第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
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工程力学(范钦珊-蒋永莉-税国双-著)-清华大学出版社.pdf
工程力学——课后练习题讲解教师张建平第一章静力学基础课后习题：1. P32习题1-12. P32习题1-23. P33习题1-8图a和b所示分别为正交坐标系Ox解：图（）：F分力：图与解图，两种情形下受力不同，二者的1-2a解图示压路机的碾子可以在推力或拉力作用下滚过）：θ解图第二章力系的简化课后习题：1. P43习题2-12. P43习题2-23. P44习题2-4由作用线处于同一平面内的两个力F和习题图所示一平面力系对A(30)，B(0，图示的结构中，各构件的自重都略去不计。
1图2-4解习题）中的梁∑0,F0,1m习题3-3图解：根据习题3-3第三章附加习题课后习题：1. P69习题3-52. P69习题3-63. P70习题3-74. P71习题3-135. P71习题3-143-14 图示为凸轮顶杆机构，在凸轮上作用有力偶，其力偶矩确定下列结构中螺栓的指定截面Ⅰ－Ⅰ上的内力分量，，产生轴向拉伸变形。
，产生剪切变形。
如习题4-2图所示直杆A、C、B在两端A、B处固定，在C解：首先分析知，该问题属于超静定问题，受力图如图所示：试用截面法计算图示杆件各段的轴力，并画轴力图，单解：(a)题题－3一端固定另一端自由的圆轴承受四个外力偶作用，如5-3解：将轴划分为四个截面扭矩平衡方程im m 扭矩平衡方程+m3-3扭矩平衡方程5-5 试写出图中所示各梁的剪力方程、弯矩方程图3建立坐标系并确定两个控制面，如图左侧为研究对象：−=）取根据力平衡方程和弯矩平衡方程得出4ql弯矩方程：1解建立坐标系，并取两个控制面，如图ql ql1Q。
清华出版社工程力学答案-第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
解得 AC 杆轴力大小为： FNAC = −21.2kN(压)
∑ Fx = 0 ， FNAC cos 45D + FNAD = 0
解得 AD 杆轴力大小为： FNAD = 15kN(拉)
2. 强度条件
拉杆：
AAD
=
FNAD [σ ]+
=
15 ×103 120 ×10−6
= 125mm2
压杆：
AAC
=
2. 钢杆的伸长量：
ΔlBC
=
FPlBC Es As
=
60×103 × 2.1 200×109 × π ×152 ×10−6
= 3.565mm
4
3. 钢杆 C 端向下移动的距离： uC = ΔlAB + ΔlBC = 0.935 + 3.565 = 4.50 mm
6－3 螺旋压紧装置如图所示。现已知工件所受的压紧力为 F＝4 kN。装置中旋紧螺栓
10
习题 6－10 图
解：1．活塞杆 受到的轴力为：
FN
=
pA
=
p
⎡π ⎢ ⎣
(
D
2− 4
d2)⎤ ⎥ ⎦
=
⎡π 2.5⎢
⎣
(5602 − 4
1002
)
⎤ ⎥ ⎦
=
596.12kN
活塞杆的正应力： σ = FN = 596.12 ×103 = 75.9MPa A杆 π ×1002 / 4
工作安全系数： n = σ s = 300 = 3.95 σ 75.9
弹性模量E和泊松比ν 。
l0
b
解：１．计算弹性模量E
h 习题 6－11 图
11
εx
=
∑ Fx = 0 ， FNAC cos 45D + FNAD = 0
解得 AD 杆轴力大小为： FNAD = 15kN(拉)
2. 强度条件
拉杆：
AAD
=
FNAD [σ ]+
=
15 ×103 120 ×10−6
= 125mm2
压杆：
AAC
=
2. 钢杆的伸长量：
ΔlBC
=
FPlBC Es As
=
60×103 × 2.1 200×109 × π ×152 ×10−6
= 3.565mm
