直线趋势外推法
第六讲 趋势外推法
yt , t = 0,1,2,L3n −1
S1 = ∑yt , S2 = ∑yt , S3 = ∑yt
t =0 t =n t =2n n−1 2n−1 3n−1
于是得A、B、K的估计式为
1 Λ S3 − S2 n B = S −S 2 1 Λ B−1(S2 − S1 ) Λ A= 2 Λn B −1 Λn Λ Λ B −1 1 1 S − S2 − S1 K = S − A 1 = 1 Λn Λ n n B−1 B −1
修正指数曲线预测模型 1）模型的形式
ˆ yt = K + ab t
2）模型的识别
例4 我国卫生机构人员总数如表4.13所示，试预 测2003年我国卫生机构总人数。 解: 绘制散点图，如图4.13所示。
得:
所以我国卫生机构总人数修正指数曲线模型为:
yt = 615.641 − 205.667 × (0.9172)t
差分法： 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平 稳序列。 差分法可分为普通差分法和广义差分法两类。 一阶、二阶、k阶差分 广义差分法就是先计算时间序列的广义差分 (时间序列的倒数或对数的差分,以及相邻项的比率 或差分的比率等),然后,根据算得的时间序列差分 的特点,选择适宜的数学模型。
差分法识别标准：
Λ
Λ
yt = 14.8768e0.1098t
预测1999年的产量 y = 14.8768e0.1098×7 = 32.1 1999
曲线的拟合优度分析
实际的预测对象往往无法通过图形直观确认某种 模型，而是与几种模型接近。这时，一般先初选 几个模型，待对模型的拟合优度分析后再确定究 竟用哪一种模型。 评判拟合优度的好坏一般使用标准误差来作 为 优度好坏的指标：
第3章 趋势外推预测法讲解
年份
利润 额
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 200 300 350 400 500 630 700 750 850 950 1020
第3章 趋势外推预测法
利润额 1200 1000
800 600 400 200
0 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
1189.26万元。
第3章 趋势外推预测法
4．
比较例3.1与例3.2的预测结果,可以发现,由于时间 序列数据的线性趋势比较明显,又由于加权拟合直线法 的加权系数取值比较大（α=0.8）,使得加权与不加权两 种拟合直线法的预测结果很接近。但就一般而言,由于 加权拟合直线法按重近轻远的赋权原则,使其预测结果 更接近于实际观察值。而且α取值越小,对近期数据所 赋权数就越大,因此近期预测值就越接近于实际观察值。 但是,要选择一个比较合适的α值也是一个比较困难的 事,一般要经过若干次试探,
xt*yt
1 200 4 600 9 1050 16 1600 25 2500 36 3780 49 4900 64 6000 81 7650 100 9500 121 11220 506 49000
191 273.7 356.4 439.1 521.8 604.5 687.2 769.9 852.6 935.3 1018
yt为时间序列第t期实际观察值(t=1, 2, …, n),
其yˆ预t 测为值趋的势离直差线,的e第t t期yt预 测yˆt 值 ,yett为 a第ˆ t期bˆx实t 际观察值与
第3章 趋势外推预测法
第四讲趋势外推法
于是得A、B、K的估计式为
B
S3 S2
S2 S1
n
A
B
1
S
2
S1
B
n
1
2
K
1 n
S1
A
n
B
1
B 1
1 n
S
1
S 2 S 1 n B 1
其中,参数L、a、b为正数。
修正指数曲线预测模型 指数曲线预测模型：
发展、成熟、衰落的过程。
一次（线性）预测模型：
这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将时间序列的数据绘制成以时间t为横轴，时序观察值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与
