力法对称结构
结构力学-力法中对称性的利用
对弯矩X1，一对轴力X2和对剪力X3。X1和X2是正
对称的，X3是反对称的。
X2 X1
X3 X1 X2
EI1
对 称
轴
EI2
EI2
（a）
图8-17
X3 （b）基本结构
绘出基本结构的各单位弯矩力（图解-18），可以看出 M1图和M2图是正对称的，而M3是反对称的。
X1=1
X2=1
X3=1
M1图
M2图
M3图
+ 1P=0 22Y2+ 2P=0
当对称结构承爱一般非对称荷载时，我们还可以将荷
载分解为正，反对称的两组，将它们分别作用于结构上求 解，然后将计算叠加（图8-24）。显然，若取对称的基本 结构计算，则在正对称荷载作用下只有正对称的多余未知 力，反对称荷载作用下只有反对称的多余未知力。
P
q
P/2 q/2 P/2
P/2
+ q/2
q/2 P/2
图8-24
转到下一节
是这样的例子。为了使副系数为零，可以采取未知力分组
的方法。
AP
BP
（a）
X1
X2 X1
（b） 基本体系
（c）
（d）
X2
这就是将原有在对称们置上的两个多个未知力X1和X2分 解为新的两组未知力：一组为两个成正对称的未知力Y1， 另一驵为两个成反对称 的未知力Y2（图8-23a）。新的未 知力与原未知力之间具有如下关系：
可知副系数 13 =31=0, 23 =32 =0 于是方程可以简
化为
11X1 12 X 2 1P 0
21X1 22 X 2 2P 0
33 X 3 3P 0
力法
＝
P
P X1
P
△1X1 X1
＝
X1
＋
△1P
变形协调方程： △1X1＋ △1P＝0 △1X1 ＝ δ11X1 一次超静定结构力法的基本方程为：
δ11
δ11X1＋△1P＝0
X1=1
二次超静定结构力法的基本方程为：
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
二、基本结构 去掉超静定结构的多余约束所得的静定结构为力法的基本结构 基本结构一定是无多余约束的几何不变体系。同一个超静定结 构，由于去掉的多余约束不同，所得的基本结构也不同，因此力法 解题的基本结构不是唯一的，可有多种选择。 【例8－2】力法解图 (a)所示超静定刚架，试选择基本结构。 P2
B
P1
基本未知量： X1=RB
（2）去掉固定端A的转动约束，得基本结构如图 (2)所示； 基本未知量： X1= mA
【例8－2】力法解图 (a)所示超静定刚架，试选择基本结构。 P2 P2 P2
B
B B
P1
RB
A
P1
A
P1 （3） X1=YA XA
A
XA
YA
（a） mA
（4）
（3）去掉固定端A的竖向约束，得基本结构如图 (3)所示； 基本未知量： X1= YA
对称轴 对称轴
2EI
P 对称轴
P
P
P 对称轴
P
P EI
2EI
2EI
对称结构、对称荷载 P 对称轴 P
等代结构 P
对称结构、反对称荷载 P 对称轴 P
等代结构 P
对称结构、对称荷载
等代结构
结构力学 (1)
基本结构已 为何为 0 无支座位移
5. 内力计算（静定结构）
M M1 X1 M P
内力全部由多余未知力引 起
31
§6.6 支座位移、温度变化等作用下时的超静定结构的计算
M M 1 X 1 (
3EI ) x; 0 x l 3 l
3EI 3EI ) 3 2 l l
对于支座位移
A B
1. 超静定结构支座移动、温度改变使结构产生变形,同时产生内力。
C
C
A
B
C’
FyC
静定结构 无内力和支座反力
超静定结构 有内力和支座反力
23
§6.6 支座位移、温度变化等作用下时的超静定结构的计算
对于温度变化
A
t t
B
C
A
t t
B
C
C’
FyC
静定结构 无内力和支座反力
X2
X3
X1
a 0 11 X 1 12 X 2 13 X 3 1C 0 2 C b 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 0 X X X 0 3C 31 1 32 2 33 3 0
1 P 1C 0 11 X 1 12 X 2 13 X 3 P 基本结构由支座 2P X X X 0 位移引起的 21 1 22 2 23 3 22 CP X X X 0 3P i 方向位移 3 P 31 1 32 2 33 3 3 C
29
