高考数学排列组合常见题型
2023年高考数学复习----排列组合错位排列典型例题讲解
2023年高考数学复习----排列组合错位排列典型例题讲解【典型例题】例25．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（）A．10种B．20种C．30种D．60种【答案】B【解析】先选择两个编号与座位号一致的人，方法数有2510C=，另外三个人编号与座位号不一致，方法数有2，所以不同的坐法有10220⨯=种．故选：B例26．将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A．90B．135C．270D．360【答案】B【解析】根据题意，分以下两步进行：（1）在6个小球中任选2个放入相同编号的盒子里，有2615C=种选法，假设选出的2个小球的编号为5、6；（2）剩下的4个小球要放入与其编号不一致的盒子里，对于编号为1的小球，有3个盒子可以放入，假设放入的是2号盒子．则对于编号为2的小球，有3个盒子可以放入，对于编号为3、4的小球，只有1种放法．综上所述，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为1533135⨯⨯=种．故选：B．例27．若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（）A．20 B．90 C．15 D．45【答案】D【解析】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有15C种选法，②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一，所以不同的拿卡片的方法有11153345C C C⋅⋅=种．故选：D．。
高中排列组合基础题 (含答案)
排列、组合问题基本题型及解法同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽象，解法灵活，不容易掌握.然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法.一、相邻问题“捆绑法”将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列. 例1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？ 分析：先把甲、乙当作一个人，相当于三个人全排列，有33A ＝6种，然后再将甲、乙二人全排列有22A ＝2种，所以共有6×2＝12种排法. 二、不相邻问题“插空法”该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意两端）.例2 7个同学并排站成一排，其中只有A 、B 是女同学，如果要求A 、B 不相邻，且不站在两端，不同的排法有多少种？.分析：先将其余5个同学先全排列，排列故是55A ＝120.再把A 、B 插入五个人组成的四个空位（不包括两端）中，（如图0×0×0×0×0“×”表示空位，“0”表示5个同学）有24A ＝2种方法.则共有5254A A ＝440种排法.三、定位问题“优先法”指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可优先排这个元素，后排其他元素.例3 6个好友其中只有一个女的，为了照像留念，若女的不站在两端，则不同的排法有 种.分析：优先排女的（元素优先）.在中间四个位置上选一个，有14A 种排法.然后将其余5个排在余下的5个位置上，有55A 种方法.则共1545A A ＝480种排法.还可以优先排两端（位置优先）. 四、同元问题“隔板法”例4 10本完全相同的书，分给4个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？ 分析：在排列成一列的10本书之间，有九个空位插入三块“隔板”.如图： ×× × ××× ××××一种插法对应于一种分法，则共有39C ＝84种分法. 五、先分组后排列对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和.例5 由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）（A ）210个 （B ）300个 （C ）464个 （D ）600个分析：由题意知，个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，每一种类型分别有55A 个、113433A A A 个、113333A A A 个、113233A A A 个、1333A A 个，合计300个，所以选B例6 用0，1，2，3，…，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个?【解法1】考虑0的特殊要求，如果对0不加限制，应有325555C C A 种，其中0居首位的有314544C C A 种，故符合条件的五位数共有325314555544C C A C C A ＝11040个.【解法2】按元素分类：奇数字有1，3，5，7，9；偶数字有0，2，4，6，8. 把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：①不含0的；②含0的.①不含0的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有325545C C A 个；②含0的，这时0只能排在除首位以外的四个数位上，有14A 种排法，再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有31415444C C A A 种排法.综合①和②，由分类计数原理，符合条件的五位数共有325545C C A ＋31415444C C A A ＝11040个. 例8 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字，比20000大，且百位数字不是3的自然数？【解】设A ＝{满足题设条件，且百位数字是3的自然数}，B ＝{满足题设条件，且比20000大的自然数}，则原题即求()card U B A ，画韦恩图如图，阴影部分 即UBA ，从图中看出()()card card UBA B AB =-.又A BB ，由性质2，有()()()card card card .B A B B A B -=-()card B 即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字，且比20000大的自然数的个数，易知()1444card A A B =.()card A B 即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字、比20000大，且百位数字是3的自然数的个数，易知()1333card A A AB =，所以()14134433card A A A A UB A =-＝78.即可组成78个符合已知条件的自然数.典型例题例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有39A 个；当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ⋅⋅（个）．∴ 没有重复数字的四位偶数有2296179250428181439=+=⋅⋅+A A A A 个．例2 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题02 排列数组合数的计算含解析
2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题2排列数组合数类型一、排列数组合数的简单计算【例1】对于满足〃213的正整数〃，)B. A：-【例2】计算A； =.【例3】计算A：0, A：；[例4】计算C”, C；=.【例5】计算C：0, C；：【例6】计算A；, A；。
, C：, C> C；9+C：9.【例7】已知A」I=140A；,求〃的值.【例8】解不等式式<64；2【例9】证明：A；-9A； + 8A； =A：.【例10】解方程A；、= 100A：.【例11】解不等式A；<6A「.【例12】解方程：11C：=24C1【例13]解不等式：C;>3邕.■【例14】设用表示不超过x的最大整数(如0=2, ( =1),对于给定的，定义C：=xe[l,+8),则当xe I，3、时，函数C；的值域是( ), Z■ 1 「、A. —, 28B. —, 5613 」[3 )/ X Z -1 /C. 4, yju [28, 56)D. 4, y U y, 28【例15】组合数C： (〃 > r 2 1, 〃、rw Z)恒等于()B. (/7 + l)(r+l)C- C 〃心；【例16]已知C>：C鬻：C%=3:5:5,求勿、〃的值.类型二、排列数组合数公式的应用【例17】已知求的值.【例18］若C^=C祟,SeN),则曾=【例19］若C；T :C： :C：x =3：4：5,贝ij〃一m=【例20】证明：〃C：=々+ 1尤7+AC： 1 1【例21】证明：y—c y=—yc M,.占j+1 “ 〃 +w+,【例22】求证:A'-1 =A a',1 +to -l)A fl：2 .【例23】证明：£圮：=〃・2"7. *-0【例24】证明：C1 +2C2 +X3 +L +/J C P=-C0+C1 +L +C “). n n n n 2 n n n【例25】求证：C；；+C；；,+C；；+2+L +C；' =C：：；X；【例26】计算：器+%，C：+C；+C；+L +C：3【例27】证明：C°C* +Ci(/T +C2C〃-2+L +C*C° =C* .(其中AWm in , n}) to n m n a n a n〃♦k '7【例28】解方程C；»C；：；+C* + ；A>【例29】确定函数A：的单调区间.【例30】规定A： =xG-l)L G-卬+1),其中xeR , m为正整数，且A：=l,这是排列数A：(〃，勿是正整数，且加W〃)的一种推广.⑴求A二的值；⑵排列数的两个性质：①A：=〃A：二，②A：+R A：T=A：M(其中必，〃是正整数).是否都能推广到A：(xcR , m是正整数)的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由.专题2排列数组合数类型一、排列数组合数的简单计算【例1】对于满足〃213的正整数“，(〃-5)仅-6)...仅一12)=()A. A，B. A：_5C. A：D. A；，【解析】C.【例2】计算耳=.【解析】210【例3】计算A；。
高考试题汇编-排列组合(附答案)
全国高考数学试题分类汇编——排列组合1．[高考全国卷Ⅰ(河南,河北,广西等)理第12题]设集合{}I=。
选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大1,2,3,4,5的数，则不同的选择方法共有A．50种 B．49种 C．48种 D．47种2．[高考全国卷Ⅰ(河南,河北,广西等)理第15题，文第16题]安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种。
（用数字作答）3．[高考全国卷Ⅱ(吉林,黑龙江,内蒙,贵州,云南等)文第12题]5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种4．[高考北京卷文第4题]在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数共有（A）36个（B）24个（C）18个（D）6个5．[高考北京卷理第3题]在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（A）36个（B）24个（C）18个（D）6个6．[高考天津卷理第5题]将4个颜色互不相同球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A．10种B．20种C．36种D．52种7．[高考天津卷文第16题]用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有个（用数字作答）．8．[高考重庆卷理第8题]将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（A）３０种（B）９０种（C）１８０种（D）２７０种9．[高考重庆卷文第9题]高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）504010．（高考辽宁卷理第15题，文第16题）5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有________种．（以数作答）11．[高考山东卷理第9题，文第11题]已知集集合A=｛5｝，B={1，2}，C＝｛1，3，4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为(A)33 (B)34 (C)35 (D)3612．[高考湖南卷理第6题]某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 ( )A.16种B.36种C.42种D.60种13．[高考湖南卷文第6题]在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是A．6 B. 12 C. 18 D. 2414．[高考湖北卷理第14题]某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
2024年高考数学专项排列组合专题18 环排问题(解析版)
2024年高考数学专项排列组合专题18 环排问题（解析版）专题18环排问题例1．7颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈．例2．6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？例3．有5个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用，如果在每一个匣子内各放入一把钥匙，然后把匣子全部锁上，要求砸开一个匣子后，能继续用钥匙打开其余4个匣子，那么钥匙的放法有种．例4.8人围桌而坐,共有多少种坐法?例5．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（）A．60种B．48种C．30种D．24种例6．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有____种．（用数字作答）例7．8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人.(1)若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？(2)若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？专题18环排问题例1．7颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈．【解析】因为由于环状排列没有首尾之分，将n个元素围成的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有nnA种排法．由于n个元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有nnAn种排法，而珠子圈没有反正，故7颗颜色不同的珠子，可穿成7736027A=⨯种不同的珠子圈．故答案为：360．例2．6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？【解析】因为由于环状排列没有首尾之分，将n个元素围成的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有nnA种种排法．