圆的轴对称性(2)
苏教版九年级数学(上)《2.2圆的对称性(2)》教学设计-优质教案
OCDA2.总结 垂径定理：数学语言（符号）表述： 板书垂径定理的内容活动意图：本环节要注重学生在活动中的思考，鼓励学生有条理地表达自己的思考过程，积累数学活动经验，本环节采用学生自主探索与合作交流的方法，通过学生的探究、归纳得出垂径定理性质。
环节三：运用新知 教师活动4例1.如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D 。
线段AC 与BD 相等吗？为什么？例2：如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8㎝，圆心O 到AB 的距离为3㎝，求⊙O 的半径。
变式:在半径为5㎝的⊙O 中，有长为8㎝的弦AB ，求点O 到AB 的距离。
想一想：若点P 是AB 上的一动点，你能写出OP 的范围吗？学生活动4（1）例1需要学生通过添加辅助线解决问题，教师引导学生得出添加辅助线常用的方法．（2）学生独立分析，老师板书，写出证明过程．例2是例1的延伸，要求学生在课堂作业纸上完成，并请一名学生上黑板板演并关注证明过程是否规范．变式：生生互动完成！想一想：学生合作完成，并交流展示，教师引导归纳活动意图：本环节依据学生的实际情况及他们的心理特点，设计了包括例1在内的有梯度的，循序渐进的与物理、代数相关的变式题组训练二，让学生尝试。
采用学生自主探索与合作交流的方法，通过学生的探究体验垂径定理性质的应用。
环节四：课堂小结OABOFEDCBA7.板书设计 2.2圆的对称性（2）垂径定理：例题板书：（略）学生板书：（略）数学语言（符号）表述：8.作业与拓展学习设计1.过⊙O内一点P，最长的弦为10cm，最短的弦长为8cm，则OP的长为 .2.⊙O中，直径AB ⊥弦CD于点P ，AB=10cm,CD=8cm，则OP的长为 cm.3.⊙O的弦AB为103cm，所对的圆心角为120°，则圆心O到这条弦AB的距离为___4.已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,AE=1,BE=5, AEC=45°,求CD的长。
圆的认识(二)知识点总结
圆的认识(二)知识点总结一、圆的对称性。
1. 轴对称性。
- 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线。
圆有无数条对称轴。
- 例如，我们可以将一个圆形纸片沿着任意一条通过圆心的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这就体现了圆的轴对称性。
2. 中心对称性。
- 圆也是中心对称图形，对称中心为圆心。
- 把一个圆绕着圆心旋转任意一个角度后，都能与原来的图形重合。
在圆形的转盘游戏中，转盘绕着圆心旋转后，其位置虽然改变了，但形状和大小不变，这就是圆的中心对称性的体现。
二、弧、弦、圆心角的关系。
1. 定义。
- 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
例如在圆O中，∠ AOB的顶点O 是圆心，所以∠ AOB是圆心角。
- 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A、B为端点的弧记作overset{frown}{AB}。
- 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦。
例如在圆O中，线段AB是弦，若AB经过圆心O，则AB是直径。
2. 关系定理。
- 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
- 例如，在圆O中，如果∠ AOB=∠ COD，那么overset{frown}{AB}=overset{frown}{CD}，AB = CD。
3. 推论。
- 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
- 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
三、圆周角。
1. 定义。
- 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
例如在圆O中，∠ACB的顶点C在圆上，且AC、BC都与圆相交，所以∠ ACB是圆周角。
2. 圆周角定理。
- 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
- 例如，在圆O中，弧overset{frown}{AB}所对的圆周角∠ ACB和圆心角∠ AOB，则∠ ACB=(1)/(2)∠ AOB。
5.2 圆的对称性(2)