4
3. 钢杆 C 端向下移动的距离： uC = ΔlAB + ΔlBC = 0.935 + 3.565 = 4.50 mm
6－3 螺旋压紧装置如图所示。现已知工件所受的压紧力为 F＝4 kN。装置中旋紧螺栓
10
习题 6－10 图
解：1．活塞杆 受到的轴力为：
FN
=
pA
=
p
⎡π ⎢ ⎣
(
D
2− 4
d2)⎤ ⎥ ⎦
=
⎡π 2.5⎢
⎣
(5602 − 4
1002
)
⎤ ⎥ ⎦
=
596.12kN
活塞杆的正应力： σ = FN = 596.12 ×103 = 75.9MPa A杆 π ×1002 / 4
工作安全系数： n = σ s = 300 = 3.95 σ 75.9
弹性模量E和泊松比ν 。
l0
b
解：１．计算弹性模量E
h 习题 6－11 图
11
εx
=
杆件的轴向拉压变形及具体强度计算
目录
——横截面上的应力
目录
FN
A
——横截面上的应力
该式为横截面上的正应力σ计 算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
根据杆件变形的平面假设和材料均匀连续性假设 可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂 直于横截面。所以，横截面的正应力σ计算公式为：
目录
• 拉(压)杆横截面上的应力
3、强化阶段ce（恢复抵抗 变形的能力）
o
b — 强度极限 4、局部径缩阶段ef
明显的四个阶段
1、弹性阶段ob E
P — 比例极限 e — 弹性极限
E tan
目录
材料拉伸时的两个塑性指标
0
两个塑性指标:
断后伸长率 l1 l0 100 % 断面收缩率 A0 A1 100 %
bt
o
σbt—拉伸强度极限（约为140MPa）。它是 衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。
目录
7、材料压缩时的力学性质
试 件 和 实 验 条 件
§2-5
常 温 、 静 载
目录
8、塑性材料压缩时的力学性质
塑
性
材
料
（
低
碳
钢
）
的
压
缩 p — 比例极限 e — 弹性极限
拉伸与压缩在屈服 阶段以前完全相同。
目录
四川彩虹桥坍塌
目录
美 国 纽 约 马 尔 克 大 桥 坍 塌
目录
杆件的基本变形： 拉（压）、剪切、扭转、弯曲
拉压变形
剪切变形
目录
扭转变形
弯曲变形
目录
二、杆件的轴向拉压变形分析
——横截面上的应力
目录
FN
A
——横截面上的应力
该式为横截面上的正应力σ计 算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
根据杆件变形的平面假设和材料均匀连续性假设 可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂 直于横截面。所以，横截面的正应力σ计算公式为：
目录
• 拉(压)杆横截面上的应力
3、强化阶段ce（恢复抵抗 变形的能力）
o
b — 强度极限 4、局部径缩阶段ef
明显的四个阶段
1、弹性阶段ob E
P — 比例极限 e — 弹性极限
E tan
目录
材料拉伸时的两个塑性指标
0
两个塑性指标:
断后伸长率 l1 l0 100 % 断面收缩率 A0 A1 100 %
bt
o
σbt—拉伸强度极限（约为140MPa）。它是 衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。
目录
7、材料压缩时的力学性质
试 件 和 实 验 条 件
§2-5
常 温 、 静 载
目录
8、塑性材料压缩时的力学性质
塑
性
材
料
（
低
碳
钢
）
的
压
缩 p — 比例极限 e — 弹性极限
拉伸与压缩在屈服 阶段以前完全相同。
目录
四川彩虹桥坍塌
目录
美 国 纽 约 马 尔 克 大 桥 坍 塌
目录
杆件的基本变形： 拉（压）、剪切、扭转、弯曲
拉压变形
