准静态电磁场精讲
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第四章准静态电磁场
第四章 准静态电磁场4．1 准静态电磁场1．电准静态场由麦克斯韦方程组知，时变电场由时变电荷和时变磁场产生的感应电压产生。
时变电荷产生库仑电场，时变磁场产生感应电场。
在低频情况下，一般时变磁场产生的感应电场远小于时变电荷产生的库仑电场，可以忽略。
此时，时变电场满足ρ=∙∇≈⨯∇D 0E 称为电准静态场。
可见，电准静态场与静电场类似，可以定义时变电位函数ϕ ，即ϕ-∇=E且满足泊松方程ερϕ-=∇2 与电准静态场对应的时变磁场满足 0t =∙∇∂∂+=⨯∇B DE H γ 2．磁准静态场由麦克斯韦方程组知，时变磁场由时变传导电流和时变电场产生的位移电流产生。
在低频情况下，一般位移电流密度远小于时变传导电流密度，可以忽略。
此时，时变磁场满足0=∙∇≈⨯∇B J H c称为磁准静态场。
可见，磁准静态场与恒定磁场类似，可以定义时变矢量位函数A ，即A B ⨯∇=且满足矢量泊松方程c J A μ-=∇2与磁准静态场对应的时变电场满足ρ=∙∇∂∂-=⨯∇D B E t例1：图示圆形平板电容器，极板间距d = 0.5 cm ，电容器填充εr =5.4的云母介质。
忽略边缘效应，极板间外施电压t t u 314cos 2110)(=V ，求极板间的电场与磁场。
[解]：极板间的电场由极板上的电荷和时变磁场产生。
在工频情况下，忽略时变磁场的影响，即极板间的电场为电准静态场。
在如示坐标系下，得()()()V/m t 31410113t 31410501102d u z 4z 2z e e e E -⨯=-⨯⨯=-=-cos .cos . 由全电流定律得出，即由()z z 20r 4Sl t 31431410113d t H 2d e e S D l H ∙-π⨯⨯-=∙∂∂=π=∙⎰⎰ρεερφsin . 极板间磁场为φφφρe e H t 314103352H 4sin .-⨯== A/m也可以由麦克斯韦方程直接求解磁场强度，如下tt 0r ∂∂=∂∂=⨯∇E D H εε 展开，得t 314106694H 14sin .)(-⨯=∂∂φρρρ 解得φφφρe e H t 314103352H 4sin .-⨯== A/m 讨论：若考虑时变磁场产生的感应电场，则有tt ∂∂-=∂∂-=⨯∇H B E 0μ 展开，得t E z 314cos 103.231440ρμρ-⨯⨯-=∂∂- 解得 t E z 314cos 10537.428ρ-⨯= V/m可见，在工频情况下，由时变磁场产生的感应电场远小于库仑电场。
x第五章_准静态电磁场-工程电磁场导论-冯慈章课件
A B A E E (E ) 0 t t t 特点：磁场的有旋无源性与恒定磁场相同，称为磁准
由动态位求得B.E
Jd 0
静态场（MQS）。
返 回 上 页 下 页
思考 EQS 与 MQS 的共性与个性
,A
满足静态泊松方程，说明 EQS 和 MQS 没有波动性
(忽略掉了相应的时变项）。认为场与源之间具有类似静态场中的
场与源之间的瞬间对应关系，称为似稳场。
在 EQS 和 MQS 场中，同时存在着电场与磁场，两者相 互依存。 EQS 场的电场与静电场满足相同的微分方程， 在任一时刻 t ，两种电场分布一致，解题方法相同。
D H J t 而EQS场的磁场按 计算。
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5.4.2 邻近效应（ Proximate Effect ） 靠近的导体通交变电流时，所产生的相互影响，称
为邻近效应。 频率越高，导体靠得越近，邻近效应愈显著。邻近
效应与集肤效应共存，它会使导体的电流分布更不均匀。
图5.4.4 单根交流汇流排的 集肤效应
图5.4.5 两根交流汇流排的邻近效应
在导体中，自由电荷体密度随时间衰减的过 程称为电荷弛豫。 设导电媒质
, 均匀，且各向同性，在EQS
0 t
返 回 上 页 下 页
场中
0 t
其解为 式中
o e
t e
o 为 t 0 时的电荷分布 ，τ e /
━弛
豫时间，说明在导体中，若存在体分布的电荷，因
c. 当系统尺寸远小于波长时，推迟效应可以忽略， 此时采用磁准静态场定律来研究。
5.3 电准静态场与电荷弛豫
EQS Field and Charge Relaxation
由动态位求得B.E