第五章 中心对称图形（二）第4课时：圆的对称性（2）班级________姓名_________学号________学习目标：1、利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理．2、利用垂径定理进行有关的计算与证明．3、在经历探索与证明垂径定理的过程中，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法． 思考探索：问题 1、在直径为650mm 的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度．问题 2、以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D ．（1）AC 与BD 相等吗？为什么？（2）若AB=8cm ，CD=4cm ，大圆的半径为5cm ，求小圆的半径．（3）若两圆的半径分别为15cm 、13cm ，AC 长为4cm ，求AB 与CD 的长度．随堂练习：1、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，P 是AB 上的一个动点，求2、已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB ∥CD ，且AB=8cm ，CD=6cm ，求弦AB 与CD 的距离．拓展延伸：梯形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，且AB ∥CD ，⊙O 的半径为5cm ，AB=8cm ， CD=6cm ，求梯形ABCD 的面积．课后作业：1、如图，矩形ABCD 与⊙O 交于点A 、B 、F 、E ，DE=1cm ，EF=3cm ，则AB=__________cm ．2、如图，⊙O 的直径CD 与弦AB 相交于点M ，只要再添加一个条件：________，就可得到M 是AB 的中点．3、在圆中有一条长为16cm 的弦，圆心到弦的距离为6cm ，该圆的直径的长为_______cm ．4、如图，在⊙O 中，AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足为C ．若OA=5，OC=3，则弦AB 等于（ ）．A ．10B ．8C ．6D ．45、一种花边是由如图的弓形组成的，的半径为5，弦AB=8，则弓形的高CD 为（ ）．A ．2B ．25C ．3D ．316第1题 第2题 第4题6、如图，在⊙O 中，弦AB=AC=5cm ，BC=8cm ，则⊙O 的半径等于_________cm ．7、在半径为6cm 的圆中，已知两条互相垂直的弦，其中一条被另一条分成3cm 和7cm 的两段，则圆心到两弦的距离分别为__________．8、如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，直径MN ⊥AB 且分别交AB 、CD 于E 、F ，下列4个结论：①AE=BE ；②CF=DF ；③AC=BD ；④MF=EF ．其中正确的有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9、如图，P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP=3，在过点P 的所有⊙O 的弦中，弦长为整数的弦的条数为 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．510、如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB 为8cm ，P 为弦AB 上的一动点，若OP 的长度为整数，则满足条件的点P 有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11、如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过A 作O 1O 2的平行线交两圆于C 和D ．试说明：CD=2 O 1O 2．12、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，CD ⊥AB 于D ，CE 平分∠DCO ，交⊙O 于E．（1）试说明：AE=BE ．（2）当点C 在上半圆上移动时，点E 是否随着点C 的移动而移动？13、如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，OD ⊥CB于点E，交于点D ．（1）请写出三个不同类型的正确结论； （2）连接CD，设∠CDE=α，∠ABC=β，试找出α与β之间的一种关系，并说明道理．14、如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm ，水深GF=1cm ，若水面上升1cm （EG=1cm ），则此时水面宽AB 为多少？★15、有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB 为7.2米，拱顶高出水面CD ，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？第6题 第9题 第10题第8题。
《圆的对称性(2)》参考教案
圆的对称性（2）教学目标1、了解1°的弧的意义，理解圆心角的度数与所对弧度数相等的关系；2、能够熟练运用圆的对称性及相关性质定理进行简单的计算和证明；3、通过小组合作学习中，培养学生的合作交流意识与习惯。
教学重点了解1°的弧的意义，理解圆心角的度数与所对弧度数相等的关系。
教学难点了解1°的弧的意义,灵活运用圆的对称性及相关性质定理。