剪切变形
目录
扭转变形
弯曲变形
目录
二、杆件的轴向拉压变形分析
工程力学(材料力学)6拉压杆件的强度与变形问题
机械制造中的拉压杆件
机械制造中的拉压杆件主要用于 实现运动传递、力的传递和变形 等，如连杆、活塞杆、传动轴等。
这些杆件需要在高速、高温、重 载等极端条件下工作，因此需要 具备优异的力学性能和耐久性。
在机械制造中，拉压杆件的设计 和制造需要精确控制尺寸、形状 和材料，以确保其工作性能和可
靠பைடு நூலகம்。
其他工程领域中的拉压杆件
总结词
新型材料如碳纤维复合材料、钛合金等具有高强度、轻质等优点，在拉压杆件中得到广 泛应用。
详细描述
随着科技的不断发展，新型材料如碳纤维复合材料、钛合金等逐渐应用于拉压杆件的制 作。这些新型材料具有高强度、轻质、耐腐蚀等优点，能够提高杆件的力学性能和使用
寿命。
高性能的拉压杆件设计
总结词
通过优化设计，可以显著提高拉压杆件的性能。
刚度分析
对杆件的刚度进行分析， 可以确定其变形程度和承 载能力，为结构设计提供 依据。
拉压杆件的稳定性问题
稳定性定义
01
稳定性是指杆件在受到载荷作用时，保持其平衡状态的能力。
稳定性分析
02
通过稳定性分析，可以确定杆件在受到载荷作用时是否会发生
失稳现象，以及失稳的临界载荷。
稳定性要求
03
在工程应用中，杆件的稳定性需要满足一定的要求，以保证结
强度失效准则
当拉压杆件内部的应力达到或超过材料的屈服极限时，杆件会发生屈服失效， 丧失承载能力。
拉压杆件的强度计算
静力分析
根据外力的大小和方向，以及杆件的几何尺寸和材料属性，计算杆件内部的应力 分布。
动力分析
考虑动载荷的影响，分析杆件在振动、冲击等动态过程中的应力变化。
拉压杆件的强度校核
拉压杆应力、变形分析
通过这些数学模型，可以计算出在给定外力作用下物体的应 力和变形，从而对物体的力学性能进行评估。
应力与变形的实验验证
为了验证应力与变形的数学模型的正确性和可靠性，需要 进行实验验证。
实验中，可以通过测量物体的应力和变形数据，与数学模 型计算结果进行对比，以评估模型的准确性和适用范围。
05 拉压杆的优化设计
实验结果表明，拉压杆的应力分布不均匀，呈现 中间大、两端小的趋势。变形则表现为杆件中部 向下弯曲，两端向上翘起。
本研究采用有限元分析方法对拉压杆进行应力、 变形分析，得到了与实验结果较为一致的分析结 果，验证了有限元方法的可行性和有效性。
研究展望
虽然本研究取得了一定的成 果，但仍有许多问题需要进 一步探讨。例如，可以考虑 研究不同材料属性、不同截 面形状和不同边界条件等因 素对拉压杆应力、变形的影 响。
基于应力的优化设计
总结词
在基于应力的优化设计中，主要目标 是减小拉压杆的最大应力值，使其不 超过材料的许用应力。
详细描述
通过调整拉压杆的截面尺寸、长度、 材料等参数，可以改变其应力分布和 大小。常用的方法包括有限元分析和 数学优化算法。
基于变形的优化设计
总结词
基于变形的优化设计旨在减小拉压杆 的最大变形量，以确保其在工作过程 中具有良好的性能和精度。
根据应力的性质，可分为 拉应力和压应力；根据应 力的分布，可分为均匀应 力和非均匀应力。
应力状态
描述杆件内部各点的应力 状态，包括正应力和剪应 力。
拉压杆应力计算
轴向拉压杆
通过材料力学中的胡克定律计算拉压 杆的应力。
弯曲梁
扭转变形
利用扭矩和剪切模量计算扭转变形的 应力。
利用弯矩和剪力计算弯曲梁的应力。
工程力学课件-第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计-1
关于加力点附近区域的应力分布
当杆端承受集中载荷或其它非均匀分布载荷时，杆件并非所有横截面都 能保持平面，从而产生均匀的轴向变形。这种情形下，上述正应力公式不是 对杆件上的所有横截面都适用。
圣维南原理（Saint-Venant principle）：
如果杆端两种外加力静力学等效，则距离加力 点稍远处，静力学等效对应力分布的影响很小，可 以忽略不计。
