质数

质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。

性质

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质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，p n，设N=p1×p2×……×p n，那么，

是素数或者不是素数。

如果

为素数，则

要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。

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如果为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公

约数是1，所以不可能被p1，p2，……，p n整除，所以该合数分解得到的素因数肯定

不在假设的素数集合中。因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。

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其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，哈里·弗斯滕伯格则用拓扑学加以证明。

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分布规律

以36N(N+1)为单位，随着N的增大，素数的个数以波浪形式渐渐增多。

孪生质数也有相同的分布规律。

以下15个区间内质数和孪生质数的统计数。

S1区间1——72，有素数18个，孪生素数7对。（2和3不计算在内，最后的数是孪中的也算在前面区间。）

S2区间73——216，有素数27个，孪生素数7对。

S3区间217——432，有素数36个，孪生素数8对。

S4区间433——720，有素数45个，孪生素数7对。

S5区间721——1080，有素数52个，孪生素数8对。

S6区间1081——1512，素数60个，孪生素数9对。

S7区间1513——2016，素数65个，孪生素数11对。

S8区间2017——2592，素数72个，孪生素数12对。

S9区间2593——3240，素数80个，孪生素数10对。

S10区间3241——3960，素数91个，孪生素数18对。

S11区间3961——4752素数92个，孪生素数17对。

S12区间4752——5616素数98个，孪生素数13对。

S13区间5617——6552素数108个，孪生素数14对。

S14区间6553——7560素数113个，孪生素数19对。

S15区间7561——8640素数116个，孪生素数14对。

素数分布规律的发现，许多素数问题可以解决。

数目计算

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尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100，000以下有多少个素数？”，“一个随机的100位数多大可能是素数？”。素数定理可以回答此问题。

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在一个大于1的数a和它的2倍之间（即区间(a, 2a]中）必存在至少一个素数。

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存在任意长度的素数等差数列。[1]

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一个偶数可以写成两个合数之和，其中每一个合数都最多只有9个质因数。（挪威数

学家布朗，1920年）

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一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中合数的因子个数有上界。（瑞尼，

1948年）

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一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来，有

人简称这结果为(1 + 5)(中国潘承洞，1968年)

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一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。

简称为(1 + 2)[2]

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性质

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质数具有许多独特的性质：

（1）质数p的约数只有两个：1和p。

（2）初等数学基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。

（3）质数的个数是无限的。

（4）质数的个数公式

是不减函数。

（5）若n为正整数，在

到

之间至少有一个质数。

（6）若n为大于或等于2的正整数，在n到

之间至少有一个质数。

（7）若质数p为不超过n(

)的最大质数，则

。

（8）所有大于10的质数中，个位数只有1,3,7,9。[2]公式

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素数密度公式

根据

100

构造函数

a为常数且

1-1

根据1-1 性质以多项式

为函数

中的指数

得

1-2

当n 为素数或1 时，

等于1，当n 为合数时，

等于0

得素数密度公式

式中1 定义为素数

通项公式

素数及伪素数通项公式

把它拓展到实数那么它的切线为:

由切线方程知，素数永远在斜率3的折线上摆动，最大斜率3+

，最小斜率3-

。

素数的变量n的通项公式

有以上公式能够确定伪素数及素数，那么通过对其变量n的识别，我们可以写出任意素数或伪素数

先确定伪素数的变量n,用n(x,y)来表示它，变量是个三维变量，公式如下：

n为偶数时：x,y 均自然数

n为奇数时：

满足以上条件时是P(n)为素数。excel vba 素数输出程序详见素数公式词条。

应用

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质数被利用在密码学上，所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中（实为寻找素数的过程），将会因为找质数的过程（分解质因数）过久，使即使取得信息也会无意义。

在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。

在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上，杀虫剂的质数次数的使用也得到了证明。实验表明，质数次数地使用杀虫剂是最合理的：都是使用在害虫繁殖的高潮期，而且害虫很难产生抗药性。

以质数形式无规律变化的导弹和鱼雷可以使敌人不易拦截。

多数生物的生命周期也是质数（单位为年），这样可以最大程度地减少碰见天敌的机会。编程

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基本判断思路

在一般领域，对正整数n，如果用2到