教学过程一、复习回顾1、叙述圆心角的意义，叙述圆的轴对称性与中心对称性。
2、叙述与圆心角定理及推论的内容，结合图形用几何推理的形式加以表述。
（学生思考讨论后，回答）二、探索新知1、想一想：（1）1平角等于多少度1周角等于多少度（2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角的度数是多少整个圆被等分成多少份为什么（学生思考讨论后，回答）总结：把整个圆等分成360份，每一份这样的弧叫做1°的弧。
2、议一议：（1）1°的圆心角所对的弧的度数是多少反过来，1°的弧所对的圆心角的度数是多少（2）n °的圆心角的度数所对的弧的度数（如图）有怎样的关系？结论：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
三、例题讲习例2如课本图5-15，在⊙O 中，已知弦AB 所对的劣弧为圆的13，⊙O 的半径为R ，求弦AB 的长。
解：由题意可知，弧AB 的度数为120°，∴∠AOB=120° ∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°作OC⊥AB，垂足为点C ，则：OC=12OA=2R ∴22223.22R AC OA OC R R ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ ∴3223.2AB AC R R ==⨯=点评：此题可以有不同的解法,解题的关键是会求劣弧AB的度数以及过圆心O作弦AB的垂线利用勾股定理。
试变式练习：例2中已知⊙O的半径为R，弦AB求弧AB的度数。
（小组交流，之后学生独立完成解答过程）例3如课本图5-16，已知AB，CD为⊙O的两条直径，弦CE∥AB，∠BOD=110°，求弧CE的度数。
3.2圆的轴对称性(2)
如图，矩形ABCD与圆O交于点A 如图，矩形ABCD与圆O交于点A、B、E、F， ABCD与圆 5 DE=1cm，EF=3cm， DE=1cm，EF=3cm，则AB=________cm
D A O E
G
F C B
想一想
垂径定理的逆命题是什么？ 垂径定理的逆命题是什么？ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的弧. 并且平分弦所对的弧
课本P67 第2题 课本 题
某一公路隧道的形状如图,半圆拱的圆心距离地面 某一公路隧道的形状如图 半圆拱的圆心距离地面2m,半径 半圆拱的圆心距离地面 半径 一辆高3m,宽2.3m的集装箱车能通过这个隧道吗 的集装箱车能通过这个隧道吗? 为1.5m,一辆高 一辆高 宽 的集装箱车能通过这个隧道吗
条件 结论1 结论 结论2 结论
逆定理(1) 逆定理(1)： (1)： 平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 弦所对的弧. 弦所对的弧. 逆定理(2) 逆定理(2)： (2)： 平分弧的直径垂直于弦,并且平分弧所对的弦. 平分弧的直径垂直于弦,并且平分弧所对的弦.
交圆O于点 解:取CD=1.15m,作DE⊥CD交圆 于点 取 作 ⊥ 交圆 于点E 连接OE,过O作OF⊥ED于F, 过 作 ⊥ 于 连接 由题意可得OE=1.5,OF=CD=1.15 由题意可得 FD=OC=2由勾股定理得 由勾股定理得: 由勾股定理得
B 1.5
1.5 1.15
E
EF = OE 2 − OF2 = 1.52 − 1.152
垂径定理： 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧. 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧. 条件：直径CD⊥AB 条件：直径CD⊥AB C O 结论： 结论： AE = BE A E D B
5.2圆的对称性(二)
1 2
2
a
d2
R2
变式3：在半径为5㎝的⊙O 总常结用：的已辅知助四线个：量中
中,弦AB=8cm,OE⊥AB于E交 的①任作意半两径个②量过，圆总心可作
⊙O于F,求EF的长.
以弦求的出垂其线余（两段个）量.
已知a、r，求h
例题导学
例2、已知：如图，在以O为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为 AC和BD有什么关系？为什么？ 解：AC=BD
E O
•
D
2、 在⊙O中弦CD＝24，圆心O到
弦CD的距离为5,则⊙O的直径是 C
•o
EF
D
___2_6___
A
3、 若AB为⊙O的直径，弦
CD⊥AB于E，AE＝16，BE=4,
D
O• E
则CD＝___1_6___
C
B
如B⌒图D相，等AB吗、？C为D什是么⊙？O的两条平行弦，A⌒C与
解：AC = BD
A
Dx
B
设CD=xcm,则AO=OC=(x+4)cm
10 C
在Rt△AOD中，AD2 OA2 OD2 (x 4）2 42
在Rt△ACD中，AD2 AC2 CD2
2
10 x2
(x 4）2 42
2
10 x2
x1 1, x2 5(舍去) OC 5cm
∵ OE⊥AB
∴ AB=2AE=8cm
大刀阔斧
变式3：在半径为5㎝的⊙O中，弦AB=8cm，
OE⊥AB于E交⊙O于F，求EF的长.
