高等数学下-复旦大学出版-习题十答案详解

高等数学下-复旦大学出版-习题十答案详解

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

习题十

1. 根据二重积分性质，比较ln()d D

x y σ+⎰⎰与2[ln()]d D

x y σ+⎰⎰的大小，其中：

（1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤.

解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有

图10-1

12x y ≤+≤

从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2ln()[ln()]x y x y +≥+

所以 2ln()d [ln()]d D

D

x y x y σσ+≥+⎰⎰⎰⎰

（2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥.

图10-2

从而 ln(x +y )>1

故有 2ln()[ln()]x y x y +<+

所以 2ln()d [ln()]d D

D

x y x y σσ+<+⎰⎰⎰⎰

2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤⎰⎰

;

（2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D

I x y D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰;

（3）2222(49)d ,{(,)|4}D

I x y D x y x y σ=++=+≤⎰⎰.

解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤.

从而 2≤

故 2d D

D

σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰

⎰⎰

即2d d D D

σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰

而 d D

σσ=⎰⎰ （σ为区域D 的面积），由σ=4

得 8σ≤≤⎰⎰

(2) 因为220sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而

220sin sin 1x y ≤≤

故 220d sin sin d 1d D

D

D

x y σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰

即220sin sin d d D

D

x y σσσ≤≤=⎰⎰⎰⎰

而2πσ=

所以2220sin sin d πD

x y σ≤≤⎰⎰

（3）因为当(,)x y D ∈时，2204x y ≤+≤所以

22229494()925x y x y ≤++≤++≤

故 229d (49)d 25d D

D

D

x y σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰

即 229(49)d 25D

x y σσσ≤++≤⎰⎰

而 2π24πσ=⋅=

所以 2236π(49)d 100πD

x y σ≤++≤⎰⎰

3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：

（1）222(,{(,)|};D

a D x y x y a σ-=+≤⎰⎰

（2

）222,{(,)|}.D x y x y a σ=+≤⎰⎰

解：（1

）(,D

a σ-⎰⎰在几何上表示以D 为底，以z 轴为轴，以（0，

0，a

）为顶点的圆锥的体积，所以31

(π3D a a σ=⎰⎰

（2

）σ⎰⎰

在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a 为半径

的上半球的体积，故3

2π.3

a σ=

⎰⎰

4. 设f (x ，y )为连续函数，求

22200201

lim (,)d ,{(,)|()()}πD r f x y D x y x x y y r r

σ→=-+-≤⎰⎰.

解：因为f (x ，y )为连续函数，由二重积分的中值定理得，(,),D ξη∃∈使得

2(,)d (,)π(,)D

f x y f r f σξησξη=⋅=⋅⎰⎰

又由于D 是以（x 0，y 0）为圆心，r 为半径的圆盘，所以当0r →时，

00(,)(,),x y ξη→

于是：002

2

20

00

00(,)(,)

11lim

(,)d lim

π(,)lim (,)

ππlim (,)(,)

D

r r r x y f x y r f f r r f f x y ξησξηξηξη→→→→=⋅===⎰⎰

5. 画出积分区域，把(,)d D

f x y σ⎰⎰化为累次积分：

（1）{(,)|1,1,0}D x y x y y x y =+≤-≤≥; (2) 2{(,)|2,}D x y y x x y =≥-≥

(3) 2

{(,)|,2,2}D x y y y x x x

=≥≤≤

解：（1）区域D 如图10-3所示，D 亦可表示为11,01y x y y -≤≤-≤≤. 所以1

101

(,)d d (,)d y D

y f x y y f x y x σ--=⎰⎰⎰⎰

(2) 区域D 如图10-4所示，直线y =x -2与抛物线x =y 2的交点为（1，-1），（4，2），区域D 可表示为 22,12y x y y ≤≤+-≤≤.