由于n个元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有有nnAn种种排法，而钻石圈没有反正，故6颗颜色不同的钻石，可穿成666062A=⨯种不同的钻石圈．例3．有5个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用，如果在每一个匣子内各放入一把钥匙，然后把匣子全部锁上，要求砸开一个匣子后，能继续用钥匙打开其余4个匣子，那么钥匙的放法有种．【解析】在砸开的匣子中必放有另一个匣子1i的钥匙，在匣子1i中又放有匣子2i的钥匙，在匣子2i中放有匣子3i的钥匙，在匣子3i中放有匣子4i的钥匙，在匣子4i中放有被砸开的匣子的钥匙．记这个砸开的匣子为is．这就相当于1，2，3，4，5形成一个环状排列，反过来，对由1，2，3，4，5排成的每一种环状排列，也就可以对应成一种相继打开各个匣子的一种放钥匙的方法．先让5个匣子沿着圆环对号入座，再在每个匣子中放入其下方的匣子的钥匙（如图），这就得到种相继打开各个匣子的放钥匙的方法．所以，可使所有匣子相继打开的放钥匙的方法数恰与1，2，3，4，5的环状排列数相等，由于每个环状排列（如图）可以剪开拉直为5个排列：1i ，2i ，3i ，4i ，5i ；2i ，3i ，4i ，5i ，1i ；3i ，4i ，5i ，1i ，2i ；4i ，5i ，1i ，2i ，3i ；5i ，1i ，2i ，3i ，4i ；反之，5个这样的排列对应着一个环状排列，因而5个元素的环状排列数为：4!24=（种)一般地，n 个元素的环状排列数为(1)!n -种故答案为：24例4.8人围桌而坐,共有多少种坐法?【解析】围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！A B C D E AEH G F 例5．A ，B ，C ，D ，E ，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B ，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（）A ．60种B ．48种C ．30种D ．24种【解析】首先，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，考虑B 、C 两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换，根据排列数的计算公式，得到，224A ，接下来，考虑其余三人的情况，其余位置可以互换，可得33A 种，最后根据分步计数原理，得到23234A A 48⨯⨯=种，故选B.例6．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有____种．（用数字作答）【解析】先按排甲，其选座方法有14C种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有22A种，所以共有坐法种数为1242428C A⋅=⨯=种．故答案为8．例7．8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人.(1)若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？(2)若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？【解析】(1)正、副组长相邻而坐，可将此2人当作1人看，即7人围一圆桌，有(7－1)！＝6！种坐法，又因为正、副组长2人可换位，有2！种坐法．故所求坐法为(7－1)！×2！＝1440种．(2)记录员坐在正、副组长中间，可将此3人视作1人，即6人围一圆桌，有(6－1)！＝5！种坐法，又因为正、副组长2人可以换位，有2！种坐法，故所求坐法为5！×2！＝240种．。
2023年高考数学考点复习——排列组合(原卷版)
2023年高考数学考点复习——排列组合考点一、排列例1、A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（）A．24种B．36种C．48种D．60种例2、七人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙､丙两人必须相邻，则排法共有（）A．48种B．96种C．240种D．480种例3、某班举行了由6名学生参加的“弘扬中华文化”演讲比赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从回答分析，6人的名次排列情况可能有（）A．216种B．240种C．288种D．384种跟踪练习1、A，B，C，D，E，F六名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次．A，B，C 去询问成绩，回答者对A说：“很遗憾，你们三个都没有得到冠军．”对B说：“你的名次在C之前．”对C说：“你不是最后一名．”从以上的回答分析，6人的名次排列情况种数共有（）A．108B．120C．144D．1562、十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被3整除的概率为（）A．14B．16C．512D．7243、为了援助湖北抗击疫情，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号分别为1，2，3，4，5，6，同时到达武汉天河飞机场，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落的概率为（）A．112B．16C．15D．134、甲､乙两名大学生报名参加第十四届全运会志愿者，若随机将甲､乙两人分配到延安､西安､汉中这3个赛区，则甲､乙都被分到汉中赛区的概率为（）A．19B．16C．13D．125、将甲、乙、丙、丁、戊5位同学排成一横排，要求甲、乙均在丙的同侧，且丙丁不相邻，则不同的排法共有__________种．(用数字作答)6、某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演.现从《歌唱祖国》､《英雄赞歌》､《唱支山歌给党听》､《毛主席派人来》4首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》､《我和我的祖国》2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有___________种.7、杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A、B、C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A、B项目，乙不能参加B、C项目，那么共有__________种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）8、6人排成一行，甲、乙相邻且丙不排两端的排法有（）A．288种B．144种C．96种D．48种9、由1，2，3，4，5，6六个数字按如下要求组成无重复数字的六位数，1必须排在前两位，且2，3，4必须排在一起，则这样的六位数共有（）A．48个B．60个C．72个D．84个10、高三（2）班某天安排6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（）A．42种B．96种C．120种D．144种11、一只口袋内装有4个白球，5个黑球，若将球不放回地随机一个一个摸出来，则第4次摸出的是白球的概率为________．12、某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）考点二组合例1、从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，则不同的选取方案数为（）A．10 B．20 C．540 D．1080例2、试题安排6名志愿者扶贫干部到甲、乙、丙三个贫困村做扶贫工作，每人只做1个村的脱贫工作，甲村安排1名，乙村安排2名，丙村安排3名，则不同的安排方式共有___________种．例3、某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（）A．10 B．20 C．60 D．100跟踪练习1、某中学为了发挥青年志原者的模范带头作用，利用周末开展青年志愿者进社区服务活动.该校决定成立一个含有甲､乙两人的4人青年志愿者社区服务团队，现把4人分配到A和B两个社区去服务，若每个社区都有志愿者，每个志愿者只服务一个社区，且甲､乙两人不同在一个社区的分配方案种类有（）A．4 B．8 C．10 D．122、某城市新修建的一条道路上有10盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有___________种（请用数字作答）3、某盒中有9个大小相同的球，分别标号为1，2，…，9，从盒中任取3个球，则取出的3个球的标号之和能被3整除的概率是______；记ξ为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变Eξ=______．量ξ的数学期望()4、从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（）A．20 B．55 C．30 D．255、国外新冠肺炎不断扩散蔓延，某地8名防疫工作人员到A、B、C、D四个社区做防护宣传，每名工作人员只去1个社区、A社区安排1名、B社区安排2名、C社区安排3名，剩下的人员到D社区，则不同的安排方法共有（）A．39种B．168种C．1268种D．1680种6、从将标号为1，2，3，…，9的9个球放入标号为1，2，3，…，9的9个盒子里，每个盒内只放一个球，恰好3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（）A．84 B．168 C．240 D．2527、某盒中有9个大小相同的球，分别标号为1，2，…，9，从盒中任取3个球，则取出的3个球的标号之和能被3整除的概率是______；记ξ为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变Eξ=______．量ξ的数学期望()考点三排列组合综合运用例1、重庆11中本学期接收了5名西藏学生，学校准备把他们分配到A，B，C三个班级，每个班级至少分配1人，则其中学生甲不分配到A班的分配方案种数是（）A．720 B．100 C．150 D．345例2、现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲､乙两人，要求每人至少分得1份，则不同的分法共有（）A．10种B．14种C．20种D．28种例3、将4名志愿者全部安排到某社区参加3项工作，每人参加1项，每项工作至少有1人参加，则不同的安排方式共有（）A．24种B．36种C．60种D．72种跟踪练习1、现有5种不同颜色要对如图所示的五个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A．420种B．780种C．540种D．480种2、重庆11中本学期接收了5名西藏学生，学校准备把他们分配到A，B，C三个班级，每个班级至少分配1人，则其中学生甲不分配到A班的分配方案种数是（）A．720 B．100 C．150 D．3453、现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲､乙两人，要求每人至少分得1份，则不同的分法共有（）A．10种B．14种C．20种D．28种4、现有甲、乙、丙、丁四名义工到A，B，C三个不同的社区参加公益活动．若每个社区至少分一名义工，则甲单独被分到A社区的概率为（）A．16B．12C．13D．345、5名同学到甲､乙､丙3个社区协助工作人员调查新冠疫苗的接种情况，若每个社区至少有1名同学，每名同学只能去1个社区，且分配到甲､乙两个社区的人数不同，则不同的分配方法的种数为（）A．60 B．80 C．100 D．1206、某部门安排甲､乙､丙､丁､戊五名专家赴三地工作.因工作需要，每地至少需要安排一名专家，其中甲､乙两名专家必须安排在同一地工作，丙､丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的安排方案的总数为（）A．36 B．30 C．24 D．187、《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，该书介绍了我国古代14种算法，其中积算（即筹算）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､龟算､珠算13种均需要计算器械.某研究性学习小组3人分工搜集整理这13种计算器械的相关资料，其中一人搜集5种，另两人每人搜集4种，则不同的分配方法种数为（）A．54431384322C C C AAB．54421384233C C C AAC．544138422C C CAD．5441384C C C8、一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（）种．A．36 B．48 C．72 D．1209、2021年1月18日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审．初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共10个名称，作为我国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名字的内涵，计划从中随机选取4个依次进行分析，若同时选中哪吒、赤兔，则哪吒和赤兔连续被分析，否则随机依次分析，则所有不同的分析情况有（）A．4704种B．2800种C．2688种D．3868种10、在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（）．A．204 B．260 C．384 D．48011、从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（）A．51个B．54个C．12个D．45个12、在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（）．A．204 B．260 C．384 D．48013、数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门]选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A．60种B．78种C．84种D．144种14、2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心.八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.山东某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的A，B，C三个城市支援，若要求每个城市至少安排1名医生，则A城市恰好只有医生甲去支援的概率为______.15、南昌花博会期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有________种．。
高考排列组合典型例题