Jd 0
静态场（MQS）。
返 回 上 页 下 页
思考 EQS 与 MQS 的共性与个性
,A
满足静态泊松方程，说明 EQS 和 MQS 没有波动性
(忽略掉了相应的时变项）。认为场与源之间具有类似静态场中的
场与源之间的瞬间对应关系，称为似稳场。
在 EQS 和 MQS 场中，同时存在着电场与磁场，两者相 互依存。 EQS 场的电场与静电场满足相同的微分方程， 在任一时刻 t ，两种电场分布一致，解题方法相同。
D H J t 而EQS场的磁场按 计算。
返 回 上 页 下 页
5.4.2 邻近效应（ Proximate Effect ） 靠近的导体通交变电流时，所产生的相互影响，称
为邻近效应。 频率越高，导体靠得越近，邻近效应愈显著。邻近
效应与集肤效应共存，它会使导体的电流分布更不均匀。
图5.4.4 单根交流汇流排的 集肤效应
图5.4.5 两根交流汇流排的邻近效应
在导体中，自由电荷体密度随时间衰减的过 程称为电荷弛豫。 设导电媒质
, 均匀，且各向同性，在EQS
0 t
返 回 上 页 下 页
场中
0 t
其解为 式中
o e
t e
o 为 t 0 时的电荷分布 ，τ e /
━弛
豫时间，说明在导体中，若存在体分布的电荷，因
c. 当系统尺寸远小于波长时，推迟效应可以忽略， 此时采用磁准静态场定律来研究。
5.3 电准静态场与电荷弛豫
EQS Field and Charge Relaxation
第六章 准静态场1 电磁场 华科电气
第6章准静态场
叶齐政，2009，4
一根直导线，当频率很高时，它是发射电磁波的天线；降低频率，它具有电感—电容的特性；再降低频率，它具有电感的特性；通以直流电时，它就相当于一个电阻。
一对平行板，当外加高频电源时，它是一个传播电磁波的导波装置；当频率降低时，它将只具有电容的特性。
电磁装置本身的特性除了依赖结构、材料以外，也依赖电磁场的频率变化。
高压传输线，晶体管，静电除尘器以及静电传感器等都可按电准静态场处理；
继电器，电动机和磁记录媒质等都可按磁准静态场处理。
()()
20/t ωsin I t i π+=。
电磁场课件12准静态电磁场涡流平面电磁波资料教学文案
热效应 涡流是自由电子的定
向运动，与传导电流有相同的热效应。
涡流
工程应用：电磁炉、变压器电机铁心叠片等。
去磁效应 涡流产生的磁场反抗原磁场的变化。
工程应用：电磁闸。
涡流方程
在磁准静态场MQS中，导体中的位移电流远小于传导电流，忽略。
HJDJ t
H J
J E
B H
E B t
B0
2H H 0
7.1 无损耗均匀传输线方程
du
考虑传输线上单位长度电压降和
电流变化：
u z
Ri
L
i t
i z
Gu
C
u t
RL R
di C
上式即是均匀传输线方程或电报方程。 单位长度传输线的电路模型
➢ 对于无损耗均匀传输线情况（忽略电阻）：
u z
L
i t
i z
C
u t
即
u
z
L
i t
0
i
C
u
0
z t
准静态电磁场
时变电磁场
准静态场 （低频）
电准静态场
(B 0) t
磁准静态场
(D 0) t
具有静态电 磁场的特点
动态场 （高频）
似稳场（忽略 推迟效应）
电磁波
• 电准静态场——Electroquasitatic 简写 EQS
磁准静态场—— Magnetoquasistatic 简写 MQS
• 任意两种场之间的空间尺度和时间尺度没有绝对的分界线。
抗电磁干扰的两个主要措施：接地、电磁屏蔽。
接地 1.保护接地
在金属体与大地之间建立低阻抗电路。 如设备外 壳接地，建筑体安装避雷针等，使雷电、过电流、漏 电流等直接引入大地。
工程电磁场 第7章 准静态电磁场
D dS V dV Qnet
S
H J
E 0
B 0
D
H
E
J B
D t
t
B 0
D
准静态场又称为似稳场 工频正弦稳态电路分析
准静态场分析例题
圆盘形状的平行板电容器，间距 d=0.5cm，中间为云母电介质，
r 5.4 ，现加电压 u(t) 110 2 cos 314t V, 求平板间的电场和磁场。
解：低频，看做EQS
u EH
E(t)
u(t ) d
(ez
)
3.11 104
cos 314t(ez
)
V/m
由安培环路定律可得 H 2 r D r 2 E r 2
H(t
)
2.335104
r
sin314t
t (e
)
t
A/m
讨论：
EB
- H
t
H
E
J B
D t
t
B 0
Jd
f
Jdm Em
1KHz