§6.6 支座位移、温度变化等作用下时的超静定结构的计算
基本结构（II）
结构力学-力法-对称性应用-去一半计算
例8-5 试计算如图示圆环的内力。EI=常数。 P
R
o
取1/4
基本体系
P 解：这是一个三次超静定。有两个对称轴，故取四分之一结构，
则为一次超静定。
M1 =1，
Mp=-PRsin/2
X1=1
P
R
o M1图
R
PR/2
o
Mp图
PR(-2)/2
PR/
P M图
如图示，则系数和自由项为：
11=M12ds/EI=1/EI0/2Rd=R/2EI 1P=M1Mpds/EI=1/EI/2(-PRsin)rd=-PR2/2EI
转到下一节
M图(a)
1
C
K
B
a/4
A
MK图(d)
若取(d)的基本结构则有：
Ky=-1/EI1(a/2a/4)1/23pa/88=-3pa3/1408EI1 综上所述，计算超静定结构的步骤是：
（1） 解算超静定结构，求出最后内力，此为实际状态。 （2） 任选一种基本结构，加上单位力求出虚拟状态的内力。 （3） 按位移计算公式或图乘法计算所求位移。
Ky
1 EI1
1 2
a 2
a 2
5 3 Pa 6 88
1 2EI1
1 2
3 88
Pa
15 Paa 88
a 2
1 2
Pa a 4
a 2
3Pa3 1408EI1
3pa/88
B
C I1
p
15pa/88
2I1
A
于是得：
X1=- 1P/11=PR/
最后弯矩为：M=M1X1+MP=PR/-Prsin=PR(1/-sin/2)
第六章-力法(二) ,同济大学结构力学课件,朱慈勉版教材,吕凤悟老师课件
半结构选取的关键在于正确判别另外半结构对选取半结构的约束作用。 判别方法有两种：
根据对称轴上的杆件和截面的变形（或位移）特征判别。(适用于所有结构)
根据对称轴上的杆件和截面的内力特征判别。 (一般只适用于奇数跨结构)
【例】试用力法求作图示刚架的弯矩图。 各杆 EI C 。
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
【例】试用力法求作图示刚架的弯矩图。各杆 EI C 。
【解】利用对称性简化为一次超静定。
11X1 1p 0
11
144 EI
,
1 p
1800 EI
X1 12.5kN
M M1X1 M p
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
取半结构计算
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称性的概念
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。
支承不对称
对称结构
几何对称 支承对称 刚度对称
非对称结构
刚度不对称
对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向
13X 3 23X 3
1 p 2p
0 0
31X1 32 X 2 33 X 3 3 p 0
整理力法对称结构剖析
反对称荷载
3kN
3kN
2I
I X1
2I I
半边结构
力法基本体系
4.5 4.5
4.5 X1 1
18 18 36
M1 (m)
MP (kN·m)
10.8 10.8
10.8
10.8
2.4
25.2
7.2 18
18 3 7.2
25.2
5.6
M (kNm)
2.4
3
8
11
1 2EI
1 2
4.5 4.5 4.5
l
M1
P Pl Pl 2Pl
MP
11
1 EI
1 2
ll
l
22 3
l
l
l
5l 3 3 EI
1P
1 EI
(
1 2
l
Pl) l
1 ( 2
l
l)(2Pl
2 3
)
7 Pl 3
6EI
四、解方程
5l 3
7 Pl 3
3EI X1 6EI 0
得 X1 7P /10
五、作M 图
M M1X1 MP
7 Pl 10
10
13 Pl
10 A
M
(ｃ) 2F
F
F
l l l
l l
A
B
l
l
F
F
正对称荷载， A 不产生弯矩 B
l
l
A 反对称荷载 B
2P C
D
P
P
P
P
l
E
F
l
A
B
2l
【解】
对称荷载
力法
33 x 3 3 p 0
二： 取半边结构进行计算
1 正对称荷载作用下 （1）奇数跨正对称结构
