向量语言在圆锥曲线问题中的有效解读及应用
巧用向量，妙化长度-----浅谈圆锥曲线中的长度求解
巧用向量，妙化长度 ----- 浅谈圆锥曲线中的长度求解圆锥曲线是高三复习的重点内容之一，是拉开考生分数档次的关键题目。
解决该类问题的核心思想就是用代数的方法解决几何问题，主要方法是坐标法。
因此，将几何元素坐标化，是我们开始解题的关键。
而向量既能体现“形”的直观，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带。
以下就向量在圆锥曲线长度问题中的一些应用，做一点讲解，一、利用向量的共线实现坐标化例1：椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆交于两点，求的最小值【思路分析】：在圆锥曲线中，对于直线上两点间的距离问题，我们常用的解题策略是采用化斜为直的思想，利用弦长公式，实现几何元素坐标化来加以求解，如下面的“方法一”。
对于直线上两点间的距离我们还可以从向量角度来实现坐标化，按照数量积的定义，我们有，当时，有，基于这点思考，我们可以将圆锥曲线中的长度问题进行向量化处理。
【解析一】：（化斜为直——弦长公式）设，直线联立方程：由韦达定理可得：时，【解析二】：（几何问题向量化）设，直线联立方程：由韦达定理可得：时，【点评】：本题利用三点共线，将长度问题转化为向量数量积问题，从而实现坐标化二、利用向量简化长度运算例2：（2017浙江高考改编）如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点 .过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.求的最大值.【思路分析】：本题的变量应该是P点，问题的关键是如何表示的长度。
如果用弦长公式，则要通过设出直线方程，求出点坐标，运算量较大，我们可以引进向量这一工具来简化运算。
【解析】：设，则令：求导可得：【点评】：本题不仅利用共线将长度转化为向量，而且还利用向量的运算，将未知向量转化为已知向量，简化了运算过程。
三、利用向量的投影例3、（08浙江高考改编）已知直线过定点Q（-1,0），点M是抛物线（不在直线上），在上，轴，是否存在这样的直线，使是常数【思路分析】：本题的主变量应该是M点，点都是点的相关点，目可以将看做是在直线上标将用点表示。
向量方法在解析几何问题中的运用及其解题策略
向量方法在解析几何问题中的运用及其解题策略
向量方法是解析几何中非常重要的工具。
向量本身是一个有方向和大小的量，可以用来表示空间中的点，直线，平面等等。
在解析几何中，向量一般用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
通过向量的定义和性质，我们可以很方便地解决解析几何中的各种问题。
在解析几何中，向量常常被用来表示空间中的点，直线，平面等等。
例如，在平面直角坐标系中，我们可以用向量表示点A和点B的坐标，然后通过向量的减法，计算出AB的向量，从而求出AB的中点，AB的长度等等。
此外，在解析几
何中，向量还可以表示直线的方向向量和法向量，从而可以求出两条直线的夹角，直线的距离等等。
对于平面与平面之间的相交问题，向量方法也比较简单直观，只需要求出两个平面的法向量，然后计算它们的夹角，就可以得出它们的交线。
在解析几何中，使用向量方法解题，需要注意一些策略。
首先要熟练掌握向量的基本定义和运算规律，理解向量的几何意义。
其次，要注意在选择坐标系的时候，应选择一个合适的坐标系，便于计算。
例如，一些问题可以通过建立三角形的重
心坐标系、中线坐标系等等来简化计算。
还要注意，在使用向量方法解决问题时，要善于联立方程，理清思路，从而得到正确的答案。
总之，向量方法在解析几何中具有重要的应用价值，通过掌握向量的定义和运算规律，以及注意解题策略，可以很方便地解决各种解析几何中的问题。
向量在高考中解题的巧用
浅谈向量在高中阶段解题的应用[摘要]：向量是近代数学中的重要和基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，而函数（包括三角函数、数列）、解析几何、空间几何都具有形的结构，因此可用向量作为载体来考查这方面的知识；又因为向量在计算长度、角度，判断平行、垂直等方面都非常直观，因此向量是一种简便的解题方法与思路。
通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，对解题可以简便化、准确化。
[关键词]：向量；解题；应用；向量是近代数学中的重要和基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，而函数（包括三角函数、数列）、解析几何、空间几何都具有形的结构，因此可用向量作为载体来考查这方面的知识；又因为向量在计算长度、角度，判断平行、垂直等方面都非常直观，因此向量是一种简便的解题方法与思路。
通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，对解题可以简便化、准确化。
近年来向量更成为高考所考查的内容这一，占分比例也不小。
纵观近几年的高考，有关向量的部分突出考查了向量的基本运算，对向量的应用也日渐加大考查的力量。