8.89*105
Jcm Em
1MHz
8.89*102
故 Jc Jd
1GHz 106MHz
0.889 8.89*10—4
与频率密切相关
电准静态场——EQS
若 B 0
t
即可忽略位移电流对磁场的影响
H
J
D
t
E 0
B 0
D
H
E
J B
D t
z
在导体的一个透入深度区间
内分布
导电媒质
也称为集肤效应
透入深度与材料的导电导磁参数
E x (z, t ) 2E0ez cost z
S
H J
E 0
B 0
D
H
E
J B
D t
t
B 0
D
准静态场又称为似稳场 工频正弦稳态电路分析
准静态场分析例题
圆盘形状的平行板电容器，间距 d=0.5cm，中间为云母电介质，
r 5.4 ，现加电压 u(t) 110 2 cos 314t V, 求平板间的电场和磁场。
解：低频，看做EQS
u EH
E(t)
u(t ) d
(ez
)
3.11 104
cos 314t(ez
)
V/m
由安培环路定律可得 H 2 r D r 2 E r 2
H(t
)
2.335104
r
sin314t
t (e
)
t
A/m
讨论：
EB
- H
t
H
E
J B
D t
t
B 0
Jd
f
Jdm Em
1KHz
8.89*105
Jcm Em
1MHz
8.89*102
故 Jc Jd
1GHz 106MHz
0.889 8.89*10—4
与频率密切相关
电准静态场——EQS
若 B 0
t
即可忽略位移电流对磁场的影响
H
J
D
t
E 0
B 0
D
H
E
J B
D t
z
在导体的一个透入深度区间
内分布
导电媒质
也称为集肤效应
透入深度与材料的导电导磁参数
E x (z, t ) 2E0ez cost z
电磁场课件12准静态电磁场涡流平面电磁波资料教学文案
HJDJ t
H J
J E
B H
E B t
B0
2H H 0
t
2E E 0
t
J E
2J j J 正弦稳态情况 2J J 0
t
在正弦稳态下，电流密度满足扩散方程。
2J k 2J
式中 k j / 2 (1 j)
1 (1 j) j
d
设半无限大导体中，电流
沿 y 轴流动，则有
定义： d
1
2 称为透入深度（skin depth）或集肤深度
其大小反映电磁场衰减的快慢。
当 x = x0 时， J y (x0 ) J0e x0
当 x=x0+d 时，
J y (x0 d ) J0e (x 0d)
J0ex0 e1
J
y
透入深度
(x0 ) 36.8%
d 表示电磁场衰减到原来值的36.8% 所经过的距离。
用洛仑兹规范 A t ，化简得到泊松方程
2 A J , 2 /
一般低频交流电情况下，平板电容器中的电磁场属于电准静态场。
5.1.2 磁准静态场MQS
若位移电流远小于传导电流，忽略感应项 D 的
作用，即
JD
D t
0
t
条件：场与源近似具有瞬时 对应关系，忽略推迟效应。
麦氏方程： H J , B 0 ,
在 MQS 场中，磁场满足涡流场方程（扩散方程）
2H k 2H
d 2 Hz dx2
jHz
k 2Hz
解方程得到
HZ B0ch(kx) /
Bz B0ch(kx)
利用 (kx)
Bz和 Jy 的幅值分别为
1
Bz
B0
准静态电磁场优秀课件
基本方程组（微分形式）：
E 0 , H J D , D , B 0 t
特点: 与静电场相比，磁场方程发生变化，电场方程无变化。
11.10.2020
2
求解方法：分两步 1）电场的求解采用静电场的公式 2）磁场的求解通过电准静态场的基本方程求解
电荷 静电场公式
分布
Ｅ、Ｄ
HJD,B0 t
5.2 磁准静态场与电路 MQS Filed and Circuit
1 证明基尔霍夫电流定律
在 MQS 场中， H J J 0J dS 0 S
S J dS S 1 J 1 d S S 2J 2d S S 3J 3 d S
i1i2i30
即集总电路的基尔霍夫电流定律
i 0
结点电流
设电源到负载的距离远小于六分之一波长。
解：
E
U
ln(b/
a)
e
H
I
2
e
a
I
b H
S E
SE H *22U lIn*b/(a)ez
P RS 2 e2 U [ l I * b n /a )d (] S Ra be lU I b n [ * /a )d (] R U I * e ] [
荷决定。
11.10.2020
15
例3 一无限大金属平板，其上方的半无限空间内充满了
均匀的不良导体。在t=0瞬时，在该导体中已形成了一球