解：连接OA,则OA=5cm
3.2圆的对称性(2)圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系
D D
●
B
O
B
●
O
●
O′
┏ A′ D′ B′ 由条件: 由条件: AOB=∠ ①∠AOB=∠A′O′B′
可推出
┏ A′ D′ B′ ⌒ ⌒ ②AB=A′B′ ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′
猜一猜
拓展与深化
在同圆或等圆中,如果轮换下面五组条件: 同圆或等圆中 如果轮换下面五组条件: 两个圆心角, 两条弧, 两条弦, ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心 你能得出什么结论? 距,你能得出什么结论?与同伴交流你的想法 和理由. 和理由.
B′
M′
A′
O M A
B
O
B(B′)
M′
M A ( A ′)
想一想
圆心角
圆心角, 圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
如图,如果在两个等圆⊙ 如图,如果在两个等圆⊙O和⊙O′中,分别作相等 O′中 的圆心角和∠AOB和 A′O′B′,固定圆心 固定圆心, 的圆心角和∠AOB和∠A′O′B′,固定圆心,将其中 的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合 重合. 的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合.
九年级数学(下)第三章 《圆》
3.2圆对称性 3.2圆对称性(2) 圆对称性(2) 圆心角, 圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系
想一想
圆的对称性及特性 圆的对称性及特性
圆是轴对称图形, 圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过 圆心的直线,它有无数条对称轴. 圆心的直线,它有无数条对称轴. 圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心. 圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心. 用旋转的方法可以得到: 用旋转的方法可以得到:
O
27.1.4圆的轴对称性 - 垂径定理 (2)
圆的轴对称性—垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对
D
的两条弧。
垂径定理的推论：
在⊙O中， ① CD是直径，AB是弦；② CD⊥AB；
③
������������ = ������������
；
④
⌒
AD
=
⌒
������
∴ ⊙O的半径为
������������ ������
C
┐
O
M
┐
N
EA
D
圆的轴对称性—垂径定理
M
┐ ┐
A
求证：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
已知：如图，在⊙O中， 弦AB∥CD。 求证： A⌒C = ⌒BD
会C 有
O
如
证明：如图（1），过点O作OM⊥AB.
图
∵在⊙O中,弦AB∥CD ∴OM⊥CD.
解：过点O作OM⊥CD, ON⊥AB.连结OB.
∵CD = DE+CE=3+4=7 AB = AE+BE = 2+6 = 8
∴
CM=
DM=
������ ������
CD=
������ ������
,
BN=Biblioteka AN=������ ������
AB
=
������
又∵AB⊥CD ∴ 四边形OMEN为矩形 ∴ ON = ME
第27章 圆
27.1.4 ----圆的轴对称性（垂径定理二）
圆的轴对称性—垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对
D
的两条弧。
垂径定理的推论：
在⊙O中， ① CD是直径，AB是弦；② CD⊥AB；
5.2 圆的轴对称性(二)
M ●O
●
B
思考题
如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
A
D O
E
C
B
回顾总结
通过本课的学习，你又有 什么收获？
基本图形
C
A
M└
●
B O
D
典型例题
例1. 已知：如图，在 以O为圆心的两个同 心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C，D两点， AC与BD相等吗？为 什么？
O A
.
C
P
D
B
典型例题
例2：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝， 圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的半径。
A
E
O
B
变式1:在半径为5 ㎝的圆O中，有长8 ㎝的 弦AB，求点O与AB的距离。 变式2：在半径为5 ㎝的圆O中，圆心O到弦AB的距离 为3 ㎝，求AB的长。
D
⌒ ⌒ ⌒ ∴AC =BC, AD =BD.
⌒
探 索
• 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对 • 的两 条弧.
C
A
M└
●
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O
∴AM ⌒ ⌒ AC
CD平分弦AB 结论 CD平分弧A
D
条件
CD为直径
B
CD⊥AB
CD平分弧ADB
●
O
探 索
• AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
3.2 圆的对称性(2)
导入新课
情境引入
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块， 你会分吗？
讲授新课
一 圆的对称性
探究归纳 问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是 什么？你能找到多少条对称轴？ 问题2 你是怎么得出结论的？ 用折叠的方法
圆的对称性：
●O
圆是轴对称图形，其对称轴
是任意一条过圆心的直线.
探究归纳 问题3 将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形 重合吗？由此你得到什么结论呢？
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
证明：∵A⌒B=C⌒D，
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形.
O·
又∠ACB=60°，
B
C
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵 活转化是解题的关键.
