数学：几何概型教案苏教版必修

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3.3.几何概型-苏教版必修3教案

3.3 几何概形-苏教版必修3教案教学目标1.理解几何概念中的相关术语和概念。

2.掌握计算几何图形的相关面积、周长和体积等方面的知识。

3.能够应用几何知识解决生活中常见的问题。

教学内容1.点、线、面的定义点是几何概念中最基本的要素，不具备长度、宽度和高度等特征。

线是两个点通过直线相连的形状，具备长度但没有宽度和高度。

面是由三条或三条以上的线围成的封闭区域，具备面积但没有高度。

2.计算图形的周长和面积•矩形、正方形的周长和面积•直角三角形的周长和面积•一般三角形的周长和面积•圆形的周长和面积3.空间几何图形的计算•正方体、长方体、正棱柱的表面积和体积•正棱锥、正四面体的表面积和体积•圆柱、圆锥、球体的表面积和体积4.几何问题的应用在生活中，我们经常会遇到一些几何问题，例如房屋建造、道路设计、园林设计等。

本部分将通过一些实例对几何知识的应用进行讲解、掌握。

教学方法本课采取“质询式教学”、“实践类教学”和“探究式学习”等多种教学方法，通过让学生进行实际操作和探究来加深对几何概念和应用的理解和记忆。

教学评估本课程的评估将从知识掌握、应用能力和思维能力三个方面进行评估。

1.知识掌握：课后进行小测验，检查学生对课程知识的掌握情况。

2.应用能力：进行一些实例分析和探究练习，检查学生对课程知识的应用能力。

3.思维能力：通过一些思维导图、绘画和手工制作等练习，检查学生的创造力和思维能力。

教学理念在几何学习中，我们需要寓教于乐、融会贯通。

在教学过程中，我们需要注意以下几点。

1.重视学生的参与度：在课堂上，我们要注重学生参与度的提高，采取互动式教学方式激发学生的兴趣。

2.加强实践性教学：几何学习需要通过实践来加深对概念的理解和记忆，因此我们需要注重实践性教学。

3.多元化的教学策略：根据不同学生的学习特点和需求，采取多元化的教学策略，以满足学生的心理和认知需求。

总结通过本次几何概形的教学，学生将对几何概念和计算有更深入的了解，能够应用几何知识解决更广泛的实际问题。

必修3几何概型教案

课题：几何概型
授课教师：丹阳市第五中学史培喜教材：苏教版必修 3 一．教学目标知识目标 1.了解几何概型的概念及基本特点； 2.熟练掌握几何概型的概率公式； 3.正确判别古典概型与几何概型,会进行简单的几何概率计算．能力目标培养学生类比、归纳等数学思维，渗透数形结合的数学思想，学会应用数学知识来解决实际问题，从而提高学生的思维能力。情感、态度、价值观让学生感受探索数学问题的喜悦和体验成功的乐趣，使学生认识到数学与现实生活的联系，从“发现”中体验成功，养成主动探索求知的习惯，培养学生合作交流的意识。二．教学重点和难点（1）重点： ①正确理解几何概型的定义、特点； ②会用几何概型概率公式求解随机事件的概率。（2）难点： ①将实际问题抽象成几何概型； ②几何概型的概率计算中测度的选择。三．教学方法探究式教学四．教学过程 (一)复习 1.古典概型的特点（1）基本事件个数为有限个；（2）每一个基本事件都是等可能发生的． 2.古典概型的概率计算公式
10m
2m
8m
1
（三)建构数学一 1.定义对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型． 2.特点（１）基本事件有无限个；（２）每个基本事件的发生都是等可能的． 3.异同（1）同：每个基本事件的发生都是等可能的；（2）异：基本事件个数不同。（四）合作探究问题：在大的矩形区域内任取一点，那么取到绿色小矩形区域内一点时的概率是多少？变式 1：如图，若一只小蚂蚁在某一墙角边缘 AB 上任意爬行，它随机地停于线段 AB 上任意一个位置，那么它恰好停在线段 CD 上的概率是多少？

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修3 3.3.1 几何概型》26

几何概型阜宁县实验高级中学刘亚飞【课题】几何概型【授课教师】刘亚飞【教材分析】本节课是高中数学人教A版必修三第三章第三节第一课时几何概型，是新课程改革后新增的内容，是在学习了随机事件的概率及古典概型之后，引入的另一类等可能模型，在概率论中占有相当重要的地位学好几何概型有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些现象【学情分析】学生通过古典概型的学习初步形成了解决概率问题的思维模式，但还不是很成熟学生在学习本节课时特别容易和古典概型相混淆，究其原因是思维不严谨，对几何概型的概念理解不清另外，在解决几何概型的问题时，几何度量的选择也需要特别重视，在实际授课时，应当引导学生发现规律，找出适当的方法来解决问题【教学目标】知识与技能：初步体会几何概型的意义，会用公式求解简单的几何概型的概率．过程与方法：通过试验，与已学过计算概率的方法进行比较，提出新问题，师生共同探究，提出可行性解决问题的建议或想法情感态度与价值观：感知生活中的数学，培养学生用随机的观点来理解世界，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价身边的随机现象，学会用科学的方法去观察世界和认识世界【重点难点】教学重点: 几何概型的基本特征及如何求几何概型的概率教学难点: 如何判断一个试验是否是几何概型，如何将实际背景转化为几何度量【教法学法】本节课教师采用层层设疑、启发引导学生自主探究的教学模式；使用多媒体来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识【教学基本流程】创设情境↓探究生成↓形成概念↓巩固深化↓课堂梳理↓布置作业【教学情景设计】解决问题的方案的实质：问题4：一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出升,求小杯水中含有这个细菌的概率（让学生通过合作交流，独立完成解答然后展示成果，让学生对解答过程进行评价，最后教师做总结性评价）0.1()0.11P A ===取出水的体积杯中所有水的体积解决问题的方案的实质：问题5：问题2,3,4的共同特征是什么？事件A 的概率是怎样确定的？概率如何计算？引导学生明确上述问题中的概型就是几何概型师生共同总结几何概型的概念、特征与计算公式内的任意一点，事件A 的概率只与事件A 构成的区域的面积或体积有关，与所在区域的位置、形状无关让学生明确具有无限性基本事件集合,二维时用面积度量,三维时用体积度量问题２，３，４有层次、有目标、有效的的解决了各个难点，符合学生的认知规律为尽可能的揭示知识生成的全貌，使学生从整体上把握问题解决的方法形成概念几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型几何概型的特征：⑴试验中所有可能出现的基本事件有无限多个——基本事件具有无限性⑵ 每个基本事件出现的可能性相等——基本事件发生具有等可能性明确概念的内涵和外延，抓住概念的本质属性，这是探究活动的重要环节，有助于培养学生的语言表达能力、归纳概括能力与辩证思维能力()P A =构成事件A 的区域的面积试验的全部结果构成的区域的面积()P A =构成事件A 的区域的体积试验的全部结果构成的区域的体积在几何概型中，事件A的概率计算公式：巩固深化例1：某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率如何判断这一试验为几何概型？如何找到等待的时间不多于10分钟这个事件A所在的区域？如何计算该事件A的概率？采取以学生自主学习的方式,学生独立完成让学生板演，教师巡视学生的做题情况教师对巡视时发现的问题通过实物投影仪进行点评【模拟试验】做一个带指针的转盘，把它6等分，与钟表的格子对应，可以用固定转盘不动旋转指针的方法，或固定指针不动，旋转转盘的方法，做2021验可以得到该事件概率的估计值教师继续追问学生能否把例1转化为“转盘”问题，用几何概型的知识解决课堂练习1．已知4路公交车每5min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即乘上车的概率围绕概念选择典型例题,设置问题学生完成后，教师组织学生进行点评，引导学生总结解题的方法步骤，以及应注意的问题，达到更好的掌握知识和数学思想方法的目的通过师生、生生互动点评，使学生逐步养成主动参与评价的意识,获得了积极情感体验利用实物模型，用模拟的方法得到概率的估计值让学生动手操作，使学生相信模拟结果的真实性，意识到解决问题方法的不唯一性引导学生从多角度思考问题，“转盘”问题可以用弧长、角度、面积等不同的几何度量去求解,加深学生对几何概型的理解()P A构成事件A的区域的长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域的长度（面积或体积）【教学反思】教师要改变教学观念，以生为本，以学定教在师生双边活动中，教师不是作为一个权威来告诉学生结果是什么，而是尊重学生的主体地位，使学生学会学习，获得知识，掌握方法不仅要为当前的学习，而且要为今后的终身学习和终身发展奠定良好的基础，这正是新课程标准的基本理念，也是当前素质教育的要求2 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？ 3向体积为的三棱锥内任投一点，求三棱锥的体积小于的概率课堂练习让学生尝试自主解决,以达到巩固概念，强化应用的目的课堂梳理让学生自己总结：我们这节课你学到了什么？通过这节课你掌握了哪些方法？应该注意些什么问题？有哪些思想是在以后的学习中可以借鉴的等课堂梳理，可以把课堂探究生成的知识尽快转化为学生的素质，巩固深化这节课的内容布置作业基础题：P142 1,2拓展题：如图,将一个长与宽不等的长方形水平放置，长方形对角线将其分成四个区域在四个区域内涂上红、蓝、黄、白四种颜色，并在中间装个指针，使其可以自由转动对于指针停留的可能性，下列说法正确的是（）A ．一样大B 黄、红区域大C 蓝、白区域大D 由指针转动圈数确定设计了基础题与拓展题，因材施教，这样既面向总体又照顾学生差异，满足不同学生发展的需要。

