是周期性的,当$\\theta$增加或减小$2\\pi$时,螺线上的点将重复出现。

这是因为指数函数的周期性。

3. 奇异点对数螺线上存在一个奇异点,即当$\\theta$等于0时,对数螺线的半径为0,该点称为极点。

极点是对数螺线的唯一奇异点。

4. 丰富的形状对数螺线的形状可以由a和b的取值来调节。

当a>0时,螺线为右旋螺旋;当a<0时,螺线为左旋螺旋。

而b的取值会影响螺线的紧致度,当b>0时,螺线较为紧凑;当b<0时,螺线较为散开。

应用领域对数螺线在许多领域中都有广泛的应用,下面将介绍一些常见的应用:1. 自然界中的对数螺线对数螺线在自然界中有许多实例。

例如,贝壳的螺纹、龙卷风的云气旋等都展示了对数螺线的形状。

这些自然界中的现象可以通过对数螺线方程来解释和描述。

2. 物理领域对数螺线在物理学中有许多应用,例如电磁场中的磁力线、流体力学中的涡旋等。

对数螺线的性质可以帮助我们理解和分析这些物理现象。

3. 工程领域对数螺线在工程领域中也有一些应用。

例如,在某些机械结构中,对数螺线的形状可以用来设计螺纹、螺旋齿轮等部件。

总结对数螺线是一种有着独特性质的螺线,具有对称性、周期性和形状可调节性等特点。

它在自然界、物理学和工程领域中都有广泛的应用。

通过对数螺线的研究和应用,我们可以更好地理解和描述许多现象和问题。

巧设“八卦阵”

巧设“八卦阵”
蛛 的腿 .首 先 , 它 用 腿 从 吐 丝 器 中 抽 出 一 对 数螺 线又 叫等角 螺线 , 因为 曲线 上
些丝 , 把 它 固 定 在 墙 角 的 一 侧 或 者 树 枝 任 意 一 点 和 中心 的 连 线 与 曲线 上 这 点 的切
上, 然后 , 再 吐 出一 些 丝 , 把 整 个 蜘 蛛 网 的 线 所 形 成 的角 是 一 个 定 角 .大 家 可 别 小 看 在工业生产 中 , 把 抽 水 机 的涡 轮 廓 勾 勒 出来 , 再 用 一 根 特 别 的 丝 把 这 个 了对 数 螺 线 : 轮廓 固定住 , 这 是 为 继 续 穿 针 引 线 搭 好 脚 轮 叶 片 的 曲 面做 成 对 数 螺 线 的 形 状 , 抽 水 手 架 .它 每抽 一 根 丝 就 沿 着 脚 手 架 小 心 翼 就 均 匀 ; 在农业生产 中 , 把 轧 刀 的刀 口弯 曲
比如 : 模 仿 鸡 蛋 外 形 的特 点 , 建 作 出 一 条 螺 旋 状 的 丝 ,这 是 一 条 辅 助 的 多 的启 发 ,
丝 , 然后 , 它又从外 圈盘旋 着走 向中心 , 同 造 了拱 形 桥 ; 受 鸟儿 飞 翔 的启 示 , 发 明 了飞
从 茅 草划 破 手 指 , 发 明 了锯 … …大 自然 时在 半 径 上 安 上 最 后 成 网 的 螺 旋 线 .在 这 机 ; 个 过程 中 , 它 的脚 就落 在辅 助 线 上 , 每 到 中林 林 总 总 的动 物 、植 物 以各 自独 特 的生
它 赖 以谋 生 的工 具 , 而 结 网 也 是 蜘 蛛 与 生 只有 中心 部 分 的辅 助 线 一 圈 密 似 一 圈 , 向
俱 来 的本 能 . 中 心 绕 去 .小 精 灵 所 画 出 的 曲线 , 在 几何

浅谈对数螺旋线

浅谈对数螺旋线

浅谈对数螺旋线(logarithmic spiral)摘要:我们常常可以在自然界中发现螺旋扩大的图形,比如:蜘蛛织的网、向日葵的花盘、鹦鹉螺外部切面等等。

这种图形叫做对数螺旋线。

本文,将从数学的视角,探讨对数螺旋线的来源、历史上数学家们对它的研究、如何建立模型、这种模型的性质和它在工业、农业、建筑业等方面的应用。

We often can find expanding spiral graphics in nature,such as:spider weaving a network, sunflower chrysanthemum,Nautilus external aspect and so on.This graph is called the logarithmic spiral.This article,from the perspective of mathematics to explore the source of logarithmic spiral,mathematicians in the history who studied it,how to build models,the nature of the models and the application it is in industry,agriculture,construction,etc.作者:陈红(200911233021)陈虹邑(200911233012)殷怡(200911233008)关键词:对数螺旋线、应用、蜗牛壳、对数螺旋线叶片二、螺旋线的来源1、在自然界中的踪影在自然界中对数螺旋线非常普遍,向日葵花盘上瘦果的对数螺旋线的弧形排列,这样就可以使果实排得最紧、数量最多、产生后代的效率也最高。