C 截面有轴力、弯矩，无剪力；有竖直位移，无水平位 移和转角；简化为定向支座
（2）偶数跨正对称结构
C C
C截面 有轴力、弯矩，无剪力；无竖直位移，无水平位移 和转角；简化为固定端
2 反对称荷载作用下 （1）奇数跨正对称结构
FP 2
C截面 有剪力，无轴力和弯矩；有水平位移和转角，无竖直 位移；简化为滑动支座
（2）偶数跨正对称结构
FP
FP
FP
FP
FP
F P FQC
FQC
FP
C截面只有剪力，无轴力和弯矩；无竖直位 移，有水平位移和转角；简化为刚接点
这对剪力只使两柱 分别产生等值反向 轴力，而不使其它 杆件产生内力；又 因原结构中间柱的 内力等于该两柱内 力之代数和，故该 剪力对原结构的内 力无影响，可略去
图A
图B
（3）作单位弯矩图和荷载弯矩图
M
计算：
1
M
p
11
1 66 26 1 1 22 22 224 2 2 3 2 EI 2 3 3 EI EI 2 EI
1 2 EI 6 216 3 6 3 4 1 2 24 3 2 984 1 2 EI 3 4 EI EI
A B l 基本结构（一）
X1
11 x 1 A
原结构
A L 1 基本结构（二） B X1
11 x 1 1 C 0
单位荷载法与力法的联系
（1）核心思想：变形体虚功原理
we
=
wi
单位荷载法是应用变形体虚功原理求未 知位移，力法是应用变形体虚功原理求 未知力
对称及反对称性质的利用
31 X 1 3n2 X 2 33 X 3 3 p 0
11 X1 12 X 2 1p 0 21 X1 22 X 2 2 p 0 33 x3 3 p 0
3p 0
X3=0
对称荷载在对称结构中只引起 对称的反力、内力和变形。
力法方程为：
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1p 0
一、选取对称的基本结构
力法方程为：
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1p 0
21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 p 0
31 X 1 3n2 X 2 33 X 3 3 p 0
11 X1 12 X 2 1p 0 21 X1 22 X 2 2 p 0 33 x3 3 p 0
X1=0 和 X2=0
反对称荷载在对称结构中只引起
反对称的反力、内力和变形。
•当对称结构上作用任意荷载时
例 利用对称性计算图示刚架，并绘弯矩图。
解：1）选取对称的基本结构
2）力法方程
11X1 1p 0
3）计算系数和自由项
绘单位弯矩图和荷载弯矩图
11
2 EI
(1 22 2
22 3
2 4 2)
1 EI
(1 2
l 2
l 2
2 3
l 2
l 2
l
l) 2
7l 3 24 EI
1 p
1 EI
(1 2
pl 2
l
l) 2
Pl 3 8EI
将系数和自由项代入力法方程，得
Pl3
X1
1Hale Waihona Puke p 118EI 7l 33P 7
24EI 绘内力图。
对称力 -- 对称轴两边的力大小相等，将结构绕对称轴对折后其作用 位置和方向均相同的力；
课件：力法-解对称结构
南京工业大学 力学部
结构力学教研室
二、非对称结构的简化计算
对于非对称结构，为简化计算，应尽量使 M 图
及MP图局部化，以简化方程系数的计算。所以， 取基本结构时应考虑这一因素。
q
A
X1
X2
X3
B
C
D
连续梁基本体系
南京工业大学 力学部
结构力学教研室
X7
X3 X5
X8 X9
X1 X2
X6
X4
X1 EA→ ∞
降阶为两组，一组只含
M2
M3
有对称未知力，一组只 对称未知力产生的弯矩图和变形曲 含有反对称未知力。 线是对称的，反对称未知力产生的
弯矩图和变形曲线是反对称的。
南京工业大学 力学部
结构力学教研室
11 X1 12 X 2 1P 0
21 X1 22 X 2 2P 0
33 X 3 3P 0
反对称荷载——绕对称轴对 折后，对称轴两边的荷载等值、 作用点重合、反向。
南京工业大学 力学部
q
FP
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
FP1
FP1
对称轴 对称荷载
结构力学教研室
对称结构的计算