1999 73.2 0.4
一阶差分 _ 比率
_ 0.8 0.2 0.94 0.4 1.0 0.83 0.8
解:描散点图,初步确定模型;
计算一阶差分比率,进一步验证选用修正指数曲线模型是否合适; 估计模型参数。
所求修正指数曲线预测模型:
yt 7.3 17328.2710.5 95t56
预测2000年的社会总需求量:
差分特性使用模型一阶差分相等或大致相等一次线性模型二阶差分相等或大致相等二次线性模型三阶差分相等或大致相等三次线性模型环比相等或大致相等指数曲线模型一阶差分比率相等或大致相等修正指数曲线模型多项式趋势预测模型及应用特别模型参数估计的简捷算法套用参数估计公式注意到y一般都是等间隔的时期或时点指标值它与时间t并无严格的因果关系
例5:某商品1991年投放市场以来,社会总需求量统计资料如下表
所列,试预测2000年的社会总需求量。
年份 总需求量 一阶差分
1991 50.0
_
1992 1993 60.0 68.0 10 8
趋势外推法法
第四节 趋势外推法趋势外推法，也称趋势延伸法，是根据预测目标的历史时间序列所揭示的变动趋势外推到未来以确定预测值的时序预测法。
可分为随手作图法，拟合直线方程法、拟合曲线方程法。
一、随手作图法这种方法是选定时间作为横轴，预测目标量作为纵轴，先按时间序列数据作出散点图。
然后根据备散在点所显示的趋势走向图形(直线或某种曲线)，运用直尺或曲线板随手画出一条沿各个点拟合度最佳的直线或曲线，并加以延伸，得出待预测时间对应的预测值。
该方法简便易行，不用建立数学模型，预测效果良好。
但这种方法全凭预测者的观察力和作图技巧，它直接影响到预测的精度。
二、拟合直线方程法这种方法是根据呈线性变动趋势的时间序列，拟合出直线方程bx a Y +=∧，再利用方程进行预测外推，得出预测结果。
直线方程bx a Y +=中，x 为按整数序编号的时间序列，Y 为预测目标量，a 、b 为参数。
设时刻为i x 时，对应的观察值为i Y ，n i ,,2,1 =。
根据这些数据我们要利用最小二乘法拟合出一条直线方程bx a Y +=∧即确定参数a 、b ，使拟合偏差i i Y Y ∧-的平方和∑∧-=22)(i i Y Y S 最小。
由微分法，令02=∂∂a S ，02=∂∂bS ，解之可得到∑∑---=-=x b Y x nb Y n a i i 11 （4-13） ∑∑∑∑∑--=22)())((i i i i i i x x n Y x Y x n b （4-14）当时间序列是整数项时，我们取i x 的中间项为0，其余按下列取值 …，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，… （中间项）例如 n=7时，i x 分别取为-3，-2，-l ，0，1，2，3七个数值。
这样规定i x 取值后，n 为奇数时有∑=0i x ，则计算参数a 、b 的公式可以简化为∑==-i Y nY a 1（4-15）∑∑=2ii i xY x b （4-16） 例8 某市五金公司1978年到l984年销售额资料为 年份 l978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 销售额 4923 5811 7171 8248 8902 9860 l0800(万元)试预测l985、1986两年的销售额。
3.1直线趋势外推预测法
第3章趋势外推预测法一定的外界随机条件对应系统状态的一定表象，把一系列随机条件和对应的表象联接起来的长链条，既体现了系统运动变化的随机性，又体现了系统运动变化的约束性。
因此，可以沿着这一链条，由系统的历史和现实的发展趋势推测其未来的发展趋势，即由已知推测未来。
趋势外推法就是在大量历史的和现实的随机现象中，寻求它们的“平静的反映”，从而得到系统运动变化的规律，并据此规律推测出该系统未来的状况。
这就是应用趋势外推法可以对事物的未来状况进行预测的理论根据。
广义地讲，任何预测方法都是某种推测或推断，而对时间序列而言，推测与推断都是一种外推（由现在推测未来，如移动平均法、指数平滑法等时间序列方法）。