形自由电荷云，球内电荷密度为ρ0。问电荷驰豫过程中
电位如何分布？
z
解:
'
3a2 r2
5
求解方法：分两步 1）磁场的求解静态场的公式 2）电场的求解通过磁准静态场的基本方程求解
BA, EA
电磁场导论准静态电磁场解读
+ u(间变化缓慢, 近似为电准静态场， 1）仿照静电场求得介质中的电场强度
E (t ) U u (t ) e z m sint e z d d
2）介质中无传导电流，仅有位移电流密度
D E ( E m sint ) e z U m cos t e z t t t d D H d l 由M1方程 l S t dS
l2
S
t
坡印亭矢量 S E H r ( 0 NI 0 e t / ) ( NI 0 e t / ) (e e z ) 2 r 可见，电磁功率由螺线管 2 2 2t / 0 N I 0 e er 线圈内部沿半径向外传输。 2
2018/9/29 第六章准静态电磁场 11
2018/9/29 第六章准静态电磁场
l1 i (t)
H(t)
l2
E(t) 6-5题图
14
6-3 集肤效应与邻近效应
6-3-1 集肤效应
假设 x0的半无限大空间导体， 通有y方向的正弦电流i(t)， 电流扩散方程
y Jy x
jJ k 2J 2 J
简化为 通解
d2 J y dx 2 C ekx C e kx J y 1 2 k 2J y
J、E和H的振幅都沿导体的纵深x按指数规律ex衰减， 而且相位x也随之改变。 频率很高时，电流密度几乎只在导体表面附近一薄层中。
场量主要集中在导体表面附近的这种现象，称为 集肤效应。
2018/9/29 第六章准静态电磁场 16
工程上常用透入深度d表示场量的集肤程度 定义：透入深度d为场量振幅衰减到其表面值的 1/e时所经过的距离。
因此，一般认为良导体内部没有体电荷， = 0
五准静态电磁场
Jy(x)ey,于是得：
d 2 J y dx 2
jJ y
J0
J
令 K 2 j K j 1 j j
则
d 2J y dx 2
K 2J y
2
Jy C1eKx C2eKx
分析：第二项中，由于x 时，Jy是有限值，C2 0
若x＝0时，Jy J0 ， C1 J0
Jy J0eKx J0exe jx
屏蔽的效能用屏蔽系数S来表示，S = E/E0 电磁场的屏蔽往往只需屏蔽一个场量E或B。
二、薄导电板中的涡流
工频、音频（30～3kHz）变压器和交流电路的铁心通常由 相互绝缘的薄钢片叠成，以减小涡流损耗。
如图所示，厚度a很小（0.5mm），a<<l、a<<h
假定：
1）E、H和J近似为x的函数。
2）H = Hz(x,t)，E = Ey(x,t)、J = Jy(x,t)
B
3）H = Hz(x,t)按正弦规律变化，是MQS场。
t
B
A dl
A
B
d
A
(t)
i ( Ri
r
R)
L
di dt
1 C
idt
或 (t) U R U L UC
• 说明：路是场的近似，
• 基尔霍夫第二定律
实际问题中采用场或 路的方法进行计算，
需要根据具体条件。
§5-4 集肤效应
导体内通过交变电流时，周围、内部产生交变的磁场， 而交变的磁场产生感应电场，使导体内部的电流分布不均， 在靠近导体表面处电流密度增加，而内部电密减小，高频时 更趋于只有表面有电流通过，这种现象称为集肤效应。
E y E0exe jx
H z
准静态电磁场PPT讲稿
Ｈ、Ｂ
3/48
例1 内外导体半径分别为a和b的同轴圆柱形电容器，其长度为l （>>a,b），充填有电介质（μ，ε）。若内外导体间加一正弦电压 u=U0sinωt，且假定频率不高，则可认为电容器内的电场分布与恒定情 况相同。试求（1）电容器中的电场强度E；（2）证明通过半径为ρ的
圆柱面的位移电流总值等于电容器引线中的传导电流。
E
U ln(b /
a)
e
a
H
H 2I e b P
Re[
S
2
UI* 2 ln(b /
a)
dS ]
Re[
b a
UI* ln(b /
a)
d ]
Re[UI* ]
I
S E
S
E
H*
2
UI* 2 ln(b
/
a)
ez
5.3 电准静态场与电荷驰豫 EQS Field and Charge Relaxation
a. 磁准静态场方程是交流电路的场理论基础。 b. 电路理论是在特殊条件下的麦克斯韦电磁理论
的近似。 c. 当系统尺寸远小于波长时，推迟效应可以忽略，
此时采用磁准静态场定律来研究。
2020/6/30
11/48
