连续介质力学2-2

[
λ2
ˆ λ3 • P
]
1 ˆ = P • diag λ1
T
1
λ2
1 ˆ •P λ3
ˆ ˆ ˆ R = F • U −1
例1. 图示二维线元变形 v v v v ˆ ˆ • dX + F • dX ˆ dx = F • dX = F I II dx1 = F1I dX I + F1II dX II = x1,I dX I + x1,II dX II x2 v dx 2 e 2 dx 2 = F2 I dX I + F2 II dX II = x 2,I dX I + x 2,II dX II
L形式 形式: 形式
B XⅢ
v ∂r v v dr = dX K R ∂X K O v ∂ ( xi ei ) XⅠ dX K = ∂X K v v v ∂ xi ei E K = • d X M EM ∂X K
v dR P
XⅡ
v dr
p
v r
b(t)
(
) (
)
∂x i FiK = ∂X K
v v v v dr = ( x∇ X ) • dR
同理: 同理
2 E IJ = U I , J + U J , I + U M , I U M , J 2e ij = ui , j + u j ,i − um ,i um , j
v v 是同一个矢量。 注：U与u是同一个矢量。
讨论： 讨论：
v v (dr )2 = dr • dr = δ ij dxi dx j
1ˆ ˆ ˆ e= I − F −1 2
( )
T
ˆ • F −1
1 ˆ ˆ = I −c 2
[
]
ˆ 应变张量， ˆ 变形张量。 称e为Euler应变张量， c为Cauchy变形张量。
应变张 量与位 移关系: 移关系
v v ˆ ˆ ˆ v = x∇ v − I = F − I U∇ X X v ˆ = U∇ v + I ˆ F X
∂x i ∂x i v v dr( 1) • dr( 2 ) = dX 1 dX 2 = C12 dX 1 dX 2 ∂X 1 ∂X 2
∴ dr( 1) dr( 2 ) cos θ = C12 dX 1 dX 2
而dr( 1) = C11 dX 1 , dr( 2 ) = C 22 dX 2 ∴ cos θ = C12 C11 C 22 = 2 E12 2 E11 + 1 2 E 22 + 1
v dX I I E I I
XⅡ v dX XⅠ
v dx
v ˆ ⋅ dX F II
v dX I E I
v ˆ ⋅ dX F I
x1
v dx 1 e 1
分析剪切变形(两坐标架重叠 两坐标架重叠) 例2. 分析剪切变形 两坐标架重叠 x1 = X I + bt , x 2 = X II , x 3 = X III
v 使得dX沿三个方向分别伸长 µ i 倍。
ˆ 是正交张量， 旋转。 而R是正交张量，只是使之 旋转。
分解方法： 分解方法： ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ F = R • U , F T = U • RT
ˆ ˆ ˆ ˆ C = FT • F = U2
ˆ 是对称正定的， C是对称正定的，可正交 变换为对角张量
一 般 情 况 下
∴ Λ ⋅ (Λ + 2) = 2 N I N J E IJ
v ˆ 、dR，即可计算 Λ。 给定E
2.主应变和主方向 主应变和主方向 下面寻找Λ的极值 下面寻找 的极值
Λ ⋅ (Λ + 2) = 2 N I N J E IJ
注:Λ(Λ+2)=(Λ+1)2-1，其极值即 极值 ，其极值即Λ极值
v v dX K Q NK = 为dR与E K 的方向余弦 dR
∴ N K N Lδ KL = 1
取泛函 φ ( N K ) = N K N L E KL + E (1 − δ KL N K N L )
其中E为Lagrange乘子 其中 为 乘子 极值条件为
dφ =0 dN K
即( E KL − Eδ KL )N L = 0
EKL为二阶实对称张量，故有三个主值与主方向 为二阶实对称张量，
3.变形梯度的极分解 变形梯度的极分解
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ F = R •U = V • R v v v v ˆ ˆ • U • dX ˆ ˆ • U • dX ˆ dx = F • dX = R =R
(
)
(
)
