分式和分式方程讲义
《认识分式》分式与分式方程
工作效率问题
工作时间与效率
在工作过程中，工作效率与工作时间成反比关系。当知道 工作效率和工作时间时，可以应用分式方程来计算工作的 总量。
工作总量与效率
当知道工作的总量和工作效率时，可以应用分式方程来计 算完成工作所需的时间。例如，已知工作的总量和工作效 率，可以求出完成工作所需的时间。
合作问题
当多个工作者合作完成某项工作时，可以应用分式方程来 解决合作问题。例如，已知每个工作者的效率和工作量， 可以求出完成工作所需的总时间。
04
分式的混合运算
分式的乘除法运算
总结词
分式的乘除法运算是分式学习中的基础，掌握分式的乘除法运算规则是解决复 杂分式问题的关键。
详细描述
分式的乘除法运算规则与分数的乘除法运算规则类似，不同的是分式的分母不 能为零。在运算过程中，分子和分母都应同时进行乘除法运算，注意分子和分 母的约分，简化分式。
在化学中的应用
化学反应速率
在化学反应中，反应速率通常用反应物或生成物的浓度变化值来表示。这些浓度的变化值通常用分式 表示，分子是浓度的变化值，分母是时间。
酸碱度计算
在化学中，酸碱度通常用pH值来表示。pH值的计算公式是氢离子浓度的负对数，即pH = -lg[H+]， 其中[H+]是氢离子浓度。
在工程中的应用
分式的性质
分式的值与分子、分母的取值 有关
分式的性质包括分式的基本性 质和分式的约分、通分等性质
分式的基本性质是分式约分、 通分的基础
分式的约分与通分
分式的约分是将分子、分母中的 公因式约去的过程
通分是将分式化为相同的公分母 的过程
约分和通分是分式运算中非常重 要的技巧和方法
02
第五章 分式与分式方程【复习课件】-(北师大版)
与被除式相乘.
上述法则用式子表示为：
b ·d = bd
b÷ d = b ·c = bc
分式的乘方法则 理解要点：
( a )n b
a bn
.
（1）分式乘方时，一定要把分子、分母分别乘方，不
√ 要把
a
n
b
an bn
写成
×
a b
n
an b
.
（2)分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，
找最简公分母： 第一要看系数；第二要看字母(式子）. 分母是多项式的先因式分解，再找公分母.
异分母分式的加减法法则 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，
然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
上述法则可用式子表示为 b d bc ad bc ad . a c ac ac ac
分式的混合运算顺序
混合运算的特点：是整式运算、因式分解、分式运 算的综合运用，综合性强.
知识点 分式方程 分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的特征 （1）是等式； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数.
知识要点
“去分母法”解分式方程的步骤 1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化 成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程 的解，否则须舍去. 4.写出原方程的根.
∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2， ∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.