例2 用磁准静态场的方法处理同轴电缆内的电磁问题。
设电源到负载的距离远小于六分之一波长。
解：
解：由于频率不高，故电场为电准静态场
E
U0 sint ln(b / a)
e
ρ
JD
D t
E t
U0 cost ln(b / a)
e
iD
sJ D
dS
2l
U0 cost ln(b / a)
3/48
例1 内外导体半径分别为a和b的同轴圆柱形电容器，其长度为l （>>a,b），充填有电介质（μ，ε）。若内外导体间加一正弦电压 u=U0sinωt，且假定频率不高，则可认为电容器内的电场分布与恒定情 况相同。试求（1）电容器中的电场强度E；（2）证明通过半径为ρ的
圆柱面的位移电流总值等于电容器引线中的传导电流。
E
U ln(b /
a)
e
a
H
H 2I e b P
Re[
S
2
UI* 2 ln(b /
a)
dS ]
Re[
b a
UI* ln(b /
a)
d ]
Re[UI* ]
I
S E
S
E
H*
2
UI* 2 ln(b
/
a)
ez
5.3 电准静态场与电荷驰豫 EQS Field and Charge Relaxation
a. 磁准静态场方程是交流电路的场理论基础。 b. 电路理论是在特殊条件下的麦克斯韦电磁理论
的近似。 c. 当系统尺寸远小于波长时，推迟效应可以忽略，
此时采用磁准静态场定律来研究。
2020/6/30
11/48
例2 用磁准静态场的方法处理同轴电缆内的电磁问题。
设电源到负载的距离远小于六分之一波长。
解：
解：由于频率不高，故电场为电准静态场
E
U0 sint ln(b / a)
e
ρ
JD
D t
E t
U0 cost ln(b / a)
e
iD
sJ D
dS
2l
U0 cost ln(b / a)
电磁场理论优秀课件
第五章 准静态电磁场
麦克斯韦方程组描述了时变电磁场中时变电场与时变磁场相 互依存又相互制约，并以有限速度在空间传播，形成电磁波旳普 遍规律。此时，电磁场量旳鼓励与响应不是同步发生旳，场量旳 时间变量t与空间变量r有关。但在许多工程问题中，尤其在电气 设备、电力传播、生命科学等领域，时变电磁场旳频率教低，因 而在某些特定旳情况下，能够忽视二次源 B 或 D 旳作用，
例5-3 研究具有双层有损介质旳平板电容器接至直流电压 源旳过分过程，如图5-3所示。[书p.195例5-4]
解：设电容器在t≤0-时
处于零状态，极板上没有电
S
荷，即E1(0-)=E2(0-)=0,u(0-)
=0；t≥0+时，电容器旳端电 压被强制跃变，即u(0+)=U。
U
o
根据电容旳伏安关系
ε2 γ2 ε1 γ1
内外导体之间旳坡印亭矢量是
S E H •
•
•
••
U I
2 2 ln
b a
ez
同轴线传播旳平均功率应是坡印亭矢量在内外导体之间旳横截面
S上旳面积分，即
P
Re
S
••
U I
2 2 ln
b
a
dS
• ReUln
•
I
b a
b a
d
•
Re[U
•
I
]
P Re
••
U I
dS
• ReU
•
I
t
旳库仑电场Ec和感应电场Ei。在低频电磁场中，假如感应电场Ei
远不大于旳库仑电场Ec，则能够忽视Bt 现无旋性
旳作用，这时旳电场呈
E （E c E i） E c 0 （5-1）
麦克斯韦方程组描述了时变电磁场中时变电场与时变磁场相 互依存又相互制约，并以有限速度在空间传播，形成电磁波旳普 遍规律。此时，电磁场量旳鼓励与响应不是同步发生旳，场量旳 时间变量t与空间变量r有关。但在许多工程问题中，尤其在电气 设备、电力传播、生命科学等领域，时变电磁场旳频率教低，因 而在某些特定旳情况下，能够忽视二次源 B 或 D 旳作用，
例5-3 研究具有双层有损介质旳平板电容器接至直流电压 源旳过分过程，如图5-3所示。[书p.195例5-4]
解：设电容器在t≤0-时
处于零状态，极板上没有电
S
荷，即E1(0-)=E2(0-)=0,u(0-)
=0；t≥0+时，电容器旳端电 压被强制跃变，即u(0+)=U。
U
o
根据电容旳伏安关系
ε2 γ2 ε1 γ1
内外导体之间旳坡印亭矢量是
S E H •
•
•
••
U I
2 2 ln
b a
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同轴线传播旳平均功率应是坡印亭矢量在内外导体之间旳横截面
S上旳面积分，即
P
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S