排列组合典型例题例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数.分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是2、4、6、8的四位偶数〔这是因为零不能放在千位数上〕．由此解法一与二．如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三．如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四．解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有39A 个；当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ⋅⋅〔个〕． ∴ 没有重复数字的四位偶数有2296179250428181439=+=⋅⋅+A A A A 个．解法2：当个位数上排“0”时，同解一有39A 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：)(283914A A A -⋅个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有22961792504)(28391439=+=-⋅+A A A A 个．解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有281515A A A ⋅⋅个干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个〔包括0在〕，百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有281414A A A ⋅⋅个∴ 没有重复数字的四位偶数有2296281414281515=⋅⋅+⋅⋅A A A A A A 个．解法4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数．没有重复数字的四位数有39410A A -个．其中四位奇数有)(283915A A A -个∴ 没有重复数字的四位偶数有2296=个说明：这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是根本、常见的解法、要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用．典型例题二例2 三个女生和五个男生排成一排〔1〕如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法.〔2〕如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法.〔3〕如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法.〔4〕如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法.解：〔1〕〔捆绑法〕因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有66A 种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A 对种不同的排法，因此共有43203366=⋅A A 种不同的排法． 〔2〕〔插空法〕要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有144003655=⋅A A 种不同的排法．〔3〕解法1：〔位置分析法〕因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有144006625=⋅A A 种不同的排法． 解法2：〔间接法〕3个女生和5个男生排成一排共有88A 种不同的排法，从中扣除女生排在首位的7713A A ⋅种排法和女生排在末位的7713A A ⋅种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有6623A A ⋅种不同的排法，所以共有1440026623771388=+-A A A A A 种不同的排法．解法3：〔元素分析法〕从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有36A 种不同的排法，对于其中的任意一种排活，其余5个位置又都有55A 种不同的排法，所以共有144005536=⋅A A 种不同的排法，〔4〕解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有7715A A ⋅种不同的排法；如果首位排女生，有13A 种排法，这时末位就只能排男生，有15A 种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有66A 种不同的排法，这样可有661513A A A ⋅⋅种不同排法．因此共有360006615137715=⋅⋅+⋅A A A A A 种不同的排法．解法2：3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中扣去两端都是女生排法6623A A ⋅种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有36000662388=⋅-A A A 种不同的排法．说明：解决排列、组合〔下面将学到，由于规律一样，顺便提及，以下遇到也同样处理〕应用问题最常用也是最根本的方法是位置分析法和元素分析法．假设以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件．假设以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素．间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快． 捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用．典型例题三例3 排一有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
2023年高考数学复习----排列组合排队问题典型例题讲解
2023年高考数学复习----排列组合排队问题典型例题讲解【典型例题】例48．（2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）甲、乙、丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有,A B 两支正在等待检测的队伍，则甲、乙、丙三人不同的排队方案共有______种．【答案】24【解析】先进行分类：①3人到A 队伍检测，考虑三人在A 队的排队顺序，此时有33A 6=种方案；②2人到A 队伍检测，同样要考虑两人在A 队的排队顺序，此时有23A 6=种方案；③1人到A 队伍检测，要考虑两人在B 队的排队顺序，此时有23A 6=种方案；④0人到A 队伍检测，要考虑两人在B 队的排队顺序，此时有33A 6=种方案；所以，甲、乙、丙三人不同的排队方案共有24种．故答案为：24例49．（2022秋·安徽·高三芜湖一中校联考阶段练习）某医院对9个人进行核酸检测，为了防止排队密集，将9人分成两组，第一组5人，排队等候，由于甲、乙两人不熟悉流程，故无论在哪一组，排队都不在第一位，则第一组的不同排法种数为_________．（用数字作答）【答案】11760【解析】第一组的第一位排法种数为7，后4位的排法种数48A ，故所有排法种数为487A 11760⨯=． 故答案为：11760．例50．（2022·上海·统考模拟预测）有七名同学排队进行核酸检测，其中小王站在正中间，并且小李､小张两位同学要站在一起，则不同的排队法有___________种．【答案】192【解析】当小李和小张在小王的左侧时共有2123223496A C A A =（种）排列方法，同理，当小李和小张在小王的右侧时也有96种排列方法，∴共有192种排列方法．故答案为：192本课结束。
排列组合常考问题及讲解
“排列、组合”常考问题[题型分析·高考展望] 该部分是高考数学中相对独特的一个知识板块，知识点并不多，但解决问题的方法十分灵活，主要容是分类加法计数原理和分步乘法计数原理、排列与组合、二项式定理等，在高考中占有特殊的位置.高考试题主要以选择题和填空题的方式呈现，考查排列、组合的应用.常考题型精析题型一排列问题例1 (1)(2015·)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字做答).(2)即将毕业的6名同学排成一排照相留念，个子较高的明明同学既不能站最左边，也不能站最右边，则不同的站法种数为________.点评求解排列问题的常用方法：(1)特殊元素(特殊位置)优先法；(2)相邻问题捆绑法；(3)不相邻问题插空法；(4)定序问题缩倍法；(5)多排问题一排法.变式训练1 (1)(2014·)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.24(2)(2015·)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个题型二组合问题例2 在一次国际抗震救灾中，从7名中方搜救队队员，4名外籍搜救队队员中选5名组成一支特殊搜救队到某地执行任务，按下列要求，分别计算有多少种组队方法.(1)至少有2名外籍搜救队队员；(2)至多有3名外籍搜救队队员.点评(1)先看是否与排列顺序有关，从而确定是否为组合问题.(2)看是否需要分类、分步，如何确定分类标准.(3)判断是否为“分组”问题，避免重复.变式训练2 (1)(2014·)在8奖券中有一、二、三等奖各1，其余5无奖.将这8奖券分配给4个人，每人2，不同的获奖情况有________种.(用数字作答)(2)从3名骨科、4名脑外科和5名科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和科医生都至少有1人的选派方法种数是____________.(用数字作答)题型三排列与组合的综合应用问题例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒.(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？点评(1)排列、组合混合问题一般“先选后排”.(2)对于较复杂的排列、组合问题，应按元素的性质或题意要求进行分类，对事件发生的过程进行分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，才能保证不“重”不“漏”.(3)关于“至少”“至多”等计数问题，一般需要进行分类，若分类比较复杂，可用间接法，找出其对立事件来求解.变式训练3 (1)将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有________种.(用数字作答)(2)(2014·)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为( )A.60B.90C.120D.130高考题型精练1.用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243B.252C.261D.2792.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b 的不同值的个数是( )A.9B.10C.18D.203.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A.3×3!B.3×(3！)3C.(3！)4D.9!4.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A.60种B.63种C.65种D.66种5.(2015·模拟)现有16不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4，从中任取3，要求这3卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1，不同取法的种数为( )A.232B.252C.472D.4846.如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( )A.96B.84C.60D.487.将序号分别为1,2,3,4,5的5参观券全部分给4人，每人至少1，如果分给同一人的2参观券连号，那么不同的分法种数是________.8.A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有______种.9.“雾霾治理”“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”成为社会关注的5个热点.小王想在2015年国庆节期间调查一下社会对这些热点的关注度.若小王准备从中选取4个热点分别进行调查，则“雾霾治理”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为________.10.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3 443,94 249等.显然2位回文数有9个，11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个.11.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种.12.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？答案精析专题8 概率与统计第35练“排列、组合”常考问题常考题型精析例1 (1)1 560 (2)480解析(1)依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1 560条毕业留言.(2)方法一(位置分析法)先从其他5人中安排2人分别站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除明明外的5人中选2人分别站在最左边和最右边，有A25种站法；第2步，余下4人(含明明)站在剩下的4个位置上，有A44种站法.由分步乘法计数原理，知共有A25A44＝480(种)不同的站法.方法二(元素分析法)先安排明明的位置，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将明明排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A14种站法；第2步，余下5人站在剩下5个位置上，有A55种站法.由分步乘法计数原理，知共有A14A55＝480(种)不同的站法.方法三(反面求解法)6人没有限制的排队有A66种站法，明明站在最左边或最右边时6人排队有2A55种站法，因此符合条件的不同站法共有A66－2A55＝480(种).变式训练1 (1)D (2)B解析(1)剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.(2)由题意，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×A34＝72个；若万位是4，则有2×A34个＝48个，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120个.选B.例2 解(1)方法一(直接法)由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”可分为3类：①有2名外籍队员，共有C37·C24种组队方法；②有3名外籍队员，共有C27·C34种组队方法；③有4名外籍队员，共有C17·C44种组队方法.根据分类加法计数原理，知至少有2名外籍搜救队队员共有C37·C24＋C27·C34＋C17·C44＝301(种)不同的组队方法.方法二(间接法)由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”的对立事件为“至多有1名外籍搜救队队员”，可分为2类：①只有1名外籍搜救队队员，共有C47C14种组队方法；②没有外籍搜救队队员，共有C57C04种组队方法.所以至少有2名外籍搜救队队员共有C511－C47C14－C57C04＝301(种)不同的组队方法.(2)方法一(直接法)由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员”可分为4类：①有3名外籍搜救队队员，共有C27C34种方法；②有2名外籍搜救队队员，共有C37C24种方法；③有1名外籍搜救队队员，共有C47C14种方法；④没有外籍搜救队队员，共有C57种方法.