下面浅谈向量在高中阶段解题的应用:(一) 向量对圆锥曲线的应用.圆锥曲线是高考重点考查的内容。
考查的内容包括圆锥曲线的概念和性质。
但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时也要结合向量的知识来简便解题。
例1：证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项。
证明：设P （x ₀，y ₀）是等轴双曲线x ²-y ²=a ²右支上任一点∴x ₀²-y ₀²=a ²则|PO |²=x ₀²+y ₀²=x ₀²+x ₀²-a ²=2x ₀²-a ² | 1PF |²=2x ₀+a ,| 2PF |=2x ₀-a∴|1PF |·|2PF |=(2x ₀+a )(2x ₀-a )=2x ₀²-a ²∴|PO |²=|1PF |·|2PF |同理,当P (x ₀,y ₀)是左支点上也成立.(二)向量对立体几何题的应用.由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，认为这很抽象，但只要掌握好向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换成向量,那解题便简便得多了.例1：如图,在正方体A BCD --A ₁B ₁C ₁D ₁中，E 、F 、G 、分别是AB ，B B ₁，BC 的中点。
圆锥曲线解三角形向量点乘
圆锥曲线解三角形向量点乘
圆锥曲线解三角形向量点乘是指通过计算两个向量的数量积，来确定它们之间的关系和性质。
向量的数量积（也称为点积或内积）定义为两个向量的对应分量相乘后相加的结果。
对于向量A=(a1,a2,a3)和向量B=(b1,b2,b3)，它们的数量积定义为：
A·B = a1b1 + a2b2 + a3b3
圆锥曲线解三角形时，我们可以利用向量的点乘来推导三角形的性质。
例如，给定三角形的三个顶点A、B和C，我们可以用向量表示它们的位置：
向量AB = B - A
向量BC = C - B
向量CA = A - C
然后，我们可以计算向量AB和向量BC的点积，得到：
AB·BC = (B - A)·(C - B) = AB·BC = (a1b1 + a2b2 +
a3b3)·(b1c1 + b2c2 + b3c3)
这个点积的值可以告诉我们AB和BC两个向量之间的夹角以及它们的关系。
例如，如果点积为正数，则两个向量之间夹角为锐角；如果点积为负数，则夹角为钝角；如果点积为零，则夹角为直角。
通过计算向量的点乘，我们可以进一步推导三角形的性质，如判
断是否为锐角三角形、钝角三角形或直角三角形，以及计算三角形的面积等。
这就是圆锥曲线解三角形向量点乘的基本概念和应用。
向量在圆锥曲线中的应用
向量在圆锥曲线中的应用赵春祥由于平面向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介。
因此，向量的引入大大拓宽了解题的思路，使它在研究许多问题时获得广泛的应用。
利用平面向量这一工具解题，可以简捷、规范地处理数学中的许多问题。
下面介绍向量在圆锥曲线中的应用。
一、在椭圆中的应用例1. 椭圆的焦点为F1，F2，点P为椭圆上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是___________。
解：由题意，设三点坐标分别为：P（x0，y）、F1（）、F2（），则。
由∠F1PF2为钝角，得，即。
①又点P（x0，y）在椭圆上，所以。
②联合①、②不难求得。
二、在双曲线中的应用例2. 双曲线的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为_________。
解：由已知可得双曲线的两焦点坐标F1(－5，0)、F2（5，0）。
设P（x，y），则。
因为，即，所以。
又因为P（x，y）在双曲线上，所以从而y=±。
因此，点P到x轴的距离为。
三、在抛物线中的应用例3. 设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点。
证明：如图，抛物线，焦点是，准线为。
设，A、F、B共线，则设，所以有，由BC∥x轴，可得。
又由点A在抛物线上，得。
化简后，得。
则，从而。
而，即共线，也就是直线AC经过原点。
巧用平面向量的数量积，妙解圆锥曲线问题雷文阁两个非零向量的数量积的定义式含有“角”和“长度”；而该式又可变形为，此式与三角形正弦面积有关；数量积还有坐标形式。
因此，通过数量积可沟通长度、角、坐标及三角形面积之间的关系。
利用数量积解题，可以避繁就简。
以下列举其在圆锥曲线中的应用。
一、证明问题例1. （二册上P82）已知一个圆的直径的端点是，求证圆的方程是证明：设是圆上不同于A、B的任意一点，由圆的性质知又所以当M与A或B重合时，仍满足上式，故得证。
高三公开课向量与圆锥曲线课件
• 向量基础 • 圆锥曲线基础 • 向量与圆锥曲线的结合 • 向量与圆锥曲向量的定义与表示
01
基本概念
02
03
04
向量是有大小和方向的量，通 常用有向线段表示。
向量可以用大写字母表示，如 A、B、C等。
向量的长度或模用|a|表示， 其中a是向量。
解析
根据双曲线的渐近线方程，得到$a$和$b$ 的关系，再利用离心率公式求离心率。
