关于单位载荷法解静不定结构位移的讨论

关于单位载荷法解静不定结构位移的讨论

(Discussion on using single load method calculating statically indeterminate structures

displacement)

胡伟平(HU Weiping) 孟庆春(MENG Qingchun) 北京航空航天大学航空科学与工程学院固体力学研究所508教研室，北京 100083 (508 division, Institute of Solid Mechanics, School of Aeronautics science and Engineering, BeiHang University, Beijing 100083)

摘要：本文从虚功原理的要求和静不定结构的受力特点出发，指出将单位力加在静定基上的本质是构造了原结构的静力许可场，从而论证了“在静定基上加单位力来求静不定结构位移”这一方法的正确性，并讨论了两个有趣的问题。

关键词：虚功原理，单位载荷法，静不定结构。

一、问题的提出

在材料力学中，单位载荷法是解静不定问题的一个常用而有效的方法。在解出多余约束反力从而确定结构内力之后，为求静不定结构的位移，最直接的做法是在原结构上施加单位力，得到单位载荷状态下的内力，计算得到位移。该解法是单位载荷法的直接应用，很好理解，但需解静不定才能得到单位状态的内力。因此，如果所求位移不是实际载荷的相应位移，通常的作法是在原静不定结构的静定基（基本系统）上施加欲求位移对应的单位力，得到单位载荷状态进行计算，比如材料力学教材[1,2]就是如此处理的。很明显，该单位载荷状态下内力的确定是静定问题，求解简单；但是单位力并非加在原结构上，而是加在其静定基上，即拆除了原静不定结构中的一部分约束，如何理解这一做法？一般的解释从相当系统说起，即将原问题看成在外载荷与多余反力共同作用下的静定问题，于是在与相当系统一致的静定基上施加单位力来求位移，就是很自然的了。这一解释是可以的，但很表面，且对有些情况下解释起来非常不便。比如，应用力法正则方程时，为求出单位力作用下的位移系数需选取不同的静定基，这些静定基与相当系统并不全一致。文献[3,4]试图对这一问题进行“一般性的数学证明”，取两个载荷状态：一是单位力加在原静不定结构上，二是将结构的多余约束反力加在静定基上。将这两个状态的内力与外力作为静力许可场，真实载荷引起的位移和应变为运动许可场，两次应用虚功原理并利用叠加原理，即可证明。这种做法非常麻烦，且对于内力外力非线性的情况不适用。

实际上，上述解法根本无需证明，只要从虚功原理的角度加以说明就可以非常简单地阐明解法的道理，且这一解释是本质上的。

二、虚功原理是单位载荷法的理论基础

单位载荷法以虚构的外力和内力作为结构的静力许可场，是由虚力原理（余虚功原理）引出的方法。在材料力学中，一般不介绍虚力原理，而是将真实位移和变形视为虚位移和虚变形、将单位外力及其引起的内力作为结构的外力和内力，根据虚功原理，导出了单位载荷法的表达。因此说，单位载荷法的理论基础是虚功原理。

虚功原理的要求：1）结构的外力与内力满足平衡方程和静力边界条件，是结构的静力许可场；2）虚位移和虚变形满足结构的变形协调方程和位移边界条件，是结构的运动许可场。至于静力许可场和运动许可场之间的关系，虚功原理没有提出任何要求。这一点是应用单位载荷法是要把握的实质，即所构造的单位载荷状态与实际载荷状态可以没有任何关系，只要是原结构的静力许可场即可。

三、单位载荷状态与静力许可场

在静定结构与静不定结构上施加单位力，构造结构的单位载荷状态，单位力和其引起的内力自然是原结构的静力许可场。对于静不定结构，在其静定基上施加单位力，单位力和其引起的内力是否原结构的静力许可场？我们来看如图一所示简单静不定桁架，各杆刚度EA 相同，1、2杆长为，3杆与1、2杆夹角45º，求A 点铅垂位移。

l

图1 简单静不定桁架

图3 单位载荷状态二

首先在原结构上施加单位力，构造单位载荷状态如图2所示。设三杆轴力均为正，其有效平衡方程为

1323cos 450

sin 451N N +°=+°=

该方程组中未知力数目大于有效方程数，解答有无限多组，亦即与外加单位力平衡的可能内力123,,N N N 有无限多种组合情况。若令30N =，则得120,1N N ==，这组内力与单位

外力自然是平衡的。其次，将三杆切开得到静定基，构造如图3所示的单位状态，其内力1230,1,0N N N ===，满足上述平衡方程。可见，将单位力直接加在静定基上，单位力和其引起的内力构成了原结构的静力许可场，自然可以应用单位载荷法确定原静不定结构的位移。

一般而言，静不定结构中存在多余约束和多余约束反力，使得未知力数大于有效平衡方程数。在静不定结构中施加单位外力，则所有内力与外力平衡。此时，令所有多余约束反力为零，则由平衡方程可以解出其它内力。这与去掉所有多余约束，将单位力加在静定基上所得到的单位载荷状态是相同的。因此，在静定基上加单位力求位移的方法，其本质是单位载荷状态给出了原结构的一个静力许可场，根据虚功原理所建立的单位载荷法表达式是正确的。

四、结论

本文从虚功原理的要求和静不定结构的受力特点出发，指出将单位力加在静定基上的本质是构造了原结构的静力许可场，从而论证了“在静定基上加单位力来求静不定结构位移”这一方法的正确性。根据本文的论述，可以从虚功原理的角度更好地理解单位载荷法的本质，为力法正则方程的应用打下基础。

参 考 文 献

[1] 单辉祖编著，材料力学，北京：高等教育出版社，1999

[2] 刘鸿文主编，材料力学，北京：高等教育出版社，1992

[3] 吴鹤华，静不定结构求位移的方法及其证明，力学与实践，1988，10(2):47-50

[4] 刘智，戴少度，张向同，关于静不定结构求位移的证明，力学与实践，1992，14(2):62