空间几何体的三视图应用

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随着新课程改革的不断推广和深化，利用三视图培养学生的空间想象能力，从而形成对几何体的整体认识，在立体几何的学习中起到了很大的作用。在教学中，我觉得对于三视图的认识，不少学生只能停留在定性研究的基础上，对于定量的应用三视图来更准确的计算几何体的表面积体积等，还存在问题。于是我在本文中重点谈谈如何利用三视图定量研究几何体。

例1：（改编自《人教版普通高中课程标准实验教科书数学②》P35。3）

已知几何体的三视图如下，画出它们的直观图，并根据所标数据计算该几何体的表面积与体积。

解：（1）这个几何体是由圆柱和圆锥组合而成的组合体。

由正视图可知：圆柱的高为4，底面直径为1；圆锥的高为2，底面直径为3.

于是：该几何体的表面积为

S=圆柱+S圆锥=+

=。

该几何体的体积为

V=V圆柱+V圆锥=（。

（2）这个几何体为棱台。棱台的底面为正方形。下底边长为2，上底边长为4，高为2.

要注意正视图中等腰梯形的腰正是棱台左、右两侧面的高。侧视图中等腰梯形的腰正是棱台前、后两侧面的高。

于是该几何体的表面积S=4+16+4[]=20+12.

它的体积为。

点评：解决此类问题的关键在于了解三视图与几何体之间的关系。能够利用三视图判断出几何体的形状与关键的尺寸，从而对几何体进行量化研究。

学生容易出错的地方是对棱台正视图的判断，他们容易认为正视图就是棱台的前侧面。这是空间想象能力还有所欠缺，未能准确理解三视图的表现。我们在教学中要把棱台与长方体的三视图加以比较，结合教具，通过比较分析，帮助学生形成正确的认识。

跟上面相类似的问题还有《人教版普通高中课程标准实验教科书数学②》第29页B组第1题。在这个问题中也涉及到了棱台的体积与表面积计算，读者不妨重新加以练习。

返观这几年的高考中有关三视图的考察，主要就是利用三视图判断几何结构，然后画出直观图，计算几何体的表面积或体积。这样出题体现了知识的综合性，但这个综合程度还仅局限在一章知识的范围内，没更大程度的综合。题目的难度有所上升，由容易题变为中等题。

(2011年山西高考题（8）)在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为

点评：这是一个由正视图与俯视图推想侧视图的问题。它要求学生在所学的常见几何体中进行检索，从而找符合已知条件的几何模型进一步再找到俯视图。

首先从俯视图上大致可判断这个几何体是一个组合体，一部分为一个半旋转体，另一部分为三棱锥或三棱柱。再由正视图可判断，这个几何体应为锥体。于是可知它是由一个半圆锥与三棱锥组而成的几何体，从而判断其侧视图为D。

但也要注意到这样的推理只是一种合情推理，而非严格的逻辑推理，因为由正视图和俯视图是确定不了侧视图的。只是在中学生的认知范围内，他们能够猜想到的就是半圆锥和三棱锥的组合。而实际上侧视图为（A）的几何体也是存在的，它的前面一半也是一个三棱锥，而后面一半可理解为半圆柱与一个横放的三棱柱的交集体，当然这样的几何体对高中生来说很难想到，也无法描述。这样对此题的回答就造成了一定的思维困难，从而使此题的得分率偏低与此不无关系。

（2010年新课标卷（14））正视图为一个三角形的几何体可以是_____________。

（写出三种）

【答案】棱锥，三棱柱，圆锥

点评：此题的解答相当简单，答案也多种多样。有的同学答三棱锥、四棱锥、五棱锥。有的同学答圆锥、三棱柱、三棱台。显然后者的思维更开阔，前者的思维就比较狭窄。但都

是正确的。我想这样的结果也并不是出题者想要达到的目的。我们在努力能体现学生个性化特征的试题与考试方式，但面对标准考试的方式，我们的努力却总是失败。

（2009年海南宁夏卷（11））一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为

（A）48+12（B）48+24（C）36+12（D）36+24

解：由三视图画出直观图得

该几何体是一个三棱锥。底面ABC为等腰直角三角形，角B为直角。DE⊥平面ABC 垂足为E，且E为AC中点。

另外由俯视图知BC=AB=6，由正视图知DE=4.侧面DAB的高为。于是该棱锥的表面积为

S=2（）++

=48+12。

点评：此题就要求学生有一定的空间想象能力，能够准确地由三视图判断出空间几何体的结构特征，进而画出直观图，进行体积或表面积运算。

（2008年海南宁夏卷（12））某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为（）

A. B. C. 4 D.

解：根据题意得，所以得

因为，所以

点评：此题是一个综合性较强的问题，对一条线段三视图的考察可放置在长方体中模型中，加以判断。另外综合的重要不等式，是一个难度适当的综合性题目。