2020届-河南省十所名校高中毕业班第一次联考【理科数学】

21．(12 分) 已知函数 f (x) k ln x (k 1)x 1 x2 . 2
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）设
f
(x)
的图象与直线
y

m
交于
A(x1, m)，B(x2 , m)
两点，且
x1

x2
，求证：f
(
x1
2
x2
)

0
.
19．(12 分)已知动圆 M 过点 P(2,0) 且与直线 x 2 0 相切. （1）求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程； （2）斜率为 k (k 0) 的直线 l 经过点 P(2,0) 且与曲线 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中垂线
理科数学试题 第 1页（共 4页）
青年职工 30 人，则抽取的老年职工的人数为
A. 14
B. 20
C. 21
8.
已知
a

log3
7 2
,
b

(
1
)
1 3
,
4
c

log 1 3
1 5
，则
a，b，c
的大小关系为
A. a b c
B. b a c
C. b c a
D. 70 D． c a b
A. ( 1 ,3) 3
B. (, 1) 3
C. (3,)
D. (, 1) (3,) 3
11.
已知椭圆
C：x a
2 2

y2 b2
1 (a b 0) 的左右顶点分别是 A、B ，点 M 为椭圆上异于 A、B 的
一点，直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为 1 ，则椭圆的离心率为 4
A. (1,3)
B. (1,6)
C. [1,3]
D. [1,6]
2.
已知 z1 5 10i，z2
3 4i ，且复数 z 满足 z
1 z1
1 z2
，则 z 的虚部为
A. 2 i 25
B. 2 i 25
C. 2 25
3. 已知向量 a,b 满足| a | 2, | b | 1, (a b) b ，则向量 a 与 b 的夹角为
（一）必考题：共 60 分. 17. (12 分)
在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c .已知 b sin A 2c sin B, a 4, cosB 1 . 4
（1）求 b 的值； （2）求 cos(2B ) 的值.
3
18.(12 分) 如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，点 A1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上，BAC CAA1 60 ，
D. 2 25
A.
6
B．
3
C．
2
D． 2 3
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表
面积为 A． 5 18
B． 6 18
C． 8 6
D．10 6
（第 4 题图）
（第 6 题图）
5. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若 a2a3 2a7 , S5 40 ，则 a7
为
.
15. 在 (1 2x)5 (3x 1) 的展开式中，含 x3 项的系数为
．
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16. 已知 满足 tan tan( ) 3 ，则 cos(2 )
．
42
4
理科数学试题 第 2页（共 4页）
三、解答题（共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。）
一人值日打扫卫生.游戏规则如下：第一天由甲值日，随后每天由前一天值日的人抛掷两枚正 方体骰子（点数为 1~6），若得到两枚骰子的点数之和小于 10，则前一天值日的人继续值日， 否则当天换另一个人值日.从第 2 天开始，设“当天值日的人与前一天相同”为事件 A. (Ⅰ) 求 P(A) .
理科数学试题 第 3页（共 4页）
l
的参数方程为

y

1

（m m
为参数），以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C
的极坐标方程为 2

36 3 cos 2
，直线
l
与曲线
C
交
于 M，N 两点.
（1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）求| MN | .
20．(12 分) 一间宿舍内住有甲、乙两人，为了保持宿舍内干净整洁，他们每天通过小游戏的方式选出
且 AB AC AA1 2.
（1）证明： B1C A1B ；
（2）求二面角 A B1C B 的余弦值.
(Ⅱ) 设 pn (n N *) 表示“第 n 天甲值日”的概率，则 p1 1, pn apn1 b(1 pn1) (n 2,3,4,) ， 其中 a P(A)，b P(A) . （1）求 pn 关于 n 的表达式； （2）这种游戏规则公平吗？说明理由.
A． 5 10
B． 5 5
C． 3 5 10
D． 2 5 5
12. 已知四棱锥 P ABCD 的四条侧棱都相等，底面是边长为 2 的正方形，若其五个顶点都在 一个表面积为 81 的球面上，则 PA 与底面 ABCD 所成角的正弦值是
4
A. 2 3
B. 2 或 5 33
C. 2 2 3
D. 1 或 2 2 33
23.（10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f (x) | x 1| | x 2 | .
（1）求不等式 f (x) 4 的解集. （2）设 a,b, c R ，函数 f (x) 的最小值为 m，且 1 1 1 m ，求证： 2a 3b 4c 3 .
9. 已知双曲线 E： x2 y2 1 ，F 为左焦点，P，Q 为 E 右支上两点，若线段 PQ 经过点 (2,0) ， 3
且 PQF 的周长为 8 3 ，则线段 PQ 的长为
A．2
B． 2 3
C．4
D． 4 3
10. 已知函数 f (x) x(ex ex ) ，若 f (2x 1) f ( x 2) ，则 x 的取值范围是
第Ⅱ卷
二、填空题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
x y 7 0
13.
已知 x, y 满足约束条件 x y 1 0 x 2
，则目标函数 z
y 1 的最大值为 x 1
.
14. 已知正项等比数列{an}满足 a2 4, a4 a6 80 ，记 bn log2 an ，则数列{bn} 的前 50 项和
交 x 轴于点 N，求 | AB | 的值. | NP |
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.
22.（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
x 1 2m
在平面直角坐标系中，直线
A. 13
B．15
6. 执行如图所示的程序框图，得到的 S 的值为
C．20
D．22
A. 3 2
B. 3
C. 2 3
D．3
7. 某单位共有老年、中年、青年职工 320 人，其中青年职工 150 人，老年职工与中年职工的
人数之比为 7:10.为了了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有
2a 3b 4c
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绝密★启用前
2020 届河南省十所名校高中毕业班第一次联考
理科数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 命题：
第Ⅰ卷
审题：
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. 已知集合 A {x | y x 3}, B {x | x2 7x 6 0}，则 (CR A) B