向量与圆锥曲线的结合习题及解析
题目3
已知椭圆C的中心在原点，焦点在$x$轴上，离心率为$frac{sqrt{3}}{2}$，且经过点 $(1,frac{sqrt{3}}{2})$，点$P$为椭圆C上任意一点，点$Q(1,0)$，求$overset{longrightarrow}{OP} cdot overset{longrightarrow}{OQ}$的最大值。
04
数量积和向量积是向量 的基本运算，用于描述 向量的关系和几何意义 。
02
圆锥曲线基础
圆锥曲线的定义与分类
圆锥曲线的定义
圆锥曲线是平面与一个固定圆锥相交形成的平面曲线的总称。
圆锥曲线的分类
椭圆、双曲线、抛物线等。
圆锥曲线在平面上的投影
通过改变平面与圆锥的相对位置，可以得到不同类型的圆锥曲线。
圆锥曲线的标准方程
圆锥曲线标准方程的求解方法
利用圆锥曲线的定义和几何性质，通过代 数方法求解标准方程。
圆锥曲线的几何性质
圆锥曲线的焦点和准线
根据不同类型的圆锥曲线，焦点和准线的位 置和数量也不同。
圆锥曲线的对称性
不同类型的圆锥曲线具有不同的对称性，如 中心对称、轴对称等。
圆锥曲线的离心率
浅谈向量在解决圆锥曲线问题中的作用
浅谈向量在解决圆锥曲线问题中的作用在高中数学中向量是一个新增内容,它只是一种方法,高考不会单独出题,所以它一定是依附于其他知识点——比如圆锥曲线问题——中出现。
解析几何就是利用代数方法解决几何问题;而在坐标法中,向量是和几何问题结合最紧密的方法,因此如果涉及角度等一些问题,就可以用向量去做。
由于点的坐标也可视为向量的坐标,因此许多解析几何问题均可与向量知识进行综合。
高考对解析几何与向量综合考查,新旧结合,以旧带新,使新旧内容有机地结合在一起,就形成了新的高考命题的热点。
1 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系,再利用函数求最值的方法求最值,要比只利用解析几何知识建立等量关系容易。
例1.设椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为,过点C(-1,0)的直线交椭圆E于A、B两点,且=2 ,求当△AOB的面积达到最大值时直线和椭圆E的方程。
解答过程:因为椭圆的离心率为,故可设椭圆方程为2x2+3y2=t(t>0),直线方程为my=x+1,由2x2+3y2=tmy=x+1得:(2m2+3)y2-4my+2-t=0,设A(x1,y1)B(x2,y2),则y1+y2= …………①,又=2 ,故(x1+1,y1)=2(-1-x2,-y2),即y1=-2y2…………②;由①②得:y1= ,y2= ,则S△AOB= y1-y2=6 =6 ≤ ,当m2= ,即m=±时,△AOB面积取最大值,此时y1y2= = ,即t=10,所以,直线方程为x±y+1=0,椭圆方程为2x2+3y2=10.小结:利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易。
2 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围,一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题。
例2.已知双曲线C: - =1(a>0,b>0) ,B是右顶点,F是右焦点,点A在x轴正半轴上,且满足, , 成等比数列,过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l,垂足为P,①求证: · = · ;②若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D,E,求双曲线C的离心率e的取值范围。
向量法解圆锥曲线中的最值
向量法解圆锥曲线中的最值、定值问题的假设干范例江西省高安市石脑二中 王典辉 （330818）圆锥曲线中的最值、定值问题是高考中的热点题型，而以向量为载体的圆锥曲线中的最值、定值问题又是最近几年来高考中显现的新题型。
由于这种题型在解题之前不明白最值、定值的结果，因此对解题增加了必然难度。
但利用向量集数与形于一身，既有代数的抽象性，又有几何的直观性这一特点，能有效地探讨到结果。
本文通过具体的例子来讲明用向量方式对这种问题的求解。
一、最值问题例1．已知点A （0，1），B （0，－1），P 为一个动点，且直线PA 、PB 的斜率之积为－21。
⑴求动点P 的轨迹C 的方程；(⑵设Q （2,0），过点（－1,0）的直线l 交C 于M 、N 两点，△QMN 的面积记为S ，对知足条件的任意直线l ，不等式S ≤λtan ∠MQN 成立，求λ最小值。
解：⑴如图1，设P （x ，y ），k PA =x y -1，k PB ＝x y 1+，由k PA ·k PB ＝－21＝>221x y -＝－21＝>22x ＋y 2＝1。
⑵要由不等式S ≤λtan ∠MQN ，求λ最小值一时难以分析清几个量之间的内在联系，于是先从特殊情形进行分析。
当MN ⊥轴时，由上述椭圆方程知，点（－1,0）即为左核心F 1。
现在｜F 1Q ｜＝3，又因为x ＝－1时，y=±22，因此｜NM ｜＝2，S △QMN ＝223。
又因为tan ∠NQF 1＝62，tan ∠NQN ＝tan2∠NQF 1＝121tan 1tan 2NQF NQF ∠-∠＝1816212-⨯＝1726。