••
U I
2 2 ln
b
a
dS
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•
I
b a
b a
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U I
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I
t
旳库仑电场Ec和感应电场Ei。在低频电磁场中，假如感应电场Ei
远不大于旳库仑电场Ec，则能够忽视Bt 现无旋性
旳作用，这时旳电场呈
E （E c E i） E c 0 （5-1）
090525第五章准静态电磁场
s
教材P335 教材
∫ J ⋅ dS = 0
流出任意闭合曲面的总传导电流是0。 流出任意闭合曲面的总传导电流是 。
５. ２磁准静态场和电路
∫ J ⋅ dS = 0
s
i1 i1 +i2 +i3 =0 i3 基尔霍夫电压定律（自学） 二、基尔霍夫电压定律（自学）
i2
５. 4 集肤效应
交流电流流过线圈， 交流电流流过线圈，导线周围变化的磁场在导线中感应电 流，从而使导线截面的电流分布步均匀。尤其频率较高时 从而使导线截面的电流分布步均匀。 电流几乎在导线表面附近的一薄层中流动， 集肤效应。 电流几乎在导线表面附近的一薄层中流动，即集肤效应。 （讨论导线自身有电流，其内部电流流动及电磁场分布） 讨论导线自身有电流，其内部电流流动及电磁场分布） 导线自身有电流 磁准静态场（ＭＱＳ）：位移电流密度忽略不计。 磁准静态场（ＭＱＳ）：位移电流密度忽略不计。 （ＭＱＳ）：位移电流密度忽略不计
二、磁准静态场Ｅ、Ｂ与动态位Ａ和φ关系 磁准静态场Ｅ、Ｂ与动态位Ａ Ｅ、Ｂ 关系
同恒定磁场
（1）矢量动态位
： A
B = ∇× A
∂A ∴∇ × E + =0 ∂t
（2）标量动态位 ϕ ：Φ标量函数 标量函数
∂B ∂ ∵ ∇× E = − = − (∇ × A) ∂t ∂t
令
∂A E+ = −∇ϕ ∂t
∇ × (∇ × H ) = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ H
2
得
∇ × J = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ H
2
∇ × (∇ × H ) = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ 2 H ∇ × J = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ 2 H
教材P335 教材
∫ J ⋅ dS = 0
流出任意闭合曲面的总传导电流是0。 流出任意闭合曲面的总传导电流是 。
５. ２磁准静态场和电路
∫ J ⋅ dS = 0
s
i1 i1 +i2 +i3 =0 i3 基尔霍夫电压定律（自学） 二、基尔霍夫电压定律（自学）
i2
５. 4 集肤效应
交流电流流过线圈， 交流电流流过线圈，导线周围变化的磁场在导线中感应电 流，从而使导线截面的电流分布步均匀。尤其频率较高时 从而使导线截面的电流分布步均匀。 电流几乎在导线表面附近的一薄层中流动， 集肤效应。 电流几乎在导线表面附近的一薄层中流动，即集肤效应。 （讨论导线自身有电流，其内部电流流动及电磁场分布） 讨论导线自身有电流，其内部电流流动及电磁场分布） 导线自身有电流 磁准静态场（ＭＱＳ）：位移电流密度忽略不计。 磁准静态场（ＭＱＳ）：位移电流密度忽略不计。 （ＭＱＳ）：位移电流密度忽略不计
二、磁准静态场Ｅ、Ｂ与动态位Ａ和φ关系 磁准静态场Ｅ、Ｂ与动态位Ａ Ｅ、Ｂ 关系
同恒定磁场
（1）矢量动态位
： A
B = ∇× A
∂A ∴∇ × E + =0 ∂t
（2）标量动态位 ϕ ：Φ标量函数 标量函数
∂B ∂ ∵ ∇× E = − = − (∇ × A) ∂t ∂t
令
∂A E+ = −∇ϕ ∂t
∇ × (∇ × H ) = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ H
2
得
∇ × J = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ H
2