“趋势外推法”是根据事物发展的特有规律，推测并着重研究其可能的发展趋势，故由此而得名。
趋势外推法是根据变量（预测目标）的时间序列数据资料，提示其发展变化规律，并通过建立适当的预测模型，推断其未来变化的趋势。
很多变量的发展变化与时间之间都存在一定的规律性，若能发现其规律，并用函数的形式加以量化，就可运用该函数关系去预测未来的变化趋势。
大量事实证明，事物的发展过程，虽然有时可能出现某种跳跃，但主要还是渐进发展的。
在这种情况下，趋势外推法就能为某些技术或经济的未来发展趋势与状况做出科学的预测。
实际上,趋势外推法已成为科学技术发展渐进过程的一种主要预测方法，尤其是在技术预测领域中,其应用最为广泛。
据统计,约有80％的技术预测使用这种方法。
这种方法的主要优点是,可以揭示技术发展的未来趋势,并能够定量地估价某些功能特性。
利用趋势外推法进行预测,在国外的工业公司和科研机构已经得到了广泛的应用，我国的某些技术和经济部门也已开始应用。
趋势外推法的两个前提假设是：1.技术（或经济）发展的因素，不但决定了过去的技术发展，而且在很大程度上也决定着该技术的未来发展。
这一前提假设实质上指的是在研究某项技术的过去、现在和未来的整个发展过程中，它保持相对不变，亦即内、外因保持相对不变。
第三章趋势外推预测法
❖ 初始平滑值的确定：
（1）当原数列的数值个数较多时 （n>15），由于经过多次平滑运算，初 始值对指数平滑值影响逐步减弱到极小 的程度，可以忽略不计，所以可以选用 第一期观察值作为初始平滑值S0=Y1
❖ （2）当原序列的数值个数较少时， n<15，可以选用最初几期的平均数作为 初始平滑值,一般是前3-5个数据的算术 平均数。
Ft+T=at+btT
T为预测的长度。 N为移动项数。
注意：输出区域此时的选择
❖ 建立预测方程： F11+T=202.75+8.5T
3、指数平滑预测法
指数平滑法是用过去的时间序列的加权平均数 作为预测值，是加权移动平均法的一种特殊 形式，由美国经济学家布朗（Robert G.Brown）于1959年在其著作《库存管理的 统计预测》中提出来的。
❖ 例：假定1993-2008年产品C销售情况如表所 示，试用指数平滑法预测2009年的产品销售 量。
❖ 方法1： ❖ 直接计算：先计算指数平滑再进行预测。
❖ 假定初始平滑值S0=97，以平滑系数=0.3为例。
❖ 方法2: ❖ Excel实现： ❖ 工具—数据分析——指数平滑
注意： （1）默认的初始平滑值是原始数据的第一项。 （2）阻尼系数=1-a （3）最后一期平滑值需要再重新计算一下。 （4）注意输出区域的选择。
指数平滑公式：St(1) =aYt+(1-a)St-1
St(1) ：t时期的一次指数平滑值。a平滑系数
（0< a<1)；Yt为t时期的观察值。 ❖ 预测公式： St=Ft+1：第t 期的指数平滑值作
为第t+1期的预测值。
因此，上式可写成：Ft+1= aYt+(1-a)Ft T=1,2,3,4….n。
第三章_趋势外推法
基本思想 拟合直线法 曲线趋势外推法
1
某家用电器厂1993～2003年利润额数据资料 某家用电器厂1993～2003年利润额数据资料 1993
年份 利润额 yt
1200 1000 800 600 400 200 0
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
某家用电器厂1993 2003年利润额数据资料如 1993~ 例3.1 某家用电器厂1993~2003年利润额数据资料如 所示。试预测2004 2005年该企业的利润 2004、 年该企业的利润。 表3.1所示。试预测2004、2005年该企业的利润。
年份 利润额
利润额 1 20 0 1 00 0 80 0 60 0 40 0 20 0 0 1 99 3 19 94 19 95 1 996 1 99 7 1 99 8 19 99 20 00 2 001 2 00 2 2 00 3 20 04 20 05
xt 1 2 3 4 5 6 7 8 9
xt2 1 4 9 16 25 36 49 64 81
xt*yt 200
预测 值y 191