由S≤λtan ∠MQN 得λ≥417。
现在易猜想，当NM 不垂直于x 轴时，该结论或许还成立。
可考虑在一样情形下转化的方式，先对关系式S ≤λtan ∠MQN 利用向量进行分析。
由三角形面积公式，得2|||?|QN OM •sin ∠MQN ≤λMQ N MQ N ∠∠cos sin ， λ≥21｜QM｜·｜Q N ｜cos ∠MQN ＝21Q M ·Q N 。
专题15 圆锥曲线与其它知识的交汇问题(解析版)
专题15 圆锥曲线与其它知识的交汇问题【压轴综述】纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，出现一些与其它知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解此类问题的方法规律.一、与平面向量交汇问题主要体现在以下两个方面：一是用向量的数量积解决有关角的问题；二是用向量的坐标表示解决共线问题．(1)用向量的数量积解决有关角的问题，其步骤是：先写出向量坐标式a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，再用向量数量积的坐标公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求角． (2)当a ，b 不共线时，有〈a ，b 〉为：直角⇔a ·b ＝0；钝角⇔a ·b <0(且a ，b 不反向)；锐角⇔a ·b >0(且a ，b 不同向)．(3)解题时，利用向量关系列出点之间的方程是关键．二、在涉及最值、范围问题时，往往与不等式、函数、导数等相结合.基本解题思路是构建不等式，创造应用基本不等式的条件；构建函数关系，应用导数研究函数的单调性、极（最）值等.【压轴典例】例1．（2020·上海高三专题练习）设，为曲线的焦点，是曲线与的一个交点，则的值为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【详解】设点为曲线与在第一象限内的交点，由曲线的方程可得、()220F ，，再由椭圆的定义可得：，又因曲线的焦点和曲线 的焦点相同，再由双曲线的定义可得：，∴，，中，由余弦定理可得： ，所以121212cos |||13|PF PF F PF PF PF ⋅=∠=.例2．（2020·江苏南京市·高三）光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆Γ与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经过与Γ反射，又回到了点历时秒；若将装置中的去掉，此光线从点发出，经Γ两次反射后又回到了点历时秒；若则Γ与的离心率之比为（ ） A ． B ．1：2C ．2：3D ．3：4【答案】C【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，在左图中，由椭圆定义可得：1212BF BF a +=①，由双曲线定义可得：2122AF AF a -=②，①②得：111222AF AB BF a a ++=-，1ABF ∴的周长为：；在右图中，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点，即直线过，1CDF ∴的周长为，又两次时间分别为，，且，光线速度相同，，，椭圆与双曲线焦点相同，，．例3.（2020浙江温州中学高三）设点是长方体的棱的中点，14AA AD ==，，点在面上，若平面分别与平面ABCD 和平面所成的锐二面角相等，则点的轨迹为（ ）A.椭圆的一部分B.抛物线的一部分C.一条线段D.一段圆弧【答案】C【解析】设在平面ABCD 的投影为，平面与平面ABCD 所成的锐二面角为 则，在平面的投影为中点，平面与面所成的锐二面角为 ，则11cos CPM D PMS S β∆∆=，故即得到111125,22C M h h ⨯⨯=⨯⨯=，即到直线的距离为定值，故在与平行的直线上，又点在面上，故轨迹为一条线段.例4.（2020·广州市天河中学）(多选)已知椭圆，双曲线若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（ ） 参考数据（） A ．椭圆的离心率 B ．双曲线的离心率C ．椭圆上不存在点A 使得120AF AF ⋅< D ．双曲线上存在不同的四个点B i (i =1,2,3,4),使得12i i B F B F ⊥ 【答案】ABD【详解】如图，不妨设，双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 在第一象限的交点坐标为，由正六边形的性质，可得12PF PF ⊥，2160PF F ∠=︒,211,||PF PF ∴==椭圆M 的长轴长,∴,,∴当为椭圆的上顶点时为钝角，120AF AF ⋅<,故C 错误；椭圆M 离心率，故A 正确；双曲线N 的渐近线方程为,∴，又∵2224m n c +==,,双曲线N 的离心率为,故B 正确；以为直径作圆，显然与双曲线N 有四个不同的交点，这四个点关于所张的角为直角，故D 正确.例5.