反比例函数的图像
反比例函数的图象和性质
x y1 2
k (K>0) A(x 在函数 y= 的图像上有两点， 1,y1),B(x2,y2)， x
若有 x1＜x2＜0或0＜x1＜x2 则有 y1＞y2。 若有 x1＜0＜x2 则有 y2 ＞ y1 。
在同一象限内 （同一分支上）
与一次函数的增减性相比需要注意什么？
由这个图像你得到了哪些信息？
小
结
图像在坐标系中的位置 与 图 正 像 比 的 例 对 函 称 反比例函数 数 性 交 和 点 增 问 减 题 性 |K|的几点作用
作业：预习《实际问题与反比例函数》
如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例 m 函数 y= x 的图像相交于A,B两点。
(1)求反比例函数和一次函数的解析式 (2)根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的 值的x的取值范围
解：
2 (1) y=- x
y=-x-1
A(-2,1) 1 -2 n 0 B(1,n) 1
(2)
X<-2 0<x<1
已知函数y=kx+k和 y= k 在同一坐系中,
x
图象位置只能是下图中的（ D
）
A
B
C
D
10 如图，已知反比例函数 y= x 的图象与正比例 函数 y=mx (m>0) 的图象相交于A,C两点，
过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连结BC， y 求△ABC的面积
A
S △ABC= S △OAB+ S △OBC |K| S △OAB = 2 =5 S △OAB= S △OBC
当正比例函数与反比例函数的K值同号时图像有2个交 点，且交点关于原பைடு நூலகம்对称。 当正比例函数与反比例函数的K值异号时图像无交点。
第14讲 反比例函数的性质及其图象
考点二、反比例函数表达式的确定
确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函 数y=k/x中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或 图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析 式。
对于反比例函数y=3/x，下列说法正确的是（ ） A．图象经过点（1，-3） B．图象在第二、四象限 C．x＞0时，y随x的增大而增大 D．x＜0时，y随x增大而减小 解析： A.∵反比例函数y=3/x，
在x轴的正半轴上，若点D在
（x＜0）
【考点】反比例函数图象
上点的坐标特征；平行四 边形的性质．
完成过关测试：第
题.
完成课后作业：第
题.
故答案为：没有实数根.
小结：此题综合考查了反比例函数的图象与性质、一 元二次方程根的判别式.注意正确判定a的取值范围是 解决问题的关键.
【例题2】（2016·深圳市）如图，四边形ABCO是平行四
边形，OA=2，AB=6，点C在x轴的负半轴上，将▱ABCO
绕点A逆时针旋转得到▱ADEF，AD经过点O，点F恰好落
正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=6/x的图象的交点
位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第一、三象限
解析：
【例题1】关于x的反比例函数 y a 4 的图象如
x
图，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对
称．△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于
点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程 a 1 x2 x 1 0 的根的情况是 没有实数根 ．
∴xy=3，故图象经过点（1，3），故此选项错误； B.∵k＞0，∴图象在第 一、三象限，故此选项错误； C.∵k＞0，∴x＞0时，y随x增大而减小，故此选项错误； D.∵k＞0，∴x＜0时，y随x增大而减小，故此选项正确．
反比例函数图像课件
函数性质
线性函数是单调递增或 递减的，而反比例函数 在各自象限内是单调递 减的。
图像
线性函数的图像是一条 直线，而反比例函数的 图像是双曲线，分别位 于第一和第三象限。
与指数函数的比较
定义域
01
指数函数的定义域为所有实数，即$x in (-infty, +infty)$，与反
比例函数的定义域不同。
边际效用递减规律
在消费行为中，随着消费量的增加，消费者所获得的边际 效用通常呈现递减趋势，即每增加一单位消费量所带来的 效用增量逐渐减少。
投资回报率与风险的关系
在投资领域中，投资回报率与风险通常成反比关系，即当 投资回报率较高时，风险也相应较大；反之，当投资回报 率较低时，风险也相应较小。
在日常生活中的应用
定义域是全实数集。
函数性质
正比例函数是单调递增的，而反 比例函数在各自象限内是单调递
减的。
图像
正比例函数的图像是一条通过原 点的直线，而反比例函数的图像 是双曲线，分别位于第一和第三
象限。
与线性函数的比较
定义域
线性函数的定义域为所 有实数，即$x in (infty, +infty)$，而反比 例函数的定义域是除去 0的，即$x in (-infty, 0) cup (0, +infty)$。