方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，
例 若关于x的分式方程 求m的值．
无解，
解析：先把分式方程化为整式方程，再分 两种情况讨论求解：整式方程无解与解为分 式方程的增根．
第06讲分式方程(讲义)(原卷版)-2024年中考数学一轮复习讲义
第06讲 分式方程目 录一、考情分析 二、知识建构考点一 解分式方程题型01 判断分式方程 题型02 分式方程的一般解法 题型03 分式方程的特殊解法 类型一 分组通分法 类型二 分离分式法 类型三 列项相消法 类型四 消元法题型04 错看或错解分式方程问题 题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值题型07 根据分式方程有解或无解求参数题型08 已知分式方程有增根求参数 题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二 分式方程的应用题型01 列分式方程题型02 利用分式方程解决实际问题 类型一 行程问题 类型二 工程问题 类型三 和差倍分问题 类型四 销售利润问题考点一解分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.1.分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.题型01 判断分式方程题型02 分式方程的一般解法解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.题型03 分式方程的特殊解法类型一分组通分法方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.类型二分离分式法方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解类型三列项相消法方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“1n(n+1)=1n−1n+1”化积为差，裂项相消，简化难度.类型四消元法方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同时,可考虑用换元法.题型04 错看或错解分式方程问题+1，其中x=先化简，再求值：3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)解：原式=3−xx−4=3−x+x−4=−1题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.题型07 根据分式方程有解或无解求参数已知分式方程的解确定字母参数，首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零.题型08 已知分式方程有增根求参数依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：1)先将分式方程转化为整式方程;2)由题意求出增根;3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二分式方程的应用用分式方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;+1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.2）检验所求的解是否符合实际意义.答：实际问题的答案.与分式方程有关应用题的常见类型：题型01 列分式方程【例1】（2022·云南·中考真题）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该A．1.4−x=8 1.4+x=8 1.4−2x=8 1.4+2x=8题型02 利用分式方程解决实际问题类型一行程问题【例2】（2022·四川自贡·统考中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【变式2-1】（2023青岛市一模）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？类型二工程问题【例3】（2023重庆市模拟预测）为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍，如果两队各自修建快线600m，甲队比乙队少用4天．(1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少米？(2)现计划再修建长度为3000m的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？【变式3-1】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）重庆市潼南区是中国西部绿色菜都，为全市人民提供了新鲜多样的蔬菜．今年，区政府着力打造一个新的蔬菜基地，计划修建灌溉水渠1920米，由甲、乙两，而乙施工队单独修建这个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度是甲施工队每天修建的长度的43项工程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天．(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？(2)若甲施工队每天的修建费用为13万元，乙施工队每天的修建费用为15万元，实际修建时先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，求共需修建费用多少万元？类型三和差倍分问题【例4】（2022·广东深圳·深圳中学校考一模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．(1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个？(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？【变式4-1】（2022·河南·统考中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需倍，用300元在市场上要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【变式4-2】（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【变式4-3】（2022·山东烟台·统考中考真题）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？类型四销售利润问题【例5】（2023梁山县三模）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？【变式5-1】（2023银川市二模）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？。
《分式方程》分式与分式方程PPT
产生增根的原因，是我们在方程的两边同乘了一个可能使分
母为零的整式.
因此解分式方程可能产生增根，所以解分式方程 必须检验.
验根的三种方法：
(1)把解直接代入原方程进行检验；
(2)把解代入每个分式的分母，看分母的值是否等于零，若有
等于零的分母，即为增根.
(3)把解代入分式的最简公分母，看最简公分母的值是否等于
3、解一元一次方程的基本步骤：
2x 1 x + 1
+ =
3 2
4
解：去分母得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
8x + 6 = 3x + 3
8x − 3x = 3 − 6
5x = −3
3
x=−
5
合作探究
你能试着解这个分式方程吗？
90
60
=
30 + 30 −
（1）如何把它转化为整式方程呢？
分式与分式方程
5.4 分式方程
- .
学习目标
1、经历探索分式方程解法的过程.
2、会解可化为一元一次方程的分式方程.
3、会检验根的合理性，明确可化为一元一次方程的分式方
程与一元一次方程的联系与区别.
新课导入
1、什么是分式方程？
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2、分式有意义的条件是什么？
分母不为零
D )
1
2.已知x=1是分式方程
+1
3.如果方程
−3
=
=
1
3
的根，则实数k=__________.
6
3
x=3 .
