运筹学 第四章 运输问题

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运输问题的数学模型
特征： 1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解；
2、运输问题的基本可行解中应包括 m+n－1 个基变量。
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运输问题的数学模型
运输问题约束条件的系数矩阵
x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm 2 xmn
表格中有调运量的地方为基变量，空格处为非基变量。 基变量的检验数σij＝0，非基变量的检验数σij≥0。
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表上作业法
闭回路：从空格出发顺时针(或逆时针)画水平(或垂直 )直线，遇到填有运量的方格可转90°，然后继续前进，直 到到达出发的空格所形成的闭合回路。 调运方案的任意空格存在唯一闭回路。 注：每一空格有且仅有一条闭回路；
A3
14
销量 8 2 14 12 1
8
14 3
22
48
1
列差额
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所以，初始基可行解为：……目标函数值Z＝244
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表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11 产量
行差额
A1 2 10 3 9
16
0
A2
8
8 5 11 6
10
1
A3
2）再从差值最大的行或列中找出最小运价确定供需关系和 供需数量。当产地或销地中有一方数量供应完毕或得到满足 时，划去运价表中对应的行或列。 重复1)和2)，直到找出初始解为至。
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表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11 产量
8
14 3
22
48
列差额
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所以，初始基可行解为：……目标函数值Z＝244
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表上作业法
练习
销地 产地 B1 6 B2 7 B3 5 B4 3 产量
A1
1
8 4 2
13
7
14
A2
2
5
13
9
12
10 6
27
A3 销量
19
22 13 12 13
19
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表上作业法
2、 最优解的判别（检验数的求法） 求检验数的方法有两种： 闭回路法 对偶变量法（位势法） （1）闭合回路法： σij≥0 （因为目标函数要求最小化）
Chapter4 运输问题
本章主要内容：
运输规划问题的数学模型
表上作业法 运输问题的应用
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运输问题的数学模型
例3.1 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1, B2, B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件 物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最 小？
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表上Hale Waihona Puke Baidu业法
销地 产地 A1 A2 A3 销量 8 B1 4 B2 12 B3 4 10 10 2 8 14 14 12 5 11 8 14 6 3 6 9 B4 11 产量
1
2 8
2
16
10
22 48
12 12 11 6 5 2
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表上作业法
销地 产地 A1 A2 A3 销量 8 B1 4 B2 12 B3 4 10 10 3 2 5 14 14 12 11 8 14 6 6 9 B4 11 产量
2 1
16
10
10
22 48
31 8 2 3 4 11 6 10
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表上作业法
销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 4 B2 12 B3 4 10 10 3 2 5 14 8 14 11 6 8 12 14 6 9 B4 11 产量
1
2 8 8
销量 8 14 12 1
8
14 3
22
48
列差额
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所以，初始基可行解为：……目标函数值Z＝244
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表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11 产量
行差额
A1 2 10
12
3
4
9
16
0
A2
8
8 5 11
2
6
10
1
A3
14
销量 8 14 12
4
运输问题的数学模型
已知资料如下：
销 产 地 地
cij为Ai到Bj的单位运价
B1 Bn
产 量
A1 Am
销 量
c11 c1n 运价 cm1 cmn
a1 am
m n i 1 i ji j
b1

bn a b
产销平衡
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运输问题的数学模型
当产销平衡时，其模型如下：
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表上作业法
以最小元素法的初始解为例。假设产地A1供应1个单位的 物品给销地B1。则解的变化和目标函数的变化如何。
销地 B1 4 B2 12 10 2 8 8 14 8 14 12 5 10 2 11 8 14 6 3 B3 4 6 9 B4 11 产量
产地
A1 A2 A3 销量
2 1
16
10
10
表上作业法
练习
销地 产地 A1 B1 6 B2 7 B3 5 B4 3 产量
14
8 4 2 7
14
A2
8
5
13
9
6
10 6
27
A3 销量 22
19
6
13 12
13
13
17
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表上作业法
最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，有时造成在其他处 要多花几倍的运费。伏格尔法考虑到，一产地的产品假如不能按最 小运费就近供应，就考虑次小运费，这就有一个差额。差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加越多。因而对差额最大处， 就应当采用最小运费调运。例如下面两种运输方案。
( ai b j )
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运输问题的数学模型
当产小于销时，其模型如下：
m inZ c ij x ij x ij a i x ij b j ( a i b j ) x 0 ij 并假设：a ij 0, b j 0, c ij 0
1
2 8 8
2 1
16
10
22 48
