均值定理(一)
均值定理PPT教学课件
该定理是否还有另外的表述？
如果把 a+2b看作是正数a、b的等差中项， √ab 看作是正数a、b的等比中项，那么该定 理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于 它们的等比中项。
现给出这一定理的一种几何解释（演示）
定理有何特征？ 一边是和，一边是积。
现在有谁能快速地求出函数y=x2+
1 x2
的最小值。
问题：将一张正方形的纸片，裁剪成四个 全等的三角形纸片，要求以正方形的边作为直 三角形的斜边，如何剪？
图
b a
c
图①
a b
c
图②
从上面实例可知，若a＞0，b＞0则a2+b2≥2ab （当a=b时取等号），那么a2+b2≥2ab是否对于a、 b∈R都成立呢？
由于不等式复杂多样，仅有实数大小比较法则 是不够的，我们还需要学习一些有关不等式的 定理及证明不等式的方法
有最小值2√P 。
如果两正数的和为定值，你能获得怎样的结果呢？
（2）x，y都是正数,如果和x+y是定值S，那么当
x=y时，积xy有最大值
1 4
S2。
证明：和x+y为定值S时，有√xy ≤ S，
∴ xy≤ 1S2。
2
4
上式当x=y时取“=”号，因此x=y时，积xy有最
大值 1 S2。 4
总结：
1）两个正数，积定和小，和定积大。
作文马虎 找我谈话
严格要求 教育有方
（轻轻地）抚摸 （温和地）问 （语重心长地）说
惭愧 后悔 懊丧 从 此不敢怠慢
夜幕降临 促膝长谈
学识渊博 寄教于乐
上下五千年
纵横九万里 娓娓动听
络绎不绝 新奇愉快
熟谙癖好 给予培养
均值定理1
《 均值定理》教案一、 教学目标：了解均值定理和应用二、重点与难点：对均值定理的“一正二定三相等”理解和应用三、教学活动：一）、基础知识常用的基本不等式⑴ a 2≥0， ⑵(a ±b)2≥ 0, ⑶a 2+b 2≥2ab, ⑷均值定理：两个正数的算术平均数2b a +不小于它们的几何平均数ab 即：若a>0,b>0，则2a b ab +≥（当且仅当b a =时等号成立）， ① 如果两个正数的和为定值，则两数的积有_________值。
② 如果两个正数的积为定值，则两数的和有_________值。
⑸2≥+ba ab （a,b ∈R 且同号） 二）、例题讲解：例1.（1）已知x>0,y>0且x+y=9,则xy 有最_____值为____。
（2）已知x>0,y>0且xy=9,则x+y 有最_____值为____。
（3）若的最小值求xx x 12,0+> 。
类题演练求下列各式的最大值或最小值1．下列命题中正确的是（ ）A ． x+1x 的最小值是2 B. 11122+++x x 的最小值是2C ． 44122+++x x 的最小值是2 D. 2-3x-4x 的最小值是2 2．若，x x•312+的最____值为_____,此时=______. 3．当x= 时，12x+3x-5 (x>0)取最 值，其值为 。
4. 若x>0, y>0， 的最小值 。
x y y x 3+例2．求下列式子的最大值或最小值)10)(1(3<<-x x x类题演练 求下列各式的最大值或最小值1(12)(0)2x x x -<<三、课后作业1.若的最小值求x x x 12,0+>。
2.若的最大值求)1(,10x x x -<<，并求出取得最大值时x 的值。
3．若，x x•39+的最____值为_____,此时=______.。
2019年高考数学总复习课件 2.2 均值定理
������-2.
17.当x -4时，求函数y x 9 - 7的最小值，并求此时 x4
x的取值.
【解】Q x -4, x 4 0,
y x 9 7 x 4 9 11
x4
x4
2 (x 4) 9 11 2 3 11 5 x4
������−������
当且仅当 x-1= ������ ,即 x=2 时,y=x+ ������ 取最小值 3.
������−������
������−������
【同步训练】 一、选择题 1.如果x>0,y>0,x+y=4,则xy的最大值是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
2.如果x>0,y>0,xy=16,则x+y的最小值是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8
2.2 均值定理
【复习目标】 1.掌握均值定理. 2.会用均值定理求最值. 3.会解不等式的应用题.