使用数学软件绘制反比例函数图像
软件选择
选择一款适合的数学软件，如 GeoGebra、Desmos或 Microsoft Math等，这些软件都 提供了绘制反比例函数图像的功 能。
步骤
在软件中输入反比例函数公式， 如$y=frac{k}{x}$，其中$k$为常 数。然后选择绘图功能，软件会 自动生成反比例函数的图像。
函数及其图象反比例函数反比例函数的图象和性质
2023函数及其图象反比例函数反比例函数的图象和性质•反比例函数概述•反比例函数的图象特征•反比例函数的性质•反比例函数的应用目•反比例函数与其他数学内容的联系•研究反比例函数的实验与数值模拟录01反比例函数概述形如$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k \neq 0$）的函数称为反比例函数。
定义当$k > 0$时，图象分布在第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$k < 0$时，图象分布在第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。
性质定义与性质描述生活中常见的数量关系例如，当两个变量成反比例关系时，可以用反比例函数来描述它们之间的关系。
例如，路程一定时，速度与时间成反比；物体重量一定时，浮力与排开液体的体积成反比等。
数学中基本概念之间的联系反比例函数与正比例函数、一次函数、二次函数等有密切的联系，研究反比例函数有助于理解这些基本概念之间的联系与区别。
反比例函数的重要性描述自然现象和社会现象许多自然现象和社会现象中都存在反比例关系，例如物理学中的万有引力定律、电学中的欧姆定律等。
研究反比例函数可以描述这些现象，并帮助人们更好地理解它们。
数学应用在数学中，反比例函数与其他函数、方程、不等式等都有密切的联系。
研究反比例函数可以帮助人们更好地理解这些概念，并为解决实际问题提供更好的数学工具。
研究反比例函数的意义与发展02反比例函数的图象特征中心对称反比例函数图象以原点为中心对称。
双曲线反比例函数图象表现为双曲线，两支曲线永远不会相交。
形状特征水平位置当反比例函数解析式中的常数为正数时，图象在第一、三象限；当常数为负数时，图象在第二、四象限。
垂直位置由于反比例函数的图象关于原点对称，因此当常数为正数时，图象向右上方倾斜；当常数为负数时，图象向右下方倾斜。
位置特征当自变量x增大时，函数值y会减小；当自变量x减小时，函数值y会增大。
当|x|增大时，|y|会减小；当|x|减小时，|y|会增大。
反比例函数的图象和性质
旧知回顾
概念 图象 性质
函数
解析式
图象形状
位 置
k>0
增 减
性
位 置
k<0 增
减 性
正比例函数
y=kx ( k≠0)
直线
第三、第一象限
从左到右上升 y随x的增大而增大
y Ox
第二、第四象限
从左到右下降 y随x的增大而减小
y Ox
反比例函数
y
=
k x
(k
0)
探究新知
探究点一 k＞0时反比例函数的图象和性质
归纳：反比例函数 y
k x
k
0
的图象和性质
函数
k＞0
yk x
(k≠0) k＜0
大致图象 图象位置 y 随 x 的变化情况
y
第一、第三 在每一个象限内，
o x 象限
y 随 x 的增大而减小.
y
第二、第四 在每一个象限内，
o
x 象限
y 随 x 的增大而增大.
目标检测
1.下列图象中是反比例函数图象的是（ D ）.
如果我是反比例函数 你就是那坐标轴 虽然我们有缘 能够生在同一个平面 然而我们又无缘 慢慢长路无交点 难道正如书上说的 无限接近不能达到
人教版数学九年级下册
26.1.2 反比例函数的图象和性质 （第1课时）
学习目标
1.能用描点法画出反比例函数的图象，能根据图象和表达 式探索并理解k＞0和k＜0时，图象的变化情况. 2.在画出反比例函数的图象，并探究其性质的过程中，体 会“类比”“分类讨论”“从特殊到一般”以及“数形结 合”的数学思想. 3.通过观察反比例函数的图象、探究反比例函数的性质， 培养直观想象、数学抽象的能力.
高中数学-反比例函数的图像与性质
在y 同一k条直k角坐0标系中的 图象可能是
:
x
D
y ox (A)
y ox (B)
y ox (C)
y ox (D)
9.如图能表示y k(1 x)和y k (k 0) x
在同一坐标系中的大致图象的是 __D__ .
y
Ox A
y
O
x
B
y
Ox C
y x
o
D
10.请找出下面的四个关系式对应的的图像
设P(m, n)是双曲线 y k (k 0)上任意一点 ,有 : x
(1)过P作x轴的垂线 , 垂足为 A, 则
SOAP
1 2
OA
AP
1 2
|
m
|
•
|
n
|
1 2
|
k
|
y
过双曲线上任意一点作
P(m,n)
其中一条坐标中的垂线，连 接这个点与原点所得三角形
oA
x 的面积为 k
2
1.如图,点P是反比例函数 y 图2象上的 x
若x1>x2>0>x3，则下列各式中正确的是
（A）
A、y3>y1>y2 B、y3>y2>y1 C、y1>y2>y3 D、y1>y3>y2
7.函数
的图象上有三点
（－3,y1）, （－1,y2）, （2,y3）,则函数值y1、y2、y3的
大小关系是____y_3_<__y_1_<__y_2__;
8、函数y=kx-k 与
x 2
(C) y=-2x+2； (D) y=4x.