( ( ( (
( (
针对训练 填一填： 如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么__A_B__=_C_D__，_∠__A_O_B__=_∠__C__O．D
归纳 由圆的旋转不变性，我们发现：D 在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD， 那么，AB CD ，弦AB=弦CD
C B
·
O
A
在等圆中探究 如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现
的等量关系是否依然成立？为什么？
A
B
C
D
O·
O ·′
归纳 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我 们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，A⌒B=C⌒D，弦 AB=弦CD.
180° A
圆的对称性： 圆是中心对称图形，对称中 心为圆心.
5.2圆的对称性(二)
5.2 圆的对称性（二）班级 姓名 学号 学习目标1．理解圆的对称性（轴对称）及有关性质. 2．理解垂径定理并运用其解决有关问题. 学习重点：垂径定理及其运用. 学习难点：灵活运用垂径定理. 教学过程 一、情境创设（1）什么是轴对称图形？（2）如何验证一个图形是轴对称图形？ 二、探究学习 1.尝试（1） 在圆形纸片上任意画一条直径.（2） 沿直径将圆形纸片对折，你能发现什么？请将你的发现写下来： _______________________________________________________________. 2.探索如图，CD 是⊙O 的弦，画直径AB ⊥CD ，垂足为P ；将圆形纸片沿AB 对折.通过折叠活动，你发现了什么？__________________________________________________________________. 请试一试证明！ 3.总结垂径定理：_________________________________________________________。
4.典型例题例1.如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D.AC 与BD 相等吗？为什么？例2.如图，已知：在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3。
（1）求的半径；（2）若点P 是AB 上的一动点，试求OP 的范围。
5.巩固练习（1）判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心，如果是轴对称图形，指出它的对称轴。
① ② ③④ ⑤DDBB（2）如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离是3.求⊙O 的半径.（3）如图，在⊙O 中，直径AB=10，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，OE=3，求弦CD 的长.（4）如图，OA=OB ，AB 交⊙O 与点C 、D ，AC 与BD 是否相等？为什么？（5）在直径为650mm 的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度.（6）设AB 、CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，若⊙O 的半径为5，AB=8,CD=6，则AB 与CD 之间的距离为_____________（有两种情况）. 三、归纳总结1．圆的轴对称性及有关性质.2．理解垂径定理并运用其解决有关问题.【课后作业】班级 姓名 学号1． 如图，∠C=90°，⊙C 与AB 相交于点D ，AC=5，CB=12，则AD=_____ 2．如图,在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为M ．则有AM=_____， _____= ， ____= ．3. ⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点P ，AB=10cm,CD=8cm ，则OP 的长为 CM.4. ⊙O 的弦AB 为5cm ，所对的圆心角为120°，则圆心O 到这条弦AB 的距离为___5. 圆内一弦与直径相交成30°且分直径为1cm 和5cm ，则圆心到这条弦的距离为 cm.6.已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径．7.已知，如图 ，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E,AE=1,BE=5, AEC =45°,求CD 的长。
最新2.2《圆的对称性(2)》参考课件
CD//AB且CD=6cm，
〔1〕请在图中画出CD可能的位置
〔2〕求弦AB与CD之间的距离。
A 4E
B
. 5
3Leabharlann 5OCFD
A
.E B
O
4
3
CF
D
两弦在圆心两侧
两弦在圆心同侧
4+3=7cm
4-3=1cm
练习
⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行 弦AB=40 cm ，CD=48cm， 求弦AB与CD之间的距离。
对作于垂一径个，圆连中半的径弦是长圆a中、常弦用心的距辅d助、线。
圆垂半径径定r理，和这勾三股个定量理中相，结只合要，其构中造任直
意角两三个角量形，，就可可解以决求计出算第弦三长个、量半。径、
弦心距等问题．a、d、r之间的关系为：r2 d2 (a)2
2
E
练习：如图，⊙O的弦AB＝8 ，
DC＝2，直径CE⊥AB于D，
O
〔同圆中，相等的圆心角所对的弧相等〕C
P
D
B
你能用一句话概括一下垂直于弦的
直径的性质吗？
A
⌒ ⌒⌒ ⌒
PC=PD;AC=AD;BC=BD O
垂径定理:
C
P
D
B
垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理：
A
垂直于弦的直径,
平分这条弦
O
并且平分弦所对的两条弧。 C
P
D
条件
结论 B
｝｛ 在⊙O中〔1〕 AB是直径 〔2〕AB CD于P
将圆形纸片对折,确定出圆的一条直 径;用同样的方法,再确定出圆的另一 条直径.两条直径的交点即为圆形纸片 的圆心.