22 10 3 4 11 6 5 1
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表上作业法
销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 4 B2 12 B3 4 10 10 3 2 5 14 8 14 12 11 8 14 6 6 9 B4 11 产量
1
2 8 8
min z c ij x ij
i 1, , m xij ai j 1 m s.t xij b j j 1, , n i 1 xij 0, i 1, , m; j 1, , n
n
i 1 j 1
m
n
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1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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m
n
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表上作业法
表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯 形法。
步骤 第一步 描述 求初始基行可行解（初始调运方案） 求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的 检验数σi j全都非负(求min)时得到最优解，若 存在检验数σi j <0，说明还没有达到最优，转 第三步。 调整运量，即换基，选一个变量出基，对原运 量进行调整得到新的基可行解，转入第二步
11
方法 最小元素法、 西北角法、 伏格尔法 闭回路法和位 势法
第二步
第三步
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表上作业法
例3.2 某运输资料如下表所示：
单位 运价 产地 销地
B1 B2 B3 B4
3 1 7 11 9 4 3 2 10 10 8 5
产量 7 4 9
A1 A2 A3
销量
3
6
5
6
问：应如何调运可使总运输费用最小？ 1、求初始方案：最小元素法、西北角法、伏格尔法
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表上作业法
方法1：最小元素法 基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调 运），然后次小，直到最后供完为止。
B1 B2 B3 B4 产量
A1
A2
3 1 7
11 9 4
4 1
3 2 10
3
10
8 5
7
4
3
A3 销量
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9
6
3 6 5
3
6
总的运输费＝(3×1)+(6×4) +(4×3) +(1×2)+(3×10)+(3×5)=86 元 13
3
运输问题的数学模型
运输问题的一般形式：产销平衡
A1、 A2、…、 Am 表示某物资的m个产地； B1、B2、…、Bn 表示 某物质的n个销地；ai 表示产地Ai的产量； bj 表示销地Bj 的销量； cij 表示把物资从产地Ai运往销地Bj的单位运价。设 xij 为从产地Ai 运往销地Bj的运输量，得到下列一般运输量问题的模型：
B1 A1 6 B2 4 B3 6 产量 200
A2
销量
6
150
5
150
5
200
300
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运输问题的数学模型
解：产销平衡问题：总产量 = 总销量＝500 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得下列运输量表：
B1 A1 A2 销量 x11 x21 150 B2 x12 x22 150 B3 x13 x23 200 产量 200 300
行差额
A1 2 10 3 9
16
0
A2
10
1
8
5
11
6
A3
22
1
14
销量 8 2 14 5 12 1 14 3
20
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列差额
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表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11 产量
行差额
A1 2 10 3 9
16
0
A2
10
1
8
5
11
6
最小元素法：
8 2
10 5
另一种方法：
10 8 2
15
5 1
15
5 1
10 5
10 20
20
15
15
15
15
总运费是z=10×8 +5× 2+15×1=105 2017/7/13
总运费z=10×5 +15×2+5×1=85
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表上作业法
方法3：Vogel法 1）从运价表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小运 费的差额，并填入该表的最右列和最下行。
2017/7/13
16
10
22 48
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表上作业法
销地 产地 A1 A2 A3 销量 8 B1 4 B2 12 10 2 8 8 14 14 12 5 10 2 11 8 14 6 3 B3 4 6 9 B4 11 产量
1
16
10
22 48
要保证产销平衡，则
x11 x11 1 x13 x13 1 x23 x23 x x21 1 211 称为闭回路 2017/7/13 z z0 4 4 3 2 1,11 1
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表上作业法
例3.3 某运输资料如下表所示：
在满足约束条件下尽可能的给最左上角的变量最大值.
销地 产地 A1 B1 B2 4 B3 12 4 B4 11 产量
8
8 6
16
A2
2
10
3
9
4
5 11 6
10
A3 销量 8
8
8
14 12
14
14
22 48
16
所以，初始基可行解为： (8,8,6,4,8,14)目标函数值Z＝372 2017/7/13
表上作业法
练习
销地
产地 B1 B2 B3 B4 产量
A1
6
7
5
3
1
8 4 2
13
7
14
A2
2
5
13
9
12
10 6
27
A3 销量
19
22 13 12 13
19
2017/7/13
14
表上作业法
方法2：西北角法 此法是纯粹的人为的规定，没有理论依据和实际背景，但 它易操作，特别适合在计算机上编程计算，因而受欢迎。
minZ cij xij
i 1 j 1
m
n
xij ai xij b j x 0 ij
( ai b j )
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6
运输问题的数学模型
当产大于销时，其模型如下：
m inZ cij xij
i 1 j 1
m
n
xij ai xij b j x 0 ij
14
销量 8 2 14 12 1
8
14 3
22
48
1
列差额
2017/7/13
所以，初始基可行解为：……目标函数值Z＝244
22
表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11 产量
行差额
A1 2 10
12
3 9
16
0
A2
8
8 5 11 6
10
1
A3
14
2017/7/13
Min C = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij ≥ 0 ( i = 1、2；j = 1、2、3）