（2020·四川石室中学高三）设双曲线的左，右顶点为是双曲线上不同于的一点，设直线的斜率分别为，则当()2323ln ln 3b mn mn m n a ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ） A. B.C.D.【答案】D【解析】由双曲线，则(,0),(,0)A a B a -，设，则，可得，则0000,y y m n x a x a==+-，所以， 所以，设，则322()326ln 3f t t t t t =+--， 则，当(0,2)t ∈时，()0f t '<，单调递减；当(2,)t ∈+∞时，()0f t '>，单调递增，所以当时，函数取得最小值，即当()2323ln ln 3b mn mn m n a ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭取得最小值时，，所以双曲线的离心率为c e a ====，故选D ． 例6．（2020·全国高三专题练习）已知点P 在曲线C ：上，曲线C 在点P 处的切线为，过点P 且与直线垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为_______． 【答案】1【详解】依据题意直作出图象，如下：设，,则：，.因为，所以曲线C 在点P 处的切线斜率为：，又过点P 且与直线垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，所以且，所以，所以直线的方程为：()0001y y x x x -=--联立直线与抛物线方程可得：，整理得：22001111022x x x x +--=.所以，又因为OP ⊥OQ ，所以1OP OQ k k ⋅=-,即：，整理得：.所以，解得： 所以，所以点P 的纵坐标为。
妙用圆锥曲线中的“向量”,活化高中数学课堂教学
题能否用参数方程 、 用参数方 程是否简便还是需要具体 分析的 ， 这就是法无定法 ， 贵得其所吧 ！
顺便说一下 ， 借 助于几何画板 ， 通过上述 问题 （ １ Ｉ ） 、 （ Ⅲ） 的讨论 ， 笔者猜想应该有下面的结论 成立．
已知椭 圆ｃ ： ＋ ： １ （ Ⅱ ＞ ６ ＞ ０ ） ， 设Ａ１ 、 ４ ２ 、 Ａ 一、 ４ ， 卜
参考文献 ：
叼
１ ０ ／ ￣ ２ ＝ － Ｃ Ｏ Ｓ ２ ￣ ＋ 三
２ ２
１ ． 李艳． 用椭 圆参数 方程 时的一 个“ 误 区” ［ Ｊ ］ ． 中学数
学教 学参考（ 上） ， ２ ０ １ ３ （ ９ ） ．
２ ． 胡 寅年． 几 何 问题 代 数 度 量 — — ２ Ｏ ｌ ２ 年 上 海 卷
Ｐ Ｏ Ｑ ＝ ／ Ｑ Ｄ 肚 ≥ ， 证 明 ： ＋ ＋ 为 定 值
证明： 设 Ｐ ｆ ＼ 。 ， ２ ｉ ） ， 其中 ∈ １ ｏ ， ２ 叮 Ｔ ） ． ／
不妨设 Ｐ、 Ｑ、 Ｒ为逆 时针顺序 的椭 圆上 三点 ．利用 旋转
到此 ， 可 以看 出椭 圆的参数方程对 于处理两点有具 体角度 问题有 时也 是可 以用 的． 因此 ， 笔者觉 得具 体 问
材 法
和 内化 的思维语 言 ， 找到正确解题 的方案． 例１ 直线 ｚ 与椭 圆Ｅ： ＋ ： １ 相交 于 、 两点 ， 且
４ ４
动 点 删 两个 焦 点的 张 角 最大 值为 要， 且到 其中 一 个焦
点 的距 离最 大值 为３ ， 在椭 圆 内存 在一 个动 点ｐ 且 满 足 Ｉ Ｏ Ａ １ ． Ｉ Ｏ Ｂ Ｉ ＝ Ｉ Ｑ Ｏ Ｉ ｚ ， 试求 ・ Ｑ 的取值范 围．
向量在圆锥曲线中的妙用 高中数学
向量在圆锥曲线中的妙用江西省 徐文晖向量用于圆锥曲线中，可把一些复杂的几何问题转化为简单的代数运算，避繁就简，化难为易，常出新招，充分体现数形结合思想，为解决圆锥曲线问题开辟了一条新途径.例1、在平面直角坐标系中，有一定长为6的线段，其端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，若点M 为AB 的三等分点，求点M 的轨迹方程.分析：由M 为AB 的三等分点，合理联想到MB AM MB AM 212==或 解：设),(y x M A （),o a B ),0(b 则3622=+b a当),(2),(,2y b x y a x MB AM --=-=时 ⎩⎨⎧-=-=-)(22y b y x a x 解得⎪⎩⎪⎨⎧==y b x a 233 .1164364992222=+=+∴y x y x 即 当MB AM 21=时，同理可得141622=+y x 点评：求轨迹方程的方法较多，如直接法、定义法、参数法、交轨法等，本题采用了代入法，巧妙地运用向量共线列出方程，达到解决问题目的.例2、已知双曲线13422=-y x 的焦点F 1、F 2，点M 在双曲线上且021=⋅MF MF 求ΔMF 1F 2的面积分析：由021=⋅MF MF 可得MF 12MF ⊥解：不妨设M 在右支上，则MF 12MF ⊥，设2211,r MF r MF ==由定义知 4221==-a r r又 28)2(22221==+c r r .3216212121===∴∆r r S r r F MF 即 点评：此题中给出了向量的数量积为零，不难得出21F MF ∆为K tΔ,结合双曲线的第一定义知识可轻松得出结论，在求解该题中运用了“设而不求”等技巧.