由分类加法计数原理，知至多有3名外籍搜救队队员共有C27C34＋C37C24＋C47C14＋C57＝455(种)不同的组队方法.方法二(间接法)由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员”的对立事件为“至少有4名外籍搜救队队员”.因为至少有4名外籍搜救队队员，共有C17C44种组队方法，所以至少有3名外籍搜救队队员共有C511－C17C44＝455(种)不同组队方法.变式训练2 (1)60 (2)590解析(1)把8奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C23种分法，再分给4人有A24种分法，所以不同获奖情况种数为A44＋C23A24＝24＋36＝60.(2)分三类：①选1名骨科医生，则有C13(C14C35＋C24C25＋C34C15)＝360(种).②选2名骨科医生，则有C23(C14C25＋C24C15)＝210(种)；③选3名骨科医生，则有C33C14C15＝20(种).∴骨科、脑外科和科医生都至少有1人的选派方法种数是360＋210＋20＝590.例3 解(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子，由分步乘法计数原理，共有C14C24C13A22＝144(种).(2)“恰有1个盒有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.(3)确定2个空盒有C 24种方法.4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法.故共有C 24(C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22)＝84(种).变式训练3 (1)480 (2)D解析 (1)分类讨论：A 、B 都在C 的左侧，且按C 的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母这4类计算，再考虑右侧情况.所以共有：2(A 22·A 33＋C 13A 33·A 22＋C 23A 44＋A 55)＝480.(2)在x 1，x 2，x 3，x 4，x 5这五个数中，因为x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5，所以满足条件1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3的可能情况有“①一个1(或－1)，四个0，有C 15×2种；②两个1(或－1)，三个0，有C 25×2种；③一个－1，一个1，三个0，有A 25种；④两个1(或－1)，一个－1(或1)，两个0，有C 25C 13×2种；⑤三个1(或－1)，两个0，有C 35×2种.故共有C 15×2＋C 25×2＋A 25＋C 25C 13×2＋C 35×2＝130(种)，故选D. 高考题型精练1.B [无重复的三位数有：A 39＋A 12A 29＝648个. 则有重复数字的三位数有：900－648＝252个.]2.C [由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为a b 有A 25＝20种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数有A 25－2＝20－2＝18，选C.] 3.C [把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种.] 4.D [满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C 45＝5(种)； 二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C 25·C 24＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种， 所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种).]5.C [分两类：第一类，含有1红色卡片，共有不同的取法C 14C 212＝264(种)； 第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C 312－3C 34＝220－12＝208(种). 由分类加法计数原理知不同的取法有 264＋208＝472(种).]6.B [可依次种A 、B 、C 、D 四块，当C 与A 种同一种花时，有4×3×1×3＝36(种)种法；当C 与A 所种花不同时，有4×3×2×2＝48(种)种法，由分类加法计数原理知不同的种法总数为36＋48＝84.]7.96解析将5参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法再分给4人，各有A44种分法，∴不同的分法种数共有4A44＝96.8.60解析可先排C、D、E三人，共A35种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步乘法计数原理知满足条件的排法共有A35＝60(种).9.72解析先从“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”这4个热点中选出3个，有C34种不同的选法.在调查时，“雾霾治理”的安排顺序有A13种可能情况，其余3个热点的安排顺序有A33种，故不同调查顺序的种数为C34A13A33＝72.10.(1)90 (2)9×10n解析从左右对称入手考虑.(1)4位回文数第1、4位取同一个非零数有C19＝9(种)选法，第2、3位可取0，有10种选法，故有9×10＝90(个)，即4位回文数有90个.(2)首位和末位不能取0，故有9种选法，其余位关于中间数对称，每两数都有10种选法，中间数也有10种选法，故2n＋1(n∈N*)位回文数有9×10n个.11.48解析①只有1名老队员的排法有C12·C23·A33＝36种；②有2名老队员的排法有C22·C13·C12·A22＝12种.所以共48种.12.解如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法.①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有A24＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法.由分步乘法计数原理可知，有5×12×3＝180(种)不同的涂法；②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻方格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知.有5×4×4＝80(种)不同的涂法. 由分类加法计数原理可得，共有180＋80＝260(种)不同的涂法.。
(完整版)排列组合的21种例题
高考数学复习 解排列组合应用题的21种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
2023年高考数学复习---排列组合几何问题典型例题讲解
2023年高考数学复习---排列组合几何问题典型例题讲解【典型例题】例1、（2022秋·山东聊城·高二校考期中）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中相互平行或相互垂直的有（）A．24对B．16对C．18对D．48对【答案】C【解析】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，相互平行或相互垂直，则考虑相对面的相互平行或相互垂直的情况即可．相对面中，相互平行的有2对，相互垂直的4对，共6对，正方体有三组相对面，故3×6=18，故选C例2、（2022·全国·高考真题）在直角坐标系xOy中，已知AOB三边所在直线的方程分别为0,0,2330==+=，则AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是x y x y（）A．95 B．91 C．88 D．75【答案】B【解析】由题设，直线2330+=分别交x、y轴于(15,0)、(10,0)，x y以高为10，宽为15的矩形内（含边）整数点有176个，其中直线2330+=上的整数点x y有(15,0)、(12,2)、(9,4)、(6,6)、(3,8)、(0,10)，共6个，所以，矩形对角线AB 两侧的三角形中整点的个数为1766852−=个， 综上，△AOB 中整点的个数为85691+=个．故选：B例3、（2022·全国·高三专题练习）已知60C 分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，60C 是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，．各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图．已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（ ）个．A ．10B ．12C ．16D ．20【答案】B 【解析】由结构图知：每个顶点同时在3个面内， 所以五边形面数为603206125⨯−⨯=个， 故选B ．本课结束。
2023年高考数学复习----排列组合间接法典型例题讲解
2023年高考数学复习----排列组合间接法典型例题讲解【典型例题】例1．将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（ ）．A ．1860种B ．3696种C ．3600种D ．3648种【答案】D 【解析】7个人从左到右排成一排，共有775040A =种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有3535720A A =种不同的站法，甲站在最右端有66720A =种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有242448A A =种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有5040720720483648−−+=种不同的站法．故选：D例2．某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（ ）A ．21种B ．231种C ．238种D ．252种【答案】B 【解析】10人中选5人有510C 252=种选法，其中，甲､乙､丙三位教师均不选的选法有57C 21=种，则甲､乙､丙三位教师至少一人被选中的选法共有55107C C 231−=种．故选：B例3．中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）A ．408种B ．240种C ．1092种．D ．120种【答案】A【解析】每周安排一次，共讲六次的“六艺”讲座活动，“射”不在第一次的不同次序数为1555A A ， 其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为142442A A A ， 于是得1514255442A A A A A 51204242408−=⨯−⨯⨯=，所以“六艺”讲座不同的次序共有408种．故选：A。
2025年高考数学一轮复习专题15 排列组合含解析
专题15排列组合易错点一：相邻与不相邻问题处理方法不当致误（相邻问题）相邻问题技巧总结相邻问题1、思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体，在于其他元素放在一起考虑.如果设计到顺序，则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算.2、解题步骤：第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数第二步：求出其余元素的排列种数第三步：求出总的排列种数易错提醒：排列组合实际问题主要有相邻问题和不相邻问题。
（1）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）；（2）不相邻（相间）问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）；例、现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不能相邻的排法有（）A ．3565A A ⋅种B ．()863863A A A -⋅种C ．3353A A ⋅种D ．()8486A A -种易错分析：本题易出现的错误是把“甲、乙、丙3人不能相邻”理解为“甲、乙、丙3人互不相邻”的情况，使结果中遗漏甲、乙、丙3人中有两人相邻的情况．正解：在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙3人不相邻的方法数，即863863A A A -⋅，故选B ．易错警示：处理相邻问题的基本方法是“捆绑法”，即把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个元素，然后与其余元素全排列，最后“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．处理不相邻问题的基本方法是“插空法”，即先安排好没有限制条件的元素，然后把有限制条件的元素变式1：加工某种产品需要5道工序，分别为A ，B ，C ，D ，E ，其中工序A ，B 必须相邻，工序C ，D 不能相邻，那么有（）种加工方法．A ．24B ．32C ．48D ．64解：工序A ，B 必须相邻，可看作一个整体，工序C ，D 不能相邻，所以先对AB ，E 工序进行排序，有222A =种方法，AB 内部排序，有222A =种方法，排好之后有三个空可以把工序C ，D 插入，共236A =种情况，所以一共有22624⨯⨯=种可能性故选：A变式2：中国航天工业迅速发展，取得了辉煌的成就，使我国跻身世界航天大国的行列.中国的目标是到2030年成为主要的太空大国.它通过访问月球，发射火星探测器以及建造自己的空间站，扩大了太空计划.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A ．24种B ．48种C ．96种D ．144种解：首先将程序B 和C 捆绑在一起，再和除程序A 之外的3个程序进行全排列，最后将程序A 排在第一步或最后一步，根据分步计数原理可得241242224296A A A =⨯⨯=种.故选：C变式3：为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（）A ．10种B ．12种C ．16种D ．24种解：如果中心组学习在第一阶段，主题班会、主题团日在第二、三阶段，则其它活动有2种方法；主题班会、主题团日在第三、四阶段，则其它活动有1种方法；主题班会、主题团日在第四、五阶段，则其它活A++=种方法；动有1种方法，则此时共有22(211)8A=种方法.综合得不同的安如果中心组学习在第二阶段，则第一阶段只有1种方法，后面的三个阶段有222排方案共有10种.故选:A1．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（）A ．48B ．96C ．144D ．288【详解】由于A ，B 相邻，所以先将A,B 看作一个整体捆绑起来与E,F 进行全排列，然后将C ，D 插入到已排好队的两两之间以及首尾的空隙中即可，故共有322324A A A 144=,故选：C5．2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分3:0战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（）A ．18种B ．24种C ．30种D ．36种【详解】当丙站在左端时，甲、丙必须相邻，其余人全排列，有33A 6=种站法；当丙不站在左端时，从丁、戊两人选一人站左边，再将甲、丙捆绑，与余下的两人全排，有123223A A A 24=种站法，所以一共有62430+=种不同的站法．