有增根，那么增根的值为_________
分式和分式方程总结 ppt课件
17
解分式方程的步骤
解分式方程与解一元一次方程类似， 化——包括去分母(在方程两边都乘最简公分母，化为整式方程)； 解——这个整式方程，得出未知数的值； 检验——所得到的值是否是原分式方程的根；写出答案
18
例7：
19
分式方程的增根问题：
求 k 的值．
21
分式方程无解时，求参数的值： 1、分式方程除了增根，没有其它的解时，把增根代 入转化后的整式方程即可求出参数的值； 2、分式方程转化为整式方程，使整式方程无解的参 数的值也是
22
例9：
23
练习：
24
列分式方程解应用题的方法与步骤
1．审：审题，找出相等关系． 2．设：一般求什么设什么——这是直接设，也可间接设． 3．列：根据等量关系列出分式方程． 4．解：解这个分式方程． 5．验：既要检验是否为所列分式方程的根，又要检验是 否符合实际情况． 6．答：完整地写出答案，注意单位． 这六个步骤关键是“列”，难点是“审”．
2 ⑤x2＋2x＋1；
a2b＋ab2 ⑥2；
⑦x
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
后的结果为最简分式
7
分式的乘（除）法法则
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母 相乘的积作为积的分母．
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被 除式相乘．
九年级分式与分式方程讲义
分式与分式方程【知识点精讲】:1. 分式概念：若A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则代数式BA叫做分式． 2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分： 3．分式运算4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程．5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根．【思想方法】1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）2.检验【例题精讲】例1．化简：2222111x x x x x x-+-÷-+例2．先化简，再求值： 22224242x x x x x x --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中2x =+例3．先化简11112-÷-+x xx ）（，然后请你给x 选取一个合适值,再求此时原式的值．教师寄语：例4．解下列方程（1）013522=--+xx x x（2）41622222-=-+-+-x x x x x5．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )A. B.C. D.【中考真题在线】：1. （2011安徽，15，8分）先化简，再求值：12112---x x ，其中x =－2．2. （2011江苏扬州，19（2）,4分）（2）xx x 1)11(2-÷+3. （2011浙江衢州，17（2）,4分）化简：3a b a ba b a b-++--.4. （2011四川重庆，21，10分）先化简，再求值：(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－xx 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0．5. （2011福建泉州，19，9分）先化简，再求值2221x xx x x +⋅-，其中2x =．6. （2011湖南常德，19，6分）先化简，再求值.221211, 2.111x x x x x x x ⎛⎫-+-+÷= ⎪+-+⎝⎭其中7. （2011湖南邵阳，18，8分）已知111x =-，求211x x +--的值。
《认识分式》分式与分式方程
化学反应问题
在化学反应中，分式方程 可以用来描述反应速率和 反应物浓度的关系，从而 预测反应进程。
经济问题
分式方程可以用来描述经 济现象，例如投资回报率 、通货膨胀率等，从而预 测经济发展趋势。
分式方程在数学问题中的应用
几何问题
分式方程在几何问题中有 着广泛的应用，例如求面 积、体积等问题，可以通 过建立分式方程来解决。
在热学问题中，分式方程可以用来 描述温度的变化规律，例如热传导 、热辐射等问题。
电磁学问题
在电磁学问题中，分式方程可以用 来描述电磁场的变化规律，例如电 场强度、磁场强度等问题。
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03
分式的运算
分式的加减法
异分母分式加减法
首先找到分母的最小公倍数，然后对分子进行相应的运算，最后化简得到结果。
同分母分式加减法
直接对分子进行加减运算，然后化简得到结果。
分式的乘除法
分式乘法
