均值定理(一)

a
2
b
叫
做a与b的算术平均数 ，把 ab 叫做a与b
的 几何平均数 .
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两个正数的算术平均数大于或等于它们的 几何平均数，即对于任意两个正实数a、b，有
ab
2 ≥ ab
当且仅当 a=b时，等号成立.
这个结论称为 均值定理
由a>0、b>0时，a
2
b
≥
ab 得
变式（1） a b 2 ab （积定和小）
第二个正方形的周长为2(a+b)，边
ab
长为 2 .
对任意正实数a、b,有
a b ab 1 (a b 2 ab)
2
2
因此
1 ( a b)2 0
2
a b ≥ ab
2
等号成立 ( a b)2 0 a b a b.
讲授新课
对于两个正实数a、b，我们把
三相等 结论
例2.已知a>0,b>0，且a+b=6，求ab的最 大值.
解：由a>0,b>0根据均值定理，得
一正
ab

2
ab
2
2
6 9,
2
二定
当且仅当a=b，即 a=3时等号成立 所以ab的最大值为9.
三相等
总结
均值定理必须满足的条件：
• 一正：函数式中各项必须都是正数; • 二定：函数式中含变数的各项的和或积必须是
探究新知
一个矩形的长为a，宽为b，画两个正 方形，要求第一个正方形的面积与矩形的面 积相同，第二个正方形的周长与矩形的周长 相同.问哪个正方形的面积大？
a
b
S=ab
C=2(a+b)
(1)
(2)
我们要比较两个正方形面积的大小，只 需要比较两个正方形的边长哪个长？
第一个正方形的面积是ab,可得边
长为 ab .
定值； • 三相等：等号成立条件必须存在.
练习巩固
1、已知a>0,b>0，且ab=49，求a+b的最小值。 2、已知a>0,b>0，且a+b=10，求ab的最大值。
拓展延伸
1、求证：对于任意正实数 ，有 a 1 2.
当且仅当 a 1 时成立.
a
2、求
x

x
1
1
（x

1) 的最小值，并求出
※均 值 定 理
a b ab(a,b 0) 2
授课班级：高一（10）、（11）
授课教师：
严抒
（1）若a>0，则
2
a
__a___
2
（2）若a>0且b>0,则a 2 ab b _(_a___b_)
（3）用作差法证明不等式的步骤：
1、作差 2、变形（与0比较) 3、定号
2(x+y)达到最小值2×14=28.
答：至少要用28cm长的铁丝.
小结
1、对于任意两个正实数a、ba, b称为算术平均数， ab
称为几何平均数 等号成立.
，且
a
b 2

，ab当2 且仅当a=b时，
2、变式应用：
3、均值定理必须满足： 一正：函数式中各项必须都是正数; 二定：函数式中含变数的各项的和或积必须是定值； 三相等：等号成立条件必须存在.
作业
1、已知a>0,b>0，且ab=25，求a+b的最小值.
2、已知a>0,b>0，且a+b=8，求ab的最大值.
3、求
x
4
x 1
(x的最 小1)值，并求相应x的值.
2



52

25
等号成立当且仅当 x 取y 最5大时值,25.xy
答：矩形的长与宽都等于5cm时，面积
最大，达到2cm5 2 .
2、解：设围成的矩形的长与宽分别为xcm、ycm.
由已知条件得，xy= 49 . 据均值定理得
x y 2 xy 2 49 14.
等号成立当且仅当x此=时yx=+4y9 达=到7,最小值14，从而
变式（2）
ab


a
b
2
2


（和定积大）
当且仅当 a=b时，等号成立.
应用举例
例1.已知a>0,b>0，且ab=16，求a+b的最
小值.
解：由a>0,b>0根据均值定理，得
一正
a b 2 ab 2 16 8
二定
当且仅当a=b，即a=4时， 等号成立 所以a+b的最小值为8.
相应 x 的值.
思考题
1、用一根长为20cm的铁丝，围成一个矩形小框， 长与宽各为多少时，面积最大？
2、为了围成一个面积为49
cm
2
的矩形小框，至少
要用多长的铁丝？
1、解：设围成的矩形的长与宽分别为x cm、y cm.
由已知条件得，x+y=220 10. 据均值定理得
xy


x
2
y