抛物线与图形面积专题精编

抛物线与图形面积专题精编

【例1】、已知直线42+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、D 两点，抛物线c bx x y ++=22

1-进过点A 、D ，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点．

（1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；

（2）设点M 是直线AD 上一点，且3:1:=ΔΔOMD AOM S S ，求点M 的坐标；

（3）如果点C （2，y ）在这条抛物线上，在y 轴的正半轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

点拨： 对于（2），将面积比转化为线段比，因点M 在直线AD 上，等腰△BCP 的底腰不定，故应全面讨论．

【例2】 如图，抛物线c bx ax y ++=2经过A （-1,0）、B （3,0）、C （0,3）三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在一点Q ，使△QMB 与△PMB 的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在第一象限，对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△RPM 与△RMB 的面积相等？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．

点拨： 对于（2），Q 点必在平行于BC 的直线上，从等积变形切入．

归纳总结： “等（同）底、等（同）高、等面积”这三个论断，以其中任意两个为条件，可推得第三个结论．灵活运用这些关系式，常与中点、平行线、梯形、平行四边形相关联．

面积比转化为线段比，常与相似三角形联系在一起．

【例4】 如图①，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC

的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2

1Δ=，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

解决下列问题：

如图②，已知抛物线经过A （-4,0）、B （0，-4）、C （2,0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，其横坐标为m ，△AMB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．

图① 图②

点拨与解析： 对于（2），分割图形，或作MD ⊥x 轴交AB 于D ，直接运用抛物线上计算三角形面积的公式．

（1）2142

y x x =+-； （2）直线AB 的解析式为：4y x =--，

()()2

242440S m m m m =--=-++-<<，∴当2m =-时，max 4S =．

总结： 例3通过阅读理解创造一类求图形面积的新方法，铅垂高可用动点的横坐标表示，从而把三角形面积与动点的横坐标联系起来．类比迁移，我们可用例3的模型贯通这一类问题．

针对训练：

1、如图，二次函数m x x y ++=2-2的图象与x 轴的一个交点为A （3,0），另一个交点为B ，且与y 轴交于点C ．

（1）求二次函数解析式；

（2）该二次函数图象上有一点D （x ，y ），使ABC ABD S S ΔΔ=，求点D 的坐标．

2、如图，抛物线k x y ++=2

1）（与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-3）．

（1）求抛物线的对称轴及k 的值；

（2）抛物线的对称轴上存在一点P ，使得P A +PC 的值最小，求此时点P 的坐标；

（3）点M 是抛物线上的一动点，且在第三象限．

①当M 点运动到何处时，△AMB 的面积最大？求出△AMB 的最大面积及此时点M 的坐标； ②当M 点运动到何处时，四边形AMCB 的面积最大？求出四边形AMCB 的最大面积及此时点M 的坐标．

3、如图，已知抛物线c bx x y ++=2-与一直线相交于A （-1,0）、C （2,3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ．

（1）求抛物线及直线AC 的函数关系式；

（2）设点M （3，m ），求使MN +MD 的值最小时m 的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，点E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF //BD 交抛物线于点F ，以B 、D 、E 、F 为顶点的四边形能够为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若点P 是该抛物线上位于直线AC 上方的一动点，求△APC 面积的最大值．

4、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4,0）、B（0，-4）、C（2，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S 关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

本节总结：面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素—边与角．由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的常见形式，解这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形割补、等积变形、等比转化．