几何概型教案江苏省高中数学优质课

3．3几何概型（1）苏教版：必修3一、教学目标：1、理解几何概型的概念，能识别几何摡型并会用其概率公式求解；2、经历从具体到抽象、特殊到一般的思维过程，体会数学建模的一般方法；通过问题求解，领会将实际问题或一般数学问题转化为几何问题的解题策略；3、在实际问题数学化的过程中感受数学与现实世界的联系；在探索交流活动中感受合作的乐趣，提高学习的兴趣。

二、教学重点与难点：教学重点：几何摡型概念的建构。

教学难点：几何概率模型中基本事件的确定，几何“测度”的选择；将实际问题转化为几何概型.三、教学方法与教学手段：本节课以直观观察为主线，采用“引导发现、归纳猜想”为主的教学方法；以“课题性问题和导向性问题解决”作为教学路径，利用多媒体辅助教学手段。

四、教学过程【以境激情，引出新知】试验1（幸运卡片）班上有9位同学持有卡片，其中3张写着数学家的名言，老师随机选一张，恰好挑到写有名言的卡片的概率是多少？【设计意图】拉近师生距离，复习古典概型。

试验2（剪绳试验）取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm的概率有多大？【设计意图】引发认知冲突，引入几何概型。

【情境拓展】3. 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,黄心直径为12.2cm.运动员在70m 外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多少?【设计意图】丰富感性认知，呈现面积测度。

【互动交流，建构新知】【设计意图】分步提炼概括，分散教学难点。

1、几何概型的概念：设D 是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等). 每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点.这时，事件A发生的概率与d 的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d 区域的形状，位置无关.我们把满足这样条件的概率模型称几何概型. 2、几何概型的概率计算公式：的测度的测度D d A P =)(活动3：结合“打靶问题”，若让你改造箭靶，你将如何设置黄色区域，仍使击中黄色区域的概率为1001呢？【设计意图】及时回扣情境，完成新知建构【解决问题，运用新知】例1：取一个边长为2a 的正方形及其内切圆(如图),随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.解：记“豆子落入圆内”为事件A,由于是随机地丢豆子，故认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的，可将边长为2a 的正方形看作区域D.其内切圆为区域d 。

3.3《几何概型》教案(苏教版必修3).

内容：3． 3几何概型教课目的：1、知识与技术：（1）正确理解几何概型的观点；（2）掌握几何概型的概率公式：P（ A） = d的测度；D的测度（3）会依据古典概型与几何概型的差别与联系来鉴别某种概型是古典概型仍是几何概型；（4）会利用平均随机数解决详细的有关概率的问题．2、过程与方法：（1）发现法教课，经过师生共同研究，领会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，领会数学知识与现实世界的联系，培育逻辑推理能力；（2）经过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成着手、动脑的优秀习惯。

3、感情态度与价值观：本节课的主要特色是随机试验多，学习时养成好学谨慎的学习习惯。

教课要点：几何概型的观点、公式及应用；教课难点：利用计算器或计算机产生平均随机数并运用到概率的实质应用中．教课过程：一、问题情境1．取一根长度为３ｍ的绳索，拉直后在随意地点剪断，那么剪得两段的长都不小于１ｍ的概率有多大？2．射箭竞赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色．金色靶心叫“黄心” ．奥运会的竞赛靶面直径为１２２ｃｍ，靶心直径为１２．２ｃｍ．运动员在７０ｍ外射箭．假定射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？3．两个人商定在8： 00 至 9： 00 之间到某地址约会，规定先到的人等十分钟后走开，问两人能会面的概率是多大？二、建构数学从上边的剖析能够看到，关于一个随机试验，我们将每个基本领件理解为从某个特定的几何地区内随机地取一点，该地区中每一点被取到的时机都同样。

一个随机事件的发生则理解为恰巧取到上述地区内的某个指定地区中的点．这里的地区能够是线段、平面图形、立体图形等．用这类方法办理随机试验，称为几何概型．在几何地区Ｄ中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个地区内”为事件Ａ，则事件Ａ发生的概率：d的测度Ｐ（Ａ）＝．这里要求Ｄ的测度不为０，此中“测度”的意义依Ｄ确立，当Ｄ分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等．三、数学运用1．例题例 1 取一个边长为２ａ的正方形及其内切圆（如图），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．思虑：由此例可知，豆子落入圆内的概率P( A)，我们可用Ｅｘｃｅｌ来模拟4撒豆子的试验，以此来预计圆周率，请你设计出有关算法。