【知识回顾】
1.均值定理
������+������≥
������
������������,其中 a,b∈R +,当且仅当 a=b 时取等号.
2.利用均值定理求最值
(1)最小值.①a>0,b>0;②ab 是定值;③当且仅当 a=b 时.a+b 有最小值 2 ������������. (2)最大值.①a>0,b>0;②a+b 是定值;③当且仅当 a=b 时.a·b 有最大值(������+������)2.
当且仅当x 4 9 , x4
即x -1时,y x 9 7的最小值为 5. x4
均值定理例题
均值定理例题
摘要：
一、均值定理简介
1.均值定理的概念
2.均值定理的重要性
二、均值定理例题解析
1.题目背景与条件
2.解题思路与步骤
3.答案与解析
三、均值定理在实际应用中的价值
1.应用场景介绍
2.对实际问题的解决作用
正文：
一、均值定理简介
均值定理，作为微积分学中的一个重要理论，主要研究了函数序列在一定条件下的平均值与极限之间的关系。
这一定理广泛应用于数学分析、概率论等领域，为我们解决实际问题提供了有力的理论支撑。
二、均值定理例题解析
为了更好地理解均值定理，我们通过一个具体的例题来进行解析。
题目背景与条件：设函数f(x) 在区间[a, b] 上可积，且函数g(x) 在区间[a, b] 上连续，现求证：在一定条件下，有lim(n→∞) ∫[a, b] f(x)g(x) dx
= ∫[a, b] f(x) dx * ∫[a, b] g(x) dx。
解题思路与步骤：
1.利用函数的性质，将原式转化为求解极限问题。
2.根据均值定理，将求解极限问题转化为求解平均值问题。
3.利用数学公式进行计算，得出结果。
答案与解析：经过一系列的计算与推导，我们可以得出在一定条件下，原式成立。
三、均值定理在实际应用中的价值
均值定理在实际应用中具有很高的价值，尤其在解决与极限、积分等相关的问题时，能够发挥重要作用。
均值定理六个公式的推导
均值定理六个公式的推导一、简单求和公式$$\begin{array}{l}{\text { 已知全体样本的抽样均数 }\overline{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}} \\ {\text { 根据简单求和定理有： } E(X_i)=\overline{X}}\end{array}$$二、方差公式$$\begin{aligned}\text{已知样本方差} & \\S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2} \\ \text{根据方差公式有：} E\left\{\left[X_{i}-\overline{X}\right]^{2}\right\} &=S^2\end{aligned}$$三、均值方程公式$$\begin{aligned}\text{已知总和、方差以及样本量} & \\\sum_{i=1}^{n} X_{i}=n \overline{X}=\sum_{i=1}^{n} \overline{X} \quad \text{以及} \quad S^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2} \\\text{根据均值方程公式有：} & E\left[\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right]=n \overline{X} \quad \text{以及} \quadE\left\{\left[\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2}\right]\right\}=n S^{2}\end{aligned}$$四、样本方差公式$$\begin{aligned}\text { 已知总体的均数 } \mu \text { 以及样本的偏差 } \left(X_{i}-\overline{X}\right) \\\text { 根据样本方差公式有： } E\left(\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2}\right)=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left[\left(X_{i}-\mu\right)^{2}-n\left(\overline{X}-\mu\right)^{2}\right]}{n-1}\end{aligned}$$五、均方差均值方程公式$$\begin{aligned}\text{已知正态总体的样本偏差} \left(X_{i}-\overline{X}\right) \quad \text{以及} \quad \text{正态总体的方差} \sigma^{2} & \\\text{根据均方差均值方程公式有：} & E\left(\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2}\right)=\frac{n \sigma^{2}}{n-1}\end{aligned}$$六、总体均方差公式$$\begin{aligned}\text { 已知正态总体均数 } \mu \text { 以及样本偏差 } \left(X_{i}-\overline{X}\right) \\\text { 根据总体均方差公式有： } E\left(\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2}\right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}\end{aligned}$$。
高二数学均值定理
图
b a
c
图①
a b
c
图②
从上面实例可知，若a＞0，b＞0则a2+b2≥2ab （当a=b时取等号），那么a2+b2≥2ab是否对于a、 b∈R都成立呢？
由于不等式复杂多样，仅有实数大小比较法则 是不够的，我们还需要学习一些有关不等式的 定理及证明不等式的方法
式子a2+b2≥2ab表明两个实数的平方和不小于 它们的积的2倍
这就是本节要介绍的一个重要不等式，它是一 个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都 成立，由于取“=”这种情况，在以后有广泛的 应用，因此通常要指出等号“=”成立的充要条 件
； 太阳能路灯
；
最后也悲伤如老汉。所谓才华、才学、才识，只有变为才能并施于生活的时候，才有用。别忘了，才和能在造词的时候是联在一起的。人们爱说一句话：行善。其实行善之小端是施舍，大端是以满腔的能耐作用社会。 书中并无黄金屋，读而有识，笃做笃行，才有金屋，而且别人偷也偷 不走。 ? 《青年文摘》2007、9 惭 愧 惭愧是一个人在事实的镜子里，看见自己面容的丑陋之后的赧然。 ? ? 惭愧者势必在某一段时间内高估了自己的能力，然后为能力不逮而开始恨自己。 ? ?惭愧的前身一般叫做冲动。冲动是那种不计后果与不了解规则的竞技。它在满足了热血沸腾 之后，立刻就宣告失败。 惭愧的人眼界不是太宽，判断事物太过绝对。为什么老年人不容易惭愧？因为他们尽管弱骨支离，但见闻广博。并不是说只有渊博的人才不惭愧，其实比学识更重要的是襟怀。一个人即使不断学习，仍然会有知识盲区，但谦虚的态度可使人免遭惭愧。 惭愧的 人还是有良知的人。一个人惭愧，明他判别善恶的机制还起作用。如果“原谅”作为宽厚的关
均值定理例题
均值定理例题
（原创实用版）
目录
1.均值定理的概念和定义
2.均值定理的性质和特点
3.均值定理的例题解析
4.均值定理的应用领域和实际意义
正文
【均值定理的概念和定义】
均值定理，是概率论中的一个重要定理，主要用于计算离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望。
均值定理给出了随机变量的期望值与其概率密度之间的关系，是概率论中重要的理论工具。
【均值定理的性质和特点】
均值定理的性质主要有以下几点：
1.对于任意的实数 x，随机变量 X 的数学期望 E(X) 满足 E(X)≤x。
2.对于任意的实数 x，随机变量-X 的数学期望 E(-X) 满足 E(-X)
≤-x。
3.随机变量 X 的数学期望 E(X) 与-X 的数学期望 E(-X) 满足
E(X)+E(-X)=0。
【均值定理的例题解析】
例题：设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，求 E(X)。
解：由均值定理，E(X)=∫xf(x)dx（负无穷到正无穷）。
【均值定理的应用领域和实际意义】
均值定理在概率论中有着广泛的应用，它是计算随机变量期望的重要工具，也是研究随机过程，随机分析的基础。
高二数学均值定理
a-b代a a2+b2≥2ab
a2≥0
√a—√b代a a+b≥2 √ab
（3）思想上 渗透数形结合思想
定理表现形式 a2+b2≥(a+b)2／2≥2ab
(a、b∈R)
a2+b2 2
／≥(
a+b #43;b ≥(
2
2
(a、b∈R + )
a+ b )2 ≥ ab ≥ 2
2）运用定理时，可以进行灵活变形，如
判断下列命题的真假
（1）若a，b∈R 则 b + a ≥2√
ab
（2）若ab＞0
则b a
+
a b
≥2
b· a=2
ab
（3）若x＞0 则x+ 1 ≥2√x · 1=2