2.2圆的对称性(二)垂径定理(十一大题型)(原卷版)
④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧．
A．1个B．2个C．3个D．4个
解题技巧提炼
1、垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
2、一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
【变式61】（2023•涧西区校级二模）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO， ，则△ODE的面积为（ ）
A．4B． C． D．
【变式62】（2022秋•玄武区校级月考）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为（ ）
【变式71】已知弓形的弦长为8cm，所在圆的半径为5cm，则弓形的高为．
【变式72】已知⊙O的直径AB＝20，弦CD⊥AB于点E，且CD＝16，则AE的长为．
【变式73】（2022•牡丹江）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝
3：5，则AC的长为．
【例题8】（2022秋•邹城市校级期末）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF．
A．5B．6C．7D．8
【变式52】（2022秋•桃城区校级期末）如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．7≤MN≤17B．14≤MN≤34C．7＜MN＜17D．6≤MN≤16
【变式53】如图，⊙O的直径为10，A、B、C、D是⊙O上的四个动点，且AB＝6，CD＝8，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF长度的取值范围是（ ）
圆的对称性(2)——垂径定理教学设计
5.2圆的对称性（2）一、教学目标：知识目标：使学生通过观察实验理解圆的轴对称性，掌握垂径定理，能初步应用垂径定理进行计算和证明．能力目标：进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力．情感目标：充分发挥学生在数学探索中的积极性，培养学习数学的兴趣。
二、教学重点圆中许多计算与证明问题都与垂径定理是有关，因而理解垂径定理是本节课的重点，三、教学难点垂径定理的证明是本节课的难点，突破难点关键在于能否正确认识圆的对称性。
四．教学设计：（一）预习交流:学生自学p113-p114页内容完成下列填空1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做__________________，这条直线叫做_______________。
2、圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？（二）数学活动:如图圆形纸片， AB是⊙O直径．１．在⊙O上任取一点C，过点C作直径AB的垂线，交⊙O于点D，点Ｐ为垂足．２. 将圆沿着AB对折，你能发现图中有哪些相等的量？引出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.(强调所对的弧分优弧和劣弧）符号语言：∵AB是直径，AB⊥CD ∴CP=DP，弧BC=弧BD,弧AC=弧AD引导学生注意：定理中条件的本质是经过圆心且垂直于弦的线段概念辨析：下列哪些图形可以使用垂径定理？(三)例题讲解：例1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E ，CD=16, AB=20 ，求线段OE的长.（板演解题过程）方法点拨：连接半径，构造直角三角形变式训练：如图，MN是⊙O的直径，弦AB⊥MN ,垂足为P, NP=AB=4 ，则圆的半径长为________.（投影学生练习）例2 .如图，AB、CD都是⊙O的弦，且ＡＢ‖ＣＤ. 相等吗？为什么？（板演解题过程）方法点拨：解决有关弦的问题，通常是过圆心作弦的垂线或垂线段，从而为应用垂径定理创造条件．变式训练：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AC与BD相等吗？为什么？（投影学生练习）例3.拓展提高：已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm，求弦AB与CD之间的距离。
第3课时圆的对称性(2)
弦心距的概念
弦心距
O A C B
OC
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在两个等圆中,做∠AOB=∠A’O’B’
B O A
O' B' A'
这两个相等的圆心角所对的弦分别是哪两条？ 它们相等吗？ 用尺量一量！ 这两个相等的圆心角所对的弧分别是哪两条？ 它们相等吗？ 用什么方法验证? 叠合法
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆的对称性(2)
圆心角、弧、弦、弦 心距之间的关系
做一做,想一想:
1.请同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下， 让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心 旋转，由此,你发现了什么?
结论:
圆中心对称圆形,对称轴中心是圆心.