任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载。
FP a
FP/2 a a FP/2
FP/2 a a FP/2
FP1
FP2 F
FW
W
➢位于对称轴上的截面的位移 vC 0 ， 内力 FNC=0，MC=0
C
FNC MC
FNC
EI
FP EI
FP EI
FP
FP FQC
EI C FP EI
等代结构
南京工业大学 力学部
7.6 对称结构的简化计算
M 1M P ∆1P = ∑ ∫ ds = 0 EI
∆2 P
M 2M P = ∑∫ ds = 0 EI
可知，对称未知力 可知，对称未知力X1=0，X2=0，只需用式（c）计算 ， ，只需用式（ ） 反对称未知力X 反对称未知力 3。
M 2图
X3=1
X3=1
δ 33 X 3 + ∆3 P = 0
M 3图
2、简化自由项计算 、
(1)在对称荷载作用下，基本结构的荷载弯矩图和变形图是对称的。 在对称荷载作用下，基本结构的荷载弯矩图和变形图是对称的。 在对称荷载作用下
FP/2 FP/2 FP/2 X1 X1 X2 X2 （X3=0） ） MP图 FP/2
3kN
3kN
3kN X1
3kN
X1 反对称荷载
3m
3m
基本体系
选取对称的基本结构，其对应的基本体系如图所示。 选取对称的基本结构，其对应的基本体系如图所示。由于 荷载是反对称的，故可知正对称的多余未知力皆为零， 荷载是反对称的，故可知正对称的多余未知力皆为零，而 只有对称的多余未知力X 从而使力法方程大为简化， 只有对称的多余未知力 1，从而使力法方程大为简化，仅 相当于求解一次超静定的问题。 相当于求解一次超静定的问题。
基本体系
δ 11 =
∆1P =
1 1 1 2 108 4 × ( × 3 × 3) × ( × 3) = [2 × ( 3 × 4 ) × ( 3 ) ] + EI EI 2 3 EI
2 EI
30 + 18 1 2 756 (3 × 4) × ( ) + ( × 3 × 3) × ( × 30) = 2 2 3 EI
【结构力学课件】7 力法 对称结构
11 X 1 12 X 2 1n X n 1 P 0
21 X 1 22 X 2 2 n X n 2 P 0 力法基本方程 n1 X 1 n 2 X 2 nn X n nP 0
X2 X3
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 P
X1=1 X2=1
0 0
X1 0 X2 0 X 0 3
X3 X 3 X3 X3
11 X 1 12 X 2 1 P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
33 X 3 3 P 0
例1：P386习题7-3（a）
EI2 EI1 EI1 q q
=
X1
q
基本结构
一、弹性支座：
q q
基本体系
X1
q
q
q
基本体系
X1
q
基本体系
X1
11 X 1 1P 0
11 X 1 1P
q
X 1h EA
11 X1 1P
q
X1 k
h ( 11 ) X 1 1P 0 EA
X1
1 ( 11 ) X 1 1P 0 k
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 P
X1=1
结构力学学习心得体会-浅谈对称性在结构力学中的应用
结构力学学习心得体会浅谈对称性在结构力学中的应用 摘要：在工程实际问题中,有很多结构都具有对称性。
我们对这些结构进行受力分析的时候，常常将结构简化为杆系模型，而结构力学研究的就是结构的杆系模型，因此对称性在结构力学中有着广泛的应用。
特别是在求解超静定结构问题中,无论力法还是位移法,都是繁杂的.但对于对称结构，利用结构的对称性，可使结构内力计算大为简化.现在本文章就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。
关键词:结构力学;对称性；内力;变形1.引言所谓对称结构是指几何形状和支承对某一对称轴对称．且杆件截面和材料性质也对此轴对称。