x
x
（4）若x＞0 则sinx+ 1 ≥2√sinx · 1=2
sinx
sinx
例3： 已知a，b，c，d都是正数 求证：（ab+cd）(ac+bd)≥4abcd。
式子a2+b2≥2ab表明两个实数的平方和不小于 它们的积的2倍
这就是本节要介绍的一个重要不等式，它是一 个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都 成立，由于取“=”这种情况，在以后有广泛的 应用，因此通常要指出等号“=”成立的充要条 件
式子 a2+b2≥2ab中取等号的充要条件是什么呢？
充要条件通常用“当且仅当”来表示，“当” 表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要 的，所以a2+b2≥2ab可以表述为：
有最小值2√P 。
如果两正数的和为定值，你能获得怎样的结果呢？
（2）x，y都是正数,如果和x+y是定值S，那么当
均值定理解集
均值定理解集一、均值定理的定义及意义均值定理是微积分中的一个重要定理，它揭示了函数在某区间上的平均变化率与该区间内某一点导数的关系。
均值定理的意义在于，它帮助我们从一个复杂的函数问题中提炼出关键信息，简化问题求解过程。
二、均值定理的应用场景均值定理广泛应用于求解极限、泰勒展开、求解微分方程等领域。
在实际问题中，我们可以通过均值定理来估算函数在某一点的变化情况，或者根据已知条件求解未知的函数值或导数值。
三、求解均值定理的一般步骤1.确定问题中的函数及自变量范围。
2.找到问题中可用的已知条件，如函数的导数、函数的极限等。
3.根据已知条件和问题背景，选择合适的均值定理公式。
4.代入已知数据，求解得到的方程或不等式。
5.检验解的合理性，并根据实际问题进行解释。
四、典型例题解析例1：求函数f(x)=e^x在区间[0, 1]上的平均变化率。
解：由已知，f"(x)=e^x。
根据均值定理，平均变化率为f"(0.5)=f(1)-f(0)/(1-0.5)=e^1-e^0/0.5=2e-1。
例2：求极限lim(x->0) [sin(2x)-2x]。
解：根据均值定理，sin(2x)可以看作是函数f(x)=2x在区间[0, π/2]上的平均变化率。
于是，极限问题转化为求解f"(0)。
由f"(x)=4cos(x)，得f"(0)=4*cos(0)=4。
所以，极限lim(x->0) [sin(2x)-2x]=4。
五、注意事项与易错点1.应用均值定理时，要注意验证区间端点处的函数值和导数值是否连续。
2.在求解极限时，要注意判断极限是否存在，并根据极限的性质选择合适的求解方法。
3.熟练掌握均值定理的公式，并能根据问题背景灵活选择合适的公式。
通过以上分析，我们可以看出均值定理在解决实际问题中的重要作用。
三个数的均值定理
⑵若 x y z p （定值），
p3
则当 x y z 时， xyz 有最_大____值___2_7___.
注：一正、二定、三等。
第8页，共15页。
理论迁移
例1：已知a、b、c都是正数，求证：(a b c)3 27abc
第9页，共15页。
例2 求函数 y x2 (1 3x)在 [0, 1 ]上的最大值. 3
2 3．当 a>0，b>0 时，1＋1≤
ab≤a＋b≤ 2
ab
a2＋b2 2
调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值
第2页，共15页。
4．设 x，y 为正实数
s2
(1)若 x＋y＝s(和 s 为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 有最 大 值为 4 . (2)若 xy＝p(积 p 为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 有最 小 值 为2 p. 5．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x，y 必须是正数 ； (2)求积 xy 的最大值时，应看和 x＋y 是否为定值；求和 x＋y 的最小值时，应看积 xy 是否为 定值 ． (3)等号成立的条件是否满足．利用基本不等式求最值时，一 定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、 三相等”．
第10页，共15页。
例3.将一块边长为a的正方形铁皮,剪去四个角(四个 全等的正方形),作成一个无盖的铁盒,要使其容积最 大,剪去的小正方形的边长为多少?最大容积是多少?
a a 2xx
第11页，共15页。
变式 (1)当0 x 1时,求函数y x2 (1 x)的最大值. (2)当0 x 1时,求函数y x(1 x2 )的最大值.