1 n 1 n a = ∑ yt − b ∑ xt n t =1 n t =1 b= n∑ xt yt − (∑ xi )(∑ yt )
t =1 t =1 t =1 n n n
年份 利润额 yt 1993 1994 200 300 1995 1996 350 400 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 500 630 700 750 850 950 1020
1200 1000 800 600 400 200 0
趋势外推法
趋势外推法
趋势外推法（Trendextrapolation）是根据过去和现在的发展趋势推断未来的一类方法的总称，用于 科技、经济和社会发展的预测，是情报研究法体系的重要部分。 趋势外推的基本假设是未来系过去和现在连续发展的结果。当预测对象依时间变化呈现某种上升或下 降趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法 进行预测。 趋势外推法的基本理论是：决定事物过去发展的因素，在很大程度上也决定该事物未来的发展，其变 化，不会太大；事物发展过程一般都是渐进式的变化，而不是跳跃式的变化掌握事物的发展规律，依据这 种规律推导，就可以预测出它的未来趋势和状态。
运用一：预测未来的销售量或需求量等 【例 4-2】品种销售量如表 1 所示 表1 产品销售量资料(单位：万件) 2003 10 2004 18 2005 25 2006 30.5 2007 15 2008 38 2009 40 2010 39.5 2011 38
试预测 2012 年的销售量，并要求在 90%的概率保证程度下给出预测的置信区间。 【实验步骤】 ： 1．确定预测模型； 2．模型参数估计； 3．预测结果的置信区间估计。 注：Matlab 软件在数据计算方面比较容易，而 SAS 软件更体现在数据的整理和统计方面 第一步，确定预测模型，利用 Matlab 软件画出产品销售量与年份之间的关系图，结果 见图 1。 >> t=[2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011]' >> y=[10 18 25 30.5 35 38 40 39.5 38]' >> plot(t,y)
SE
( y yi^)
第三章_趋势外推法
例3.1 某家用电器厂1993~2003年利润额数据资料如 表3.1所示。试预测2004、2005年该企业的利润。
年份 利润额
利润额 1200 1000 800 600 400 200 0 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
600 6 0 0 00 500 5 0 0 00 400 4 0 0 00 300 3 0 0 00 200 2 0 0 00 100 1 0 0 00
00 00 11 22 33
4 4
5 5
6 6
7
8 8
9 9
110 0
某商场某种商品过去9个月的销量
某商场过去9年投入市场，市场需求量统计资料
5/72
n t 1
n
yt b
1
t 1
n
n t 1
n
xt
n
t 1
1994
1995 1996
300
350 400
2
3 4
4
9 16
600 273.7
1050 356.4 1600 439.1
n x t y t ( x i )( y t ) b
t 1 n 2
n xt ( xt )
利润额 1200 1000 800 600 400 200 0 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
ˆ y a bx
x= 1
2
3
4
5
……………… 6 7 8 9
10
趋势外推预测方法
y=0
(1) lga<0 0<b<1
y=0
(2) lga<0 b>1
图7.3.1（1）中的渐近线（k）意味着市场对某类产品的需
求已逐渐接近饱和状态；
图7.3.1（2）中的渐近线（k）意味着市场对某类产品的需
求已由饱和状态开始下降；
X=k
X=k
图7.3.1 龚珀兹 曲线一般形状
y=0
y=0
(3) lga>0 0<b<1