对等截面直杆，最大工作应力必定发生在最大轴力 所在的横截面上；而对阶梯状直杆，还要视横截面尺寸 并通过计算、比较才能确定。
结论与讨论
拉、压杆横截面上正应力的计算公式
FN A ，
是在变形符合平面假设和材料均匀连续的基础上导出的，
也就是在横截面上的正应力处处相等的条件下才可应用。
• 对变截面杆，横截面上的正 应力并非处处相等，但当横截 面沿杆长的变化比较平缓时， 一般仍可应用。 • 横截面上法向分布内力的合力 通过形心，但横截面上的正应力 却不一定处处相等。
CD
说明：
LCD 5 10 5 4 2 . 5 10 LCD 200 10 3
（1）若求得杆段的轴向变形为正，则该杆段伸长； 反之，该杆段缩短。 如：AB段伸长，BC段缩短，整个杆也是缩短的。
（2）杆段的轴向变形也就是该杆段两个端截面之间 的相对轴向位移。
LAB AB 3.75 10 m （相互离开） 5 LBC BC 1.25 10 m （相互靠拢）
思考： 如何求某截面的绝对轴向位移？
5
D L AD A
L 0.025 mm ( )
A
B
C
D
拉压杆的强度设计
一、强度破坏形式
b点是弹性阶段的最高点。
工程力学课件(华中科技大学)
150mm 铝撑套 钢螺栓
∆ δS δL
FNL FNS
10
3)力与变形的关系 由线弹性关系有： ) 由线弹性关系有： F F δS=FNSL/ESAS, δL=FNLL/ELAL, 注意到(1)式，由(2)、(3)式有： 注意到 式 、 式有： 式有 FL(1/ESAS+1/ELAL)=∆=0.25mm ∆ 单位系， 用(N、mm、MPa)单位系，可解得： 、 、 单位系 可解得： F=21236 (N)=21.2 (kN)
W +
G
FN
∫
x 0
ห้องสมุดไป่ตู้
γπ r x2 dx = σ 0 π r x2
12
γπr γπ x2=2σ0πrxdrx/dx σ
上式即为： 上式即为： dx=(2σ0/γrx)drx σ γ 积分， 从x=0, rx=r0；到x=x, rx=rx积分， 得到： 得到： 2σ 0 rx
x=
W
r0 rx
o x h
危险截面：
工作应力σ 工作应力σ大、许用应力[σ]小的截面。 许用应力[ 小的截面。 截面 危险截面满足强度条件。 处处满足强度条件 危险截面满足强度条件。 段为钢制， 和 如：杆AB段为钢制，BC和 段为钢制 CD为铜制。轴力如图。 为铜制。 为铜制 轴力如图。 AB段：轴力最大，σAB大； 段 轴力最大，
例6.4 试设计顶端承重W的等强度圆柱。 r0 试设计顶端承重W的等强度圆柱。 等强度设计：构件各截面应力相等。 等强度设计：构件各截面应力相等。 解：在x=0处，截面半径为 0, 压应力为 处 截面半径为r W=σ0πr02. σ0=W/πr02. 或 π σ 距顶端x 半径为r 截面内力为： 距顶端x处，半径为rx, 截面内力为：
∆ δS δL
FNL FNS
10
3)力与变形的关系 由线弹性关系有： ) 由线弹性关系有： F F δS=FNSL/ESAS, δL=FNLL/ELAL, 注意到(1)式，由(2)、(3)式有： 注意到 式 、 式有： 式有 FL(1/ESAS+1/ELAL)=∆=0.25mm ∆ 单位系， 用(N、mm、MPa)单位系，可解得： 、 、 单位系 可解得： F=21236 (N)=21.2 (kN)
W +
G
FN
∫
x 0
ห้องสมุดไป่ตู้
γπ r x2 dx = σ 0 π r x2
12
γπr γπ x2=2σ0πrxdrx/dx σ
上式即为： 上式即为： dx=(2σ0/γrx)drx σ γ 积分， 从x=0, rx=r0；到x=x, rx=rx积分， 得到： 得到： 2σ 0 rx
x=
W
r0 rx
o x h
危险截面：