即 a1 a2 a3 n
均值定理例题
均值定理例题
（原创实用版）
目录
1.均值定理的概念和定义
2.均值定理的性质和特点
3.均值定理的例题解析
4.均值定理的应用领域和实际意义
正文
【均值定理的概念和定义】
均值定理，又称为算术平均值定理，是概率论和统计学中的一个重要定理。
它指的是，在一组独立随机变量中，若每个随机变量的取值都在一个有限的区间内，那么这组随机变量的平均值也一定在这个区间内。
这个定理为我们研究随机变量的取值范围提供了一个重要的理论依据。
【均值定理的性质和特点】
均值定理的性质主要体现在以下几点：首先，它适用于所有独立随机变量；其次，它要求每个随机变量的取值都在一个有限的区间内；最后，它得出的结论是这组随机变量的平均值也在这个区间内。
这个定理的一个重要特点是，它可以帮助我们在不了解具体随机变量的情况下，通过对其平均值的研究，来把握其取值范围。
【均值定理的例题解析】
例如，假设有一个袋子里面有 3 个红球，2 个绿球，我们从袋子里
随机抽取 2 个球，那么抽取的 2 个球都是红球的概率是多少？根据均值定理，我们可以知道，抽取的 2 个球都是红球的概率一定小于等于 1/3，因为如果我们抽取的 2 个球都是红球，那么剩下的 1 个球就必须是绿球，而这种情况的概率是 2/5，小于等于 1/3。
【均值定理的应用领域和实际意义】
均值定理在实际生活中的应用非常广泛，例如在金融、保险、医学等领域都有其应用。
在金融领域，均值定理可以帮助我们预测股票价格的变动范围；在保险领域，均值定理可以帮助我们计算保险费的缴纳额度；在医学领域，均值定理可以帮助我们预测某种疾病的发病率。
均值定理
§2.2 均值定理.2．会用均值定理求最值和证明不等式. .一．均值定理：ab b a ≥+2，其中,,+∈R b a 当且仅当b a =时取等号； 注：注意运用均值不等式求最值时的条件：（1）0,0>>b a ；（2）a 与b 的积ab 是一个定值（正数）；（3）当且仅当b a =时取等号.记忆时可记为一“正”、二“定”、三“等”.二、重要不等式（1）0)(2≥+b a ；（2）a b ab 222+≥， 其中a b R ，，∈当且仅当b a =时取等号.三． b a b a b a +≤±≤-||||1）如果8,0,0=+>>y x y x ，则xy 的最大值是 ；（2）如果9,0,0=>>xy y x ，则y x +的最小值是 .分析：两题显然都可以用均值定理求解.解：（1）16)28()2(22==+≤y x xy 当且仅当4==y x 时，xy 有最大值4.（2）6922==≥+xy y x当且仅当3==y x 时，y x +取最小值6. 【点评】（1）若+∈R y x ,，且k y x =+（常数），则2)2(k xy ≤； （2）若+∈R y x ,，且k xy =（常数），则k y x 2≥+.【例2】 当40<<x 时，求)28(x x -的最大值.分析：),4(2)28(x x x x -=-由于4)4(=-+x x 为定值，且依题意有04,0>->x x ，故可用均值定理，求最值.解：∵40<<x ,∴04,0>->x x8)24(2)4(2)28(2=-+≤-=-x x x x x x 当且仅当x x -=4, 即2=x 时，)28(x x -取最大值8.【例3】当1>x 时，求函数11-+=x x y 的最小值.分析： 111111+-+-=-+=x x x x y ，由于111)1(=-⨯-x x 为定值，且依题知01>-x ，故可用均值定理求最值.解：∵1>x ，∴01>-x3111)1(2111111=+-⨯-≥+-+-=-+=x x x x x x y 当且仅当111-=-x x ，即2=x 时，11-+=x x y 取最小值3. 【例4】求函数)0(,322>+=x x x y 的最小值，下列解法是否正确？为什么？ 解法一： 3322243212321232=⋅⋅≥++=+=x x x x x x x x y ∴3min 43=y 解法二：x x x x x y 623223222=⋅≥+=，当x x 322=，即2123=x 时， ∴633min 3242123221262==⋅=y 答：以上两种解法均有错误。
高二数学均值定理
ysh15zvb
在你们眼里就是这样的人？”韩哲轩满头黑线但还是坚持很勉强的笑，他把匕首从自己那边推到了桌子的另一边，“这是你 的。”“诶？”张祁潭警惕的看看韩哲轩，又看看桌子上的匕首，小心翼翼的将它拿了起来。“确实……是我的。当时找玉玺 时丢在了郭扬家……”“你想怎样！”韩哲轩归还了匕首，慕容凌娢感觉心里有底，气势就又回来了。“要不是我冒着生命危 险把匕首给找回来，以郭扬的能力，天亮之前就能找出这柄匕首的出处。”韩哲轩看向张祁潭，眼神中竟闪着凄冷的寒光， “你觉得他会饶过谁？”“哎~苍天饶过谁！”张祁潭颤抖着收起匕首，沉寂片刻，说道，“我签。”“这就签？”慕容凌娢 一脸懵逼，不过既然张祁潭要签，她也不好意思再说什么。“看在你后续工作干的不错的份上，我也签吧……”“非常感谢。” 韩哲轩心满意足的收起本子。“哦对了，你刚才说的福利……我还真是不太懂。”慕容凌娢笑容变猥琐了。“别想多。晴穿会 鱼龙混杂，干什么的都有。大多数成员在晴穿会帮助下达到自己目的后，会反馈一些东西给晴穿会以表自己的忠诚，而晴穿会 则把这些东西收集起来，作为奖励让业绩好的成员自己挑选……这样一说倒有点像绩效工资了。”韩哲轩吐槽。“你有什么想