当我们观察着园蛛,我们会发现它的网并不是杂乱无章的,那些辐排得很均匀,每对相邻的辐所交成的角都是相等的;蜘蛛在织网时,首先要在两地之间架“天索”,把丝固定在一定的地方,并在固定的丝上来回走几趟,使丝加粗。

对数螺线及其物理意义

对数螺线及其物理意义

Abs t r a c t Th i s pa p e r i nt r o duc e s t h e l o g a r i t hmi c s pi r a l c u r ve wh i c h e xi t s i n t h e wor l d,a n d i t s ap pl i c a t i on i n s c i e nc e a nd t e c hno l o gy . Fur t he r mo r e,by me a ns of t he n a t ur a l a nd p o l a r c o o r d i — na t e s ys t e ms o f p a r t i c l e ki n e ma t i c s,we d e du c e t he a na l y t i c a l e xpr e s s i o n o f t he l o ga r i t hmi c s p i —
( De p a r t me n t o f P h y s i c s Te a c h i n g a n d Re s e a r c h ,T o n g j i Un i v e r s i t y ,S h a n g h a i 2 0 0 0 9 2 )
物 理与 工程
Vo 1 . 2 3 No . 5 2 0 1 3
对 数 螺 线 及 其 物 理 意 义
严 导 淦
( 同济 大 学物理 教研 室 , 上 海 2 0 0 0 9 2 )
摘 要 文 章简介 对 数螺 线在 自然界 中的存 在 性 态及 其 在科 学领 域 中的应 用. 继而, 借 助 于 质
r a l c u r ve .
Ke y wo r d s l o ga r i t hm i c s pi r a l c ur v e;na t u r a l c oo r di n a t e s y s t e m ;po l a r c oo r d i na t e s ys t e m ;a n a — l y t i c a l e xp r e s s i o n of l o ga r i t hmi c s p i r a l c u r ve
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对数螺线与蜘蛛网曾看过这样一则谜语:“小小诸葛亮,稳坐军中帐。