工作应力σ 工作应力σ大、许用应力[σ]小的截面。 许用应力[ 小的截面。 截面 危险截面满足强度条件。 处处满足强度条件 危险截面满足强度条件。 段为钢制， 和 如：杆AB段为钢制，BC和 段为钢制 CD为铜制。轴力如图。 为铜制。 为铜制 轴力如图。 AB段：轴力最大，σAB大； 段 轴力最大，
例6.4 试设计顶端承重W的等强度圆柱。 r0 试设计顶端承重W的等强度圆柱。 等强度设计：构件各截面应力相等。 等强度设计：构件各截面应力相等。 解：在x=0处，截面半径为 0, 压应力为 处 截面半径为r W=σ0πr02. σ0=W/πr02. 或 π σ 距顶端x 半径为r 截面内力为： 距顶端x处，半径为rx, 截面内力为：
第六章拉压杆件的应力变形分析与强度设计xin
B
C
P3
x
N1 P 1 20KN
压应力 P3
N1 20 1000N 2 1 25 N / m m 25MPa 2 A1 20 40m m
N2 P3 0
N2 P3 60KN
N2
N2 2 75MPa 压应力 17 A2
11
3、斜截面上最大应力值的确定
由上述分析可知，杆件受拉或压时，横截面上只有正应 力；斜截面上既有正应力又有剪应力。而且，对于不同 倾角的斜截面，其上正应力和剪应力各不相同。
cos ,
2
2
sin 2
F
FN
x
( 1 ) max :
0,
max
(1) 轴向拉压杆，即外力的合力作用线与杆件 的轴线重合。 (2) 只适用于离杆件受力区域稍远处的横截面。 关于加力点附近区域的应力分布和应力集中的概 念详见教材P118。
(3) 横截面沿轴线变化，但变化缓慢，外力作用线与轴线 重合，如图所示。 (4) 也适用于阶梯杆，但要分段求。
9
三、轴向拉压杆任意斜截面上应力
5
拉伸
横向线——仍为平行的直线，且间距增大。
纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。
6
压缩
横向线——仍为平行的直线，且间距减小。
纵向线——仍为平行的直线，且间距增大。
7
4、应力的分布规律——应力沿横截面均匀分布
5、应力的计算公式：
F
FN
A FN
FN A
N N 单位 2 Pa ， 2 MPa mm m
N1 F1 20 1 200MPa A1 A1 100
第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
第6章拉压杆件的应力变形分析与强度设计工程力学学习指导第6章拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.1 学习要求与学习目标1. 知道并且能够记住杆件拉伸或压缩时：1) 横截面上的轴力与轴力图；2) 横截面上的正应力；3) 斜截面上的应力；4) 伸长与缩短变形。
2. 掌握并能正确应用拉伸和压缩时杆件横截面上正应力的计算公式。
3. 掌握并能正确应用拉伸和压缩时杆件的变形计算公式。
4. 正确理解并掌握拉伸和压缩时，杆件的强度设计准则，正确应用强度设计准则解决三类强度设计问题。
5. 正确理解拉伸与压缩超静定问题的概念，会应用平衡、变形协调和物性关系求解简单的超静定问题。
6.2理 论 要 点6.2.1拉伸与压缩杆件的应力与变形1. 应力计算当外力沿着杆件的轴线作用时，其横截面上只有轴力一个内力分量——轴力F N。
与轴力相对应，杆件横截面上将只有正应力。
在很多情形下，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长或缩短变形，因此，根据材料均匀性的假定，杆件横截面上的应力为均匀分布，如图6-3所示。
这时横截面上的正应力为AF N =σ 式中，F N 为横截面上的轴力，由截面法求得；A 为横截面面积。
2. 变形计算(1) 绝对变形 弹性模量设一长度为l 、横截面面积为A 的等截面直杆，承受轴向载荷后，其长度变为l 十Δl ，其中Δl 为杆的伸长量(图6-1a)。
试验结果表明：如果所施加的载荷使杆件的变形处于弹性范围内，杆的伸长量Δl 与杆所承受的轴向载荷成正比，如图6-1b 所示。