• lg
a
（6）查 或反对lg数k 表 ，1n 求•出 参 数2 k、2 a、b，并将k、a、b
代入公式 yˆ kabt ，即得龚珀兹预测模型。
第1节 指数曲线法
指数曲线模型
yˆtabet (a0)
（7.1.1）
对式（7.1.1）两端取对数，得 lnyt lnabt
令
令 Ytlnyt,Aln a, yˆyt
则 Yt Abt
这样就把指数曲线
a
模型转化为直线模型
0
t
表7.1.1 指数曲线模型差分计算表
时序(t)
1 2 3 4
t-1 t
yt aebt
趋势外推预测方法
➢趋势外推法
趋势外推预测方法是根据事物的历史和现实数据，寻求事物随 时间推移而发展变化的规律，从而推测其未来状况的一种常用的 预测方法。
➢原理
当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降的趋向，且无明显 的季节波动时，若能找到—条合适的函数曲线反映这种变化趋势，
就可用时间t为自变量，时序数值y为因变量建立趋势模型：
y＝f(t)
（7.0.1）
如果有理由相信这种趋势能够延伸到未来，在式（7.0.1）中赋 予变量t在未来时刻的一个具体数值，可以得到相应时刻的时间序 列未来值。
趋势外推预测法(精)
惯性原理的两个前提：周围没有引力场吸引；前方没有障碍物阻挡。
假设条件： 1. 技术（或经济）发展的因素，不但决定了过去技术的发展，而且在很 大程度上决定了其未来的发展。即某项技术在其过去、现在、未来的 发展过程中，内、外因相对保持不变。 其变化属渐进式变化，而不属于跳跃式变化。
2.
三个例子：预测未来两期的指标水平
ˆt ) 2 离差平方和 et ( yt y
2 t 1 t 1
n
n
2 ˆ ( y y ) ( y a bx ) Q ( a, b) t t t t 2 t 1 t 1
某商场过去9年市场需求量序列数据
3.1 直线趋势外推法
• 适用条件：时间序列数据（观察值）呈直线上升或 下降的情形。 该预测变量的长期趋势可以用关于时间的直线 描述，通过该直线趋势的向外延伸（外推），估计 其预测值。
• 两种处理方式：
拟合直线方程与加权拟合直线方程
例3.1 某家用电器厂 1993～2003 年利润额数据资料如表 3.1所 示。试预测2004、2005年该企业的利润。
y f (t ) ● 当有理由相信这种趋势可能会延伸到未来时，对于未来 时点的某个 Ｙ 值（经济指标未来值）就可由上述变化趋势 模型（直线方程）给出。这就是趋势外推的基本思想。
可建其变化趋势模型（曲线方程）：
● 趋势外推的条件有２：变化趋势的时间稳定性、 曲线方程存在。
某家用电器厂1998～2008年利润额数据
年份 1993 199 4 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
利润额yt
1200 1000 800 600 400 200 0
200
直线趋势外推预测法
外
什么是直线趋势外推预测法
直线趋势外推预测法，是时间序列预测中用以测 定长期趋势的一种方法。它依据时间数列所反映出来 的变动趋势，运用数学方法配合直线以预测未来发展 变化的趋势。 直线趋势外推预测法把时间数列中的时间顺序作 为自变量，把数列中每项数值作为因变量，按某种方 法，求出线性方程，数列中每项数值作为因变量，按 某种方法，求出线性方程，并以此进行预测。
什么是直线趋势外推预测法
其配合的直线趋势的数学方程即直线方程：
式中：Y代表趋势值，t代表时间，a、b代表待定参 数。
在运用直线法预测过程中，充分考虑到其他非时 间因素的影响，并且在原有预测直线的基础上，通过
原理
设置一定的影响因素和各自的影响程度系数来消除这 些不可控制因素的影响，以使历史数据“还原”成 “历史真实数据”，之后利用“历史真实数据”建立
假设某企业连续三年的销售数据分别是10、12、15。 利用直线趋势外推法预测下一年的销售数据。 （1）
例 题
绘制时间序列数据散点图由图知，可以用直线方 程来拟合。
这里添加描述
假设某企业连续三年的销售数据分别是10、12、15。 利用直线趋ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ外推法预测下一年的销售数据。 （2）