故选：C6．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一､高二､高三年级分别有1名､2名､3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（）A ．18种B ．36种C ．72种D ．144种【详解】由题意可得12331233A A A A 72=，故选:C7．甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2个大人和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站法的种数为（）A ．144B ．864C ．1728D ．2880【详解】甲家庭的站法有2223A A 12=种，乙家庭的站法有3234A A 72=种，最后将两个家庭的整体全排列，有22A 2=种站法，则所有不同站法的种数为127221728⨯⨯=．故选：C8．某驾校6名学员站成一排拍照留念，要求学员A 和B 不相邻，则不同的排法共有（）A ．120种B ．240种C ．360种D ．480种【详解】一方面：若要求学员A 和B 相邻，则可以将学员A 和B 捆绑作为一个“元素”，此时一共有5个元素，但注意到学员A 和B 可以互换位置，所以学员A 和B 相邻一共有2525A A 2154321240⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种排法.A．1B．2A B C D四位同学参加圆桌会议，共有【详解】,,,其中,A B两位同学可坐在①②，②③，③④三个位置，并可进行互换位置，有C ．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种D ．如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种【详解】对于A ，如果社区A 必须有同学选择，则不同的安排方法有335461-=（种），故A 正确；对于B ，如果同学甲必须选择社区A ，则不同的安排方法有2525=（种），故B 错误；对于C ，如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有54360⨯⨯=（种），故C 正确；对于D ，甲､乙两名同学必须在同一个社区，第一步，将甲､乙视作一个整体，第二步，两个整体挑选社区，则不同的安排方法共有2525=（种），故D 错误.故选：AC.18．在树人中学举行的演讲比赛中，有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（）A ．3名男生排在一起，有6种不同排法B ．2名女生排在一起，有48种不同排法C ．3名男生均不相邻，有12种不同排法D ．女生不站在两端，有108种不同排法【详解】解：由题意得：对于选项A ：3名男生排在一起，先让3个男生全排后再作为一个整体和2个女生做一个全排，共有3333A A 36⋅=种，A 错误；对于选项B ：2名女生排在一起，先让2个女生全排后再作为一个整体和3个男生做一个全排，共有2424A A 48⋅=种，B 正确；对于选项C ：3名男生均不相邻，先让3个男生全排后，中间留出两个空位让女生进行插空，共有2323A A 12⋅=种，C 正确；对于选项D ：女生不站在两端，先从三个男生种选出两个进行全排后放在两端，共有2232C A 6⋅=种，然后将剩下的3人进行全排后放中间，共有223323C A A 36⋅⋅=种，D 错误.故选：BC19．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A ．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B ．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ．甲乙不相邻的排法种数为72种D ．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有40种【详解】A 选项，将甲与乙捆绑，看做一个整体，与其他三人站成一排，故有44A 24=种，A 正确；B 选项，若最左端排甲，此时其余四人可进行全排列，故有44A 24=种，易错点二：“捆绑法”中忽略了“内部排列”或“整体列”（不相邻问题）1.思路：对于不相邻问题一般采用“插空法”解决，即先将无要求的元素进行全排列，然后将要求不相邻的元素插入到已排列的元素之间，最后进行计算即可2.解题步骤：①先考虑不受限制的元素的排列种数②再将不相邻的元素插入到已排列元素的空当种（插空法），求出排列种数③求出总的排列种数易错提醒：处理相邻问题的基本方法是“捆绑法”，即把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个元素，然后与其余元素全排列，最后“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．处理不相邻问题的基本方法是“插空法”，即先安排好没有限制条件的元素，然后把有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．但应该注意插入的元素之间如果也有顺序，应先进行排列．例、有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法的总数．（1）全体排成一行，其中男、女生各站在一起；（2）全体排成一行，其中男生必须排在一起．错解：（1）男、女生各站在一起，先把男女生各看成一个整体，分别全排列，所以共有3434A A 144⨯=种排法；（2）将男生看成一个整体，与女生进行全排列即可，所以共有55A 120=种排法．错因分析：解决此类问题时将“在一起”的进行“捆绑”，与其他元素进行排列即可．错解中（1）忽略了将男女生所看成的两个整体进行排列，即忽略了“整体排列”；（2）忽略了将男生进行排列，即忽略了“内部排列”．正解：（1）男、女生各站在一起，先把男女生各看成一个整体，分别全排列，最后两个整体全排列①，所以共有342342A A A 288⨯⨯=种排法；（2）将男生看成一个整体，先进行内部排列，再与女生进行全排列即可②，所以共有3535A A 720⨯=种排法．变式1：为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（）A ．10种B ．12种C ．16种D ．24种解：如果中心组学习在第一阶段，主题班会、主题团日在第二、三阶段，则其它活动有2种方法；主题班会、主题团日在第三、四阶段，则其它活动有1种方法；主题班会、主题团日在第四、五阶段，则其它活动有1种方法，则此时共有22(211)8A ++=种方法；如果中心组学习在第二阶段，则第一阶段只有1种方法，后面的三个阶段有222A =种方法.综合得不同的安排方案共有10种.故选:A变式2：甲，乙、丙、丁、戊共5人随机地排成一行，则甲、乙相邻，丙、丁不相邻的概率为（）A ．15B ．14C ．13D ．512解：甲，乙、丙、丁、戊共5人随机地排成一行有55120A =种方法，甲、乙相邻，丙、丁不相邻的排法为先将甲、乙捆绑在一起，再与戊进行排列，然后丙、丁从3个空中选2个空插入，则共有222223223224A A A =⨯⨯⨯=种方法，所以甲、乙相邻，丙、丁不相邻的概率为2411205=，故选：A 变式3：某地元旦汇演有2男3女共5名主持人站成一排，则舞台站位时男女间隔的不同排法共有（）A ．12种B ．24种C ．72种D ．120种解：先排列2名男生共有22A 种排法，再将3名女生插入到3名男生所形成的空隙中，共有33A 种排法，所以舞台站位时男女间隔的不同排法共有232312A A =种排法，故选：A.1．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（）A ．若女生必须站在一起，那么一共有5335A A 种排法B ．若女生互不相邻，那么一共有3434A A 种排法C ．若甲不站最中间，那么一共有1666C A 种排法D ．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有7676A 2A -种排法【答案】AC【分析】分别利用捆绑法、插空法、优先安排特殊元素法、间接法依次求解.【详解】选项A ,利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，其排列方式有33A 种，加上4名男生一共有5个个体，则有55A 种排列方式，则由乘法原理可知一共有5335A A 种排法，故A 正确；选项B ,利用插空法，4名男生排成一排形成5个空，其排列方式有44A 种，再将3名女生插入空中，有35A 种排列方式，则由乘法原理可知一共有4345A A 种排法，故B 不正确；选项C ,利用优先安排特殊元素法，甲不站最中间,甲先从除中间之外的6个位置选一个，其选择方式有16C 种，再将剩余的6人全排列，有66A 种排列方式，则由乘法原理可知一共有1666C A 种排法，故C 正确；选项D ,利用间接法，3人站成一排共有77A 种排法，若甲站最左边有66A 种排法，乙站最右边有66A 种排法，甲站最左边且乙站最右边有55A 种排法，所以甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有765765A 2A A -+种排法，故D 不正确；故选：AC.2．某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（）A ．若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序B ．若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序C ．若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序D ．从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法【答案】AD【分析】根据全排列、捆绑法、插空法，结合分步与分类计数原理依次分析选项，即可判断.【详解】A ：从3个歌唱节目选1个作为开场，有13C =3种方法，后面的5个节目全排列，所以符合题意的方法共有553A 360=种，故A 正确；B ：将2个舞蹈节目捆绑在一起，有22A 2=种方法，再与其余4个节目全排列，所以符合题意的方法共有552A 240=，故B 错误；C ：除了2个舞蹈节目以外的4个节目全排列，有44A 24=种，再由4个节目组成的5个空插入2个舞蹈节目，所以符合题意的方法有2524A 480=种，故C 错误；D ：符合题意的情况可能是1个歌唱1个舞蹈、1个歌唱1个语言、1个舞蹈1个语言，所以不同的选法共111111323121C C C C C C 11++=种，故D 正确.故选：AD.3．现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是（）A ．4个空位全都相邻的坐法有120种B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有240种C ．4个空位均不相邻的坐法有120种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有900种【详解】对于A ，将四个空位当成一个整体，全部的坐法：55A 120=种，故A 对；对于B ，先排4个学生44A ，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入5个学生中有25A 种方法，所以一共有4245480A A =种，故B 错；对于C ，先排4个学生44A ，4个空位是一样的，然后将4个空位插入4个学生形成的5个空位中有45C 种，所以一共有4445A C 120=，故C 对；对于D ，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C 可知都不相邻的有120种，空位两个两个相邻的有：4245A C 240=，空位只有两个相邻的有412454A C C 720=，所以一共有1202407201080++=种，故D 错；故选：AC.4．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）．A ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种B ．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种D ．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有36种【详解】对于A ，将甲乙捆绑有22A 种方法，若戊在丙丁之间有22A 排法，丙丁戊排好之后用插空法插入甲乙，有14A 种方法；若丙丁相邻，戊在左右两边有2122A A 种排法，但甲乙必须插在丙丁之间，一共有212222A A A 种排法，所以总的排法有221212224222A A A A A A 24+= ，故A 错误；对于B ，若甲在最左端，有44A 24=种排法，若乙在最左端，先排甲有13A 3=种排法，再排剩下的3人有33A 6=，所以总共有243642+⨯=种排法，正确；对于C ，先将甲乙丙按照从左至右排好，采用插空法，先插丁有14A 种，再插戊有15A 种，总共有1145A A 20= 种，正确；对于D ，先分组，将甲乙丙丁分成3组有24C 种分法，再将分好的3组安排在3个社区有33A 种方法，共有2343C A 36= 种方法，正确；故选：BCD.5．现将9把椅子排成一排，5位同学随机就座，则下列说法中正确的是（）A ．4个空位全都相邻的坐法有720种B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有1800种C ．4个空位均不相邻的坐法有1800种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有9000种【详解】对于A,将四个空位当成一个整体，全部的坐法：66A 720=，故A 对；对于B ，先排5个学生55A ，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入5个学生中有26A 中方法，所以一共有5256A A 3600=种，故B 错；对于C ，先排5个学生55A ，4个空位是一样的，然后将4个空位插入5个学生中有46C 种，所以一共有5456A C 1800=，故C 对；对于D ，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C 可知都不相邻的有1800种，空位两个两个相邻的有：5256A C 1800=，空位只有两个相邻的有521564A C C 7200=，所以一共有18001800720010800++=种，故D 错；故选：AC6．现有3位歌手和4名粉丝站成一排，要求任意两位歌手都不相邻，则不同的排法种数可以表示为（）A ．731424735454A A A A A A --B ．4343A A C ．7314222473543254A A A A C A A A --D ．4345A A 【详解】第一种排法：分2步进行：①将4名粉丝站成一排，有44A 种排法；②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名歌手，有35A 种情况．则有4345A A 种排法，第二种排法：先计算3位歌手站一起，此时3位歌手看做一个整体，有314354A A A 种排法，再计算恰好有2位歌手站一起，此时2位歌手看做一个整体，与另外一个歌手不相邻，有22243254C A A A 种排法，则歌手不相邻有3142224354773254A A A C A A A A --种排法．故选：CD7．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（）A ．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B ．