函数的奇偶性及其应用(答案版)

一、关于函数的奇偶性的定义：

定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：

（1）)()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；

（2）)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；

（3）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式： ()()0f x f x ±-=，

()1()

f x f x =±- 二、函数的奇偶性的几个性质：

（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称

（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称.

（3）若奇函数的定义域包含数0，则f （0）=0.

（4）奇函数对称区间上的单调性相同，偶函数对称区间上的单调性相反

（5）奇函数+奇函数=奇函数 偶函数+偶函数=偶函数

奇函数*奇函数=偶函数 偶函数*偶函数=偶函数 奇函数*偶函数=奇函数

三、函数的奇偶性的判断

利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，步骤如下：

（1） 首先确定函数的定义域，并判其定义域是否关于原点对称；

（2）确定f(－x)与f(x)的关系；

（3）作出相应结论：

1、判断下列函数的奇偶性

（1）()(f x x =- （2）22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩

(3)()f x =112

2-⋅-x x (4)()33f x x =+- (5)f(x)＝2-x +x -2 解：（1）由101x x

+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数 （2）当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，

当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，

综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数

（3）∴f(x)是偶函数.事实上函数的定义域为{-1，1}，将=

)(x f 1122-⋅-x x

化简得f(x)=0.∴f(x)既是偶函数，又是奇函数.

（4）奇函数 （5）此函数定义域为｛2｝，故f(x)是非奇非偶函数。

2、设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈，讨论()f x 的奇偶性；

解：（1）当0a =时，2()()||1()f x x x f x -=-+-+=，此时()f x 为偶函数；

当0a ≠时，2()1f a a =+，2()2||1f a a a -=++，∴()(),()(),f a f a f a f a -≠-≠-

此时函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数

3、二次函数c bx ax y ++=2是偶函数的条件是___________答案：0b =

四、奇偶函数的运用

（1）利用奇偶求解析式

1、已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时

，()(1

)f x x =，则()f x 的解析式

为

(10()(10x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩ 2、函数21()(,,)ax f x a b c N bx c

+=∈+是奇函数,(1)2,(2)3,f f =<求()f x 的解析式。 解：()f x 是奇函数，则 2221110ax ax ax c bx c bx c bx c

+++=-=⇒=-++--由(1)212f a b =+=得, 由2(2)30121

a f a a -<⇒<⇒-<<+ 又,0,1a N a ∈∴=. 当10,,.2

a b N ==∉时舍去 当a=1时,b=1。 所以211()x f x x x x +==+

3、函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()1f x x =-+，求当0x <时，()f x 的解析

式。

解：设0x <，则0x ->，()()11f x x x ∴-=--+=+

又()f x 是定义域为R 的奇函数，()()1f x f x x ∴-=-=+

∴当0x <时()1f x x =--

4、设()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1

f x

g x x +=-，求函数()f x ，()g x 的解析式. 解：()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，()(),()()f x f x g x g x ∴-=-=- 由1()()1

f x

g x x +=-………………（1） 用x -代换x ，得1()()1f x g x x -+-=

--……………………（2） [](1)(2)2+÷，得21()1f x x =-

[](1)(2)2-÷，得2()1x

g x x =-

（2）利用奇偶性求函数值

1、设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x+b(b 为常数)，则f(-1)=（ ）

(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3

2、已知8)(3

5-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f 。

解：设8)()(+=x f x F ，则bx ax x x F ++=35)(为奇函数，

于是有()()F x F x -=-，从而有()8[()8]f x f x -+=-+，即：16)()(-=+-x f x f 。

令2=x ，得16)2()2(-=+-f f ，又10)2(=-f ，故261016)2(-=--=f 。

（3）利用奇偶性比较大小

1、已知偶函数)(x f 在()0,∞-上为减函数，比较)5(-f ，)1(f ，)3(f 的大小。

解： 偶函数)(x f 在()0,∞-上为减函数， ∴)(x f 在()+∞,0上为增函数,又135>> ，∴)1()3()5(f f f >>

又(5)(5)f f =-，(5)(3)(1)f f f ∴->>。

2、设函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞为减函数，则(2),(),(3)f f f π--的大小顺序

（4）、利用奇偶性讨论函数的单调性

1、若3)3()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，讨论函数)(x f 的单调区间。

解：()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，即22(2)(3)3(2)(3)3k x k x k x k x ---+=-+-+，

3k ∴=，2()3f x x ∴=+，()f x ∴在[0,)+∞上为增函数，在(),0-∞上为减函数。

2、已知函数()f x 是奇函数，其定义域为(1,1)-，且在[0,1)上为增函数.若(2)(32)0f a f a -+-<，试

求a 的取值范围.

解： (2)(32)0f a f a -+-<，(2)(32)f a f a ∴-<--

又()f x 为奇函数，(2)(23)f a f a ∴-<-

又()f x 在[0,1)上为增函数，∴()f x 在(1,1)-上为增函数

2231211231a a a a -<-⎧⎪∴-<-<⎨⎪-<-<⎩ 即11312a a a >⎧⎪<<⎨⎪<<⎩

12a ∴<<

3、已知函数()f x 是定义在(1,1)-上的奇函数，且()f x 在(1,1)-上是减函数，解不等式

(1)(12)0f x f x -+-<.

解：()f x 是定义在(1,1)-上的奇函数

∴由(1)(12)0f x f x -+-<得(1)(12)f x f x -<--，即(1)(21)f x f x -<-

又()f x 在(1,1)-上是减函数， 1111211121x x x x -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪->-⎩

解得203x << ∴不等式(1)(12)0f x f x -+-<的解集为2

(0,)3

.