摆下八卦阵,只等飞来将。

”动一动脑筋,这说的是什么呢?原来是蜘蛛,后两句讲的正是蜘蛛结网捕虫的生动情形。

我们知道,蜘蛛网既是它栖息的地方,也是它赖以谋生的工具。

而且,结网是它的本能,并不需要学习。

你观察过蜘蛛网吗?它是用什么工具编织出这么精致的网来的呢?你心中是不是有一连串的疑问,那么下面就让我来慢慢告诉你吧。

在结网的过程中,功勋最卓著的要属它的腿了。

首先,它用腿从吐丝器中抽出一些丝,把它固定在墙角的一侧或者树枝上。

然后,再吐出一些丝,把整个蜘蛛网的轮廓勾勒出来,用一根特别的丝把这个轮廓固定住。

为继续穿针引线搭好了脚手架。

它每抽一根丝,沿着脚手架,小心翼翼地向前走,走到中心时,把丝拉紧,多余的部分就让它聚到中心。

从中心往边上爬的过程中,在合适的地方加几根辐线,为了保持蜘蛛网的平衡,再到对面去加几根对称的辐线。

一般来说,不同种类的蜘蛛引出的辐线数目不相同。

丝蛛最多,42条;有带的蜘蛛次之,也有32条;角蛛最少,也达到21条。

同一种蜘蛛一般不会改变辐线数。

到目前为止,蜘蛛已经用辐线把圆周分成了几部分,相临的辐线间的圆周角也是大体相同的。

现在,整个蜘蛛网看起来是一些半径等分的圆周,画曲线的工作就要开始了。

蜘蛛从中心开始,用一条极细的丝在那些半径上作出一条螺旋状的丝。

这是一条辅助的丝。

然后,它又从外圈盘旋着走向中心,同时在半径上安上最后成网的螺旋线。

在这个过程中,它的脚就落在辅助线上,每到一处,就用脚把辅助线抓起来,聚成一个小球,放在半径上。

这样半径上就有许多小球。

从外面看上去,就是许多个小点。

好了,一个完美的蜘蛛网就结成了。

让我们再来好好观察一下这个小精灵的杰作:从外圈走向中心的那根螺旋线,越接近中心,每周间的距离越密,直到中断。

只有中心部分的辅助线一圈密似一圈,向中心绕去。

小精灵所画出的曲线,在几何中称之为对数螺线。

对数螺线又叫等角螺线,因为曲线上任意一点和中心的连线与曲线上这点的切线所形成的角是一个定角。

大家可别小看了对数螺线:在工业生产中,把抽水机的涡轮叶片的曲面作成对数;螺线的形状,抽水就均匀;在农业生产中,把轧刀的刀口弯曲成对数螺线的形状,它就会按特定的角度来切割草料,又快又好。

对数螺旋线有什么特点?在物理上用什么应用?和其他物理量有什么关系?对数螺旋线有什么特点?在物理上用什么应用?和其他物理量有什么关系?早在2019多年以前,古希腊数学家阿基米德就对螺旋线进行了研究。

公元1638年,著名数学家笛卡尔首先描述了对数螺旋线,并列出了螺旋线的解析式。

这种螺旋线有很多特点,其中最突出的一点则是它的形状,无论你把它放大或缩小都不会改变。

就像我们不能把角放大或缩小一样。

当我们观察着园蛛,尤其是丝光蛛和条纹蛛的网时,我们会发现它的网并不是杂乱无章的,那些辐排得很均匀,每对相邻的辐所交成的角都是相等的;虽然辐的数目对不同的蜘蛛而言是各不相同的,可这个规律适用于各种蜘蛛。

我们已经知道,蜘蛛织网的方式很特别,它把网分成若干等份,同一类蜘蛛所分的份数是相同的。

当它安置辐的时候,我们只见它向各个方向乱跳,似乎毫无规则,但是这种无规则的工作的结果是造成一个规则而美丽的网,像教堂中的玫瑰窗一般。

即使他用了圆规、尺子之类的工具。

没有一个设计家能画出一个比这更规范的网来。

我们可以看到,在同一个扇形里,所有的弦,也就是那构成螺旋形线圈的横辐,都是互相平行的,并且越靠近中心,这种弦之间的距离就越远。

每一根弦和支持它的两根辐交成四个角,一边的两个是钝角,另一边的两个是锐角。

而同一扇形中的弦和辐所交成的钝角和锐角正好各自相等——因为这些弦都是平行的。

不但如此,凭我们的观察,这些相等的锐角和钝角,又和别的扇形中的锐角和钝角分别相等,所以,总的看来,这螺旋形的线圈包括一组组的横档以及一组组和辐交成相等的角。

这种特性使我们想到数学家们所称的“对数螺线”。

这种曲线在科学领域是很著名的。

对数螺线是一根无止尽的螺线,它永远向着极绕,越绕越靠近极,但又永远不能到达极。

即使用最精密的仪器,我们也看不到一根完全的对数螺线。

这种图形只存在科学家的假想中,可令人惊讶的是小小的蜘蛛也知道这线,它就是依照这种曲线的法则来绕它网上的螺线的,而且做得很精确。

这螺旋线还有一个特点。

如果你用一根有弹性的线绕成一个对数螺线的图形,再把这根线放开来,然后拉紧放开的那部分,那么线的运动的一端就会划成一个和原来的对数螺线完全相似的螺线,只是变换了一下位置。

这个定理是一位名叫杰克斯.勃诺利的数学教授发现的,他死后,后人把这条定理刻在他的墓碑上,算是他一生中最为光荣的事迹之一。

那么,难道有着这些特性的对数螺线只是几何学家的一个梦想吗?这真的仅仅是一个梦、一个谜吗?那么它究竟有什么用呢?它确实广泛的巧合,总之它是普遍存在的,有许多动物的建筑都采取这一结构。

