几种常见的平面变换 (1)

章末分层突破
本章在高考中主要考查对六种特殊变换的理解，以及在六种变换前后的点 的坐标及曲线方程的求法，掌握六种特殊变换的特点.
一、求在某种变换作用下得到的图形(表达式) 求在某种变换作用下所得到的图形(表达式)是考查变换知识的热点题型，通 常用代入法(相关点法)求解.
下列所给的矩阵将给定的图形变成了什么图形？画图并指出该变换 是什么变换？
【解】 设变换对应的矩阵为， 由已知，得＝， ＝， ＝， 即 即 ∴变换对应的矩阵为. 三、函数方程思想 本章求矩阵变换下曲线的方程广泛应用了函数方程思想.
试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么 变换.
(1)，图形的方程为：x2＋y2＝4； (2)，图形的方程为：y＝－2x＋6. 【解】 (1)所给方程表示的是以原点为圆心，2为半径的圆.设A(x，y)为曲 线上的任意一点，经过变换后的点为A1(x1，y1)，则＝＝， ∴2x＝x1，y＝y1，即x＝，y＝y1 将其代入x2＋y2＝4可得到方程＋y＝4，此方程表示椭圆. 所给方程表示的是圆，该变换是伸压变换. (2)所给方程表示的是一条直线.设A(x，y)为直线上的任意一点，经过变换后 的点为A1(x1，y1). ∵＝＝， ∴x1＝0，y1＝2x＋y. 又由y＝－2x＋6得2x＋y＝6， ∴A1(0，6)为定点. 通过变换将一条直线变为一点，该变换是投影变换.
则＝＝，即 ∴代入y＝2x＋2，
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得－y ＝2x ＋2，即直线y＝2x＋2经过变换得到的图形为直线y＝－2x－2， 如图所示，此变换为关于x轴的反射变换.
二、求变换矩阵 根据变换的结果求变换矩阵的一般方法：找到前后点的坐标间的关系，由 点的坐标间的关系即可求出变换矩阵.
求把△ABC变换成△A B C 的变换对应的矩阵，其中A(－ 2，1)，B(0，1)，C(0，－1)；A (－2，－3)，B (0，1)，C (0，－1).
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如图2-2-6所示，对反比例函数图象C：y＝经过旋转变换将其方程改 写为标准形式.
图2-2-6 【解】 设P(x，y)为曲线C上任意一点，它在变换T作用下的象P (x ，y )， 其中变换矩阵为＝， 则解得 故xy＝＝4，y 2－x 2＝8， 因此旋转后的方程为－＝1.
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(1)，点Aຫໍສະໝຸດ Baidu2，1)； (2)，直线y＝2x＋2. 【解】 (1)矩阵对应的坐标变换公式为把A(2，1)代入即 得A的对应点为A (1，－2)，该变换把列向量＝按顺时针方向 旋转90°.故该变换为旋转变换，如图所示.
(2)设直线y＝2x＋2上任意一点P(x，y)按矩阵所表示的坐标变换对应的点 为P (x ，y )，