运筹学-第八章
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【解】动态规划求解过程如下。 阶段k ：共往数k=1,2,3,4，k=1表示第一趟初，k =4表示第三趟末（即第六年初）； 状态变量s k ：第k 趟初完好的车辆数（k =1,2,3,4），也是第k －1趟末完好的车辆数，其中s 4表示第三趟末的完好车辆数。
—
决策变量x k ：第k 年初投入高负荷运行的机器数； 状态转移方程：s k +1=+(s k －x k )
决策允许集合：D k (s k )={x k |0x k s k } 阶段指标：v k (s k ，x k )=100x k +80(s k －x k ) 终端条件：f 4(s 4)=0 递推方程：
{}
[]{}
11()
10()max
(,)()max 10080()0.70.8()k k k k k
k k k k k k k x D s k k k k k k k x s f s v s x f s x s x f x s x ++∈+≤≤=+=+-++-
f k (x k )表示第k 趟初分配x k 辆车到A 地，到第3趟末的最大总运价为
{}
33
33
33333440*333
330()max 10080()()max {2080}100x s x s f s x s x f s x s s x s ≤≤≤≤=+-+ =+==最优
{}
22
22
22222330*222
2
20()max 10080()()max {10160}170x s x s f s x s x f s x s s x s ≤≤≤≤=+-+=+==最优
{}
11
11
11111220*111
1
10()max 10080()()max{3216}219x s x s f s x s x f s x s s x s ≤≤≤≤=+-+=+==最优
：
因为s 1=100，最大总运价f 1(s 1)=21900元
一台设备的价格为P，运行寿命为n年，每年的维修费用是设备役龄的函数，记为C(t)，
新设备的役龄为t=0。旧设备出售的价格是设备役龄的函数，记为S(t)。在n年末，役龄
为t的设备残值为R(t)。现有一台役龄为T的设备，在使用过程中，使用者每年都面临“继
续使用”或“更新”的策略。（列出动态规划模型）
,
答案：阶段k：运行年份；
状态变量x k：设备的役龄t；
决策变量d k：
⎩
⎨
⎧
=
继续使用
更新
)
Keep
(
K
)
place
(Re
R
d
k
状态转移方程：
⎩
⎨
⎧
=
+
=
=
+K
d
1
x
R
d
1
x
k
k
k
1
k
阶段指标：
⎩
⎨
⎧
=
=
-
+
=
⎩
⎨
⎧
=
=
-
+
=
K
d
)t(C
R
d
)t(S
)0(C
P
K
d
)
x(C
R
d
)
x(S
)0(C
P
v
k
k
k
k
k
k
k
递推方程：
⎩
⎨
⎧
=
+
+
=
+
-
+
=
⎩
⎨
⎧
=
+
=
+
-
+
=
+
+
+
+
+
+
K
d
t
f
t
C
R
d
f
t
S
C
P
K
d
x
f
x
C
R
d
x
f
x
S
C
P
x
f
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
)1
(
)(
)1(
)(
)0(
min
)
(
)
(
)
(
)
(
)0(
min
)
(
1
1
1
1
1
1
终端条件：f n(t)=-R(t)
较
难
分
析
"
12
14
系统可靠性问题。一个工作系统由n个部件串联组成，见图1。只要有一个部件失灵，整个
系统就不能工作。为提高系统的可靠性，可以增加部件的备用件。例如，用5个部件1并
联起来作为一个部件与部件2串联，如果其中一个部件失灵其它4个部件仍能正常工作。
由于系统成本（或重量、体积）的限制，应如何选择各个部件的备件数，使整个系统的可
靠性最大。
图1
；
假设部件(1,2,,)
i i n
=上装有
i
x个备用件，该部件正常工作的概率为()
i i
p x。设装一个部
件i的备用件的成本为i c，要求备件的总费用为C。那么该问题模型为：
1
1
max()
01,2,,
n
i i
i
n
i i
i
j
P p x
c x C
x i n
=
=
=
⎧
≤
⎪
⎨
⎪≥=
⎩
∏
∑
并且为整数，
（）
同理，如果一个复杂的工作系统由n个部件并联组成的，只有当n个部件都失灵，整个系统
就不能工作，见图2。
图2
假设()
i i
p x为第i个部件失灵的概率，为提高系统的可靠性，可以增加部件的备用件。由于
系统成本（或重量、体积）的限制，应如何选择各个部件的备件数，使整个系统的可靠性
最大。系统的可靠性为
1
1()
n
i i
i
p x
=
-∏，则该问题的数学模型归结为
1
1
min()
01,2,,
n
i i
i
n
i i
i
j
P p x
c x C
x i n
=
=
=
⎧
≤
⎪
⎨
⎪≥=
⎩
∏
∑
并且为整数，
（）
利用式或（）求解下列问题。
工厂设计的一种电子设备，其中有一系统由三个电子元件串联组成。已知这三个元件的价
格和可靠性如表所示，要求在设计中所使用元件的费用不超过200元，试问应如何设计使
设备的可靠性达到最大。
元件单价；
可靠性
140
235
320
:
【解】数学模型为
3
12
123
123
max(10.05)(10.2)(10.4)
403520200
,,0
x
x x
Z
x x x
x x x
=---
++≤
⎧
⎨
≥
⎩并且为整数
最优解X=(1，2，4)；可靠性Z=，总费用190。
设有一个由四个部门串联组成的系统。为提高系统的可靠性，考虑在每个部件上并联1个、
2个或3个同类元件。每个部件i(i=1,2,3,4)配备j个并联元件（j=1,2,3）后的可靠性R
ij
和成本c
ij
（单位：百元），由下表给出。假设该系统的总成本允许为15千元。试问如何确
定各部件配备元件的数目，使该系统的可靠性最大
~
j
i=1i=2i= 3i=4
R
ij
c
ij
R
ij
c
ij
R
ij
/
c
ij
R
ij
c
ij
1423…
3
254——5
3）7——————
答案：可靠性为( 中运
用
1012部件1部件2
……
部件n