将两个分式的分子与分子相乘，分母 与分母相乘，然后化简得到结果。
分式除法
将除法转化为乘法，然后进行乘法运 算，最后化简得到结果。
详细描述
分式的基本性质包括分式的分子和分母可以同时乘以或除以同一个非零整式，分式的值不变；分式的加减法运算 中，同分母的分式可以相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式加减时，先通分，变为同分母的分式，再 进行加减运算。
02
分式方程的解法
方程的解法
消去分母
将分式方程转化为整式方程，通过两 边同时乘以最简公分母，消除分母。
解一元一次方程
使用一元一次方程的解法，如移项、 合并同类项、系数化为1等，求解一 元一次方程得出未知数的值。
转化为一元一次方程
(完整)分式与分式方程题型分类讲义
分式方程及其应用一、基本概念1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程。
2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母,在方程的两边都乘以 ，约去分母,化成整式方程; （2）解这个整式方程；（3)验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3。
用换元法解分式方程的一般步骤:① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.4．分式方程的应用:分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似,不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列 ；（2)检验所求的解是否 。
二、题型分类考点一:分式方程题型（一)分式方程去分母 1、解分式方程22311x x x时,去分母后变形为（ ）。
A ．()()1322-=++x xB ．()1322-=+-x xC ．()()x x -=+-1322D ．()()1322-=+-x x 2、下列方程是分式方程的是（ ）A ．0322=--x xB ．13-=x x C ．x x =1 D ．12=-πx题型（二)解分式方程用常规方法解下列分式方程：25211111 332552323x x x x x x x x x -+=+==+---++（）；（2）；（）；题型（三）分式方程的解 1。
已知方程261=311xax a x -=+-的解与方程的解相同，则a 等于（ ） A ．3 B ．－3 C. 2 D ．－22。
方程13462232622+++++++x x x x x x -5=0的解是( ）A 。
无解 B. 0 ， 3 C 。
—3 D 。
0, ±33。
如果)2)(1(3221+-+=++-x x x x B x A 那么A-B 的值是（ ) A ．34 B 。
35C. 41 D 。
《认识分式》分式与分式方程
《认识分式》分式与分式方程汇报人：日期:•分式的基本概念•分式方程的介绍•分式的图形表示•分式与分式方程的进阶话题01分式的基本概念定义描述分式通常表示为 $\frac{分子}{分母}$ 或 分子 / 分母 的形式。
符号表示例子说明简化性质分式可以通过约分进行简化，即使分子和分母都除以它们的最大公约数，得到更简洁的形式。
等价性质若两个分式的分子和分母分别相乘后相等，则称这两个分式等价。
等价性质是分式运算的基础。
运算性质分式可以进行加法、减法、乘法和除法等基本运算，运算规则与整式类似，但需注意分母不能为0。
加减法运算01乘法运算02除法运算0302分式方程的介绍定义示例示例与其他数学知识的联系03分式的图形表示函数图像概述绘制方法图像特点030201分式的函数图像渐近线定义垂直渐近线求解方法渐近线与垂直渐近线图像变换与分式函数性质的关系0102030404分式与分式方程的进阶话题超越分式方程是分式方程的一种，其中含有三角函数、指数函数或其他超越函数。
求解超越分式方程通常需要结合代数方法与数值方法。
无理分式与超越分式方程超越分式方程无理分式分式的极限当分式的分子或分母趋近于零时，分式的值可能趋近于一个有限数、无穷大或无穷小。
研究分式的极限有助于了解分式在特定条件下的行为。
分式的连续性在实数范围内，分式函数通常是连续的，除非分母为零的点。
研究分式的连续性有助于分析分式函数的性质，如单调性、凹凸性等。
分式的极限与连续性复数解的存在性：对于某些分式方程，在实数范围内无解，但在复数域内可能存在解。
这需要通过扩展解的范围到复数域来探讨。
求解方法：求解复数域内的分式方程，通常需要先将其转化为整式方程，然后运用复数代数的基本定理和技巧进行求解。
通过以上进阶话题的讨论，我们可以更深入地理解分式和分式方程的性质与求解方法，为数学学习和应用打下更坚实的基础。
分式方程在复数域内的解THANK YOU。
分式和分式方程
4．计算 __________.
5．已知 ，用含有 、 的代数式表示 ，则 _________.
6．如果 有增根，那么增根是_________.
7．如果 ，那 _________.