苏教版数学高一苏教版必修3教案3.3几何概型第一课时

3.3 几何概型整体设计教材分析这部分是新增加的内容.几何概型是另一类等可能性概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子.随机模拟中的统计思想是用频率估计概率，这一点与古典概型是一致的.本节的教学需要一些实物模型为教具，如教科书中的长度3米的绳子模型、例1中的随机撒豆子的模型等.教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果.在这个过程中，要让学生体会结果的随机性与规律性，体会随着试验次数的增加，结果的精度会越来越高.随机数的产生与随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动.第一个课时主要讲授几何概型的特点及其概率计算公式和运用几何概型解决求某一个事件的概率的例题教学；第二课时主要是通过例题教学及用计算机随机模拟试验（运用Excel 软件），以及课堂练习加强学生对几何概型的巩固.几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件.教材中例1的教学可以分解为如下步骤：（1）把问题抽象成几何概型.随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，则落在某个区域的豆子数只与这个区域的面积大小有关（近似成正比），而与区域的位置和形状无关，这符合几何概型的条件，可以看成几何概型.（2）利用几何概型求概率的公式，得到P(豆子落入圆内)=正方形的面积圆的面积. （3）启发引导学生探究圆周率π的近似值，用多种方式来模拟.三维目标1.通过解决具体问题的实例去感受几何概型的概念，掌握基本事件等可能性的判断方法.2.理解几何概型的意义、特点，会用公式计算几何概率.3.通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯.4.学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的能力.重点难点教学重点:1.体会随机模拟中的统计思想.2.用样本估计总体.3.理解几何概型的定义、特点、会用公式计算几何概率.教学难点:1.等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.2.把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课设计思路一：（问题导入）根据下述试验，回答问题：一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T 表示所切两段绳子都不短于1米的事件，试问事件T 发生的概率.设计思路二：（情境导入）根据下列游戏，回答相应问题：游戏规则如下：由边长为1米的四方板构成靶子，并将此板分成四个边长为1/2米的小方块（如图）.由游戏者向板中投镖，事件A 表示投中阴影部分为成功.试问投中阴影部分即事件A 发生的概率.推进新课新知探究我们先来解决“导入”中设计思路一中的问题.分析：类似于古典概型，我们希望先找到基本事件组，即找到其中每一个基本事件.注意到每一个基本事件都与唯一一个断点一一对应，故设计思路一中的实验所对应的基本事件组中的基本事件就与线段AB 上的点一一对应.若把离绳AB 首尾两端1的点记作M 、N ，则显然事件T 所对应的基本事件所对应的点在线段MN 上.由于在古典概型中事件T 的概率为T 包含的基本事件个数/总的基本事件个数，但这两个数字（T 包含的基本事件个数、总的基本事件个数）在引例1中是无法找到的，不过用线段MN 的长除以线段AB 的长表示事件T 的概率似乎也是合理的.线段AB 长5，线段AM 、BN 长为1，则线段MN 长为3解：P （T ）=3/5.此结果用第一节的统计的方法来验证是正确的.从上面的分析可以看到，对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点.这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型（geometric probability model ）一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P(A)=的测度的测度D d . 这里要求D 的测度不为0，其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.类似于设计思路一的解释，完全可以把设计思路二中的实验所对应的基本事件组与大的正方形区域联系在一起，即事件组中的每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应，则事件A 所包含的基本事件就与阴影正方形中的点一一对应，这样我们用阴影正方形的面积除以大正方形的面积表示事件A 的概率是合理的.这一点我们完全可以用设计思路一的方法验证其正确性.解：P （A ）=（1/2）2/12=1/4.在某些情况中，可把实验中基本事件组中的每一个基本实验与某一个几何区域D 中的点一一对应起来，这个区域可以是一段曲线（一维区域），或一个平面区域（二维区域）.这样在实验中某一事件A ，就可与几何区域D 中的子区域d 表示了，如下图：试验：从D 中随机地取一点；事件发生：所取的点属于d ；事件未发生：所取的点不属于d.这样事件A 的概率如何计算呢？在设计思路一中，P(A)=子区域d 的长度/区域D 的长度=3/5.在设计思路二中，P(A)=子区域d 的面积/区域D 的面积=1/4.从上面的分析可以看到，对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点.这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型（geometric probability model ）一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P(A)= 的测度的测度D d . 这里要求D 的测度不为0，其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.通过对以上两个设计思路的分析，我们看到事件A 的概率用子区域d 的大小与几何区域D 大小的比值来表示是合理的.当子区域d 和几何区域D 是一维区域时，它们的大小用它们的长度来表示；当子区域d 和几何区域D 是二维区域时，它们的大小用它们的面积来表示；当子区域d 和几何区域D 是三维区域时，它们的大小用它们的体积来表示.为定义统一，若几何区域的大小我们称为这个区域的“测度”，则P(A)=子区域d 的测度/区域D 的测度.由于几何区域d 是几何区域D 的子集，于是我们有0≤d 的测度≤D 的测度，在不等式两侧同时除以D 的测度（一般假定其为正数）则有的测度的测度的测度的测度的测度D D D d D ≤≤0，即0≤P≤1，这个不等式表明几何概型的概率在0和1之间. 注意到当p(A)＝0时，d 的测度一定为0（一个点的长度是0，一条曲线的面积是0），且当p(A)=1时，d 的测度必须等于D 的测度.几何概型的基本特点是：（1）在每一次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限个；（2）在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的.从几何概型具有的特点来看，几何概型与古典概型的区别在于，几何概型是无限多个等可能事件的情形，而古典概型中的等可能事件只是有限个.应用示例思路1例1 判断下列试验中事件A 发生的概率是古典概型，还是几何概型.（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（2）如图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率. 分析：本题考查的是几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关.解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；（2）游戏中指针指向B 区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型.点评：区别某一个问题是属于古典概型还是属于几何概型，要注意抓住它们的特点：几何概型是无限多个等可能事件的情形，而古典概型中的等可能事件只是有限个.例2 在一个量杯中装有1升的水，其中含有一个细菌，现在用一个小杯子从中取出0.1升的水，求这个小杯子所取出的水中含有这个细菌的概率.分析：细菌在量杯的水中的分布可以看成是随机的，因此符合几何概型的特点，所以可以运用几何概型概率的解法来求解.解：细菌在水中的分布看成是随机的，符合几何概型的特点，从这个量杯中取出的0.1升水看成区域d ，所有的1升水看成区域D ，记事件A 为“小杯子所取出的水中含有这个细菌”，则P(A)=11.0 所有水的体积取出的水的体积=0.1. 答：这个小杯子所取出的水中含有这个细菌的概率为0.1.点评：在本题中，“测度”是体积；基本事件（这个细菌可以生存在这1升水的任何区域）有无限多个，同时因为是随机分布的，即基本事件是等可能的，所以符合几何概型的特点，因此，选择几何概型的计算方法计算概率.例3 将正方形ABCD 等分成九个小正方形，并用红、黄、蓝三种颜色涂成如图所示的图案，向正方形ABCD 内随机投点，分别求下列事件的概率.(1)点落在红色区域；(2)点落在红色或蓝色区域；(3)点落在黄色或蓝色区域.分析：因为投点时是随机的，而且点落在正方形是随机分布的，因此，符合几何概型的特点，所以，用几何概型计算概率的方法来解.解： (1)记事件A 为“点落在红色区域”，假设正方形ABCD 的面积为9个单位，则 P(A)=94=的面积正方形红色区域面积ABCD . (2)记事件B 为“点落在红色或蓝色区域”，同样假设正方形ABCD 的面积为9个单位，则 P(B)=32924=+=的面积正方形积之和红色区域与蓝色区域面ABCD . (3)记事件C 为“点落在黄色或蓝色区域”，同样假设正方形ABCD 的面积为9个单位，则P(C)=95923=+=的面积正方形积之和黄色区域与蓝色区域面ABCD . 点评：在本题中，计算概率时所涉及的“测度”是正方形的面积，因此，准确判断几何图形的面积是解决“测度”是几何图形的面积的几何概型问题的关键.例4 甲、乙两人相约在上午9：00至10：00之间在某地见面，可是两人都只能在那里停留5分钟.问两人能够见面的概率有多大？分析：由于甲、乙两人是随机出现在约会地点，而且在每一时刻出现是等可能的，因此用几何概型来解.解：为（9+x ）小时，乙到的时间为（9＋y ）小时，则0≤x≤1,0≤y≤1.点（x,y ）形成直角坐标系中的一个边长为1的正方形，以（0,0），（1,0），（0,1），（1,1）为顶点（如图）.由于两人都只能停留5分钟即121小时，所以在|x －y|≤121时，两人才能会面.由于|x －y|≤121是两条平行直线x －y=121,y －x=121之间的带状区域，正方形在这两个带状区域是两个三角形，其面积之和为(1－121)×(1－121)=(1211)2，从而带形区域在这个正方形内的面积为1－(1211)2=14423，因此所求的概率为14423114423=.点评：本题将时间看成是“测度”，因此，建立适当的“测度”是解决本题的关键.思路2例1 有一段长为10米的木棍，现要将其截成两段，要求每一段都不小于3米，则符合要求的截法的概率是多大？分析：由于要求每一段都不小于3米，也就是说只能在距两端都为3米的中间的4米中截，这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题.解：记两段木棍都不小于3米为事件A，则P(A)=52103310=--.点评：本题中“测度”为长度.例2 飞镖随机地投掷在如图所示的靶子上，(1)在每一个靶子中，飞镖投到区域A、B、C的概率分别为多少？(2)在靶子1中，分别投中区域A或B的概率是多少？(3)在靶子2中，飞镖没有投中区域C的概率是多少？(假设每一次投掷都没有脱靶)（靶子1是正三角形，三角形内的三条线段是三角形的顶点与重心的连线；靶子2中水平线是圆的直径，竖直的线段是垂直于直径的半径）分析：由于飞镖投中的位置是随机的，因此，投中的结果有无数个，而飞镖投中任何位置的可能性相等，因此，本题符合几何概型的特点，所以运用几何概型的概率计算方法来求解.解：(1)在靶子1中分别记“飞镖投到区域A、B、C”为事件A、B、C，设正三角形的面积为S，则三个小三角形的面积（也就是区域A、B、C的面积）都是正三角形面积的31，即每个小三角形的面积都是3S，所以，P(A)=P(B)=P(C)=313==SS正三角形的面积小正方形的面积.在靶子2中分别记“飞镖投到区域A、B、C”为事件A1、B1、C1，设圆的面积为S1，则区域A的面积为21S，区域B、C的面积为41S，因此，P(A1)=21，P(B1)=P(C1)=41.(2)记事件D为“在靶子1中，分别投中区域A或B”，所以，P(D)=32=正三角形的面积的面积之和与区域BA.(3)记事件E 为“在靶子2中，飞镖没有投中区域C”，则有P(E)=43=圆的面积的面积之和与区域B A . 点评：在本题的飞镖的投掷中，因为是随机投掷，且没有脱靶，因此，符合几何概型的特点，所以用几何概型来计算有关的概率.在本题中的“测度”是面积.例3 如图，正方形ABCD 内接于半圆，现向半圆内随机投一点，求该点落在正方形内的概率.分析：由于点是随机投入半圆中，因此，符合几何概型的特点，考虑用几何概型的概率计算方法来求解.解：设半圆的半径为R ，正方形ABCD 的边长为x ，由平面几何知识可知：x 2=(R －2x )(R+2x )，得x 2=54R 2. 记该点“落入正方形内”为事件A ，则P(A)=ππ58222==Rx 半圆的面积正方形的面积≈0.51. 点评：根据实际问题的背景，本题符合几何概型的特点，本题的“测度”是面积.例 4 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率.分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解：记事件A“等待的时间不多于10分钟”,我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于［50,60］这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)=61605060=-，即此人等车时间不多于10分钟的概率为61. 点评：在本题中，到站等车的时刻X 是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，因此符合几何概型的特点，所以用几何概型概率的计算方法来求解.知能训练1.在500 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（）A.0.5B.0.4C.0.004D.不能确定2.平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r<a 的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.3.某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定:顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止时，指针正好对准红、黄或绿的区域，顾客就可以获得100元、50元、20元的购物券（转盘等分成20份）.甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别是多少？4.（丈夫与妻子相遇问题）一位丈夫和他的妻子要上街购物，他们决定在下午4：00到5：00之间在某一街角相会，他们约好当其中一个先到后一定要等另一人15分钟.若另一人仍不到则离去.试问这对夫妇能够相遇的概率为多大？假定他们到达约定地点的时间是随机的且都在约定的一小时之内.解答： 1.C （提示：由于取水样的随机性，所求事件A ：“在取出2 mL 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比2500=0.004）2.把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A ，为了确定硬币的位置，由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ，垂足为M ，如图所示，这样线段OM 长度（记作OM ）的取值范围就是［o,a ］，只有当r ＜OM≤a 时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A 的概率就是P （A ）=ar a a a r -=的长度的长度],0[],(.3.甲顾客购物的钱数在100元到200元之间，可以获得一次转动转盘的机会，转盘一共等分了20份，其中1份红色、2份黄色、4份绿色，这符合几何概型的条件，因此对于顾客来说：P （获得购物券）=20720421=++； P （获得100元购物券）=201； P （获得50元购物券）=101202=； P （获得20元购物券）=51204=. 4. 设x 和y 为下午4：00以后丈夫和妻子分别到达约定地点的时间（以分钟计数），则他们所有可能的到达时间都可由有序数对（x ，y ）来表示,这里0＜x ＜60，0＜y<60，基本事件组所对应的几何区域即为边长为60的正方形区域（如下图），为使得两夫妇相遇，他们的到达时间必须在相距15分钟的间隔之内，用数学符号表示即为绝对值不等式｜x-y ｜＜15（例如当妻子比丈夫晚到14分钟时，他们是可以相遇的，这时，只需注意到x-y＝－14，即给出|x-y|＝14，不等式满足），而基本事件组所对应的几何区域中｜x-y｜＜15的图形构成事件r发生的区域，事件r的阴影部分和R的区域如图所示.因此P(r)=1673600157536002025360060245245602222==-=--.点评：依据实际问题，建立相应的数学模型，将问题转化为几何概型问题是关键所在.课堂小结通过这几节课的学习，已经有三种方法来求随机事件发生的概率了.这三种方法分别是一、通过做试验的方法得到随机事件发生的频率，以此来近似估计随机事件的概率；二、用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率；三、用几何概型的公式来计算随机事件发生的概率.用古典概型的公式或几何概型的公式来计算事件发生的概率时，首先应该判断该试验是否符合古典概型或几何概型的特征，然后再解题.具体地说，如果一个试验满足：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件在每一次试验中出现的可能性相等，那么我们就可以用古典概型的公式来计算事件发生的概率.如果一个试验满足：（1）试验中所有可能出现的基本事件有无数个；（2）每个基本事件在每一次试验中出现的可能性相等，那么我们就可以用几何概型的公式来计算事件发生的概率.第一种方法通过做试验的方法得到事件发生的频率，以此来近似估计概率.这种方法对计算任何随机事件发生的概率的题型都适用.但是，这种方法求出来的是随机事件发生的频率，而不是概率，只是用频率来估计概率.几何概型（1）设线段l是线段L的一部分，向L上任意投一点，若投中线段l上的点的数目与该段的长度成比例，而与线段l在线段L上的相对位置无关，则点投中线段l的概率为P=的长度的长度Ll；（2）设平面图形s是平面图形S的一部分，向图形S上任意投一点，若投中图形s上的数目与该图形的面积成比例，而与图形s在图形S上的相对位置无关，则点投中图形s的概率为P=的长度的长度Ss；（3）设空间几何体v 是空间几何体V 的一部分，向几何体V 上任意投一点，若投中几何体v 上的数目与该几何体的体积成比例，而与几何体v 在几何体V 上的相对位置无关，则点投中几何体v 的概率为 P=的长度的长度V v . 作业课本习题3.3 1、2、3.设计感想由于几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，因此，在引出几何概型之后，将几何概型的特点与古典概型的特点进行比较，总结它们的相同地方和不同的地方.两者都是等可能事件，所不同的是，古典概型的基本事件的个数是有限的，而几何概型的基本事件的个数是无限的，两者的区别必须讲清楚.另外，在几何概型的概率计算公式中的“测度”，可以是线段的长度，图形的面积，几何体的体积等等，还有一些是可以转化为上述量的具体问题，要会转化.（设计者：王国冲）。