利用结构的对称性可使计算得到简化，这是因为对称结构具有如下特点：在正对称荷载作用下，内力和变形是正对称的;在反对称荷载作用下，内力和变形是反对称的，如下图所示：2.对称性在求解结构内力中的应用对称结构在正对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是正对称的,其反对称的内力（剪力）是反对称的;在反对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力)和位移是反对称的，其反对称的内力（剪力)是正对称的。
因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。
据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结正 对 称 反 对 称构进行分析。
取半边结构进行分析,可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。
在用力法解决超静定问题时，对于对称的结构，可利用对称性简化计算。
简化步骤如下:①选取对称的基本结构。
②将未知力及荷载分组。
③取半结构进行计算。
对于对称结构承受一般非对称荷载时，利用荷载分组，将荷载分解为正、反对称的两组,并将他们分别作用于结构上求解内力，然后将计算结果叠加。
在计算对称结构时，根据对称结构特性，可以选取半个结构计算。
选取半结构的原则:(1)在对称轴的截面或位于对称轴的节点处(2）按原结构的静力和位移条件设置相应的支撑，使半结构与原结构的内力和变形完全等效.奇数跨对称结构：偶数跨对称结构:例如下图（a)所示，此二层刚架为对称结构承受对称荷载，沿对称轴断开,取半结构如图(b）所示．原六个位移基本未知量转为两个基本未知量、并注意半结构粱抗弯刚度相应增大为原二倍即建立结点A、C力矩平衡方程,可解出，M 图如图（c)所示。
结构力学——力法对称性的利用26页文档
结构力学——力法对称性的 利用
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
结构力学——力法对称性的利用
结构力学——力法对称性的利用力法对称性是结构力学中常用的一种方法，可以有效简化结构分析的复杂性。
它基于结构的几何和物理特性，通过利用结构的对称性来减少需要考虑的自由度，从而简化结构力学问题。
力法对称性的利用可以在两个方面发挥作用：减少计算自由度和简化载荷分析。
首先，力法对称性可以减少计算自由度。
结构力学问题的求解通常需要计算结构的内力和变形。
结构的自由度越多，计算所需的计算量就越大，求解也就越复杂。
通过利用结构的对称性，我们可以将结构分为若干对称部分，仅对其中一个部分进行力学分析，然后通过对称性来得到其他部分的结果。
这样可以大大减少计算自由度，简化结构力学问题的求解过程。
具体来说，力法对称性可以应用于不同的结构部分，如杆件、板和壳体等。
例如，在杆件问题中，结构的对称性可以体现为几何对称性，如轴对称、平面对称等。
通过建立合适的坐标系和选择适当的参考点，可以简化结构的力学分析。
力法对称性还可以应用于简化载荷分析。
结构在受力时，通常存在很多不同的载荷情况，如重力、集中力、分布力等。
利用力法对称性可以简化对这些载荷的分析。
通过找到适当的对称轴或对称面，可以使得一些载荷分布具有对称性，从而简化分析。
通过减少载荷分布的复杂程度，可以更方便地计算结构的内力和变形。
需要注意的是，力法对称性在实际应用中需要满足一定的条件。
首先，结构必须存在对称性，即具有一定的几何和物理特性。
其次，结构的对称性必须与载荷情况相匹配。
如果对称性不满足这些条件，力法对称性可能无法有效地简化结构力学问题。
总之，力法对称性在结构力学中的应用可以大大简化力学分析的困难。
通过减少计算自由度和简化载荷分析，可以提高结构力学问题的求解效率。
利用力法对称性，结构工程师可以更加方便地进行结构设计和分析，提高工作效率和设计质量。
结构力学第20次课 结构的对称性 2012- 5-17
结构力学第20次课 力法6-5 位移法7-6结构的对称性 foxscarlet12012-5-17 《结构力学》第20次课 第6章力法6-5P225与第7章位移法7-6P302内容6-5 7-6 对称性利用1 对称性（1）结构的对称性：对称结构是指几何形状、支座情况、刚度都关于某轴对称。
（2）荷载的对称性： 对称荷载 反对称荷载 任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载两部分。