8．(08年宁夏回族自治区)某市对一段全长1500米的道路进行改造．原计划每天修 米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了天。
3．已知分式 的值等于零， 的值（）
A． B． C． D．
4．有理数 、 在数轴上的对应点如图：
代数式 的值（）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
5．如果分式 有意义，那么 的取值范围是 （）A． B． C． D．
6．下列式子正确的是（）A． B． C． D．
7． 表示一个整数，则整数 的可能取值的个数是（）
7.分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。
解分式方程的步骤：
(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；
A．8 B．6 C．5 D．4
8．汽车从甲地开往乙地，每小时行驶 千米， 小时后可以到达，如果每小时多行驶 千米，那么可以提前到达的小时数是 （）A． B． C． D．
二、填空题（每空3分，共30分）
1．若分式 中的 和 都扩大到10 和10 ，则分式的值扩大__________倍.
2．分式 ， ， 的最简公分母是___________.
《分式方程》分式与分式方程PPT课件(第1课时)
解：（2）、（3）是分式方程，（1）、（4）、（5） 是整式方程，（6）不是方程.
注意：判断一个方程是不是分式方程，关键是看分母 中有没有未知数.（4）中π是一确定的数不是未知数.
2.岳阳市某校举行运动会，从商场购买一定数量的 笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个
笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量 与用350元购买笔袋的数量相同．设每个笔记本的 价格为x元，则可列方程__2_0x_0___x3_5_03_.
等量关系： 列车的速度×行驶时间=1400 乘高铁列车行驶时间=乘特快列车的行驶时间﹣9 高铁列车的平均速度=特快列车平均速度× 2.8
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h， 那么 x 满足怎样的方程？
1400 1400 9
x
2.8x
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h， 那么 y 满足怎样的方程？
4 分式方程
第1课时
面对日益严重的土地沙化问题， 某县决定分期分批固沙造林，一期工 程计划在一定期限内固沙造林2400公 顷，实际每月固沙造林的面积比原计 划多30公顷，结果提前4个月完成计 划任务。原计划每月固沙造林多少公 顷？
1、这一问题中有哪些已知量和未知量？
已知量：造林总面积2400公顷；实际每月造林面 积比原计划多30公顷；提前4个月完成原任务 未知量：原计划每月固沙造林多少公顷
1400 2.8 1400
y
y9
为了帮助遭受自然灾害地 区重建家园，某学校号召同学 自愿捐款．已知七年级同学捐 款总额为4800 元，八年级同 学捐款总额为5000元，八年级 捐款人数比七年级多 20人， 而且两个年级人均捐款额恰好 相等．如果设七年级捐款人数 为 x 人，那么 x 满足怎样的 方程？
《分式与分式方程》课件
分式的定义中，分母是除数，可以是整数 、多项式或分式。
分式的值随着分子和分母的取值变化而变 化，当分子和分母同号时，分式的值为正 ；当分子和分母异号时，分式的值为负。
分式的性质
总结词
分式的性质
详细描述
分式具有一些重要的性质，如分式的加减法、乘除法、约分和通分等 。
详细描述
分式的加减法性质指出，当分母相同时，可以直接对分子进行加减运 算；当分母不同时，需要先进行通分，再进行加减运算。
详细描述