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法C ．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法D ．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法【答案】ACD【分析】根据给定条件利用组合知识可以判断A 正确；不相邻问题利用插空法可以判断B 错误；相邻问题利用捆绑法可以判断C 正确；利用特殊位置法可以判断D 正确.【详解】对于A ，从六门课程中选两门的不同选法有2615C =种，A 正确；对于B ，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有4245480A A =种，B 错误；对于C ，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有3434A A 144=种，C正确；对于D ，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有554A 480=种，D 正确.故选：ACD.8．有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（）A ．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480B ．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240C ．6名同学平均分成三组到A 、B 、C 工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法D ．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种【详解】A 选项，6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的4人进行全排列，有44A 24=种排0.618339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为（）A ．180B ．210C ．240D ．360【详解】先把6,1,8,9排列，然后选两个空档插入3，总方法为4245A C 240=．故选：C ．易错点三：忽视排列数、组合数公式的隐含条件（排列组合综合）1．两个重要公式(1)排列数公式()()()()()n m N m n m n n n n m n n A m n ≤∈+---=-=*且,,!!121 ．(2)组合数公式()()()()()nm N m n m m n n n n m n m n C m n ≤∈+---=-=*且,,!!!!121 2、要点：()()()!m m n n n n C mn121+---= 一般用于计算，而()!!!m n m n C m n -=和m m mn mn A A C =一般用于证明、解方程（不等式）.重点：三个重要性质和定理组合数性质（1）对称性：()n m N m n C A A C m n n m mm n m n≤∈==*-且,,；组合意义：从n 个不同的元素中任取m 个元素，则mn C .从n 个不同的元素中任取m 个元素后只剩下m n -个元素了，则从n 个不同的元素中任取m 个元素与从n 个不同的元素中任取m n -个元素是等效的.则mn nC -，故mn nm n C C -=.等式特点：等号两边组合数的下标相同，上标之和等于下标.应用：①简化计算，当2n m >时，通常将计算m n C 转化为计算mn n C -，如561236783858=⨯⨯⨯⨯==C C ②列等式：由y n x n C C =，可得y x =或n y x =+，如xC C 838=，则x =3或83=+x 故3=x 或5=x .（2）()n m Nm n C C C m nm n m n ≤∈+=*-+且,,11；组合意义：从()1+n 个不同的元素中任取m 个元素，则mn C 1+.对于某一元素，只存在着取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中任取()1-m 个元素，所以共有1-m nC 种，如果不取这一元素，则需从剩下的n 个元素中任取m 个元素，所以共有mn C ，根据分类加法原理：11-++=m nmn mn C C C .等式特点：下标相同而上标相差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的相同的一个组合数.应用：恒等变形常见的组合恒等式：1-1m n mn C m m n C +-=，m n m n C m n n C 1--=，11--=m n mnC mn C 1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ，rn m r n m n r m n r m n r m C C C C C C C C C +--=++++022110 .（3）10=n C .重点：三个重要性质和定理组合数性质（1）对称性：()n m N m n C A A C m n n m mmn m n≤∈==*-且,,；组合意义：从n 个不同的元素中任取m 个元素，则mn C .从n 个不同的元素中任取m 个元素后只剩下m n -个元素了，则从n 个不同的元素中任取m 个元素与从n 个不同的元素中任取m n -个元素是等效的.则mn nC -，故mn nm n C C -=.等式特点：等号两边组合数的下标相同，上标之和等于下标.应用：①简化计算，当2n m >时，通常将计算m n C 转化为计算mn n C -，如561236783858=⨯⨯⨯⨯==C C ②列等式：由y n x n C C =，可得y x =或n y x =+，如xC C 838=，则x =3或83=+x 故3=x 或5=x .（3）()n m Nm n C C C m nm n m n ≤∈+=*-+且,,11；组合意义：从()1+n 个不同的元素中任取m 个元素，则mn C 1+.对于某一元素，只存在着取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中任取()1-m 个元素，所以共有1-m nC 种，如果不取这一元素，则需从剩下的n 个元素中任取m 个元素，所以共有mn C ，根据分类加法原理：11-++=m nmn mn C C C .等式特点：下标相同而上标相差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的相同的一个组合数.应用：恒等变形常见的组合恒等式：1-1m n mn C m m n C +-=，m n m n C m n n C 1--=，11--=m n mnC mn C 1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ，rn m r n m n r m n r m n r m C C C C C C C C C +--=++++022110 .（3）10=n C .易错提醒：解排列、组合的综合问题要注意以下几点（1）元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．（2）对于有限多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．例、解不等式288A 6A x x -<.【错解】由排列数公式得8!8!6(8)!(10)!x x <⨯--，化简得x2－19x ＋84<0，解之得7<x<12.因为x ∈N*，所以x ＝8，9，10，11.【错因】在排列数公式A 中，隐含条件m≤n ，m ∈N*，n ∈N*，错解中没有考虑到x －2>0，8≥x ，导致错误．【正解】由288A 6A x x -<，得8!8!6(8)!(10)!x x <⨯--，化简得x2－19x ＋84<0，解之得7<x<12，①又所以2<x≤8，②由①②及x ∈N*得x ＝8.【答案】x ＝8.变式1．若37C C n n =，则n 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10解：因为37C C n n =，则由组合数的性质有37n +=，即10n =，所以n 的值为10.故选：D变式2．计算34C ＋35C ＋36C ＋L ＋32015C 的值为（）A ．42015CB ．32015C C ．42016C －1D ．52015C －1解：33334333344562015445620154C C C C C C C C C C ++++=+++++- 4333455620154C C C C C =++++- 434420152015420161C C C C =+-=-.故选：C.变式3．若整数x 满足232551616C C x x x +++=，则x 的值为（）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1或3解：由题可知23255x x x ++=+或()()2325516x x x ++++=，整理得2230x x --=或2890x x +-=，解得3x =或1x =-或1x =或9x =-．又20321605516x x x ⎧≤++≤⎨≤+≤⎩，所以只有1x =-和1x =满足条件，故x 的值为1或1-．故选：C1．()(2)(3)(4)(15)N ,15x x x x x x +----∈> 可表示为（）A ．132A x -B ．142A x -C ．1315A x -D ．1415A x -【答案】B【分析】根据排列数的定义可得出答案．易错点四：实际问题不清楚导致计算重复或者遗漏致误（加法与乘法原理）正难则反问题技巧总结正难则反排除处理：对于正面不好解决的排列、组合问题，考虑反面(取补集的思想)，一般在题目中有字眼“至多、至少”等体现。
微考点7-3 排列组合11种常见题型总结分析(11大题型)-【高频考点解密】2024年高考数学二轮卷
微考点7-3 排列组合11种常见题型总结分析（11大题型）题型一：特殊元素与特殊位置优待法解题思路：对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。
【精选例题】【例1】从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）（A）280种（B）240种（C）180种（D）96种【例2】7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（）种站排方式．A．672B．864C．936D．1056【例3】将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每项活动都需要有人参加，其中甲必须参加A活动，则不同的分配方法有种．（用数字作答）【题型专练】1．某校从8名教师中选派4名教师到4个边远地区支教（每地1人），要求甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，则不同的选派方案有______种．2．某医院安排王医生、李医生、赵医生、张医生、孙医生5人到三个社区开展主题为“提高免疫力，预防传染病”的知识宣传活动，要求每人只能参加一个社区的活动，每个社区必须有人宣传，若李医生、张医生不安排在同一个社区，孙医生不单独安排在一个社区，则不同的安排方法有种．3．4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（）A．288B．336C．368D．4124．某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有种.题型二：分类讨论思想解题思路：遇到情况比较复杂，我们可以通过分类讨论，分出几种情况，再用分类加法原理进行计算【精选例题】【例1】（2023全国卷乙卷真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）A．120B．60C．30D．20【例2】（2023全国卷甲卷真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．【例3】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖，将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况数（）A．60B．40C．30D．80【题型专练】1.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（）A．20种B．16种C．12种D．8种2．某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有___种．题型三：插空法（不相邻问题）解题思路：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可【例1】黄金分割最早见于古希腊和古埃及.黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等的a，b 两段，使得长线段a 与原线段a b +的比等于短线段b 与长线段a 的比，即()::a a b b a +=，其比值约为0.618339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为（ ）A ．180B ．210C ．240D ．360【例2】把5件不同产品A ，B ，C ，D ，E 摆成一排，则（ ） A ．A 与B 相邻有48种摆法B ．A 与C 相邻有48种摆法C ．A ，B 相邻又A ，C 相邻，有12种摆法D ．A 与B 相邻，且A 与C 不相邻有24种摆法【例3】有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（ ）A ．12B ．48C ．72D ．96【题型专练】1．有互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有摆放方法（ ）A ．120种B ．32种C ．24种D ．16种2．某单位为葫芦岛市春节联欢会选送了甲、乙两个节目，节目组决定在原有节目单中6个节目的相对顺序保持不变的情况下填加甲乙两个节目，若甲、乙演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为 .（用数字作答）3．四名男生和两名女生排成一排，要求两位女生不相邻，则不同排法的种数是 .（结果用数字作答）题型四：捆绑法（相邻问题）解题思路：对于某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素捆绑，再将它与其它元素在一起排列，注意捆绑部分的内部顺序。
高考数学排列组合与概率题型讲解
高考数学排列组合与概率题型讲解在高考数学中，排列组合与概率是非常重要的知识点，也是很多同学感到头疼的部分。
今天，咱们就来好好梳理一下这部分的题型，帮助大家更轻松地应对高考。
一、排列组合题型1、排列问题排列是指从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列。
比如，从 5 个不同的球中取出 3 个进行排列，有多少种不同的排法。
解决排列问题的关键是要明确元素的选取是否有顺序要求。
如果有顺序要求，就用排列数公式 A(n,m) ＝ n! ／（n m)！来计算。
例：有 5 个不同的班级，要从中选出 3 个班级按照一定的顺序进行参观，有多少种不同的选法？解：这是一个排列问题，因为班级的选取有顺序之分。
根据排列数公式，A(5,3) ＝ 5! ／（5 3)！＝ 5×4×3 ＝ 60（种）2、组合问题组合是指从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素组成一组，不计较组内各元素的次序。
比如，从5 个不同的球中取出3 个组成一组，有多少种不同的组法。
解决组合问题用组合数公式 C(n,m) ＝ n! ／ m!（n m)！。