高中数学3.3.3几何概型学案3苏教版必修3

第37课时7.3.3几何概型学习要求1、增强几何概型在解决实际问题中的应用意识．2、将实际问题转化为几何概型，并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题．【课堂互动】自学评价1.几何概型的概率：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D =的测度的测度．2.与几何概型有关的实际问题：长度问题、面积问题、体积问题、等候问题、约会问题、点集问题等等。

【精典范例】例1 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？【分析】病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率．【解】取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则101()1000100P A ===取出的种子体积所有种子的体积答：所求概率为1100．例 2 如图，60AOB ∠=，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ，试求：（１）AOC ∆为钝角三角形的概率；（２）AOC ∆为锐角三角形的概率．【解】如图，由平面几何知识：当AD OB ⊥时，1OD =；当OA AE ⊥时，4OE =，1BE =．（１）当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时，AOC ∆为钝角三角形记＂AOC ∆为钝角三角形＂为事件M ，则11()0.45OD EB P M OB ++===即AOC ∆为钝角三角形的概率为0.4．（２）当且仅当点C 在线段DE 上时，AOC ∆为锐角三角，记＂A O C ∆为锐角三角＂为事件N ，则3()0.65DE P N OB === 即AOC ∆为锐角三角形的概率为0.6．例3 一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内随机地爬行,求其恰在离四个顶点距离都大于3的地方的概率.【解】44636222ππ-=⋅-=P例 4 利用随机模拟方法计算曲线1y x=，1x =，2x =和0y =所围成的图形的面积．【分析】在直角坐标系中画出正方形（1x =，2x =，0y =，1y =所围成的部分），用随机模拟的方法可以得到它的面积的近似值．【解】（１）利用计算器或计算机产生两组0到1区间上的随机数，1a RAND =，b RAND =；（２）进行平移变换：11a a =+；（其中,a b 分别为随机点的横坐标和纵坐标）（３）数出落在阴影内的点数1N ，用几何概型公式计算阴影部分的面积．例如，做1000次试验，即1000N =，模拟得到1689N =，所以10.6891S N N≈=，即0.689S ≈．【说明】模拟计算的步骤：（１）构造图形（作图）；（２）模拟投点，计算落在阴影部分的点的频率mn；（３）利用()m d P A n D ≈=的测度的测度算出相应的量．追踪训练1、如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（ A ）A．18B．14C．12D．342、在区间[0,10]中任意取一个数，则它与2之和大于10的概率是_____1/5___________3、两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率．解：记“灯与两端距离都大于2m”为事件A，则21 ()63P A==．。