∇ × (∇ × H ) = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ 2 H ∇ × J = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ 2 H
第五章准静态电磁场
在MQS场中，磁场满足涡流场方程（扩散方程）
图5.5.4 薄导电平板的磁场
& ∇ H =k H
2 2
→
& d 2H z & & = j ωµγ H z = k 2 H z 2 dx
解方程，代入假设条件，可以得到
& & HZ = B0ch( kx ) / µ
& & Bz = B0ch( kx )
1 2
−
t
时的电荷分布τ ，= ε e
/γ
( 驰豫时间)，
说明导电媒质在充电瞬间，以体密度分布的电荷随时间迅速衰减。 t − ρ 1 EQS场中，导体媒质内的电位满足 2ϕ = − = − ρ 0 e τ e ∇ 特解之一为
ϕ ( r ,t ) = ∫ V
− − ρ0 τ e dV = ϕ 0 ( r ) e τ 4 πε r
以电工钢片为例设kxcoskx50500图556电工钢片的集肤效应56导体的交流内阻抗561计算圆柱导体的交流参数设透入深度直流或低频交流电流均匀分布高频交流集肤去磁效应电流不均匀分布电流不均匀分布图561圆柱导体57电磁兼容简介电磁兼容是在有限空间时间频谱资源条件下各种用电设备生物可以共存不致于引起降级的一门科学
例5.3.1 研究双层有损介质平板电容器接至直流电压源的过渡过程，写出分界面 上面电荷密度σ 的表达式。 解 EQS： aE1 + bE2 = US
∂ (ε 2 E2 − ε1E1 ) = 0 ∂t
分界面衔接条件
(γ 2 E2 − γ 1E1 ) +
图5.3.2 双层有损介质的平板电容器
解方程，得面电荷密度为
5.3
电准静态场与电荷驰豫
5.8准静态电磁场解读
解：设圆柱坐标系的z轴与电容器的轴线重合
电容器中位移电流密度为
ic
H
u
ic ( ez ) 2 a
g 0
Jd
id ic
式中电流
Jd
i 0.1 2sin 314t A。由全电流定律有
图5.8.1 两圆电极的平板电 容器
l
H dl J d 2
π 2 2π H 2 ic πa
H J B 0
D t
满足
2 /
当平板电容器工作在低频交流情况下时，电容器中的电磁场属电准静态场。
CQU
例5.8.1 有一圆形平行板电容器，极板半径 a =10cm。边缘效应可以忽略。
现设有频率为50Hz、有效值为0.1A的正弦电流通过该电容器。求电容器中 的磁场强度。
(t ) Ee dl
A
B
uL
B
A
A B ( Li) di dl A dl L A t t t dt
uC
B
uC dl
A
B
1 i dt C
uR
B
Jc
A
i dl dl iR A g gS
di 1 (t ) uL uC uR L idt iR dt C
5.8
准静态电磁场
CQU
5.8.1 电准静态场 （Electroquasitatic， EQS）
低频时，忽略二次源
B ( 0) 的作用，即 Eind 0, t
E Ec Eind Ec 0 电场呈近似无旋
E 0 D
电准静态场基本方程为
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2 /
低频交流电感线圈导线中的磁场属于磁准静态场； 返 回 上 页 下 页
二、基本方程：
0 0 D D H J J d S H d l ( J ) d S t J l S t S B B E dl dS l E S t t B 0 dS 0 SB D D dS q
t
程发生变化，电场方程无变化称为电准静态（EQS）。
A J ,
2
/
2
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二、基本方程：
D ) dS l H dl S ( J t B 0 dl dS =0 l E S t dS 0 SB D dS q
5.0 序
电准静态场（Electroquasistatic） 简写 EQS Β 感应电场远小于库仑电场，可忽略 t 磁准静态场（Magnetoquasistatic ）简写 MQS D 位移电流远小于传导电流，可忽略 t 解题方法： 利用静态场的方法求解出电(磁)准静态场的电(磁) 场后，再用Maxwell方程求解与之共存的磁(电)场。
磁准静态场
D ( 0) t
电准静态场
B ( 0) t
