必修二点直线平面知识点

点、直线、平面的位置关系

一、直线与平面位置关系高考考试内容及考试要求：

考试内容：

1、平面及其基本性质；

2、平行直线；对应边分别平行的角；异面直线所成的角；异面直线的公垂线；异面直线的距离；

3、直线和平面平行的判定与性质；直线和平面垂直的判定与性质；点到平面的距离；斜线在平面上的射影；直线和平面所成的角；三垂线定理及其逆定理；

4、平行平面的判定与性质；平行平面间的距离；二面角及其平面角；两个平面垂直的判定与性质；

二、空间中的平行关系

课标要求：

1．平面的基本性质与推论

借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：

◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；

◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；

◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；

◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；

◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

2．空间中的平行关系

以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：

◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；

◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；

通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：

◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行；

◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行；

◆垂直于同一个平面的两条直线平行

要点精讲：

1．平面的性质

（1）平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度）无边界

（2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面

（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母αβγ、、等表示，如平面α、平面β；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC 。

2．三公理三推论：

公理1：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。用符号表示：

,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈??

公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

推论一：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。用符号表示为：

,,P P l P l αβαβ∈∈?=∈且且

3．空间中两直线位置关系:

（1）空间两条直线有且仅有三种位置关系：

异面直线：1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线（skew lines ）；

2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。

其图形与符号语言如下：

注：异面直线的画法常用的有下列三种：

异面直线所成的角：1）范围： (0,90]θ∈；2）作异面直线所成的角：平移法。

如下图，在空间任取一点O ，过O 作','a a b b ，则','a b 所成的θ角为异面直线a,b 所成的角。特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点（如线段中点，端点等）上，形成异面直线所成的

角。

（2）平行直线：

在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线的传递公理），其符号表述： ,a b b c a c ?

（3）定理（等角定理）：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

4．空间中直线与平面的位置关系

（1）直线在平面内（有无数个公共点）；

（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；

（3）直线和平面平行（没有公共点）

其中，直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为,,//a a A a ααα?=。

a b a b a b βαααb a b'a'θαO

线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。符号表示为：,,////a b a b a ααα???

图形表示为：

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。符号表示为：//,,//a a b a b αβα

β?=?。图形表示为：

5．空间两平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）

（1）两平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面

平行，那么这两个平面平行。符号表示为：

,,,//,////a b a b P a b ββαααβ??=? 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。符号表示为：

,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=??=???

（2）两平面平行的性质定理：（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

注：证明两平面平行的方法：

（1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。

（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：a ∩b ， a α， b α，a ∥β，b ∥β，则α∥β。

（3）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a ⊥α，a ⊥β则α∥β。

（4）平行于同一个平面的两个平面平行。//,////αβαγβγ?

两个平面平行的性质有五条：

（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：α∥β， a α，则a ∥β。

（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行”。用符号表示是：α∥β，α∩γ=a ，β∩γ=b ，则a ∥b 。

（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证线面垂 a

b βα

直。用符号表示是：α∥β，a⊥α，则a⊥β。

（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。

（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。

三、空间中的垂直关系

课标要求：

以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：

◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

◆ 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：

◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

要点精讲：

1．线线垂直

判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

符号表示：

注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。

2．线面垂直

定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直。其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面，直线与平面的交点叫做垂足。直线l与平面α垂直记

作：l⊥α。

直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

直线和平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

3．面面垂直

两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：（线面垂直?面面垂直）一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

两平面垂直的性质定理：（面面垂直?线面垂直）两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

附注：垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：

四、空间中的夹角和距离（拓展）

要点精讲：

1．距离

空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离

（1）两条异面直线的距离

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。

（2）点到平面的距离

平面外一点P在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找

二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。○2等体积法。

（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；

（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。

求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为θ ，它们的公垂线AA ′的长度为d ，在a 上有线段A ′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么2222cos EF d m n mn θ=++±（“±”符号由实际情况选定）

2．夹角

空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为(0°，90°]、[0°，90°]和[0°，180°]。

（1）两条异面直线所成的角

求法：○1先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；○2通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是]2,0(π，向量所成的角范围是],0[π，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。

（2）直线和平面所成的角

求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”。

（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的

解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通常的作法有：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；（Ⅲ）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos S S

θ'=，其中S 为斜面面积，S ′为射影面积， θ为斜面与射影面所成的二面角。 3．等角定理

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 附注：空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、

空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等。解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决。

1．空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角θ∈(0，2

π)，直线与平面所成的角θ∈0,2π??????

，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈(0，π)。 对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．

（1）求异面直线所成的角，一般是平移转化法。方法一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线；或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，这样就作出了两异面直线所成的角θ，构造一个含θ的三角形，解三角形即可。方法二是补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ。

（2）求直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足（即得直接在平面内的射影），最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角。

（3）求二面角，一般有直接法和间接法两种。所谓直接法求二面角，就是作出二面角的平面角来解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：①根据定义作二面角的平面角；②垂面法作二面角的平面角；③利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角；无棱二面角先作出棱后同上进行。间接法主要是投影法：即在一个平面α上的图形面积为S ，它在另一个平面β上的投影面积为S ′，这两个平面的夹角为θ，则S ′=Scos θ。

如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角α－l －β的平面角（记作θ）通常有以下几种方法：

(1) 根据定义；

(2) 过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面γ，设γ∩α＝OA ，γ∩β＝OB ，则∠AOB ＝θ(图1)；

(3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面α内一点A ，分别作另一个平面β的垂线AB (垂足为B ),或棱l 的垂线AC (垂足为C )，连结AC ，则∠ACB ＝θ 或∠ACB ＝π－θ(图2)；

(4) 设A 为平面α外任一点，AB ⊥α，垂足为B ，AC ⊥β，垂足为C ，则∠BAC ＝θ或∠BAC ＝π－θ(图

3)；

(5) 利用面积射影定理，设平面α内的平面图形F 的面积为S ，F 在平面β内的射影图形的面积为S '，

则cos θ＝S

S '

.

2．空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离。

求距离的一般方法和步骤是：一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要求的距离；三算——计算其值．此外，我们还常用体积法求点到平面的距离．

求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：

①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置.

②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理.

③求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种：

根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线.解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面。作二面角的平面角应把握先找后作的原则.此外在解答题中一般不用公式“cos θ＝S

S '”求二面角否则要适当扣分。 ④求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质.而间接法中常用的是等积法及转移法.

⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离

求距离的关键是化归。即空间距离与角向平面距离与角化归，各种具体方法如下：

（1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形。

（2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法。