高中数学新苏教版精品教案《3.3.1 几何概型》

《几何概型》教学设计赣榆高级中学卢海燕教学过程：师：我们已经学习了古典概型，其基本事件特点？概率计算公式？m和n含义？问题1：一根3m长的绳子上有五个等份点，随机的从某个等分点处将绳子剪断，求剪得两段长都不小于1m概率。

师：拿到一个概率问题我们首先要分析试验的一个基本事件是什么？生：从每个等分点处剪断都是一个基本事件，师：基本事件个数有限（共5个）且等可能。

师：显然是一个古典概型，记A=“剪得两段长都不小于1m”。

当从哪几个等分点处剪断时事件A发生？生：从B、C、D三点。

师：即A中包含3个基本事件，故长的绳子，拉直后在任意位置剪断，求剪得两段长都不小于1m的概率师：（这题实际上是由上题发展而来）试验的一个基本事件？生：从每个位置剪断都是一个基本事件，师：因此，基本事件无限且等可能，这样分析本题不属于古典概型，记A=“剪得两段长都不小于1m”。

当剪断点落在哪些位置时随机事件A发生？生：如图将绳子3等分，当从中间一段CD处剪开时，事件A发生。

师：直观感觉事件A发生的概率与什么有关？生：与中间一段线段CD的长度有关。

师：你们觉得事件A发生的概率可以如何计算？生：CD AB 122cm12.2cm70m()AP的测度的测度Dd()AP的测度的测度Dd 域长度（面积或体积）所有基本事件构成的区积）的区域长度（面积或体构成事件A师：为什么基本事件概率为0？每个基本事件都看作区域D中一个点，而点的测度为0，所以基本事件概率为0。

下面试着用几何概型去解决一些概率问题例1 取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率师：基本事件？特点？概型？生：豆子落入正方形内任一点都是一个基本事件，基本事件无限且等可能，故几何概型。

师：将豆子抽象为点，问题抽象为？生：向正方形内等可能任投一点，求恰好投入圆内概率，故D为正方形，d为圆，测度面积。

（一起书写解答过程）解：设A=豆子落入圆内，则2aπ2a4/π4/π含有麦锈病种子的概率是多少？师：基本事件？概型？生：麦锈病种子出现在1L小麦种子中每一个位置都是一个基本事件，基本事件无限且等可能，故为几何概型。

高中数学第3章概率3.3几何概型教学案苏教版必修

几何概型[新知初探]1．几何概型的定义对于一个随机试验，将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．2．几何概型的特征(1)在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无穷多个．(2)在随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的．[点睛](1)判断一个随机试验是否为几何概型时，两个条件“无限性”与“等可能性”的验证缺一不可．(2)注意几何概型与古典概型的区别，前者基本事件有无限个，而后者只有有限个．(3)在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与该区域的位置、形状无关．3．几何概型的计算公式在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.这里要求D 的测度不为0，其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等．1．下列概率模型：①从1～10中任意取一个整数，求取到5的概率； ②从区间[1,10]内任意取一个数，求取到5的概率； ③一枚硬币连掷三次，求出现一次正面朝上的概率；④一个十字路口的交通信号灯中，红灯、黄灯、绿灯亮的时间分别为30秒、50秒、60秒，求某辆车到达路口遇见绿灯的概率．其中是几何概型的是________(填序号)．答案：②④2．在区间[1,3]上任取一数，则这个数大于1.5的概率为________．答案：0.753．在边长为4的正方形中有一个半径为1的圆，向这个正方形中随机投一点M ，则点M 落在圆内的概率为________．答案：π16[典例] (1)在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________．(2)某汽车站每隔15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，则一位乘客到达车站后等车时间超过10 min 的概率为__________．[解析] (1)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x |≤1，得x ∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x ，|x |≤1的概率P ＝23.(2)设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，则线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T ＝5，T 2T ＝10，如图所示．记“等车时间超过10 min ”为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上(不含端点)时，事件A 发生．∴P (A )＝T 1T 的长度T 1T 2的长度＝515＝13，一维几何概型即该乘客等车时间超过10 min 的概率是13.[答案] (1)23 (2)13[活学活用]1．已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，在区间⎣⎡⎦⎤12，2上任取一点x 0，则使f (x 0)≥0的概率为________．解析：欲使f (x )＝log 2x ≥0，则x ≥1，而x ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴x 0∈[1,2]，从而由几何概型概率公式知所求概率 P ＝2－12－12＝23. 答案：232．在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ，求使AM ＞AC 的概率．解：如图所示：设事件D 为“作射线CM ，使AM ＞AC ”．在AB 上取点C ′，使AC ′＝AC .∵△ACC ′是等腰三角形， ∴∠ACC ′＝180°－30°2＝75°，∠BCC ′＝90°－75°＝15°，∠ACB ＝90°， ∴P (D )＝∠BCC ′∠ACB ＝16.[典例] (1)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通二维几何概型信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是________．(2)设关于x 的方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.①若a 是从0,1,2,3这四个数中任取一数，b 是从0,1,2这三个数中任取一个数，则此方程有实根的概率为________．②若a 是从[0,3]中任取一数，b 是从[0,2]中任取一个数，则此方程有实根的概率为________．[解析] (1)由题意知，两个四分之一圆补成半圆其面积为12×π×12＝π2，矩形面积为2，则所求概率为2－π22＝1－π4.(2)①此题是古典概型，所有基本事件为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共12个．要使方程有实根则Δ＝4a 2－4b 2≥0， ∴a ≥b ，符合此条件的基本事件有(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共8个．故所求概率为812＝23.②该试验的全部结果所构成的区域为如图所示：即{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}．构成事件的区域为图中阴影部分OABC 所示，即{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }． ∴所求的概率P ＝S 四边形OABC S 四边形OABD ＝3×2－12×223×2＝23.[答案] (1)1－π4 (2)①23 ②231.如图，四边形EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P (A )＝________.解析：圆的半径是1，则正方形的边长是2，故正方形EFGH (区域d )的面积为(2)2＝2.又圆(区域D )的面积为π，则由几何概型的概率公式，得P (A )＝2π.答案：2π2．已知函数f (x )＝ax 2－bx －1，其中a ∈(0,2)，b ∈(0,2)，则函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数的概率为________．解析：该问题是几何概型，试验的全部结果构成的区域为如图所示正方形OABC ，要使f (x )在[1，＋∞)上单调增，则b2a≤1，即b ≤2a .符合此条件的点(a ，b )对应的区域为图中阴影部分，即直角梯形OABD 又S 正方形OABC ＝4，S 梯形＝12×(1＋2)×2＝3.故所求概率P ＝34.答案：34[典例] 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，在正方体内随机取一点M . (1)求点M 落在三棱锥B 1-A 1BC 1内的概率；(2)求点M 与平面ABCD 及平面A 1B 1C 1D 1的距离都大于a3的概率；(3)求使四棱锥M -ABCD 的体积小于16a 3的概率．[解] (1)棱长为a 的正方体的体积V ＝a 3. 由正方体的性质可知VB 1-A 1B C 1＝16a 3，∴点M 落在三棱锥B 1-A 1BC 1内的概率为P ＝VB 1-A 1BC 1V ＝16. (2)∵两平行平面ABCD 及平面A 1B 1C 1D 1的距离为a ，∴点M 与平面ABCD 及平面A 1B 1C 1D 1的距离都大于a 3的概率为13.(3)设点M 到平面ABCD 的距离为h .由题意，得13a 2h ＜16a 3，∴h ＜a2.∴使四棱锥M ABCD 的体积小于16a 3的概率为12.三维几何概型用橡皮泥做成一个直径为6 cm 的小球，假设橡皮泥中混入一个很小的砂粒，试求这个砂粒距离球心不小于1 cm 的概率．解：设“砂粒距离球心不小于1 cm ”为事件A ，球心为O ，砂粒位置为M ，则事件A 发生，即OM ≥1 cm.设R ＝3，r ＝1，则区域D 的体积为V ＝43πR 3，区域d 的体积为V 1＝43πR 3－43πr 3.∴P (A )＝V 1V ＝1－⎝⎛⎭⎫r R 3＝1－127＝2627. 故砂粒距离球心不小于1 cm 的概率为2627.[层级一学业水平达标]1．某交通路口的红绿灯闪亮时间如下，红灯28秒，黄灯2秒，绿灯30秒，则赶到路口恰好能通过的概率为________．解析：3028＋2＋30＝12.答案：122．面积为S 的△ABC ，D 是BC 的中点，向△ABC 内部投一点，那么落在△ABD 内的概率为________．解析：这是一个几何概型(如图)．∵D 为BC 的中点，∴S △ABD S △ABC ＝12，即所求事件的概率为12.答案：123．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，故P (A )＝2400＝0.005. 答案：0.0054. 如图，一颗豆子随机扔到桌面上，则它落在非阴影区域的概率为________．解析：试验发生的范围是整个桌面，其中非阴影部分面积占整个桌面的69＝23，而豆子落在任一点是等可能的，所以豆子落在非阴影区域的概率为23. 答案：235．有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，求点P 到点O 距离大于1的概率．解：区域D 的体积V ＝π×12×2＝2π，当P 到点O 的距离小于1时，点P 落在以O 为球心，1为半径的半球内，所以满足P 到O 距离大于1的点P 所在区域d 的体积为V 1＝V －V 半球＝2π－23π＝43π.所求的概率为V 1V ＝23.[层级二应试能力达标]1. 如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．解析：由几何概型知，S 阴S 正方形＝23，故S 阴＝23×22＝83.答案：832. 如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于________．解析：△ABE 的面积是矩形ABCD 的面积的一半，由几何概型知，点Q 取自△ABE 内部的概率为12.答案：123．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.解析：由题意知m ＞0，则由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m ，所以满足|x |≤m 的概率为m －－m4－－2＝2m 6＝56，解得m ＝52. 答案：524．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为________．(填序号)解析：根据几何概型的面积比，①游戏盘的中奖概率为38；②游戏盘的中奖概率为13；③游戏盘的中奖概率为(2r )2－πr 2(2r )2＝4－π4；④游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1π.故①游戏盘的中奖概率最大．答案：①5．设D 是半径为R 的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C ，连接CD 得一弦，若A 表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P (A )＝________.解析：如图所示，△DPQ 为圆内接正三角形，当C 点位于劣弧PQ 上时；弦DC ＞PD ；∴P (A )＝13.答案：136．一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形内爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离都超过1的概率为________．解析：由题意，蚂蚁若要距离三角形的三个顶点的距离都超过1，则蚂蚁应在图中阴影部分爬行，故P ＝6－12π6＝1－π12.答案：1－π127．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________．解析：点P 到点A 的距离小于等于a 可以看做是随机的，点P 到点A 的距离小于等于a 可视作构成事件的区域，棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1可视做试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率．P ＝18×43πa 3a 3＝16π. 答案：16π8. 如图所示，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．解析：如图所示，不妨设扇形的半径为2a ，记两块白色区域的面积分别为S 1，S 2，两块阴影部分的面积分别为S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝S 扇形OAB ＝14π(2a )2＝πa 2①，而S 1＋S 3与S 2＋S 3的和恰好为一个半径为a 的圆的面积，即S 1＋S 3＋S 2＋S 3＝πa 2②.由①－②，得S 3＝S 4.又由图可知S 3＝S 扇形E OD ＋S 扇形C OD －S 正方形OEDC ＝12πa 2－a 2，所以S 阴影＝πa 2－2a 2.故由几何概型概率公式可得所求概率P ＝S 阴影S 扇形OAB＝πa 2－2a 2πa 2＝1－2π. 答案：1－2π9．正方形ABCD 的边长为1，在正方形内(包括边界)任取一点M ，求： (1)△AMB 面积大于或等于14的概率；(2)AM 的长度不小于1的概率．解：(1)如图①，取BC ，AD 的中点E ，F ，连接EF ，当M 在矩形CEFD 内(包括边界)运动时，△AMB 的面积大于或等于14，由几何概型的概率公式，知P ＝S 矩形CEFD S 正方形＝12.(2)如图②，以AB 为半径作弧，M 在阴影部分(包括边界)时，AM 长度大于或等于1，由几何概型的概率公式，知P ＝S 阴影S 正方形ABCD＝1－π4.10．已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)．(1)当x，y∈R时，求P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率；(2)当x，y∈Z时，求P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．解：(1)如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P1＝14π×224×4＝π16.(2)满足x，y∈Z，且|x|≤2，|y|≤2的点(x，y)有25个，满足x，y∈Z，且(x－2)2＋(y －2)2≤4的点(x，y)有6个，∴所求的概率P2＝6 25.。

