分段函数的应用题

分段函数的应用题

8． 某人驱车以52千米/时的速度从A 地驶往260千米远处的B 地，到达B 地并停留1.5小时后，再以65千米/时的

速度返回A 地，试将此人驱车走过的路程s (千米)表示为时间t 的函数．

解答：s ＝⎩⎪⎨⎪

⎧ 52t ，260，

260＋(t －6.5)65，

0

6.5≤t ≤10.5.

4．(苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一))某市出租车收费标准如下：起步价为8 元，起步里程为3 k m(不超过3 k m 按起步价付费)；超过3 k m 但不超过8 k m 时，超过 部分按每千米2.15元收费；超过8 k m 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘 坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了 ________ k m.

解析：设乘客每次乘坐需付费用为f (x )元，由题意可得：

令f (x )＝22.6，解得x ＝9.,

答案：9

9．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x ≥20)，y 与x 之间函数的函数关系是________．

解析：设进水速度为a 1升/分钟，出水速度为a 2升/分钟，则由题意得

⎩⎨

⎧

5a 1＝20

5a 1＋15(a 1－a 2)＝35

，得⎩⎨

⎧

a 1＝4a 2＝3

，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95，又因为

水放完为止，所以时间为x ≤953，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95(20≤x ≤95

3)．

答案：y ＝－3x ＋95(20≤x ≤95

3)

12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )．(单位：h ，时间可不为整数)

(1)写出g (x )，h (x )的解析式；

(2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？

解：(1)g (x )＝2000

3x (0

h (x )＝1000

216－x

(0

(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

20003x

(0

).1000

216－x

(87≤x <216，x ∈N *

).

(3)分别为86、130或87、129.

10.在边长为4的正方形ABCD 的边上有一动点P ，从B 点开始，沿折线BCDA 向A 点运动(如图)，设P 点移动的距离为x ，△ABP 的面积为y ，求函数y ＝f (x )及其定义域．

解：如题图，当点P 在线段BC 上，即0≤x ≤4时，y ＝1

2

×4×x ＝2x ；

当P 点在线段CD 上，即4

2×4×4＝8；

当P 点在线段DA 上，即8

2×4×(12－x )＝24

－2x .

∴y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

2x ，0≤x ≤4，8，4

24－2x ，8

且f (x )的定义域是[0,12]．

11.如图所示，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点(起点)向A 点(终点)移动．设P 点移动的路程为x ，△ABP 的面积为y ＝

f (x )． (1)求△ABP 的面积与P 移动的路程的函数关系式； (2)作出函数的图象，并根据图象求f (x )的最大值．

解：(1)函数的定义域为(0,12)． 当0

2×4×x ＝2x ；

当4

2

×4×4＝8；

当8

2×4×(12－x )＝24－2x .

∴函数解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

2x ，x ∈(0，4]，8，x ∈(4，8]，

24－2x ，x ∈(8，12).

(2)图象如图所示．从图象可以看出f (x )max ＝8.

12．设A ＝{1,2,3，m }，B ＝{4,7，n 4，n 2＋3n }，对应关系f ：x →y ＝px ＋q ，已知m ，n ∈N *,1对应的元素是4,2对应的元素是7，试求p ，q ，m ，n 的值．

解：因为1对应的元素为4,2对应的元素为7，列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋q ＝4，2p ＋q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧

p ＝3，

q ＝1.

故对应关系为f ：x →y ＝

3x ＋1.由此判断A 中元素3对应的元素要么是n 4，要么是 n 2＋3n .

若n 4＝10，则n ∈N *不成立，

所以n 2＋3n ＝10，解得n ＝－5(舍去)或n ＝2.

因为集合A 中的元素m 对应的元素只能是n 4，等于16， 所以3m ＋1＝16， 所以m ＝5.

故p ＝3，q ＝1，m ＝5，n ＝2.

11.某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10 000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售

总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=则总利润最大时店面经营

天数是 .