有一种蜗牛的壳就是依照对数螺线构造的。

世界上第一只蜗牛知道了对数螺线,然后用它来造壳,一直到现在,壳的样子还没变过。

在壳类的化石中,这种螺线的例子还有很多。

现在,在南海,我们还可以找到一种太古时代的生物的后代,那就是鹦鹉螺。

它们还是很坚贞地守着祖传的老法则,它们的壳和世界初始时它们的老祖宗的壳完全一样。

也就是说,它们的壳仍然是依照对数螺线设计的。

并没有因时间的流逝而改变,就是在我们的死水池里,也有一种螺,它也有一个螺线壳,普通的蜗牛壳也是属于这一构造。

可是这些动物是从哪里学到这种高深的数学知识的呢?又是怎样把这些知识应用于实际的呢?有这样一种说法,说蜗牛是从蠕虫进化来的。

某一天,蠕虫被太阳晒得舒服极了,无意识地揪住自己的尾巴玩弄起来,便把它绞成螺旋形取乐。

突然它发现这样很舒服,于是常常这么做。

久而久之便成了螺旋形的了,做螺旋形的壳的计划,就是从这时候产生的。

但是蜘蛛呢?它从哪里得到这个概念呢?因为它和蠕虫没有什么关系。

然而它却很熟悉对数螺线,而且能够简单地运用到它的网中。

蜗牛的壳要造好几年,所以它能做得很精致,但蛛网差不多只用一个小时就造成了,所以它只能做出这种曲线的一个轮廊,管不精确,但这确实是算得上一个螺旋曲线。

是什么东西在指引着它呢?除了天生的技巧外,什么都没有。

天生的技巧能使动物控制自己的工作,正像植物的花瓣和小蕊的排列法,它们天生就是这样的。

没有人教它们怎么做,而事实上,它们也只能作这么一种,蜘蛛自己不知不觉地在练习高等几何学,靠着它生来就有的本领很自然地工作着。

我们抛出一个石子,让它落到地上,这石子在空间的路线是一种特殊的曲线。

树上的枯叶被风吹下来落到地上,所经过的路程也是这种形状的曲线。

科学家称这种曲线为抛物线。

几何学家对这曲线作了进一步的研究,他们假想这曲线在一根无限长的直线上滚动,那么它的焦点将要划出怎样一道轨迹呢?答案是:垂曲线。

这要用一个很复杂的代数式来表示。

如果要用数字来表示的话,这个数字的值约等于这样一串数字+1/1+1/1*2+1/1*2*3+1/1*2*3*4+……的和。

几何学家不喜欢用这么一长串数字来表示,所以就用“e”来代表这个数。

e是一个无限不循环小数,数学中常常用到它。

这种线是不是一种理论上的假想呢?并不,你到处可以看到垂曲线的图形:当一根弹性线的两端固定,而中间松驰的时候,它就形成了一条垂曲线;当船的帆被风吹着的时候,就会弯曲成垂曲线的图形;这些寻常的图形中都包含着“e”的秘密。

一根无足轻重的线,竟包含着这么多深奥的科学!我们暂且别惊讶。

一根一端固定的线的摇摆,一滴露水从草叶上落下来,一阵微风在水面拂起了微波,这些看上去稀松平常、极为平凡的事,如果从数学的角度去研究的话,就变得非常复杂了。

我们人类的数学测量方法是聪明的。

但我们对发明这些方法的人,不必过分地佩服。

因为和那些小动物的工作比起来,这些繁重的公式和理论显得又慢又复杂。

难道将来我们想不出一个更简单的形式,并使它运用到实际生活中吗?难道人类的智慧还不足以让我们不依赖这种复杂的公式吗?我相信,越是高深的道理,其表现形式越应该简单而朴实。

在这里,我们这个魔术般的“e”字又在蜘蛛网上被发现了。

在一个有雾的早晨,这粘性的线上排了许多小小的露珠。

它的重量把蛛网的丝压得弯下来,于是构成了许多垂曲线,像许多透明的宝石串成的链子。

太阳一出来,这一串珠子就发出彩虹一般美丽的光彩。

好像一串金钢钻。

“e”这个数目,就包蕴在这光明灿烂的链子里。

望着这美丽的链子,你会发现科学之美、自然之美和探究之美。

几何学,这研究空间的和谐的科学几乎统治着自然界的一切。

在铁杉果的鳞片的排列中以及蛛网的线条排列中,我们能找到它;在蜗牛的螺线中,我们能找到它;在行星的轨道上,我们也能找到它,它无处不在,无时不在,在原子的世界里,在广大的宇宙中,它的足迹遍布天下。

这种自然的几何学告诉我们,宇宙间有一位万能的几何学家,他已经用它神奇的工具测量过宇宙间所有的东西。

所以万事万物都有一定的规律。

我觉得用这个假设来解释鹦鹉螺和蛛网的对数螺线,似乎比蠕虫绞尾巴而造成螺线的说法更恰当。

(。

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