苏教版数学高一B版必修3教学案 3.3 几何概型

例2 ：某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= 605060 =61，即此人等车时间不多于10分钟的概率为61．小结：在本例中，到站等车的时刻X 是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X 服从上的均匀分布，X 为上的均匀随机数．例3：在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而40平方千米可看作构成事件的区域面积，有几何概型公式可以求得概率．解：记“钻到油层面”为事件A ，则P(A)= 所有海域的大陆架面积储藏石油的大陆架面积=1000040=0.004．答：钻到油层面的概率是0.004．例4：在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率．解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则P(A)= 所有种子的体积取出的种子体积=100010=0.01．答：取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．例5 （课本例2）（三）课堂练习1．已知地铁列车每10min 一班，在车站停1min ，求乘客到达站台立即乘上车的概率．2．两根相距6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m 的概率．3．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是．。

苏教版数学高一《几何概型》名师教学设计

(1)求乘客到站候车时间大于10分钟的概率.
(2)求乘客到站候车时间不超过10分钟的概率.
(3)求乘客到达车站立即上车的概率.
例1:(会面问题)两人相约7时到8时在某地会面,先到者等候另一个20分钟,
这时就可离去,试求这两人能会面的概率.
练习:假设小明家小明的爸爸离开家去工作的时间在早上7:00至8:00之间,
问小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是多少?
例2:设点M(x,y)在|x|≤1,|y|≤1时按均匀分布出现,试求满足:
(1)x+y≥0的概率;
(2)x+y＜1的概率;
(3)x2+y2≥1的概率.
例3:用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球,假设橡皮泥中混入了一个很小的砂粒,
试求这个砂粒距离球心不小于1cm的概率.
例4:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,在正方体内随机取点M,求使四棱锥
M-ABCD的体积小于1/6的概率.
教学课题：几何概型（4）
教学目的：理解几何概型，掌握几何概型的特征
教学重点：会进行简单的几何概型的计算
教学难点：会进行简单的几何概型的计算
教学过程：
练习：:某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达,乘客到达车站的时刻是
任意的,求一个乘客候车时间不超过7分钟的概率.
变式:某公共汽车站,每隔15分钟有一辆车发出,并且发出前在车站停靠3分钟.