v U是正定张量，如果取坐 标轴为其主轴方向，则 是正定张量， 标轴为其主轴方向， v v v v v v v U = µ 1 E1 E 1 + µ 2 E 2 E 2 + µ 3 E 3 E 3 v v v v v U • dX = µ 1 dX 1 E1 + µ 2 dX 2 E 2 + µ 3 dX 3 E 3
其中b = b ( X II )
db 另记 2 tan β = ⋅t dX II
2 tan β 1 + 4 tan 2 β 0 0 0 1
解：
1 2 tan β {FiK } = 0 1 0 0
0 0 1
1 {C IJ } = 2 tan β 0
(dR ) 2 (dr )
2
v v = dR • dR = δ IJ dX I dX J v v = dr • dr = δ ij dx i dx j
(dr )
2
2
∂x i ∂x j = δ ij dX I dX J ∂X I ∂X J
2
(dr )
− (dR )
∂x i ∂x j = δ ij − δ IJ dX I dX J ∂X I ∂X J
v 2 ∀dX ≠ 0, (dr ) > 0
ˆ ∴ C对称正定
如果仅仅刚体旋转，不变形， 如果仅仅刚体旋转，不变形，则dR=dr，对应的 ， C必为单位张量。故C只与变形有关，与刚体转动无 必为单位张量。 只与变形有关， 而变形梯度与变形和刚体转动都有关。 关。而变形梯度与变形和刚体转动都有关。
§2-3 有限变形分析 1.线元长度的变化及微线元间夹角的变化 线元长度的变化及微线元间夹角的变化 v v v 设原E1方向的微线段为 dR = dX 1 E1
ˆ = 1 FT • F − I ˆ ˆ ˆ E 2 v ˆ T = ∇ vU + I ˆ F X
[
]
ˆ 1 ˆ ˆ ˆ E = FT • F − I 2
[
]
v v v v ˆ = 1 [∇U + U∇ + ∇U • U∇ ] E 2 ˆ e= 1 v v v v [∇u + u∇ − ∇u • u∇] 2
2 2
1 + sin β 1 − sin β λ1 = , λ2 = , λ3 = 1 cos β cos β
主方向
{P }
T IJ
cos β 2(1 + sin β ) − cos β = 2(1 − sin β ) 0
E形式 形式: 形式
(dR )
2
= δ IJ
∂X I ∂X J dx i dx j ∂x i ∂x j
(dr )
2
− (dR )
2
∂X I ∂X J = δ ij − δ IJ dx i dx j ∂x i ∂x j
1 ∂X I ∂X J e ij = δ ij − δ IJ 2 ∂x i ∂x j
∂x i ∂x i dX I dX J = ∂X I ∂X J
= C IJ dX I dX J
C12 C 22 C 32
v v ˆ • dX = dX • C
= (dX 1
dX 2
C11 dX 3 ) C 21 C 31
C13 dX 1 C 23 dX 2 C 33 dX 3
diag[λ1
ˆ ˆ ˆ λ2 λ3 ] = P • C • P T
ˆ λ2 λ3 ] • P
ˆ 的主值， ˆ λi为C的主值， P的第i行是对应的（单位）主 方向。 行是对应的（单位） 方向。 ˆ ˆ C = P T • diag [λ1
ˆ ˆ ∴ U = P T • diag λ1 ˆ ∴U
−1
dr − dR 记Λ = dR
v v dX K NK = 为dR与E K 的方向余弦 dR
dr − dR dr − dR + 2dR = ⋅ dR dR
= Λ ⋅ (Λ + 2)
(dr )2 − (dR )2 由 (dR )2
(dr )2 − (dR )2 且 (dR )2
2 E IJ dX I dX J = dR ⋅ dR
记E IJ
1 ∂x i ∂x j = δ ij − δ IJ 2 ∂X I ∂X J
E IJ
1 ∂x i ∂x j = δ ij − δ IJ 2 ∂X I ∂X J
v v ˆ = 1 δ ∂x i ∂x j − δ E E E IJ I J ij 2 ∂X I ∂X J
而E IJ
1 = [C IJ − δ IJ ] 2
小变形时即E 小变形时即 11
v v dR( 1) = dX 1 E1
v v dR( 2 ) = dX 2 E 2
∂x i v v v dr( 1) = dx i e i = dX 1 e i ∂X 1
∂x j v v v dr( 2 ) = dx j e j = dX 2 e j ∂X 2 微 线 元 间 夹 角