例3、在平面直角坐标系中，以点（1，0）为圆心，以R 为半径的圆与抛物线x y =2交于A 、B 、C 、D 四点，是否存在正实数R ，使AC 与BD 的交点为抛物线的焦点F.分析：若焦点F 为AC ，BD 的交点，则有FA ∥FC解：⎩⎨⎧=+-=2222)1(R y x x y 得0122=-+-R x x Δ=0)1(412>--R 得R>23 而01221>-=R x x .123<<∴R 圆和抛物线都关于x 轴对称 ∴四边形ABCD 是等腰梯形，且AC 与BD 交点一定在x 轴上，假设交点恰为焦点F.则FA ∥FC ，设A （11,x x ） C （22,x x -） （0<21x x <）,)0,41(F 0)41())(41(2121=----∴x x x x 得16121=x x 由1－R 2= 161得R=415（满足123<<R ），故存在. 点评：恰当引入向量，能激活求解策略，解决此题时大胆假设，把圆锥曲线问题变为向量的计算，构思新颖.。
圆锥曲线面积向量叉乘
圆锥曲线面积向量叉乘-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下几个方面展开：引言:圆锥曲线是数学中重要的研究对象之一，它在几何学、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
而在计算圆锥曲线的面积时，向量叉乘的概念是一个关键的工具。
本文将探讨圆锥曲线的面积与向量叉乘之间的关系，并讨论向量叉乘在圆锥曲线面积计算中的应用与实际问题中的案例分析。
文章结构:本文共分为四个部分：引言、正文、应用与分析、结论。
在引言部分，我们将总体介绍本文的主要内容和结构安排。
在正文部分，首先介绍圆锥曲线的定义和性质，然后详细介绍面积的定义与计算方法，以及向量叉乘的概念与性质。
在应用与分析部分，我们将探讨圆锥曲线面积与向量叉乘的关系，介绍圆锥曲线面积的计算方法，并讨论向量叉乘在圆锥曲线面积计算中的应用和实际问题中的案例分析。
最后，在结论部分，我们将对全文进行总结与回顾，探讨圆锥曲线面积向量叉乘的进一步研究方向，以及对本文内容的贡献和局限性，并展望未来的研究方向。
目的:本文的目的是探讨圆锥曲线的面积与向量叉乘之间的关系，并研究向量叉乘在圆锥曲线面积计算中的应用。
通过对圆锥曲线面积的计算方法和向量叉乘的概念进行分析和研究，我们旨在深入理解圆锥曲线的性质和面积计算的原理，并探讨向量叉乘在实际问题中的应用。
同时，本文还将对圆锥曲线面积向量叉乘的进一步研究方向进行探讨，为未来研究提供一定的参考。
总结:本文将从圆锥曲线的定义和性质出发，通过对面积的定义与计算方法的介绍，讨论向量叉乘的概念与性质，进而探讨圆锥曲线面积与向量叉乘的关系，并在应用与分析部分介绍具体的计算方法和实际问题中的案例分析。
最后，在结论部分对全文进行总结与回顾，提出对圆锥曲线面积向量叉乘的进一步研究方向的展望。
通过本文的研究，我们将有助于深化对圆锥曲线面积与向量叉乘关系的理解，以及在实际问题中的应用。
文章结构部分的内容主要是介绍整篇文章的组织结构和各个章节的内容概述。
浅析平面向量在圆锥曲线中的应用
浅析平面向量在圆锥曲线中的应用作者：刘金林来源：《外语学法教法研究》2015年第08期解决有关圆锥曲线的问题，不仅要用到圆锥曲线的定义、性质，还要了解解决圆锥曲线的常用方法。
在高考数学体系中，圆锥曲线占有很重要的地位。
而平面向量又是新增的内容，它体现了现代数学思想，它作为工具性知识兼具代数和几何形式的双重身份，故它是联系多项知识的媒介，成为中学数学知识的一个交汇点。
而圆锥曲线对高中数学的许多知识点都有一定的亲和力。
在知识网络的交汇处出题是考试命题的主导思想。
因此在众多方法中，我们更应该注重平面向量在圆锥曲线问题解决中的作用。
在此根据题目自身的特点归纳和总结了平面向量的坐标表示和平面向量的模在解决圆锥曲线问题中的应用。
1向量的共线的应用1.1求相关量的取值范围运用向量的共线的相关知识，可以较容易地处理涉及三点共线、定比分点、直线等问题。
在处理圆锥曲线中求相关量的取值范围、求直线的方程、求待定字母的值、证明过定点等问题时，如能恰当的运用平面向量共线的相关知识，常常能使问题较快捷的得到解决。
例1：给定抛物线C：，F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A、B两点，且，求在y轴上的截距的变化范围。
分析：设A、B两点的坐标，将向量间的共线关系转化为坐标关系，再求出在y轴上的截距，利用函数的单调性求其变化范围。
解：设，由得：即由②得，因，，所以③，联立①③得，。
而，所以；当直线垂直于x轴时，，不符合题意。
∴直线的方程为，直线在y轴上的截距为。
由知，在上单调递减，所以，于是直线在y轴上的截距的变化范围是。
评注：圆锥曲线与向量综合进行考查，试题以圆锥曲线为载体，以探讨直线和圆锥曲线的位置为切入点，以向量为工具，重点考查圆锥曲线的基本数学思想方法和综合解题能力。
1.2求待定字母的值例2：已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线E，直线：y=kx-1与曲线E交于A、B 两点，如果，且曲线E上存在一点C，使得，求m的值分析：设相关点的坐标，将题目中的向量关系代数化，联立直线和双曲线，通过韦达定理、弦长公式等进行计算。
