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例题讲解
例1．已知向量a与b的夹角为 ，|a |=2，|b |=3，，求a · b.
(1) Biblioteka Baidu1350
(2)a ∥b
3a b
a· b =|a | |b |cosθ
平面向量的数量积
讨论总结性质：
（1）e · a=a · e=| a | cos
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b =-| a | · |b| ．
θ为钝角时， | b | cosθ＜0
θ为直角时， | b | cosθ=0
平面向量的数量积及运算律
b =|a | |b |cosθ 讨论总结性质： a ·
(0 180 )
（1）e · a=a · e=| a | cos
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b =—| a | · |b| ．
姜禄敏
学与教的目标
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度， 角度和垂直的问题 4.了解向量垂直的条件
重点和难点 教学重点：平面向量数量积的定义 教学难点：平面数量积的定义及运算律的理解和 平面向量数量积的运用和推广。
2 a a | a | 或 | a | a a 特别地
ab （4）cos | a || b |
（5）a · b ≤| a | · |b|
运算律
a b | a || b | cos
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0． （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由 夹角决定 （2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合． （3） a ·b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
5.6 平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积及运算律
1．a ·b= b ·a 交换律 2. (λ· a) b= a ·(λ b)= λ(a ·b)= λ a ·b 3. (a+b) ·c= a ·c+ b ·c 分配律
思考: 结合律成立吗:
(a ·b) ·c=a ·(b ·c) ?
物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方
(0 180 )
B
叫做向量
和 a
b的夹角．
b
O
b
a
a
A
注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的 B b a O A 90 a 与 b 垂直，
O b B
a
a 与 b 同向
0
O A B b 180
a
A
a 与 b 反向
记作 a b
例1、如图，等边三角形中，求
'
C
（1）AB与AC的夹角； （2）AB与BC的夹角。 C
120
A
通过平移 变成共起点！
60
B
5.6 平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
向上的力做功．
作OA a， OB b ，过点B作 BB1 垂直于直线OA，垂足为 B1，则 OB1 | b | cosθ | b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影． B B B
F θ
s
b
b
b
O a
B1
A
B1
O
a A
O( B1 ) a
A
θ为锐角时， | b | cosθ＞0
问题
一个物体在力F 的作用下产生的位移 s，且F与s的夹角为θ ,那么力F 所做的功应 当怎样计算？
F θ
s
W | F || s |cos
是F 与s 的夹角，而功是数量. 其中力F 和位移s 是向量，
数量
F s cos 叫做力F 与位移s的数量积
向量的夹角
则 AOB
两个非零向量 a 和 b ，作 OA a, OB b，
2 2 7．对任意向量 a 有 a | a | 8. 0 a 0a ×
√ × × × × √
6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a= 0 时成立． ×
例2、如图，等边三角形中，求 （1）AB与AC的数量积； （2）AB与BC的数量积； （3） 的数量积.
AC与BC
C
A
B
2 a a | a | 或 | a | a a 特别地
ab （4）cos | a || b |
（5）a · b ≤| a | · |b|
练习：
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． 2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0． 3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0． 5．若a≠0，a ·b= b ·c，则a=c
例1．已知向量a与b的夹角为 ，|a |=2，|b |=3，，求a · b.
(1) Biblioteka Baidu1350
(2)a ∥b
3a b
a· b =|a | |b |cosθ
平面向量的数量积
讨论总结性质：
（1）e · a=a · e=| a | cos
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b =-| a | · |b| ．
θ为钝角时， | b | cosθ＜0
θ为直角时， | b | cosθ=0
平面向量的数量积及运算律
b =|a | |b |cosθ 讨论总结性质： a ·
(0 180 )
（1）e · a=a · e=| a | cos
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b =—| a | · |b| ．
姜禄敏
学与教的目标
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度， 角度和垂直的问题 4.了解向量垂直的条件
重点和难点 教学重点：平面向量数量积的定义 教学难点：平面数量积的定义及运算律的理解和 平面向量数量积的运用和推广。
2 a a | a | 或 | a | a a 特别地
ab （4）cos | a || b |
（5）a · b ≤| a | · |b|
运算律
a b | a || b | cos
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0． （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由 夹角决定 （2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合． （3） a ·b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
5.6 平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积及运算律
1．a ·b= b ·a 交换律 2. (λ· a) b= a ·(λ b)= λ(a ·b)= λ a ·b 3. (a+b) ·c= a ·c+ b ·c 分配律
思考: 结合律成立吗:
(a ·b) ·c=a ·(b ·c) ?
物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方
(0 180 )
B
叫做向量
和 a
b的夹角．
b
O
b
a
a
A
注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的 B b a O A 90 a 与 b 垂直，
O b B
a
a 与 b 同向
0
O A B b 180
a
A
a 与 b 反向
记作 a b
例1、如图，等边三角形中，求
'
C
（1）AB与AC的夹角； （2）AB与BC的夹角。 C
120
A
通过平移 变成共起点！
60
B
5.6 平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
向上的力做功．
作OA a， OB b ，过点B作 BB1 垂直于直线OA，垂足为 B1，则 OB1 | b | cosθ | b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影． B B B
F θ
s
b
b
b
O a
B1
A
B1
O
a A
O( B1 ) a
A
θ为锐角时， | b | cosθ＞0
问题
一个物体在力F 的作用下产生的位移 s，且F与s的夹角为θ ,那么力F 所做的功应 当怎样计算？
F θ
s
W | F || s |cos
是F 与s 的夹角，而功是数量. 其中力F 和位移s 是向量，
数量
F s cos 叫做力F 与位移s的数量积
向量的夹角
则 AOB
两个非零向量 a 和 b ，作 OA a, OB b，
2 2 7．对任意向量 a 有 a | a | 8. 0 a 0a ×
√ × × × × √
6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a= 0 时成立． ×
例2、如图，等边三角形中，求 （1）AB与AC的数量积； （2）AB与BC的数量积； （3） 的数量积.
AC与BC
C
A
B
2 a a | a | 或 | a | a a 特别地
ab （4）cos | a || b |
（5）a · b ≤| a | · |b|
练习：
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． 2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0． 3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0． 5．若a≠0，a ·b= b ·c，则a=c