2 取对称的基本体系计算： 不论在何种外因作用下，对称结构应考虑采用对称的基本体系计算。
沿对称轴将梁切开，三对多余未知力中，弯矩X 1和轴力X 2是 未知力，剪力X 3是 未知力。
对称未知力产生的单位弯矩图和变形图是对称的；反对称未知力产生的单位弯矩图和变形图是反对称的。
如果荷载对称，M P 对称，Δ3P =0，X 3=0， 未知力为零；如果荷载反对称，M P 反对称，Δ1P =0， Δ2P =0， X 1= X 2 =0， 未知力为零。
3 取等代结构计算对称结构的变形特点，针对切开对称轴处是刚结点。
注意，如果对称轴上是铰结点有所不同。
（1）对称结构在对称荷载作用下位于对称轴上的截面，水平位移和转角为零，只有竖向位移。
（2）对称结构在反对称荷载作用下位于对称轴上的截面，竖向位移为零，水平位移和转角不为零。
① 奇数跨（无中柱）对称结构在对称荷载作用下的等代结构 §7-6 对称结构的计算奇数跨刚架受对称荷载A. 奇数跨结构（无中柱对称结构）F PF P(1) 对称荷载F P半边结构对称轴截面内力结构与荷载3 取等代结构计算1扩展练习 奇数跨结构受对称荷载作用llqllAB例2. 图示结构EI = 常数。
对称性只有竖向荷载作用1X 3=3X 2X 1X 2=【例题】利用对称性计算图示结构,绘制弯矩图。
（EI=常l↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql/2l/2l/2l/2（a ）ldbFPFP4 无弯矩状态判定对称结构正对称荷载。
龙驭球《结构力学Ⅰ》笔记和课后习题(含考研真题)详解(力 法)【圣才出品】
第6章力法6.1 复习笔记一、超静定次数的确定——力法的前期工作1．超静定结构的静力平衡特征和几何构造特征（1）静力平衡特征一个结构，如果它的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一地加以确定，就称为超静定结构。
（2）几何构造特征超静定结构是有多余约束的几何不变体系。
2．超静定次数的确定（1）从几何构造看，超静定次数＝多余约束的个数。
（2）从静力分析看，超静定次数＝未知力个数－平衡方程的个数。
（3）求超静定次数时，应注意以下事项：①撤去一根支杆或切断一根链杆，等于拆掉一个约束；②撤去一个铰支座或撤去一个单铰，等于拆掉两个约束；③撤去一个固定端或切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束；④在连续杆中加入一个单铰，等于拆掉一个约束；⑤不要把必要约束拆掉；⑥要把全部多余约束都拆除。
二、力法的基本概念1.力法的基本未知量、基本体系和基本方程 （1）力法的基本未知量把多余未知力的计算问题当作超静定问题的关键问题，把多余未知力当作处于关键地位的未知力——称为力法的基本未知量。
（2）力法的基本体系和基本结构①含有多余未知力的静定结构，称为力法的“基本体系”； ②去掉多余约束力和荷载后的静定结构，称为力法的“基本结构”。
（3）力法的基本方程11δ——基本结构在单位未知力单独作用下沿1X 方向的位移；1X ——未知力；1P ∆——基本结构在荷载单独作用下沿1X 方向的位移。
2.多次超静定结构的计算 （1）二次超静定结构①图6-1-1（a ）为二次超静定结构，取B 点两个支杆为多余约束，用X 1、X 2作为基本未知量代替，则基本体系如图6-1-1（b ）所示。
图6-1-1②二次超静定结构的力法基本方程（2）多次超静定——力法典型方程——由荷载产生的沿方向的位移；——由单位力产生的沿方向的位移，常称为柔度系数。
在得到多余未知力的数值之后，超静定结构的内力可根据平衡条件求出，或者根据叠加原理用下式计算三、力法解超静定刚架和排架1.刚架的解法步骤（1）选取基本体系；（2）列出力法方程；（3）求系数和自由项；（4）求多余未知力；（5）作内力图。
7.6对称结构的简化计算
X1 = −
∆1P
δ 11
最后弯矩图如图7-32g所示。 所示。 最后弯矩图如图 所示
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四、简化方法之二——选取等效的半结构 简化方法之二 选取等效的半结构 1、奇数跨对称结构 、
FP
∆CV ∆CH=0 θC=0
