反比例函数的图像与性质

反比例函数的图象和性质

一、反比例函数的定义

函数k

y x

=

（k 为常数，0k ≠）叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．

二、反比例函数的图象

反比例函数k

y x

=

（k 为常数，0k ≠）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．

反比例函数k y x =与k

y x

=-（0k ≠）的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称．

三、反比例函数的性质

反比例函数k

y x

=

（k 为常数，0k ≠）的图象是双曲线； 当0k >时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；

当0k <时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．

注意：

⑴反比例函数k

y x

=（0k ≠）的取值范围是0x ≠．因此，

①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来． ②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，

如当0k >时，双曲线k

y x

=的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小．

这是由于0x ≠，即0x >或0x <的缘故．

如果笼统地叙述为0k <时，y 随x 的增大而增大就是错误的．

⑵由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图象和x 轴、y 轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势． ⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．

四、反比例函数解析式的求法

反比例函数的解析式(0)k

y k x

=≠中，只有一个系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数的解析式．因

此，只需给出一组x 、y 的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式．

五、比例系数k 的几何意义

过反比例函数()0k

y k =

≠，图象上一点()P x y ，

，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩

一、反比例函数的定义及解析式的确定

【例1】 下列关于x 的函数中：①2y x =；②43y x -=；③k

y x

=；④22m y x +=中，一定是反比例函数的有（ ）

A ．1个

B ． 2个

C ． 3个

D ． 4个

【巩固】已知y 与2x 成反比例，当3x =时，4y =，则y 是x 的（ ）

A ． 正比例函数

B ．一次函数

C ．反比例函数

D ．以上都不是

【例2】 若函数||1

a y x

-=

是反比例函数，则a 的值为（ ）． A ． a 为任意实数 B ． 0a > C ． 1a ≠ D ． 1a ≠±

【巩固】已知()

2

21

2m m y m m x +-=+是关于x 的反比例函数，求m 的值及函数的解析式．

【例3】 已知反比例函数的图象经过点()3,2和(),2m -，则m 的值是 ．

【巩固】已知2

12y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当2x =和3x =时，y 的值都为l9，求

y 与变量x 的函数关系式．

二、反比例函数的图象分布及增减性

【例4】在下图中，反比例函数

21

k

y

x

+

=的图象大致是（）

A

B

C D

【巩固】函数

k

y

x

=（0

k>）的图象可能是（）

A. B. C. D.

【例5】函数

k

y

x

=与y kx b

=+在同一坐标系的图象大致是图中的（）

A

B

C

D

【巩固】函数(0)k

y k x

=

≠的图象如图所示，那么函数y kx k =-的图象大致是（ ）

A

D

【例6】 已知0a ≠，0b ≠，0a b +≠则函数y ax b =+与a b

y x

+=

在同一坐标系中的图象不可能是(

) A. B. C. D.

【巩固】如图，反比例函数1

k y x

-=

与一次函数(1)y k x =+只可能是（ ）

A. B. C. D.

【例7】 反比例函数2

(0)k y k x

=≠的图象的两个分支分别位于 ．

【巩固】已知点()1P a ，

在反比例函数k

y x

=（0k ≠）的图象上，其中223a m m =++（m 为实数），则这个函数的图象在第_____象限．

【例8】 在反比例函数5

k y x

-=

图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是 （ ） A ．5k > B ．0k > C ．5k < D ．0k <

【巩固】已知反比例函数12m

y x

-=的图象上两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），当120x x <<时，有12y y <，则m 的取值范围是__ ___．

【例9】 已知3b =，且反比例函数1b

y x

+=

的图象在每个象限内，y 随x 的增大而增大，如果点（a ，3）在双曲线上1b

y x

+=

，则_____a =．

【例10】 若A （1a ，1b ），B （2a ，2b ）是反比例函数2

y x

=-

图象上的两个点，且 12a a <，则1b 与2b 的大小关系是（ ）

A ．12b b <

B ．12

b b = C ．12

b b > D ．大小不确定

【巩固】已知反比例函数k

y x

=

的图象在第二、第四象限内，函数图象上有两点()

()1227,,5,A y B y ，则1y 与2y 的大小关系为（ ）

A ．12y y >

B ． 12y y =

C ． 12y y <

D ． 无法确定