两个正数和的最小值，只要什么是定值呢？
例2（1）已知x，y都是正数，求证：如果积xy是 定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2√p 。 x+y 证明：因为x，y都是正数，所以 ≥√xy ，积 2 x+y xy为定值p时，有 2 ≥√P ， ∴x+y≥2√P . 上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，和x+y
a+b ≥( 2
a+ b )2 ≥ ab ≥ 2
2
1 1 + a b
(a、b∈R + )
均值定理(一)
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重， 相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
均值定理9大题型总结陈剑
均值定理9大题型总结陈剑一、概述均值定理是微积分中的重要概念之一，它是导数与积分之间的桥梁。
均值定理的核心思想是通过求取函数在某个区间上的平均值，来推导函数在该区间内某一点的特殊性质。
本文将对均值定理的9大题型进行总结和探讨，以帮助读者更好地理解和应用均值定理。
二、均值定理的基本概念在探讨均值定理的九大题型之前，我们首先需要了解均值定理的基本概念。
均值定理主要包括三个基本定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这三个定理都是基于函数在某个区间上的平均值来推导函数在该区间内某一点的性质。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是均值定理中最基本也是最常用的一个定理。
它表明，如果函数在某个区间上连续且可导，那么在这个区间内一定存在一个点，使得该点的导数等于函数在整个区间上的平均斜率。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广。
它表明，如果两个函数在某个区间上连续且可导，并且其中一个函数在该区间内不为零，那么在这个区间内一定存在一个点，使得两个函数的导数之比等于两个函数在整个区间上的函数值之比。
3. 罗尔中值定理罗尔中值定理是均值定理中的另一个重要定理。
它表明，如果函数在某个区间上连续且可导，并且在该区间的两个端点上取到相同的函数值，那么在这个区间内一定存在一个点，使得该点的导数等于零。
三、拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理是均值定理中最常用的一个定理，它可以应用于求解函数的极值、判断函数的单调性等问题。
1. 求解函数的极值通过拉格朗日中值定理，我们可以将函数的极值问题转化为导数的问题。
具体步骤如下： 1. 求出函数在给定区间上的导数； 2. 列出导数的表达式，并令导数等于零； 3. 解方程，求出导数为零的解； 4. 将解代入原函数，求出对应的函数值；5. 比较函数值，得出极值。
通过拉格朗日中值定理，我们可以判断函数在给定区间上的单调性。
具体步骤如下：1. 求出函数在给定区间上的导数； 2. 列出导数的表达式，并求出导数的符号变化区间； 3. 根据导数的符号变化，得出函数的单调性。
(5)均值定理文
均值不等式均值定理. 若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2当且仅当b a =时取“=”）均值定理变形：(1)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 重要不等式. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）（3）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”应用一：求最值例1：（1）已知01x <<，求函数y =. （2）已知2=+b a ．，求ba33+最小值（3）y ＝x ＋1x （x<0）解题技巧 技巧一：凑项例 已知）已知45>x ，求函数f x x x ()=-+-42145的最小值练：求函数12,33y x x x =+>-的最小值，并求取得最小值时，x 的值 技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
练：已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值.技巧三： 分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
练求函数231,(0)x x y x x ++=>的最小值 求函数y x x x =+->2811()的最小值 技巧四：换元例10. 求函数y x x =++225的最大值。
技巧六：1的整体代换例：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
变式： 已知xy y 2x =+，0x >，y 0>，求y x +的最小值。
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变式（2）
ab
a
b
2
2
（和定积大）
当且仅当 a=b时，等号成立.