具有静态电磁场的特点
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第 五 章
准静态电磁场
5.1 电准静态场和磁准静态场
Electroquasistatic and Magnetoquasistatic
电准静态场 B 若库仑电场远大于涡旋电场，忽略二次源 的
第 五 章
准静态电磁场
电准静态场 B 若库仑电场远大于涡旋电场，忽略二次源 的
作用， E ( Ec Ei ) Ec 0 D H J , B 0 , J t t E 0 , D 特点：电场的有源无旋性与静电场相同，磁场方 用洛仑兹规范 A t ，得到泊松方程
3.已知电荷分布，就可以利用静电场的公式，确定E和D。 9
第 五 章
求解方法：分两步
准静态电磁场
1）电场的求解采用静电场的公式
2）磁场的求解通过电准静态场的基本方程求解
电荷 分布
静电场公式 Ｅ、Ｄ
D H J , B 0 t
Ｈ、Ｂ
第 五 章
准静态电磁场
D 若传导电流远大于位移电流，忽略二次源 的 t D 作用，即 J D 0 H J J
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第 五 章
准静态电磁场
第 五 章
准静态电磁场
本章要求
了解EQS和MQS的共性和个性，
掌握工程计算中简化为准静态场的条件；
掌握准静态场的计算方法。
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第 五 章
准静态电磁场
准静态电磁场知识结构
时变电磁场
动态场（高频）
准静态电磁场
似稳场 电磁波 （忽略推迟效应）
忽略位移电流项 D ，即不考虑电磁场的波动性。 t 忽条件：
1.对于导体内的时变电磁场： 满足条件： << 时，(良导体) 位移电流可忽略：涡流准静态场(涡流场)。
对于金属： 107 S/m、 0 只要电流的频率满足：<< 1017 1/s 时，金属均为良导体。
2.对于理想介质内的时变电磁场： 当场点到源点的距离R<<场的波长 时，位移电流可忽略。 说明：在近区或似稳区，电磁场的分布遵循静态场的规律。 13
第 五 章
准静态电磁场
求解方法：分两步 1）磁场的求解静态场的公式 2）电场的求解通过磁准静态场的基本方程求解
磁准静态场
H J , B 0 , J 0 E B / t , D 0
特点：磁场的有旋无源性与恒定磁场相同，电场方程
发生变化，磁场方程无变化，称为磁准静态场（MQS）。
t
用库仑规范 A 0 ，得到泊松方程
2 A J ,
作用， E ( Ec Ei ) Ec 0 低频交流情况下，平板电容器中的电磁场是电准静态场
低频交流情况下，电感线圈中的电场可看做是恒定电场
t
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第 五 章
准静态电磁场
电力系统和电气装置中由时变磁场产生的感应电 场，相对于高电压产生的库仑电场很小，可忽略不计， 属于电准静态场问题。 低频电工电子设备中的感应电场相对于库仑电场可 能不小，但其旋度Ei很小时，E=(Ec+Ei） Ec=0成立，也可按电准静态场考虑。
S
1.磁准静态场与静态情况相比：只是电场的方程有变化。 (考虑了电磁感应)
2.磁场的方程与恒定磁场的方程完全一样；虽然此刻的磁场强度H和磁感 应强度B都是时间的函数，但它们的瞬时对应关系，即每一时刻的关系 类似于恒定磁场。
3.已知电流分布，就可以利用恒定磁场的公式，确定H和B。 12
第 五 章
准静态电磁场
S
D H J t B 0 E =0 t B 0 D
1.电准静态场与静态情况相比：只是磁场的方程有变化。 (考虑了位移电流引起的磁场)
2.电场强度E和电位移D的方程与静电场的方程完全一样；虽然此刻的E和D都 是时间的函数，但它们与源的瞬时对应关系，即每一时刻场与源的关系类 似于静电场。
第 五 章
第五章 准静态电磁场
Quasistatic Electromagnetic Field 序
准静态电磁场
电准静态场与磁准静态场 磁准静态场与集总电路 电准静态场与电荷驰豫 集肤效应与邻近效应 涡流及其损耗 导体交流内阻抗
电磁兼容简介
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第 五 章
准静态电磁场
Introduction 低频时，时变电磁场可以简化为准静态场。