分式的乘除法性质指出，分式与整数相乘或相除时，可以直接对分子 和分母分别进行乘除运算。
分式的约分与通分
总结词
分式的约分与通分
详细描述
约分是指将一个分式化简为最简形式的过程，通过约简分子和分母的公因式来 实现。通分是指将两个或多个分式化为具有相同分母的过程，以便进行加减运 算。
02
分式方程的解法
总结词
理解同分母分式的加减法规则
详细描述
同分母的分式可以直接进行加减运算，分母不变， 分子进行相应的加减运算。
总结词
掌握异分母分式的加减法规则
详细描述
异分母的分式在加减时，需要先通分，然后按照同分母 分式的加减法规则进行运算。
分式的乘除法
总结词
理解分数乘法的规则
01
详细描述
02 分数乘法时，分子乘分子作为
THANKS
新的分子，分母乘分母作为新 的分母，然后再化简。
总结词
理解分数除法的规则
03
详细描述
04 分数除法时，可以转化为乘法
运算，即被除数乘以除数的倒 数，然后再化简。
总结词
掌分式的一种方法，
通过分子和分母的最大公约数 来约简分式。
《分式方程》分式与分式方程
利用二次方程解分式方程的实例
实例说明
通过以上两种方法，我们可以将分式方程转化为更易于求 解的一元一次或一元二次方程。下面给出一个利用二次方 程解分式方程的实例
问题
求解分式方程 $\frac{x^2+2x+1}{x^2-1} - \frac{2x}{x1} = 1$
转化
首先去分母，得到 $x^2+2x+1-2x(x+1)=x^2-1$ ，化简 后得到一元二次方程 $x^2-x-2=0$ 。求解该一元二次方 程得到 $x=2$ 或 $x=-1$ 。然后代入原分式方程检验， 发现 $x=-1$ 是原方程的增根，所以原方程的解为 $x=2$ 。
一般形式
分式方程的一般形式是F(x)/G(x)=H(x)，其中F(x)、G(x)和H(x)是关于x的多项式 ，且G(x)不等于0。
特殊情况
有时分式方程的形式也可能出现分母中没有未知数的情况，这种情况下方程就变 成了整式方程。但这种情况并不常见，通常情况下分式方程中分母都会含有未知 数。
03
分式方程的解法与应用
浓度问题
化学实验中，不同浓度的溶液混合后 ，需要计算混合后的溶液浓度。这往 往涉及到分式方程的应用。
解分式方程的注意事项
注意去分母的方法
在去分母的过程中，要确保所选 取的方法不会改变方程的解，同 时要注意不要引入不合理的解（
如使得分母为零的解）。
检验解的合理性
在求得整式方程的解后，必须代 入原方程进行检验。因为去分母 的过程中可能会引入额外的解， 这些解满足整式方程但不一定满
组成部分
分子A和分母B。
分式的基本性质
01
02
03
性质1
分式的分子和分母同时乘 以（或除以）同一个不为 零的整式，分式的值不变 。
《分式方程》分式与分式方程PPT教学课件
-.
学习目标
1. 掌握分式方程的概念，可以判别分式方程； 2. 可以根据实际问题列分式方程.
情境引入
甲、乙两地相距 1400 km，乘高铁列车 从甲地到乙地比乘特快列车少用 9 h，已知 高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍.
（1）这一问题中有哪些等量关系呢？
等量关系： 列车的速度×行驶时间=1400, 高铁列车行驶时间=特快列车的行驶时间﹣9, 高铁列车的平均速度=特快列车平均速度×2.8.
捐款总额 捐款人数
第一次 4800元 第二次 5000元
x x+20
人均捐款额
4800 x
5000 x 20
4800 5000
x
x 20
探究新知 观察：下列方程有什么共同特点？
1400 1400 9 x 2.8x
1400 2.8 1400
y
y9
4800 5000 x x 20
分母中都含有未知数
3
情境引入
甲、乙两地相距 1400 km，乘高铁列车 从甲地到乙地比乘特快列车少用 9 h，已知 高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍.