5、点（23，-3）在反比例函数
反比例函数图像与性质
5.已知一次函数y=ax+b的图象在一、二、三象限，则反比例函数
在第
象限
6.如右图是三个反比例函数 、
、
在
x轴上方的图象，由此观察得到、、的大小关系
为
的图象
课堂小结
请大家围绕以下三个问题小结本节课 ① 什么是反比例函数?
② 反比例函数的图象是什么样子的?
③
反比例函数y =
k x
（k
是常数，k
≠
0）
-2列 -1 表 -3 -6
1 描2 点
63
3 连4 5 线
2 1.5 1.2
6 1
… …
y
=
6 x
当k反＞比0时例图函象在第一、 三象数限的，图在象每，个象限
内y叫随双x的曲增线大。而减小。
在同一坐标系中画出反比例函数 y =
6 x
的图象。
画x函数…图象-6
y=
6 x
…
1
-5描点-4法 -3
-2列 -1 表
–6
错误四：与坐标轴相交 错误错四误：二用y ：线用段线将段两两支支连连起在来一起 y
6
6
6
5
5
5
函数 解析式 图象形状
反比例函数
y
=
k x
(
k是常数,k≠0
)
双曲线
K>0
一、三象限
位置
增减性 双曲线从左到右下降 即y随x的增大而减小
K<0
二、四象限
位置
增减性 双曲线从左到右上升即y随x的增大而增大
能力提升
1.在反比例函数
的图象的每一条曲线上，y都随着x的增大而增大，则k
的值可以是（ ） A．-1
反比例函数图象性质
02
根据反比例函数的解析 式，计算对应的函数值 。
03
列表记录自变量和对应 的函数值。
04
在坐标系中，以自变量 为横坐标，函数值为纵 坐标，描出各点。
描点法绘制技巧
在自变量的取值范围内，尽量 多选几个点进行描点，以便更 准确地反映函数的图像。
描点时要注意坐标轴的比例， 的 点。
浓度问题求解思路及过程展示
思路
在浓度问题中，通常涉及到溶质、溶剂和溶液三个量之间的关系。当其中一个量为常数时，另外两个 量之间成反比例关系。因此，可以通过设立反比例函数来描述这两个量之间的关系，进而求解问题。
过程展示
例如，有一种盐水溶液，其浓度为20%。现在需要加入一定量的水，使得溶液的浓度降低为10%。设 加入的水的量为x毫升，原溶液的体积为y毫升。根据反比例函数的性质，可以建立方程(x + y) / y = 2（因为新溶液的体积是原溶液体积的两倍）。通过解这个方程，可以求出需要加入的水的量。
04
反比例函数在实际问题中应用举 例
面积问题求解思路及过程展示
思路
根据反比例函数的性质，当两个量的乘积为常数时，它们之间成反比例关系。在面积问题中，通常涉及到两个量 （如长度和宽度）的乘积等于一个常数（面积）的情况。因此，可以通过设立反比例函数来描述这两个量之间的 关系，进而求解问题。
过程展示
例如，有一块矩形土地，其面积为100平方米。现在需要在这块土地上修建一条道路，使得道路的面积占总面积 的20%。设道路的宽度为x米，长度为y米。根据反比例函数的性质，可以建立方程xy = 20（因为道路面积占总 面积的20%）。通过解这个方程，可以求出道路的宽度和长度。
速度问题求解思路及过程展示
思路
反比例函数图像和性质
VS
化学反应中的浓度问题
在某些化学反应中，反应物的浓度与反应 时间可能成反比例关系。可以利用反比例 函数来分析这种关系，并求解相关问题， 如反应速率、反应时间等。
05
反比例函数与其他类型函数关系探讨
与一次函数关系
反比例函数与一次函数的交点
在某些特定条件下，反比例函数和一次函数可能会有交点。这些交点可以通过解方程组 来找到。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
反比例函数定义：形如 $y = frac{k}{x}$ （$k$ 为常数 ，$k neq 0$）的函数称为反比例函数。
反比例函数性质
当 $k < 0$ 时，在每个象限内，随着 $x$ 的增大， $y$ 值逐渐增大。
反比例函数图像：反比例函数的图像是双曲线，且以原 点为对称中心。当 $k > 0$ 时，双曲线位于第一、三 象限；当 $k < 0$ 时，双曲线位于第二、四象限。
图像法
通过观察反比例函数的图像，可以发 现其关于原点对称，这也是奇函数的 一个特征。
周期性讨论
周期性定义
周期函数是指函数在某个特定的非零周期长度内重复出现的性质。对于反比例函数，由于其图像不呈 现周期性变化，因此不是周期函数。
非周期性证明
可以通过反证法证明反比例函数的非周期性。假设反比例函数是周期函数，那么在其周期内应该存在 两个相同的点，但是根据反比例函数的定义和性质，这是不可能的。因此，反比例函数不是周期函数 。