二、简化的主要目标 力法简化的主要目标是：使典型方程中尽可能多的副系 力法简化的主要目标是：使典型方程中尽可能多的副系 以及自由项等于零， 自由项等于零 数以及自由项等于零，从而使典型方程成为独立方程或少元 联立方程。其关键都在于选择合理的基本结构， 联立方程。其关键都在于选择合理的基本结构，以及设置适 当的基本未知量。 当的基本未知量。
FP/2 FP/2 FP/2 X1 X1 X2 X2 （X3=0） ） MP图 FP/2
因此
∆3P
M 3M P =∑∫ ds = 0 EI
反对称未知力X 只需计算对称未知力X 反对称未知力 3=0 ,只需计算对称未知力 1和X2 。 只需计算对称未知力
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M 2图
X3=1
X3=1
M 3图
δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + ∆1 P = 0 δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + ∆2 P = 0
δ 33 X 3 + ∆3 P = 0
2、简化自由项计算 、
(1)在对称荷载作用下，基本结构的荷载弯矩图和变形图是对称的。 在对称荷载作用下，基本结构的荷载弯矩图和变形图是对称的。 在对称荷载作用下
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2 3
2
1 4.564.5 151.875
EI
EI
1P
1 2EI
1 4.54.536 2
2 3
1 4.5618 1 364.5
EI
2 EI
四、解方程
3
Q (kN)
161.875 364.5 EI X1 EI 0
2.4
得 X1 2.4kN
五、作M 图
8 N (kN) MM1X1MP 六、作Q、N 图
1P
1 EI
(12l
Pl)l
(1ll)(2Pl 2
23)
7Pl3
6EI
四、解方程
5l3 3EI
X1
7Pl3 6EI
0
得 X1 7P/10
五、作M 图
MM1X1MP
7 Pl 10 7 Pl 10 3 Pl Pl 10 13 Pl
10 A
M
(ｃ) 2F
F
F
l l l
l l
A
B
l
l
F
F
正对称荷载， A 不产生弯矩 B
反对称荷载
3kN
3kN
2I
I X1
2I I
半边结构
力法基本体系
4.5 4.5
4.5 X 1 1
18 18 36
M 1 (m)
M P (kN·m)
10.8 10.8
10.8
10.8
2.4
25.2
7.2 18
18 3 7.225.25源自6M (kNm)2.4
3
8
11
1 2EI
1 2
4.54.54.5
2P C
D
P
P
P
P
l
E
F
l
A
B
2l
【解】
对称荷载
一、荷载分解；对称荷载作用下 ，上梁轴力N＝－P；反对称荷载 P 作用下，取半边结构及力法基本 体系。
二、列力法基本方程
11X11P0
三、计算系数和自由项
半边结构
反对称荷载
P X1
力法基本体系
l
l l
X1 1
l
M1
P
Pl Pl 2Pl
MP
11E 1I1 2lll2 32lll35E l3I
7 Pl 10 7 Pl 10 3 Pl Pl 10 13 Pl
10 A
M
例 试用力法计算图示刚架，画出弯矩图。EI =常数。
6kN/m
解： 一、取半边结构及力法基本体系
C
二、列力法基本方程
4m
11X11P0
A
B
三、计算系数和自由项
4m 6kN/m
4m 6kN/m
C
C X1
A
半边结构
A
力法基本体系
1
1
C
X1=1 D
A
M1
B
C 18
18 （4.5） 13.5
A
MP
18
D
（4.5） 13.5
B
C 18
18 （4.5） 13.5
A
M
C
3
6A
Q
C
3
A
N
18
D
（4.5） 13.5
B
五、作M图 M M 1X1M PM P 六、作Q图和N图 七、讨论
D
B6 D
3
B
该对称结构在反对称荷载 作用下，取半边结构，是静定 结构。
4A
48
48
A
X1 1
C
M 1 (m)
C
M P (kN/m)
48
48
C
A 24
M
24 B
(kN/m)
11E 1I4 2424 336E 4I