例：从 10 名学生中选出 5 名参加比赛，有多少种选法？解：这是一个组合问题，C(10,5) ＝ 10! ／ 5!（10 5)！＝ 252（种）3、排列组合综合问题有些题目会同时涉及排列和组合的知识，需要我们仔细分析，分步或分类来解决。
例：从 5 名男生和 3 名女生中选出 3 人参加活动，其中至少有一名女生，有多少种选法？解：可以分为两种情况，一种是有 1 名女生 2 名男生，另一种是有2 名女生 1 名男生。
有 1 名女生 2 名男生的选法：C(3,1)×C(5,2) ＝ 3×10 ＝ 30（种）有 2 名女生 1 名男生的选法：C(3,2)×C(5,1) ＝ 3×5 ＝ 15（种）所以，总的选法为 30 ＋ 15 ＝ 45（种）二、概率题型1、古典概型古典概型具有两个特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等。
2024年高考数学专项复习排列组合12种题型归纳(解析版)
排列组合12种题型归纳1．排列与组合的概念名称定义区别排列从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数．用符号“A m n ”表示A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！(n －m )！(n ，m ∈N *，且m ≤n )(1)A n n ＝n ！；(2)0！＝1C m n ＝A m nm ！组合数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号“C m n ”表示C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！(n ，m ∈N *，且m ≤n )(1)C n n ＝C 0n ＝1；(2)C m n ＝C n －m n ；(3)C m n ＋1＝C mn ＋C m －1n【题型一】人坐座位模型1：捆绑与插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻：2024年高考数学专项复习排列组合12种题型归纳（解析版）【变式演练】1.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A．30B．36C．60D．722.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．144B．120C．72D．483.2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙､高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（）A．28种B．32种C．36种D．44种【题型二】人坐座位模型2：染色（平面）【典例分析】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域颜色不相同的概率是A.1/7 b.2/7 c.3/7 D.4/7【变式演练】1.正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种.A．420B．600C．720D．7802.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A ．40320种B ．5040种C ．20160种D ．2520种3.如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A ．192B ．336C ．600D ．以上答案均不对【题型三】人坐座位模型3：染色（空间）:【典例分析】如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）A ．6种B ．9种C ．12种D ．36种【变式演练】1.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是()A．420B．210C．70D．352.在如图所示的十一面体ABCDEFGHI中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为__________．3.用五种不同颜色给三棱台ABC DEF的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有___________种.【题型四】书架插书模型【典例分析】有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．168B．260C．840D．560【变式演练】A aB bC cD d1.从A，B，C，D，a，b，c，d中任选5个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列（即按(),(),(),()先后顺序，但大小写可以交换位置，如AaBc或aABc都可以），这样的情况有__________种．（用数字作答）2.．在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少种安排方法3.书架上有排好顺序的6本书，如果保持这6本书的相对顺序不变，再放上3本书，则不同的放法共有（）.A．210种B．252种C．504种D．505种【题型五】球放盒子模型1：球不同，盒子也不同【典例分析】已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（）A．150B．240C．390D．1440【变式演练】1.将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有（）A．30种B．90种C．180种D．270种2.将编号分别为1，2，3，4，5的5个小球分别放入3个不同的盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不相同的概率为A．17B．16C．625D．7243.将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法种数为（）A．15B．30C．20D．42【题型六】球放盒子模型2：球相同，盒子不同【典例分析】把1995个不加区别的小球分别放在10个不同的盒子里，使得第i 个盒子中至少有i 个球（1,2,...,10i ），则不同放法的总数是A ．101940C B ．91940C C ．101949C D ．91949C 【变式演练】1.将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（）A ．22B ．25C ．20D ．482.把20个相同的小球装入编号分别为①②③④的4个盒子里，要求①②号盒每盒至少3个球，③④号盒每盒至少4个球，共有种方法.A ．39C B ．319C C ．3494C AD ．143205C C 3.将7个相同的小球放入A ，B ，C 三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（）种不同的放法．A ．60种B ．36种C ．30种D ．15种【题型七】相同元素排列模型1：数字化法【典例分析】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓才加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A.24B.18C.12D.9【变式演练】1.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种？A ．5B ．25C ．55D ．752.跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种3.如图所示，甲､乙两人同时出发，甲从点A 到B ，乙从点C 到D ，且每人每次都只能向上或向右走一格.则甲､乙的行走路线没有公共点的概率为（）.A ．37B ．57C ．514D ．1321【题型八】相同元素排列模型2：空车位停车等【典例分析】1.某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A．240B．360C．480D．7202.马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有种【变式演练】1.某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是A．48B．54C．72D．842.现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有_________种.3.地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库.当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有________种.【题型九】相同元素排列模型3：上楼梯等【典例分析】欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有A．34种B．55种C．89种D．144种【变式演练】1.斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..，在数学上，斐波那契数列以如下被递推的方法定义：()11f =，()21f =，()()()()122,f n f n f n n n N *=-+-≥∈.这种递推方法适合研究生活中很多问题.比如：一六八中学食堂一楼到二楼有15个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有（）种上楼方法.A ．377B ．610C ．987D ．15972.从一楼到二楼共有12级台阶，可以一步迈一级也可以一步迈两级，要求8步走完，则从一楼到二楼共有走法．A ．12B ．8C ．70D ．663.某人从上一层到二层需跨10级台阶.他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步.从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶.则他从一层到二层可能的不同过程共有（）种.A ．6B ．8C ．10D ．122010年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题【题型十】多事件限制重叠型【典例分析】班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一个发言，且甲、乙都发言时丙不能发言，则甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率为A ．217B ．316C ．326D ．328【变式演练】1.某同学计划用他姓名的首字母,T X ，身份证的后4位数字（4位数字都不同）以及3个符号,,αβθ设置一个六位的密码．若,T X 必选，且符号不能超过两个，数字不能放在首位和末位，字母和数字的相对顺序不变，则他可设置的密码的种数为（）A ．864B ．1009C ．1225D ．14412.2019年11月19日至20日，北京师范大学出版集团携手北师大版数学教材编写组在广东省珠海市联合举办了以“新课程，我们都是追梦人”为主题的北师大版中小学数学教材交流研讨会，会议期间举办了一场“互动沙龙”，要求从6位男嘉宾，2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲，且女嘉宾至少要选中1位，如果2位女嘉宾同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同演讲顺序的种数是（）A ．1860B ．1320C ．1140D ．10203.有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有______种不同的停放方法．（用数字作答）【题型十一】多重限制分类讨论【典例分析】高一新生小崔第一次进入图书馆时看到了馆内楼梯（图1），她准备每次走1级或2级楼梯去二楼，并在心中默默计算这样走完25级楼梯大概有多少种不同的走法，可是当她走上去后发现（图2）原来在13级处有一宽度达1.5米的平台，这样原来的走楼梯方案需要调整，请问，对于剩下的15级()123+楼梯按分2段的走法与原来一次性走15级的走法相比较少了______种．【变式演练】1.市内某公共汽车站有7个候车位(成一排),现有甲，乙，丙，丁，戊5名同学随机坐在某个座位上候车,则甲，乙相邻且丙，丁不相邻的不同的坐法种数为______；（用数字作答）3位同学相邻，另2位同学也相邻，但5位同学不能坐在一起的不同的坐法种数为______.（用数字作答）2.2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有()种．A ．120B ．156C ．188D ．2403.甲、乙、丙、丁等六名退休老党员相约去观看党史舞台剧《星火》．《星火》的票价为50元/人，每人限购一张票．甲、乙、丙三人各带了一张50元钞，其余三人各带了一张100元钞．他们六人排成一列到售票处买票，而售票处一开始没有准备50元零钱，那么他们六人共有多少种不同排队顺序能使购票时售票处不出现找不出钱的状态．（）A ．720B ．360C ．180D ．90【题型十二】综合应用【典例分析】设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需Ti 分钟，假设Ti 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少()A ．从Ti 中最大的开始，按由大到小的顺序排队B ．从Ti 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近Ti 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变【变式演练】1.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（）A ．120B ．112C ．110D ．162.设A 是集合{}12345678910，，，，，，，，，的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A 的个数为（）A ．32B ．56C ．72D ．843.为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲､乙､丙､丁､戊共五名学生担任冰球､冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人.则学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（）A．34B．23C．56D．12【经典题专练】1.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则,A C区域涂色不相同的概率为()A．17B．27C．37D．472.将一个四棱锥S ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数是A．540B．480C．420D．3603.清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，现采用抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级3人不相邻的概率为（）A．512B．712C．914D．5144.10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A ．2263C A B ．2666C A C ．2266C AD ．2265C A 5.将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A ．90B ．135C ．270D ．3606.现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（）A ．28B ．24C ．