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】圆锥曲线与向量的结合——圆锥曲线题型总结一、AP=λPB解题方法总结如下：设直线AB与圆锥曲线C相交于点A、B，P为直线AB上的任意一点，A（x1，y1），B（x2，y2），则可以得到AP=λPB。
利用这个条件，可以构造两根之和与两根之积，消去x2，然后利用XXX定理求解。
例如，对于题目“设双曲线C：2-x^2/a^2=y^2/b^2（a>b）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．设直线l与y轴的交点为P，且PA=5PB．求a的值．”，可以按照上述方法解题。
首先联立方程组，得到两个交点的坐标。
然后利用构造两根之和与两根之积的方法，消去x2，得到一个关于a的方程。
最后利用XXX定理求解，得到a的值。
二、PR/PQ的取值范围对于题目“已知x-1>0（x>1），设直线y=-2x+m与y轴交于点P，与双曲线C相交于点Q、R，且|PQ|＜3/2|PR|，求PR/PQ的取值范围．”，可以采用向量的方法解题。
设向量PQ 为a，向量PR为b，则PR/PQ=|b|/|a|。
根据向量的定义，可以得到a和b的表达式。
然后根据题目中的条件，可以列出一个关于m的不等式。
最后，通过分析不等式的解集，可以得到PR/PQ的取值范围。
已知直线 $C:x-1=0$（$x\neq 1$ 且 $x\neq -1$），设直线$y=x+m$（$m>0$）与 $y$ 轴交于点 $P$，与轨迹 $C$ 相交于点 $Q$、$R$，且 $|PQ|<|PR|$，求 $m$ 的取值范围。
解法一：设 $Q(x_1,y_1)$，$R(x_2,y_2)$，联立$\begin{cases} 4x^2-y^2-4=PRx \\ 3x-2mx-m-4=0 \end{cases}$。
则可设 $x_2=-\lambda x_1$（$\lambda>1$），即 $-x_1x_2=\lambda x_2^2$，此时$y_P=x_P+m$，$y_Q=x_Q+m$。
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法【摘要】圆锥曲线问题是数学中重要的课题之一，本文将深入探讨解决这一问题的几种方法。
首先介绍了圆锥曲线的概念和问题的重要性。
接着分别从几何法、代数法、参数法、向量法和微积分法五个方面展开讨论各种解决问题的方法。
在对各种方法进行了综合比较，并指出它们在不同场景下的适用性。
最后展望未来，提出了关于圆锥曲线问题研究的一些新的思路和方向。
通过本文的阐述，读者将对解决圆锥曲线问题有更深入的认识，同时也对未来的研究方向有了一定的启发。
【关键词】圆锥曲线, 解决问题, 方法, 几何法, 代数法, 参数法, 向量法, 微积分法, 综合比较, 适用场景, 未来展望, 引言, 正文, 结论.1. 引言1.1 圆锥曲线概述圆锥曲线是平面上具有特定几何性质的曲线。
根据圆锥曲线的定义，可以将它们分为椭圆、双曲线、抛物线和圆。
它们在几何学和代数学中具有广泛的应用，例如在物理学、工程学和计算机图形学中都有着重要的作用。
椭圆是一个闭合的曲线，其定义是所有到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。
双曲线是一个开放的曲线，其定义是到两个固定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
抛物线是一个开放的曲线，其定义是到一个固定点的距离等于到一个固定直线的距离的点的集合。
圆是一个闭合的曲线，其定义是到一个固定点的距离等于常数的点的集合。
圆锥曲线的研究对于理解几何及代数概念具有重要意义。
掌握不同方法解决圆锥曲线问题将有助于我们更深入地理解这些曲线的性质和特点，从而在实际问题中应用这些知识。
在接下来的内容中，我们将介绍几种不同的方法来解决圆锥曲线问题，希望读者能从中受益。
1.2 问题的重要性圆锥曲线在几何学和数学中具有重要的地位，它们是平面上特殊的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
解决圆锥曲线问题的方法不仅仅是为了解题，更重要的是培养数学思维和逻辑推理能力。
圆锥曲线在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用，掌握解决圆锥曲线问题的方法可以帮助我们更好地理解这些领域的知识和解决实际问题。
直线圆锥曲线有关向量的问题(精品)
直线圆锥曲线有关向量的问题高考考什么知识要点：1．直线与圆锥曲线的公共点的情况00),(02=++⇒⎩⎨⎧==++C Bx Ax y x f c by ax 曲线：直线：)0'''(2=++C y B yA 或（1）没有公共点 → 方程组无解 （2）一个公共点 → 0,0)0)=∆≠→=→A ii A i 相切相交（3）两个公共点 → 0,0>∆≠A2．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：1212AB x y =-=-3．以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 4.几何与向量综合时可能出现的向量内容（1） 给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知A 、B 与PQ 的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即 （7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。