应用举例
例1.已知a>0,b>0，且ab=16，求a+b的最
小值.
解：由a>0,b>0根据均值定理，得
一正
a b 2 ab 2 16 8
二定
当且仅当a=b，即a=4时， 等号成立 所以a+b的最小值为8.
定值； • 三相等：等号成立条件必须存在.
练习巩固
1、已知a>0,b>0，且ab=49，求a+b的最小值。 2、已知a>0,b>0，且a+b=10，求ab的最大值。
拓展延伸
1、求证：对于任意正实数 ，有 a 1 2.
当且仅当 a 1 时成立.
a
2、求
x
x
1
1
（x
1) 的最小值，并求出
a
2
b
叫
做a与b的算术平均数 ，把 ab 叫做a与b
的 几何平均数 .
两个正数的算术平均数大于或等于它们的 几何平均数，即对于任意两个正实数a、b，有
ab
2 ≥ ab
当且仅当 a=b时，等号成立.
这个结论称为 均值定理
由a>0、b>0时，a
2
b
≥
ab 得
变式（1） a b 2 ab （积定和小）
2(x+y)达到最小值2×14=28.
答：至少要用28cm长的铁丝.
小结
1、对于任意两个正实数a、ba, b称为算术平均数， ab
称为几何平均数 等号成立.
，且
a
b 2
，ab当2 且仅当a=b时，
2、变式应用：
3、均值定理必须满足： 一正：函数式中各项必须都是正数; 二定：函数式中含变数的各项的和或积必须是定值； 三相等：等号成立条件必须存在.
探究新知
一个矩形的长为a，宽为b，画两个正 方形，要求第一个正方形的面积与矩形的面 积相同，第二个正方形的周长与矩形的周长 相同.问哪个正方形的面积大？
a
b
S=ab
C=2(a+b)
(1)
(2)
我们要比较两个正方形面积的大小，只 需要比较两个正方形的边长哪个长？
第一个正方形的面积,b>0，且ab=25，求a+b的最小值.
2、已知a>0,b>0，且a+b=8，求ab的最大值.
3、求
x
4
x 1
(x的最 小1)值，并求相应x的值.
相应 x 的值.
思考题
1、用一根长为20cm的铁丝，围成一个矩形小框， 长与宽各为多少时，面积最大？
2、为了围成一个面积为49
cm
2
的矩形小框，至少
要用多长的铁丝？
1、解：设围成的矩形的长与宽分别为x cm、y cm.
由已知条件得，x+y=220 10. 据均值定理得
xy
x
2
y
第二个正方形的周长为2(a+b)，边
ab
长为 2 .
对任意正实数a、b,有
a b ab 1 (a b 2 ab)
2
2
因此
1 ( a b)2 0
2
a b ≥ ab
2
等号成立 ( a b)2 0 a b a b.
讲授新课
对于两个正实数a、b，我们把
2
52
25
等号成立当且仅当 x 取y 最5大时值,25.xy
答：矩形的长与宽都等于5cm时，面积
最大，达到2cm5 2 .
2、解：设围成的矩形的长与宽分别为xcm、ycm.
由已知条件得，xy= 49 . 据均值定理得
x y 2 xy 2 49 14.
等号成立当且仅当x此=时yx=+4y9 达=到7,最小值14，从而
三相等 结论
例2.已知a>0,b>0，且a+b=6，求ab的最 大值.
解：由a>0,b>0根据均值定理，得
一正
ab
2
ab
2
2
6 9,
2
二定
当且仅当a=b，即 a=3时等号成立 所以ab的最大值为9.
三相等
总结
均值定理必须满足的条件：
• 一正：函数式中各项必须都是正数; • 二定：函数式中含变数的各项的和或积必须是
※均 值 定 理
a b ab(a,b 0) 2
授课班级：高一（10）、（11）
授课教师：
严抒
（1）若a>0，则
2
a
__a___
2
（2）若a>0且b>0,则a 2 ab b _(_a___b_)
（3）用作差法证明不等式的步骤：
1、作差 2、变形（与0比较) 3、定号