变速直线运动
在某些情况下，物体做变速直线运动时，其速度与时间也可能成反比例关系。同样可以利用反比例函数来进行分 析和求解。
浓度问题建模与求解
溶液稀释问题
在溶液稀释过程中，溶质的质量与溶液 的体积成反比例关系。可以通过反比例 函数来描述这种关系，并求解相关问题 ，如稀释后的浓度、所需溶质的质量等 。
反比例函数的图像和性质(1)
1、反比例函数的图象是双曲线。 2、当K 〉0时，图象的两个分支分布在第一、 三象限内；在每个象限内Y随X的增大而减小。 3、当K〈 0时，图象的两个分支分布在第二、 四象限内；在每个象限内Y随X的增大而增大。 (囗诀：K大一三减，K小二四增） 4、反比例函数图像关于原点对称，且关于直 线y=x和y=-x对称。 思考：反比例函数、正比例、一次函数的性 质有何异同？（课后填充表格）
反比例函数定义：
形如Y=K/X（K≠0）的函数叫反 比例函数。注意反比例函数的另 两种形式：y=kx-1 xy=k (k≠0)
二、新课 反比例函数的图像和性质
例3：画出反比例函数Y=6/X和Y= -6/X 的图像。 思考：
1、作函数图象的一般步骤是什么？ 2、列表时要注意些什么？取值要注意什么？ 3、比较两个函数的图像，它们有何异同？ 4、由此你能得到些什么结论？ 5、图像在延伸后，会不会与两坐标轴相交？
反比例函数与正比例一次函数 性质的比较表
反比例函数 基 本 形 式 图 象 名 称 性 质 K＞0 b＜0 b＞0 b＞0 正比例函数 一次函数
K＜0
b＜0
谢
谢
再 见
3k
三、练习
（一）填空
1、当m 时，反比例函数y=(1-2m)/x的图象在一、 三象限。 2、若反比例函数y=K/x的图象在二、四象限，则直 线y=kx-3不经过第 象限。 3、当k>0时，反比例函数y=(k+1)/x的图象在 象 限。 4、当k<0时，反比例函数y=-k/x的图象在 象 限。 5、反比例函数y=（k2 +1）/x的图象在 象 限。
下列（ ）是函数y=kx-k和y=k/x的大致图象
反比例函数的图像与性质
m−5
例2：如图是反比例函数 ： 的图象一支， 的图象一支， 根据图象回答下列问题 ： 为什么？ 为什么？ （1）图象的另一支在哪个象限？常数 的取值 ）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值 范围是什么？ 范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点 （a， ）在这个函数图象的某一支上任取点A（ ， b）和B（a′，b ′ ），如果 ） （ ， ），如果a>a′，那 么b和b′有 ， 和 有 如果 怎样的大小关系？ 怎样 置
二四 象限
y随x的增大而减小 随 的增大而减小
K<0
增 减 性
你会做吗？ 你会做吗？
k 过点(3， ， Ⅰ.若双曲线 y = 过点 ，-2)，则下 若双曲线 x 列点在双曲线上的是( 列点在双曲线上的是 C )
A (0，-6) ， C (2，-3) ，
B (-3，0) ，
5 D ( − ，8) 4
已知反比例函数的图象经过点A(2，6). 例1:已知反比例函数的图象经过点 已知反比例函数的图象经过点 ， (1)这个函数的图象分布在哪些象限 随x的增大如何 这个函数的图象分布在哪些象限?y随 的增大如何 这个函数的图象分布在哪些象限 变化? 变化 1 , −4 4 ）和D（2，5）是否在 (2)点B(3，4)、C( −2 点 ， 、 （ ， ） Xy=k 5 2 这个函数的图象上？ 这个函数的图象上？ （2）解： 分别把点 分别把点B,C,D的坐标代入，可知点 的坐标代入， ） 的坐标代入 可知点B,C 的坐标满足函数解析式， 的坐标满足函数解析式，点D的坐标不 满足函数解析 的坐标不 式. 所以点B,C在函数的图象上 ,点D不在这个函数的 所以点 在函数的图象上 点 不在这个函数的 图象上. 图象上
我超越我最棒
反比例函数图象