18D ．167.某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为A ．16B ．18C ．32D ．728.校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有__________种．（用数学作答）9.如图，在某城市中，M ､N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A ､2A ､3A ､4A 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M ､N 处的甲､乙两人分别要到N ､M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N ､M 处为止.则下列说法正确的是（）A ．甲从M 到达N 处的方法有120种B ．甲从M 必须经过2A 到达N 处的方法有64种C ．甲､乙两人在2A 处相遇的概率为81400D ．甲､乙两人相遇的概率为1210.有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.11.2020年疫情期间，某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为1P ，第二批派出两名医务人员的年龄最大者为2P ，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为3P ，则满足123P P P <<的分配方案的概率为（）A ．13B ．23C ．120D ．3412.如图，在某海岸P 的附近有三个岛屿Q ，R ，S ，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥只连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有（）.A ．24种B ．20种C ．16种D ．12种13.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）A ．每人都安排一项工作的不同方法数为54B ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A C C ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C CC C A +D ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +14.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下：数字123456789形式ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨ其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示.（如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（）A ．87B ．95C ．100D ．10315.如图为33⨯的网格图，甲、乙两人均从A 出发去B 地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到达任何一个位置（网格交点处）时向右走过的格数不少于向上走过的格数，记甲、乙两人所走路径的条数分别为M、 的值为（）N，则M NA．10B．14C．15D．16排列组合12种题型归纳1．排列与组合的概念名称定义区别排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．用符号“A m n”表示A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)(1)A n n＝n！；(2)0！＝1C m n＝A m nm！组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号“C m n”表示C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)(1)C n n＝C0n＝1；(2)C m n＝C n－m n；(3)C m n＋1＝C m n＋C m－1n【题型一】人坐座位模型1：捆绑与插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻：解答（1）：先捆绑俩女生，再排列捆绑女生，然后排列四个男生，两个“女生”插孔即可，2242 3245 C A A A（2）分类讨论24422422243445224542451; (2); (3)2C A A A A A C A A A （）都不相邻：A 两队各自相邻：一对两人相邻：！【方法技巧】人坐座位模型：特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列。
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选修2-3：排列组合常见题型可重复的排列（求幂法）重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。
在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。
【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）43（2）34 （3）34相邻问题（捆绑法）相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种练习：（2012辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 (A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！ 【解析】：C相离问题（插空法 ）元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法【解析】： 111789A A A =504【例3】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】：把此问题当作一个排队模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯35C = 10 种方法。
说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒 模型可使问题容易解决.【例4】 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？ 【解析】：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A 34=24种.练习1：(2014辽宁)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( ) A.144 B.120 C.72 D.24【解析】：D练习2： 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？【解析】：先排好8辆车有A 88种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空车位置插入有C 19种方法，所以共有C 19A 88种方法.练习3: 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工 程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
那么安排这6 项工程的不同排法种数是【解析】：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有25A ＝20种不同排法。
某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
【例1】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ 【解析】：老师在中间三个位置上选一个有13A 种，4名同学在其余4个位置上有44A 种方法；所以共有143472A A =种。
.练习1： 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？【解析】 法一：（从元素分析）1656A 3600A = 法二：（从位置分析）25653600A A =法三：3600666677=--A A A练习2：（2010山东理）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） （A ）36种 （B ）42种 (C)48种 （D ）54种 【解析】：B多排问题（单排法）把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
【例1】（1） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ） A 、36种 B 、120种 C 、720种 D 、1440种（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？【解析】：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共66720A =种 （2）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有24A 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A 种，其余5个元素任排5个位置上有55A 种，故共有1254455760A A A =种排法.定序问题（缩倍法）在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.【例1】.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）【解析】： 602255=A A 种 【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？【解析】：法一：6699A A 法二： 39A练习：．从1，2，3，…，9九个数字中选出三个不同的数字a ，b ，c ，且a ＜b ＜c ，作抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，则不同的抛物线共有 条（用数字作答）．【解析】： 84393339==C A A 种标号排位问题（不配对问题）把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去， 依次即可完成.（常用树状图）【例1】 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个 方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种【解析】B练习：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡， 则4张贺年卡不同的分配方式共有( ) （A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）23种【解析】B【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中 有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ） A 10种 B 20种 C 30种 D 60种 【解析】B不同元素的分配问题（先分堆再分配） 注意平均分堆的算法。
【例1】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？ （1） 分成1本、2本、3本三组；（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本； （3） 分成每组都是2本的三个组； （4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本； （5） 分给5人每人至少1本。
【解析】：（1）332516C C C （2）33332516A C C C （3）33222426A C C C （4）222426C C C （5）554412131426A A C C C C 练习：将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种【解析】：211342132236C C C A A ⋅⋅⋅=【例3】 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（ ） （A ）150种(B)180种(C)200种(D)280种【解析】：3113521322C C C A A ⨯+ 1223542322C C C A A ⨯＝150，选A 练习1：四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？ 【解析】：144练习2：5人到一个5层居民楼调查，每人随机选一层，且选每个楼层可能性相等，则恰好只有3个楼层有人调查，且没有被调查的2层不相邻的安排方法有多少种？ 【解析】（1）、先将5人分组，可分为3+1+1或2+2+1（2）、将3组排成一列，会产生4个空，对这4空选2个进行插空。
即共有900)(24332211232522111235=+C A A C C C A C C C 种排法。
练习3：（2016合肥一模理10）某企业的4名职工参加职业技能考核,每名职工均可从4个备选考核项目中任意抽取一个参加考核,则恰有一个项目未被抽中的概率为A.916B.2764C.81256D.716 【解析】169443422111224=⋅=A A C C C P ，选A练习4：（2015合肥三模理8）某校计划高一年级四个班级开展研学旅行活动，初选了A,B,C,D 四条不同路线，每个班级只能在这四条线路中选择一条，且同一线路最多只能有两个班级选择，则不同的选择方案有( )A ．240种B ．204种C ．188种D ．96种 【解析】答案B 。
选4条线路时有44A种, 选3条线路时有3422111224A C C C A 种, 选2条线路时有24222224A C C A 种. 相同元素的分配问题（隔板法）【例1】： 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆 至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.【例2】把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，转化为每份至少一球，运用隔板法，共有120216=C 种放法。
练习1：（2012合肥二模理9）50台完全相同的校车发放给10所学校，每校至少2台，则不同发放方案有____种。
【解析】：939C练习2：如图为7⨯3方格，每个方格均为正方形，则图中共有多少个矩形?【解析】：2428C C练习3:（1）三元一次方程10=++z y x 所有正整数解有多少个?（2）三元一次方程10=++z y x 所有非负整数解有多少个?【解析】：（1）29C （2）212C【例3】：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个 中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？ 【解析】： 1、先从4个盒子中选三个放置小球有34C 种方法。
2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。
为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。