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h, 那么x满足怎样的方程？
高铁列车平均速度：2.8x
特快列车行驶时间： 1400
x
高铁列车行驶时间：1400
2.8 x
等量关系：
第一块试验田的面积 = 第二块试验田的面积
12000 14000 x x 1500
问题解决
2.某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好 先用人工装运，6h完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进 行，1h完成了后一半任务.如果设单独采用机械装运xh可以完成后一 半任务，那么x满足怎样的分式方程？
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教学情况记录表课程类别□同步□串讲□其他（请注明类别:_____________________）本次课授课目标了解分式的有关概念，能利用分式的基本性质进行灵活的化简、计算活求值，能建立方程解决实际问题教学重点1、分式的基本性质2、分式的化简教学难点分式方程的实际应用教学步骤及内容一、错题回顾二、知识总结1、分式的概念（例1）一般地，我们把形如BA的代数式叫做分式，其中 A，B都是整式，且B含有字母。
A叫做分式的分子,B叫做分式的分母，对于任意一个分式，分母B都不能为0.注意：(1)分式BA中，A,B是两个整式，BA是两个整式相除的商，分数线有括号和除号两个作用，如nmnm-+可以表示)()(nmnm-÷+；(2)分式BA中，B一定含有字母，而A可以含有字母，也可以不含字母；(3)只有当0≠B时，分式BA才有意义。
2、分式有（无）意义及分式值为零的条件（例2、3、4）分式有意义的条件是分母不为零，分式无意义的条件是分母等于零。
分式的值等于零的条件是分式的分母不为零且分子为零。
即对于分式BA，当0=B时，分式无意义；当0≠B时，分式有意义；当00≠=BA且时，分式的值为零。
注意：解决有关分式的值为零的问题，由分子等于零求出字母的取值后，一定要代入分母中进行检验，保证分母不等于零。
3、分式的基本性质（例5）分式的分子和分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示：MBMABAMBMABA÷÷=⨯⨯=,。
其中，M是不等于0的整式。
注意：（1）“M是不等于0的整式”是基本性质的一个约束条件。
（2)分式的基本性质是分式变形的根据。
4、分式的约分和最简分式（例6）（1）约分：把分式中分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
（2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。
注意：（1）当分式的分子与分母都是单项式时，可直接约分；（2）当分式的分子或分母是多项式时，先对多项式进行因式分解，再约去它们的公因式；（3）当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，先把负号提到分式的前面，再约分；（4）约分的结果应是最简分式或整式。
5、分式的乘法（例7）分式的乘法法则：分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子表示：DB C A D C B A ∙∙=∙。
注意：（1)分式与分式相乘时，若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法法则运算后再约分；若分子、分母都是多项式，可先对分子、分母分解因式，经约分后，再进行乘法运算；若分式乘整式，可把整式看成分母为1的“分式”参与计算。
（2）运算的结果必须是最简分式或整式。
6、分式的除法(例8）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，用式子表示：CB D ACD B A D C B A ∙∙=∙=÷ 注意：分式的除法运算，抓住“一变一倒”，即变除法为乘法，把除式的分子、分母的位置颠倒，如果除式是整式，应把它的分母看为“1”。
7、分式的乘方运算（例9）分式的乘方法则：为正整数）n ab a b n nn ()(=，就是说，分式的乘方等于把分子、分母分别乘方。
注意：分式乘方时，一定要把分式加上括号；分式乘方运算时，要先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。
8、同分母的分式加减法（例10）同分母的分式加减法法则：同分母的两个分式相加（减），分母不变，把分子相加（减）。
用式子表示：BC A B C B A ±=±注意：（1）当分式的分子是多项式时，应先添括号，再去括号，合并同类项；（2）分式相加减的结果应化为最简分式或整式。
9、分式的通分（例11、12）把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式，叫做分式的通分。
这个相同的分母叫做这几个分式的公分母。
注意：1、通分的依据是分式的基本性质，几个分式的公分母通常不止一个，但选取的公分母越简单，运算也就越简单。
一般地，我们常选用这几个分式的最简公分母。
2、确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，确定最简公分母的方法：①取各分母系数的最小公倍数；②单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，这样得到的积就是最简公分母.（2）如果各分母都是多项式，就要把它们分解因式，再按照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去求.10、异分母的分式加减法（例13）异分母的分式加减法法则：异分母的两个分式相加（减），先通分，化为同分母的分式，再相加（减）。