苏教版高中数学必修3《几何概型》参考教案1

课题：几何概型教学目标知识与技能：1.了解几何概型的定义，掌握几何概型的概率公式.2.会求简单的几何概型的概率问题.3.通过模拟实验，感知应用数学解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯.过程与方法：1.发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力.2.会用比较类比的方法学习新知识，提高学生的解题分析能力.教学重点关于几何概型的概率计算.教学难点准确确定几何区域D 和与事件A 对应的区域d ，并求出它们的测度.教学过程引例：设有关于x 一元二次方程2220x ax b ++=.问题1.a 是从0,1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.解：设“方程2220x ax b ++=有实根”为事件A.要使得方程有实根，应有22440a b -≥,得22a b ≥,又0,0a b ≥≥，所以a b ≥.用(a,b)来表示a 、b 的取值情况，则基本事件总共有12个，其中满足事件A （即b a ≥）的基本事件有9个，93()1243.4A P A ∴=包含基本事件的个数＝＝，基本事件的总数答：方程有实根的概率为问题2.若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率.【引入】问题2中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”还存在着,但是显然不能用古典概型的方法求解.那如何处理?几何概型将会给出一个漂亮的答案.由上面的推广过程，马上可以得到几何概型的特点：无限性、等可能性.这也将是我们认识几何概型的重要依据.一、问题情境1．转盘游戏提问：两个转盘中，当转盘停止时，哪个转盘的指针指向红色区域的概率大？为什么？2．实例取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？若将1m 变成0.5m 将发生什么样的变化？小结：感觉几何概型概率的大小与事件对应区域的面积、线段的长度成正比的关系.二、数学建构几何概型定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.几何概型的本质特征：1、将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型.2、有一个可度量的几何图形D.3、试验B 看成在D 中随机地取一点.4、事件A 就是所取的点落在D 中的可度量图形d 中.几何概型的计算：一般地,在几何区域D 中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A,则事件A 发生的概率为:的测度的测度D d A P )(注:D 的测度不能为0,其中“测度”的意义依D 确定,当D 分别为线段,平面图形,立体图形时,相应的“测度”分别为长度、面积、体积.思考：概率为0的事件一定是不可能事件吗？概率为1的事件一定是必然事件吗？三、数学应用例1.取一个边长为2a 的正方形及其内切圆(如图),随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入蓝色区域的概率.分析:方法1：做实验，重复的投掷豆子，统计掉入蓝色区域的次数，用频率去估计概率，当实验的次数足够多的时候，估计值越来越精确.方法2：显然满足几何概型，可以直接利用公式计算，但蓝色区域是不规则的图形，我们可以先处理圆的面积，正方形的面积减去圆面积即得，当然也可利用对立事件的概率公式去计算.解:记“豆子落入圆内”为事件A,“豆子落入蓝色区域”为事件B ，显然A 、B 互为对立事件，22(),44()1()1,4a P A a P B P A πππ===∴=-=-圆的面积正方形的面积答:豆子落入圆内的概率为1－4π.小结：当事件A 对应的区域不好处理时，可以选择先求其对立事件的概率.四、数学拓展模拟撒豆子的实验估计圆周率由例1发散可知，任意的正方形及其内切圆，若每颗豆子都可以落入正方形区域，则落入圆内的概率为P(A)=4π，如果向正方形内投掷n 颗豆子，落入圆内的豆子m 颗，有P(A)≈n m A f n =)(，由此nm 4≈π，可以用这个办法来估计圆周率. 五、难点突破例2（引例）设有关于x 一元二次方程2220x ax b ++=.若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率.解：设“方程2220x ax b ++=有实根”为事件A ，所有基本事件构成的区域为{(a ，b)|0≤a≤3， 0≤b≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b }.2132222,323⨯-⨯==⨯P(A) 答：方程有实根的概率为23. 小结：本题关键是如何正确找到事件A 对应的区域d.六、综合提高如右图所示:向边长为2的正方形内随机地投飞镖，假设飞镖都能投入正方形内，且投到每个点的可能性相等，则飞镖落在阴影部分的概率是( )A ．14411B ．14425C ．14437D ．14441 小结：本题的关键是求事件A 对应的区域的面积七、回顾反思本节课我们首先从游戏中提出问题，然后由特殊到一般去分析问题，再解决问题.1.古典概型的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型.2.几何概型的概率公式.的测度的测度D d A P =)( 3.几何概型问题的概率的求解.（1）准确的确定几何区域D与事件A对应的区域d，并求出它们的测度. （2）事件A对应的区域如果不好处理，可以求其对立事件的概率.八、课后思考1.如图：将一个长与宽不等的矩形水平放置，对角线将其分成四个区域，并在中间装一个指针，使其可以自由转动，对于指针停留区域的可能性，下列说法正确的是( )A. 一样大B. 1、3区域大C. 2、4区域大D. 由指针转动圈数确定2.国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30min的磁带上，从开始30s处起，有10s长的一段内容包含间谍犯罪的信息．后来发现,这段谈话的部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？。

【高中数学苏教版】必修三教学案【第3章 3.3 几何概型】(解析版)

观察下面两个试验：(1)早上乘公交车去上学，公交车到站的时间可能是7：00至7：10分之间的任何一个时刻． (2)“神七”返回大陆时着陆场为方圆200 km 2的区域，而主着陆场为方圆120 km 2的区域，飞船在着陆场的任何一个地方着陆的可能性是均等的．问题1：上述两个试验中的基本事件的结果有多少个？提示：无限个．问题2：每个试验结果出现的可能机会均等吗？提示：是均等的．问题3：上述两试验属古典概型吗？提示：不属于古典概型，因为试验结果是无限个．问题4：能否求两试验发生的概率？提示：可以求出．1．几何概型的定义对于一个随机试验，将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．2．几何概型的计算公式在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度．这里要求D 的测度不为0，其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等．1．在几何概型中，“等可能”应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与区域的位置、形状无关．2．判断一试验是否是几何概型的关键是看是否具备两个特征：无限性和等可能性．[例1] 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长大于AC 的长的概率．[思路点拨] 在AB 上截取AC ′＝AC ，结合图形分析适合条件的区域可求概率．[精解详析] 设AC ＝BC ＝a ，则AB ＝2a ，在AB 上截取AC ′＝AC ，于是P (AM >AC )＝P (AM >AC ′) ＝BC ′AB ＝AB －AC AB ＝2a －a 2a＝2－22. 即AM 的长大于AC 的长的概率为2－22.[一点通]在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找d 的过程中确认边界是问题的关键．1．在区间[1，3]上任取一数，则这个数大于等于1.5的概率为________．解析：P ＝3－1.53－1＝0.75.答案：0.752．已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈[12，2]，在区间[12，2]上任取一点x 0，则使f (x 0)≥0的概率为________．解析：欲使f (x )＝log 2x ≥0，则x ≥1，而x 0∈[12，2]，∴x 0∈[1，2]，从而由几何概型概率公式知所求概率P ＝2－12－12＝23. 答案：23[例2] (湖南高考改编)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P (A )＝________．[思路点拨] 可判断为几何概型，利用面积比求其概率．[精解详析] 圆的半径是1，则正方形的边长是2，故正方形EFGH (区域d )的面积为(2)2＝2.又圆(区域D )的面积为π，则由几何概型的概率公式，得P (A )＝2π.[答案]2π[一点通]解决此类问题的关键是：(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形．利用图形的几何特征计算相关面积．3．射箭比赛的箭靶是涂有彩色的五个圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径为122 cm, 靶心直径为12.2 cm ，运动员在70 m 外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为________．解析：记“射中黄心”为事件B ，由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为14×π×12.22 cm 2的黄心内时，事件B 发生，所以事件B 发生的概率P (B )＝14π×12.2214π×1222＝0.01. 答案：0.014．如图，平面上一长12 cm ，宽10 cm 的矩形ABCD 内有一半径为1 cm 的圆O (圆心O 在矩形对角线交点处)．把一枚半径为1 cm 的硬币任意掷在矩形内(硬币完全落在矩形内)，求硬币不与圆O 相碰的概率．解：由题意可知：只有硬币中心投在阴影部分(区域d )时才符合要求，所以不与圆相碰的概率为8×10－π×2280＝1－π20.[例3] (12分)用橡皮泥做成一个直径为6 cm 的小球，假设橡皮泥中混入一个很小的砂粒，试求这个砂粒距离球心不小于1 cm 的概率．[思路点拨] 先判断概型为几何概型后利用体积比计算概率．[精解详析] 设“砂粒距离球心不小于1 cm ”为事件A ，球心为O ，砂粒位置为M ，则事件A 发生，即OM ≥1 cm.(3分)设R ＝3，r ＝1，则区域D 的体积为V ＝43πR3(5分)区域d 的体积为V 1＝43πR 3－43πr 3.(7分)∴P (A )＝V 1V ＝1－(r R )3＝1－127＝2627.(10分)故砂粒距离球心不小于1 cm 的概率为2627.(12分)[一点通]如果试验的结果所成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总的体积及事件A 所分布的体积．其概率的计算P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.5．一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是________．解析：记“蜜蜂能够安全飞行”为事件A ，则它位于与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10的区域飞行时是安全的，故区域d 为棱长为10的正方体，P (A )＝103303＝127.答案：1276．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M- ABCD 的体积小于16的概率为________．解析：设M 到平面ABCD 的距离为h ，则V M-ABCD ＝13S 底ABCD ·h ＝16，S 底ABCD ＝1，∴h ＝12.∴只要点M 到平面ABCD 的距离小于12.所有满足点M 到平面ABCD 的距离小于12的点组成以ABCD 为底面，高为h (h ＜12)的长方体，又正方体棱长为1.∴使棱锥M -ABCD 的体积小于16的概率P ＝121＝12.答案：12利用几何概型计算事件概率分以下几步：(1)判断是否为几何概型，此步关键是把事件看成一次试验，然后看试验是否是等可能试验，并且试验次数是否是无限的.(2)计算基本事件与事件A 所含的基本事件对应的区域的测度(长度、面积或体积)． (3)利用概率公式计算．课下能力提升(十七)一、填空题1．在区间[－1，2]上随机取一个数x ，则x ∈[0，1]的概率为 ________．解析：[－1，2]的长度为3，[0，1]的长度为1，所以概率是13.答案：132．如图，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________．解析：由题意，硬币的中心应落在距圆心2～9 cm 的圆环上，圆环的面积为π×92－π×22＝77π cm 2，故所求概率为77π81π＝7781. 答案：77813.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．解析：由几何概型知，S 阴S 正方形＝23，故S 阴＝23×22＝83. 答案：834．一只蚂蚁在三边边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．解析：边长为3，4，5三边构成直角三角形，P ＝（3－1－1）＋（4－1－1）＋（5－1－1）3＋4＋5＝612＝12. 答案：125.如图，在平面直角坐标系中，∠xOT ＝60°，以O 为端点任作一射线，则射线落在锐角∠xOT 内的概率是________．解析：以O 为起点作射线，设为OA ，则射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件．记“射线OA 落在锐角∠xOT 内”为事件A ，其几何度量是60°，全体基本事件的度量是360°，由几何概型概率计算公式，可得P (A )＝60360＝16. 答案：16二、解答题6．点A 为周长等于3的圆周上一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，求劣弧AB ︵的长度小于1的概率．解：如图，圆周上使AM ︵的长度等于1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧M 1AM 2︵的长度为2，B 点落在优弧M 1AM 2︵上就能使劣弧AB ︵的长度小于1，所以劣弧AB ︵的长度小于1的概率为23.7．有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，求点P 到点O 距离大于1的概率．解：区域D 的体积V ＝π×12×2＝2π，当P 到点O 的距离小于1时，点P 落在以O 为球心，1为半径的半球内，所以满足P 到O 距离大于1的点P 所在区域d 的体积为V 1＝V －V 半球＝2π－23π＝43π.所求的概率为V 1V ＝23.8．两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间相见的概率．解：设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当－23≤x －y ≤23.两人到达约见地点所有时刻(x ，y )的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x ，y )的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示，因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为：S阴影S单位正方形＝1－（13）212＝89.P＝。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修3 3.3.1 几何概型》6