例 题
设直线方程为y=a+bx,通过计算可以得到如下结果： a=12.33, b=2.5 所以，y=2.5x+12.33 …① 由①可得： x = -1 , y = 9 . 8 3 ; x = 0 , y = 1 2 . 3 3 ; x=1,y=14.83 ；
直线模型，利用新建的直线模型来对预测量进行预测，
并对预测的结果利用影响因素及其系数进行修正。
步骤
根据历史资料和数据、企业实际情况等确定对预测量在 发展过程中有重大影响的几个影响因素即影响参数。
定量预测方法
定量预测方法定量预测方法种类很多，这里仅介绍常用的趋势外推法、时间序列法、回归预测法和灰色预测法。
1．趋势外推法趋势外推法就是运用直线或曲线拟合模型展开预测的方法。
在运用趋势外推法时，应当根据以获取的市场实际资料分析其发展趋势，挑选预测方案，按预测方案里的有关方法展开运算得出结论财政预算值。
(1)直线趋势法。
直线趋势法的方程为用最轻平方等方法估算a和b的值，创建直线预测模型。
然后再根据变量t的值展开预测。
(2)曲线趋势法。
以二次抛物线为例，曲线趋势法的公式为用最轻平方等方法估算a、b、c的值，创建曲线预测模型。
然后再根据变量t的值展开预测。
2．时间序列法（略）3．重回预测法回归预测法是通过分析自变量与因变量之间的相互关系，根据自变量数值的变化，预测因变量数值变化的一种方法，也可称为相关分析预测法。
这种方法是预测学的基本方法，应用十分广泛。
(1)一元线性重回法。
一元线性重回预测的数学模型就是一元线性方程，其计算公式为(2)二元线性回归法。
二元线性回归预测的数学模型是二元线性方程，其计算公式为4．灰色预测法灰色预测法是指通过分析系统内部各因素之间的相关程度，根据原始数据的生成处理来寻求系统变化规律，以此建立微分方程模型，从而预测市场发展趋势的预测方法。
灰色预测法通过生成法处理系统内的变量。
生成法分为累加生成法和累减生成法。
累加生成法是将原始序列通过累加得到生成序列，即将原始序列的第一个数据作为新序列的第一个数据，将原序列的第二个数据加到第一个数据上，其和作为新序列的第二个数据，将原序列的第三个数据加到第二个数据上，其和作为新序列的第三个数据，依此类推，得到生成序列。
累减生成法是将原始序列的数据前后相减，得到累减生成序列。
第4章趋势外推法
32 2849.4
（1）对数据画折线图分析，以社会商品零售总额为 y轴，年份为x轴。
第4章趋势外推法
（2）从图形可以看出大致的曲线增长模式，用 二次曲线模型来拟合该曲线
yˆt b0b1tb2t2
（3）进行二次曲线拟合。首先产生序列 t 2 ， 然后运用普通最小二乘法对模型各参数进行 估计。得到估计模型为：
y ˆt 5 7 7 .2 4 4 4 .3 3 t 3 .2 9 t2
其中调整的 R2 0.9524，F290F 0.05(2,29)，
则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准 误差为151.7。
第4章趋势外推法
最小二乘曲线拟合
polyfit(x, y, n) 对描述n阶多项式y=f(x)的数据进行最小二乘 曲线拟合 n=1作为阶次，得到最简单的线性近似。通常 称为线性回归。 n=2作为阶次，得到一个2阶多项式 polyfit 的输出是一个多项式系数的行向量。 计算在xi数据点的多项式值，调用MATLAB的 函数polyval。 第4章趋势外推法
假设由近及远的离差平方和的权重分别为：
0,1,2, , n1
第四讲 趋势外推法
yt yt yt 1 B yt 1 yt 1 yt 2
当时间序列算得的一阶差分比率大致相等时,就可以 配修正指数曲线模型进行预测。
指数曲线模型的参数估计及应用
bt 对指数曲线模型 y t Ae 取对数,作变换,转化为直线模型。
ln y t ln A bt Yt ln y t , a ln A Yt a bt
年份
1963 1964 1965 1966 1967
时序 （t）
12 13 14 15 16
总额 （ yt ）
604.5 638.2 670.3 732.8 770.5