1PE 1I4 24483E 8I4
四、解方程
64
384
3EI X1 EI 0
得 X1 18
五、作M图 MM1X1MP
【例】用等代结构计算图示结构，绘弯矩图，EI为常数。
三、计算系数11和自由项1P
11E 1I（ 1 2lll3 22lll） 34E l3I
1PE 1I(1 2lFl)l2 F E l3 I
四、解方程
4l3
Fl3
3EI X1 2EI 0
3F l 8
得 X1 3F/8
五、作M 图
B
MM1X1MP
【例】用力法计算图示结构，并绘出M图 。EI=常数。
1P
1 1l EI 2
Pl 4
l Pl3
2 16EI
四、解方程
7l3
Pl3
24EI
X1
16EI
0
得 X13P/14
五、作M 图
MM1X1MP
【例】用半边等代结构计算图示结构，绘弯矩图，EI为常数。
l
C
P
E
D
P
P
F
P X1
l
A
B
2l
【解】
半边结构
一、取半边结构及力法基本体系
二、列力法基本方程
11X11P0
P/4
P/2 P/4
荷载左右对称上下反 对称，取1/4结构。
l/2
l/2
l/2
X1 1 M 1
M P Pl / 4
3Pl 28
3Pl
2A8
3Pl 28
P
4Pl 28
4Pl 28
M
3Pl 28
3Pl
B2 8
3Pl 28
二、列力法基本方程
11X11P 0
三、计算系数和自由项
11E 1I1 22 l2 l2 l3 2l2 l2 l 27 4lE 3I
l
l
A 反对称荷载 B
l
l
F
F
【解】 一、荷载分解为正对称荷 载和反对称荷载；正对称 荷载，不产生弯矩；反对 称荷载作用下取半边结构 及力法基本体系。
X 1 二、列力法基本方程
A 半边结构
l
A力法基本体系
l
11X11P0
l l
X 1=1
M1
Fl
2F
3F l 8
MP
3F l 8
5Fl A
8
M
5F l 8
【10.3】 用力法解下列刚架，并作M、Q、N图。
1kN/m
C
I2 4I1
1kN/m
D
【解】 一、取力法基本体系
6m
I1
I1
二、列力法基本方程
A
6m
B
6m
11X1+1P=0 三、计算系数11和自由项1P
1kN/m
C
1kN/m
X1
D
1P
M1MP dx0 EI
四、解方程
A 力法基本体系 B
11X100 得 X1 0
三、计算系数和自由项
力法基本体系
l
l l
X1 1
l
M1
P
Pl Pl 2Pl
MP
11E 1I1 2lll2 32lll35E l3I
1P
1 EI
(12l
Pl)l
(1ll)(2Pl 2
23)
7Pl3
6EI
四、解方程
5l3 3EI
X1
7Pl3 6EI
0
得 X1 7P/10
五、作M 图
MM1X1MP
M 1 (m)
D
11E 2I1 26662 31E 4I4
1P
M1MP dx 1 1636063
EI
EI 3
4
B6
3240 EI
C
D
M P (kN·m)
A
B
四、解方程
144 3240 EI X1 EI 0
得
X122.5kN
C
22.5
AM
D
(kN·m)
B
135
五、作M图 MM1X1MP
10.10 试作图示刚架的M图。提示：支座反力是静定的，可视支 座反力为荷载作用在结构上。
1kN/m
C I2 4I1 I1
A
6m
6m
10.5 用力法计算下列排架，作M图。
(a)
20kN/m EA
C
D
I
I
A
B
6m
6m
6m
【解】 一、取力法基本体系 二、列力法基本方程
11X11P 0
三、计算系数11和自由项1P
20kN/m
X1
C
D
A
B
力法基本体系
6
360 (90) 225
X1 1 C
A
q
q
a /2
q X2
X1
EA= o o
q a
a /2
1/4结构
1/15
7/120 1/30
力法基本体系
1/15
1/30
7/120
1/15
1/15
M图(×qa2)
10.9 利用对称性，计算下列刚架的M图。
(f) 并再作Q、N图。
6kN
3kN
3kN
3kN
3kN
E 2I F
I
I
6m 6m
C
D
2I
I
I
A
B
9m
【解】
对称荷载
一、荷载分解；对称荷载作用下，上 梁轴力N＝－3kN；反对称荷载作用 下，取半边结构及力法基本体系。
二、列力法基本方程
11X11P0
三、计算系数和自由项
P
P