§ 几何概型〔1〕学习目标1．通过具体实例正确理解几何概型的定义及与古典概型的区别；2．掌握几何概型的概率计算公式并能进行简单的计算与应用．学习导航一、课前准备古典概型的特点是什么？二、预习思考问题1：小猫钓鱼游戏中,假设鱼钩落在红色的正方形内就可获得一等奖,问获得一等奖的概率有多大问题2：取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪断两段的长都不小于1m的概率有多大？问题3:射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫“黄心〞奥运会的比赛靶面直径为122cm,外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多少提炼新知：1、什么是几何概型？2、几何概型的特点是什么？〔1〕无限性〔2〕等可能性3、几何概型的计算公式4、古典概型和几何概型的区别与联系三、知识应用例1：取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机想正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。

例2：在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10m，含有麦锈病种子的概率是多少？例3：在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC 的概率。

变式：在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在角ACB内部任作一条射线CM，求AM小于AC的概率。

练一练：1、某人午觉醒来,发现表停了,他翻开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率2、有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出升,求小杯水中含有这个细菌的概率。

3、一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率。

4某公共汽车站，每隔15分钟有1辆车发出，并且出发前在车站停靠3分钟。

（1）求乘客到站候车时间大于10分钟的概率；（2）求候车时间不超过10分钟的概率；（3）求乘客到达车站立即上车的概率。

四、总结提升1．知识收获：2．能力感悟：。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修3 3.3.1 几何概型》3

课题几何概型教学过程一学生自主学习请同学们在复习古典概型的基础上,研究下列两个问题,并完成填充,每空5分问题一、如图，将一个圆盘均分成8个扇形，并用几种不同的颜色给其涂色（如图），然后用剪刀将这8个扇形剪开，完全打乱。

某同学从中随机抽取一张扇形，问抽中白色扇形的概率是多少？ 1一次试验（抽取）的基本事件是什么？答： 2这些基本事件共有个，3每一个基本事件是否都是“等可能”发生的？答： 4“抽中白色扇形”这个事件包含的基本事件有个 5这个问题属于古典概型吗答: 6抽中白色扇形的概率等于问题二、若将问题一中的圆盘制作成一个靶面。

某同学进行飞镖练习，假设每次投镖都能中靶，且投中靶面的每一点都是等可能的，试猜测该同学在一次练习中投中白色区域的概率。

7一次试验（抽取）的基本事件是什么？答： 8这些基本事件共有个，9每一个基本事件是否都是“等可能”发生的？答： 10“投中白色区域”这个事件包含的基本事件有个 11这个问题属于古典概型吗答:12你猜测“投中白色区域”的概率等于问题一和问题二有什么异同点答:13共同点是 14不同点是15你是用什么方法得到问题二的结果的答: 请仿照此方法得到下列练习的答案： 0，1]上随机说一个实数，则这个数大于13的概率为17取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒小豆子，则豆子落入圆内的概率为 18在1000mL 高产小麦种子中混入了1粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL ，这粒病种子被取出的概率为二课堂教学2a1学生自主学习情况反馈问题二及16、17等都有两个共同的特点：1一次试验中可能出现的基本事件的个数是无限的； 2一次试验中每个基本事件都是等可能发生的2几何概型的定义：设D 是一个可度量的区域（如线段、平面图形、立体图形等），每个基本事件可视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内某个指定区域d 中的点。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修3 3.3.1 几何概型》0

几何概型教案设计（防城港市实验高级中学上官雪华）一、教学目标1、知识与技能：①体会几何概型的意义；②了解几何概型的特点和概率计算公式。

2、过程与方法：①让学生感受生活中的数学，通过对几个实例的探究，让学生经历概念数学化的过程；②以问题为载体，让学生参与并成为探索问题的主体，让学生在讨论中明知，在辩论中解惑，在思考中提升。

3、情感态度价值观：体会概率在生活中的重要作用，感知生活中的数学，激发提出问题和解决问题的勇气，培养其积极探索的精神。

二、教学重点、难点1、重点：掌握几何概型的判断及其概率的计算公式。

2、难点：①理解几何概型的特征，把实际问题转化为用几何概型解决的概率问题（建模）。

②不同测度几何概型问题，在概率公式应用上把握几何概型的区域和测度。

三、教学课时与手段1、教学课时：1课时2、教学手段：多媒体教学四、教学基本流程复习引入→问题猜想→概念形成→对比迁移→思维拓展→课堂小结→知识应用→挑战高考→分层作业五、教学过程一、知识回顾古典概型：1、特点2、计算公式复习题：在区间[0，10]上任意取一个整数，则不大于3的概率为：二、问题猜想探究一：剪彩剪出的数学问题为庆祝防城港市天和百货的正式建成，商家进行了隆重的剪彩仪式，一根长为30cm的彩带，拉直后在任意位置剪断，记“只剪一次，剪得两段的长不小于10cm”为事件A，那么事件A的概率是多少？（提示：可将彩带平均分为三段，找出符合题中的区域）问题1：试验中任意位置剪断彩带会有多少种情况发生？（无限性）问题2：这些情况的发生是等可能的吗？（等可能性）问题3：如何去计算事件A的概率？强调：（等可能性无限性成比例）探究二：飞镖掷出的数学问题某飞镖盘由两个半径分别为5cm和10cm的同心圆组成，现向圆盘投掷飞镖，假设飞镖都能射中圆盘，且射中圆盘上每一个点都是等可能的，记“射中红色区域”为事件A，那么事件A的概率是多少？（强调：等可能性无限性成比例）探究三：取水取出的数学问题有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物，用一个小杯从这杯水中取出升，记“小杯水中含有这个微生物”为事件A，那么事件A的概率是多少？（强调：等可能性无限性成比例）三、概念形成从三个探究的过程，思考以下问题：1、从基本事件的角度出发，这类概率问题的特点是什么？【等可能性、无限性】2、以上两个事件中，事件A的概率与构成事件A的区域长度（面积）有何关系？【成比例】3、这类概率问题的计算方法是什么？【归纳三个测度】师生互动过程：教师组织学生讨论，然后给出结论。