（8）给出,等于已知是的平分线。
（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在中，给出等于已知通过的内心；（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16）在中，给出,等于已知是中边的中线;高考怎么考主要题型：1．三点共线问题；2．公共点个数问题；3．弦长问题；4．中点问题；5．定比分点问题；6．对称问题；7．平行与垂直问题；8．角的问题。
向量在解决高中数学问题中的运用解析
向量在解决高中数学问题中的运用解析【摘要】向量在解决高中数学问题中的运用非常广泛，通过向量解决数学问题成为了教师的教学重点。
教师进行高中数学教学过程中，通过向量将多方面的知识点进行串联，结合对苏教版高中数学问题中的平面几何、证明不等式、解方程、三角函数、条件最值的解析，探究向量在高中数学问题中的具体运用方法。
【关键词】向量；高中；数学问题；运用解析向量是高中数学的教学重点，教师通过对向量的讲解，帮助学生有效的解决高中数学遇到的问题，为学生提供多角度的解题思路。
解决实际数学问题的过程中，向量的应用十分常见，教师加强对向量知识点的讲解，能够提高学生解题的效率。
因此，向量知识在数学问题中的应用成为了教师研究的重点内容。
一、向量知识在平面几何中的运用解析向量能够表示大小和方向，通常用线段来表示向量的长度，用点来表示向量的位置。
根据向量的类别将向量分为单位向量、负向量、零向量、平行向量、向量绝对值、位置向量、方向向量等。
通过向量知识解决平面几何问题会比运用几何知识更加方便。
例如，已知三角形MOA，三个顶点的坐标为M（-3，1），O（2，0），A（0，-2），其中点B、C、D分别是线段AO、AM、OM的中点，求解相关直线BC、CD、BD 的方程？运用向量解决这道平面几何问题时，首先建立坐标分别标出M、O、A三点的位置，连接成为三角形，根据已知条件标出点B、C、D的位置，根据坐标进行计算得出三个中点的坐标分别为：B（1，-1）、C（-1.5，-0.5）、D（-0.5，0.5）。
设点E坐标为（x，y）是线段BC上的点，假设直线BC与平行，列出直线BC的方程式，同理得出直线CD、BD的方程式。
运用向量知识解决平面几何问题时，应该标清点的位置，明确点与线之间的关系，利用关系列出相应的方程式，如果点不标清楚就会导致错误。
二、向量知识在不等式证明中的运用解析三、向量知识在解方程中的运用解析四、向量知识在三角函数中的运用解析五、向量知识在条件最值中的运用结束语综上所述，向量在高中数学问题用的运用十分广泛，并且非常实用，通过向量的模、向量的数量积轻松的将平面几何、不等式、方程、三角函数等问题简化和变形，最终得出结论。
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向量语言在圆锥曲线问题中的有效解读及应用
摘要近观全国各地高考，模拟试题，在圆锥曲线问题中借助向量表达条件，已成为一种特征，更有甚者；则需要借助向量工具（如夹角公式，向量的数量积等）来解决问题。
其基本策略则是通过向量的基本运算律及其几何意义正确解读向量语言，利用向量语言，从而使问题得到根本解决。
关键词应用；解读；问题
一、通过向)的一个焦点是F（1，0），0为坐标原点。
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有OA2+OB2<AB2, 求a的取值范围。
题中的条件：|OA|2+|OB|2<|AB|2?圳即可代入坐标解答。
上述例题也可以说是借助向量工具解决有关问题。
实际上，不管问题中用何中向量语言表达，最后还是要通过向量的基本运算律转化为坐标运算，借助于韦达定理求解。
因为坐标法是向量和圆锥曲线的根本契合点。
例2.（2007福建）如图，已知点F(1,0)，直线l :x=-1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A, B两点，交直线l于点M，还有2008年山东省试题的压轴题，2006年四川卷压轴题等等。
二、利用向量语言解决问题
例3.给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．
(Ⅰ)设l的斜率为1，角的大小；
(Ⅱ)求l在y轴上截距的变化范围。
解析：本题第(Ⅰ)问就是借助向量的夹角公式cos第(Ⅱ)问则与例2使用的向量语言类型相同，解法类似。
解：（I）C的焦点为F(1,0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为y=x-1。
将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0
设A(x1, y1), B(x2, y2)则有x1+x2=6, x1x2=1。