年份
1974 1975 1976 1977 1978
时序 （t ）
23 24 25 26 27
总额 （ yt ）
1163.6 1271.1 1339.4 1432.8 1558.6
修正指数曲线预测模型 1）模型的形式
ˆt K abt y
2）模型的识别
例4 我国卫生机构人员总数如表4.13所示，试预 测2003年我国卫生机构总人数。 解: 绘制散点图，如图4.13所示。
得:
所以我国卫生机构总人数修正指数曲线 模型为:
yt 615.641 205.667 (0.9172)t
差分特性 使用模型
一阶差分相等或大致相等 二阶差分相等或大致相等
三阶差分相等或大致相等 环比相等或大致相等 一阶差分比率相等或大致相等
一次线性模型 二次线性模型
三次线性模型 指数曲线模型 修正指数曲线模型
多项式趋势预测模型及应用
特别:直线(一元时间回归)模型参数估计的简捷算法
y t a bt
将 t 19 代入模型,得到2003年我国卫生 机构总人数的预测值:
趋势外推法
预测精度判断
用相对误差指标
σ= θ= σ
Y (Y Y ) 2 ∑ nk
某电视机厂连续24个月销售量
月份 销售量 (万台) 月份 销售量 (万台) 1 161 .2 13 214 .5 2 135 .4 14 161 .7 3 120 .7 15 237 .1 4 136 .7 16 269 .1 5 143 .3 17 291 .3 6 145 .9 18 310 .4 7 152 .8 19 380 .4 8 209 .6 20 340 .1 9 165 .5 21 350 .5 10 209 .3 22 381 .5 11 205 .9 23 385 .4 12 144 .7 24 261 .2
= n∑ Yt ∑ Y ∑ t b n∑ t 2 (∑ t ) 2
∑ Y b∑ t a=
n
例:有下数据,请用线性回归预测第8年 和第10年的值,并画出趋势图.
年份 1 2 3 4 5 6 7 营业收入 290,463 317,661 346,853 338,812 413,310 459,453 389,866 回归预测值 295,747.2 318,899 342,050.8 365,202.6 388,354.4 411,506.1 434,657.9
=
0.6153 = 0.32 (万件) 6
用双侧t检验,取α=0.1,
y ± t0.10 / 2 SE = 32.35 ± 1.943 × 0.32
上述预测2004年销售量为32.35万件,在给定90 %的概率保证下,其近似的预测置信区间为 31.72 万件到32.97万件之间.
进一步阅读
data
b0 = 35 .05
39.5 9 81 38 16 256 274 .0 60 708
趋势外推法
Q 2 ( yt a bt) a a 2 ( yt a bt) 0
y
t
na bt 0
（2）
Q 2 ( yt a bt) b b 2t ( yt a bt) 0
2 ty a t b t t 0
二、二次曲线外推法(Twice curve extension)
在实际预测中,常常碰到的是其他的曲线 形式。在这样的情况下,就要用到曲线外推 趋势法。这种方法仍然是利用最二乘法来拟 合曲线方程。介绍如下： 设曲线预测模型为：
（一）model
ˆt a bx cx2 y
（ 1）
利用最小二乘法得：
t
a 直线方程的截距，b 斜率，ei 离差 现对yt 作n次观察(t 1, 2, , n), ˆt yt a bt 则有：ei yt y Q e ( yt y t ) 2 [ yt (a bt )]2 最小值
2 i
为了使误差最小,即Q为最小值;可分别对a,b求偏 导,并令其为0.则有:
-4 -3 -2 -1
25
16 9 4 1
-1000
-2000 -1050 -800 -500
191.0
273.7 356.4 439.1 521.8
0
1 2 3 4
0
1 4 9 16
0
300 700 1200 2000
1999
2000 2001
630
700 750
0
1 2
0
1 4
0
700 1500