反比例函数图象及其性质中考要求1.基本要求能结合具体问题了解反比例函数的意义；能画出反比例函数的图象；理解反比例函数的性质2.略高要求会根据已知条件确定反比例函数的解析式；能用反比例函数的知识解决有关问题3.较高要求能用反比例函数解决某些实际问题知识点睛反比例函数的定义：函数kyx=(k为常数，0k≠)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 反比例函数的图像：反比例函数kyx=(k为常数，0k≠)的图像由两条曲线组成，每条曲线随着x的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图像属于双曲线.反比例函数kyx=与kyx=-(0k≠)的图像关于x轴对称，也关于y轴对称.反比例函数图像的性质：反比例函数kyx=(k为常数，0k≠)的图像是双曲线；当0k>时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x 的增大而减小；当0k<时，函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x 的增大而增大.注意：⑴反比例函数kyx=(0k≠)的取值范围是0x≠．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当0k>时，双曲线kyx=的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．这是由于0x≠，即0x>或0x<的缘故．如果笼统地叙述为0k<时，y随x的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图象和x轴、y轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．例题精讲板块一 反比例函数基本概念及图象 1.反比例函数概念【例1】 下列关于x 的函数中：①2y x =；②43y x -=；③ky x=；④22m y x +=中，一定是反比例函数的有( ) A ．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【例2】 已知()2212mm y m m x +-=+是关于x 的反比例函数，求m 的值及函数的解析式。
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反比例函数的图像
教学目标：
知识与技能
熟练掌握做反比例函数的图像步骤，并能总结出反比例函数图像的特点
过程与方法
在探索反比例函数图像与性质的过程中，积极展开思考，在已有的知识结构上，对反比例函数的图像性质，进行构建。
情感态度价值观
调动学生的积极性，参与教学活动。
以培养学生良好的动手、合作、交流意识，提高观察分析抽象的能力。
教学重难点：
重点：反比例函数的图像
难点：反比例函数图像的画法及图形特点归纳
教学过程：
一、复习导入
1、反比例函数定义是什么
2、根据我们已有的知识经验，研究完函数的概念，我们接下来要研究函数的什么呢？<图像及其性质>
3、在我们画正比例函数图像时，经历了几个步骤，请大家回忆
列表—描点—连线
4、我们也可以用画正比例函数图像的步骤来研究反比例函数，
二、新课讲授
画出y=4/x的图像
1、列表
(让学生“开小火车”快速填表，锻炼学生的计算能力)
2、描点（找学生上黑板）
3、连线（用光滑的曲线顺次连接各点）
画
出y=-4/x的图像
4、列表
(让学生“开小火车”快速填表，锻炼学生的计算能力)
5、描点（找学生上黑板）
6、连线（用光滑的曲线顺次连接各点）
画图时应注意：
注意点一：列表时，X的值不能为零，但仍可以零为基础，左右均匀、对称地取值。
选取的自变量的值,既要易于计算,又要便于描点。
反比例函数图像的特点
请大家观察y=4/x 与y=-4/x 的函数图像
试着从函数的形状和位置两方面
来总结描述图像的特点
形状特点：
问题一：什么样的线?
问题二：是否为轴对称图形?
问题三：是否是中心对称图形?
位置特点：
问题一：占几个象限
问题二：什么时候在第一、三象限？什么时候在第二、四象限？
1、形状特点：图象分别都是由两支曲线组成，因此称反比例函数的图象为双曲线；
中心对称图形；对称中心：原点
轴对称图形；对称轴：y=±x
2、位置特点：函数y=4/x的两支曲线分别位于第一、三象限内.函数的y=-4/x两支曲线分别位于第二、四象限内.
总结陈述：反比例函数y=k/x的图像是由两支曲线组成的。
通常称为为双曲线。
当k>0时两支曲线分别位于第一、三象限内.当k<0时两支曲线分别位于第二、四象限内.
K<0
三、随堂练习
下图给出了反比例函数y=2/x和y=-2/x的图像，你知道哪一个是y=2/x 的图像？哪一个是y=-2/x的图像？
四、课堂小结
反比例函数的图象是由两支曲线组成的.
当k>0时,两支双曲线分别位于一,三象限内；
当k<0时,两支双曲线分别位于二,四象限内五、作业布置
完成名校课堂相关内容。