用式子表示：BDBC AD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 11、分式方程的概念(例14）分母中含有未知数的方程叫做分式方程.例如：yy y x -+=-=3323,51.使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）.判断一个方程是不是分式方程，应看这个方程的分母是否含有未知数.12、分式方程的解法（例15）解分式方程的一般步骤：（1）在方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）检验.可代入分式方程检验，也可代入最简公分母检验.解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程，再利用整式方程的解法求解.而转化的关键是去掉分式方程中的分母，去分母一般是用分式方程中各分母的最简公分母去乘以分式方程的两边.13、分式方程的增根（例16、17）解分式方程时，我们需把分式方程化为整式方程，这时整式方程的根就有可能不是原分式方程的根（这样的根使原分式方程的分母为零），这样的根我们就称为分式方程的增根.14、列分式方程解决实际问题的一般步骤（例18）列分式方程解简单的实际问题的过程与列一元一次方程解实际问题的过程基本相同.简单地可分为：审、设、列、解、检、答六个方面.具体来讲就是：（1）审：弄清题意；（2）设：设未知数；（3）列：根据题目中等量关系列出分式方程；（4）解：解分式方程；（5）检：检验，包括两个方面：一是检验是否为所列分式方程本身的根，二是检验是否符合实际意义；（6）答：写出答案（包括单位名称）.三、例题讲解1、下列式子是分式的是（ ）A.2x B.)1(1-≠+x x x C.y x +2 D.πx 2、若分式12+x x 有意义，则x 的取值范围是____________. 3、当_______=x 时，分式123-x 无意义。
4、当_______=a 时，分式2312++-a a a 的值为零。
5、把分式yx x +2的x 和y 都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A.扩大4倍 B.扩大2倍 C.不变 D.缩小2倍6、约分：（1）z xy y x 5421812- （2）22)(2)(4a b c b a c -- （3）99622-+-x x x7、计算：（1）b a a b ∙-22 (2)b a cd c ab 222342-∙ (3)239322+-∙-+x x x x x8、计算：（1）432432y x y x -÷ （2）x x x x x x +-÷-+-2221112 （3))(222b ab b a b a -÷+-9、计算：（1）2)2(a b - (2)322222)2(8)2(ym y x mn xy -∙÷-10、计算：（1）a c b a c b -++ （2）2422---x x x （3）yx y x y xy y y x y x -+-++-+2222211、分式xyy x x y 41,3,22的最简公分母是___________. 12、通分：（1）226,31x y xy - （2）621,912--x x13、计算：（1）211+-x x （2）31922+--m m m （3）111-++a a14、下列选项是分式方程的是（ )A.7513x x -+- B.654+-=y y C.)0,0,(≠≠=+b a b a x b a a x 为常数， D.0121=++y15、解方程（1）213132=+-+-x x x （2）21482-=+-x x x16、解方程：32121---=-x x x17、若方程8717=----xx m x 有增根，求m 的值.18甲乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲乙两人每天共加工35个玩具，求甲乙两人每天各加工多少个玩具？四、中考链接1、当=x ________时，分式23-x 无意义. 2、若分式112+-x x 的值为0，则实数x 的值为________. 3、计算：(1) b a a b ∙23 (2)ba b a b ab a b a +-÷++-22222224、计算：（1）1112+-+a a a （2）244422---++x x x x x5、先化简，再求值：121)111(22+-+÷-+-+x x x x x x x ，其中2=x6、解方程：1326-+=-x x x7、甲队修路120m 与乙队修路100m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10m ，求甲队每天修路多少米？五、巩固提高1、约分：（1）44422++-x x x （2）x x x +-2212、当2,1=-=y x 时，求分式xyy x x --222的值.3、计算：（1）34244622--∙+--x x x x x （2）xyx y x y xy x y x 93396922222++÷++-4、计算：（1)a b a b a b a -+-+2 (2)342+-x x5、化简求值：4)223(2-÷--+x x x x x x ，其中3-=x .6、解方程：121=--xx x7、轮船先顺水航行46千米再逆水航行34千米，所用的时间，恰好与它在静水中航行80 千米所用的时间相等，水的流速是3千米/时.求轮船在静水中的速度.上次作业完成情况□优秀□良好□一般□未做授课老师评价：本次课布置作业学生听课情况及课后建议。