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆是轴对称图形
O
对称轴是任意一条过 圆心的直线 圆是中心对称图形 对称中心为圆心
我们已经学过的图形中，有哪些既是轴 对称图形，又是中心对称图形 ？
同圆、等圆的概念:
同圆
O
能够重合的两个圆
等圆
半径相等的两个圆
O
同圆或等圆的半径相等
O'
圆心角的概念
B A
圆心角
O C D
∠AOB ∠COD ∠AOC ∠BOD
等弧的概念
D
弦 弧
B
C
A
等弧
在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧 叫做等弧
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
A
C
O B
AB = CD
？！
O'
在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等
D
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆的对称性
E
C
B
通过本课的学习，你又有 什么收获？
在直径为650mm的圆柱形油罐内装 进一些油后，其横截面如图.若油面宽AB
=600mm，求油的最大深度.
解：过O作半径OD⊥AB 于C.
A O
·
……
C D
B
（请完成下面的解答）
课后思考：如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
A
D O
在解决有关弦的问题时，常常作出弦心距， 连接半径，构成直角三角形。
变式1:在半径为5
㎝的圆O中，有长8 ㎝的 弦AB，求点O与AB的距离。 变式2：在半径为5 ㎝的圆O中，圆心O到弦 AB的距离为3 ㎝，求AB的长。
A
E
O
B
例2： 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于点C、D.AC与BD相等吗？为什 么？
结论：（1）AE=BE； （2） AC=BC, AD=BD.
如何说理呢？
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
A
O ·
E D
B
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
C
A
M└
●
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O
∴AM=BM,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC, AD =BD.
D
下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
O A D E B
D O
B
O
O A E B
A E D B
是
不是
是
不是
垂径定理的几个基本图形：
C
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第4课时
圆的轴对称性（2）
【知识要点】
1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
2．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．
课内同步精练
●A组基础练习
1．填空：如图，在⊙O中，直径CD交弦AB（不是直径）于点E.
(1)若CD⊥AB，则有、、；
(2)若AE = EB，则有、、；
，则有、、.
(3)若AC BC
2．若圆的一条弦长为该圆的半径等于12cm，其弦心距等于8cm，则cm.
3. 如图，AB是半圆⊙O的直径，E是BC的中点，OE交弦BC于点D．
已知BC=8cm, DE=2cm ，则AB的长为cm.
4. 已知：如图，在⊙O中M, N分别为弦AB, CD的中点，AB=CD, AB不平行于CD．
求证：∠AMN=∠CNM
●B组提高训练
4. 在直径为650mm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示．若油面宽
AB=600mm，求油的最大深度．
5. 在直径为650mm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示．若油面宽
AB=600mm ，求油面的最大深度．
课外拓展练习
●A组基础练习
1. 给出下列命题：(l )垂直于弦的直线平分弦；(2 )平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(3 )平分弦的直线必过圆心；(4 )弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。
其中正确的命题有（)
A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C, D两点，AB=10cm, CD=6cm, 则AC的长为
A. 0. 5cm
B. 1cm
C. 1.5cm
D. 2cm
第4题
3. 如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB与CD相交于点E，若要得到结论AB⊥CD ，还
需添加的条件是（不要添加其他辅助线） ( )
A.AC AD =
B. BC BD =
C.CE = DE
D.以上条件均可
4. 如图所示，AB 是半圆的直径，O 是圆心，C 是半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D ．若AC = 8cm , DE = 2cm ，则OD 的长为 .
5. 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度 AB 是 .
6. 如图，水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.5m ，其中水面宽AB=0.6m ，则水的最大深度为 ．
7. 如图，⊙O 的直径AB 平分弦CD, CD =10cm, AP ：PB=1 : 5．求⊙O 的半径．
●B组提高训练
8. 在美国的亚利桑那州有一个巨大的石坑，它的直径为1280m，深180m，据说它是在数千
年以前，由一个巨大的陨石落在地上砸出来的．请你估算一下，这个巨大的陨石直径有多大？
9. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧CD，点O是CD的圆心，E为CD的中点，OE交CD于点F.
已知CD=600m, EF=100m，求这段弯路的半径.
10. 某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，
船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？。