Q e ( yt y t ) 2 ( yt a bx cx2 ) 2 最小值
实训7-直线趋势外推法应用Word文档
实训七：直线趋势外推法的应用
[实训目的]
通过上机，学习直线趋势外推法的使用，掌握使用Excel工具进行直线趋势外推预测的方法。
[课时安排]
2学时
[实施形式]
个人上机，要求学生深入理解直线趋势外推法的预测模型，能熟练使用数据分析方法进行预测。
[实训重点]
1、实训问题：
以下统计了衢州市2000-2009年度电瓶车的销量情况：（单位：万辆）
试用直线趋势外推法预测2010年的销量
2、上机准备：
（1）认真学习直线趋势外推法的基础知识；
（2）学习Excel的有关知识；
（3）画出上机的操作过程流程图。
3、上机：
（1）建立新Excel电子表文件，并用独特名称作为文件名；
（2）在自己的电子表文件中，用Excel计算参数；
（3）记录计算的结果，包括公式、过程、数据、图表、问题等。
[实训报告]
要求写以下内容：（1）实训重点；（2）预测需求的方法；（3）实训过程；（4）实训的结论；（5）实训中存在问题的分析。
设X=a+bt
由表可知：a=∑X/n=250/10=25
b=∑tX /∑t2=450/330=1.36
直线趋势方程为：X=25+1.36t
所以X2010=25+1.36*11=40
（注：素材和资料部分来自网络，供参考。
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直线趋势外延法
直线趋势外延法
直线趋势外延法是一种统计学方法，用于预测未来的值。
它基于直线趋势模型，其中直线由一个回归方程表示。
回归方程通常是一个线性方程，其中包含一个截距项和一个斜率项。
截距项表示在自变量为0时因变量的值，斜率项表示自变量变化一个单位时因变量的变化量。
直线趋势外延法的基本步骤如下：
1.准备数据。
通常使用自变量和因变量的数据来拟合回归
方程。
2.计算回归方程的斜率和截距。
这可以使用最小二乘法来
完成。
3.将回归方程代入自变量的未来值，以计算未来的因变量
值。
4.评估预测的精度。
这可以使用许多不同的指标来完成，
如拟合优度或决定系数。
直线趋势外延法的优点是简单易用，可以使用直接观察或简单的统计软件来进行计算。
但是，它的缺点是假设直线趋势模型是适用于数据的，因此可能不能准确地拟合复杂的数据。
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直线趋势外推法预测报告
某超市1995——2014年销售额如表，用直线趋势外推法预测2015年销售额（利用EXCEL软件预测）。
表一某超市1995——2014年销售额
年份销售额
1995 80
1996 81
1997 85
1998 84
1999 90
2000 92
2001 95
2002 89
2003 92
2004 99
2005 102
2006 110
2007 120
2008 140
2009 150
2010 155
2011 180
2012 175
2013 180
2014 200
一、将表1数据,按年份序号录入EXCEL工作表，形如表2
表2 年份序号及销售额表
年份销售额
-19 80
-17 81
-15 85
-13 84
-11 90
-9 92
-7 95
-5 89
-3 92
-1 99
1 102
3 110
5 120
7 140
9 150
11 155
13 180
15 175
17 180
19 200
二、使用“图表向导”绘制散点图，判断数列趋势
图1 销售额散点图
如图1所示，该公司九个年份的利润值基本围绕一条直线上下波动，可以认为数列呈直线趋势变动，因此配合直线趋势模型。
三、估算两个参数值
利用EXCEL软件中的“工具——数据分析——回归”求得两个参数值如表3所示。
表3 系数表
将的值带入理论模型：，得直线趋势模型：
Y = 119.95 + 3.13*X
四、预测
依时间数列推算，到2015年，年份序号为21，即t=21，则2015年该公司利润预测值为：
Y = 119.95 + 3.13*21
即该公司2015年利润预测值为189.46。