写成关系式为EAl F l N Δ±= 这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的胡克定律。
其中，F N 为杆横截面上的轴力，当杆件只在两端承受轴向载荷F P 作用时，F N ＝F P ；E 为杆材料的弹性模量，它与正应力具有相同的单位；EA 称为杆件的拉伸（或压缩）刚度;式中“＋”号表示伸长变形；“-”号表示缩短变形。
当拉、压杆有两个以上的外力作用时，需要先画出轴力图，然后按上式分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量(或缩短量)，即()∑=i ii i EA l F l N Δ (2) 相对变形 正应变对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长量 Δl/l 表示轴向变形的程度，是这种情形下杆件的正应变，即El EA lF l l x x σε==N Δ＝ 需要指出的是，上述关于正应变的表达式只适用于杆件各处均匀变形的情形。
工程力学-第6章拉压杆件的应力变形分析
x
4、许可载荷
min 57.6kN F Fi min 57.6kN 176.7kN
目录
§6.4 应力集中的概念
常见的油孔、沟槽 等均有构件尺寸突变， 突变处将产生应力集中 现象。即
max K
理论应力 集中因数 1、形状尺寸的影响： 2、材料的影响： 应力集中对塑性材料的影 响不大；应力集中对脆性材料 的影响严重，应特别注意。
一 、安全因数和许用应力
FN 工作应力 A
极限应力
塑性材料 u （ S p 0.2）
脆性材料 u （ bt bc）
u
n
n —安全因数
s
ns
—许用应力
塑性材料的许用应力
脆性材料的许用应力
bt
nb
p 0.2 n s bc n b
圣 维 南 原 理
目录
如果杆端两种外加力静力学等效，则距离加力点稍远处，静力学等效对应力 分布的影响很小，可以忽略不计。这一思想最早是由法国科学家圣维南(SaintVenant，A.J.C.B.de)于1855年和1856年研究弹性力学问题时提出的。1885年布 森涅斯克(Boussinesq，J.V.)将这一思想加以推广，并称之为圣维南原理(SaintVenant principle)。
§6.2 失效、安全因数和强度计算
P103例题6-4
AC为50×50×5的等边角钢，AB为10 号槽钢，〔σ〕=120MPa。确定许可载荷F。
解：1、计算轴力（设斜杆为1杆，水平杆 为2杆）用截面法取节点A为研究对象 Fx 0 FN1 cos FN 2 0
《工程力学》第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
【例题4】螺纹内径d=15mm的螺栓，紧固时所承受的预紧力为 F=20kN。若已知螺栓的σ=150MPa，试校核螺栓的强度是否 安全。
解：（1）确定螺栓所受轴力 N=F=20kN
（2） 计算螺栓横截面上的正应力
N A
=
F πd 2
=
20 103 π 152
113.18MPa
4
4
（3）应用强度条件进行校核
2/55
6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形
承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的应用非常广泛。
紧固螺栓
斜拉桥钢缆
螺栓及活塞杆
3/55
6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形
➢应力计算 ➢变形计算
➢举例 ➢超静定问题
4/55
6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形——应力计算 ➢当外力沿杆件轴线作用时，其横截面上只有轴力， 及相对应的正应力； ➢根据均匀性假定，杆件横截面上的应力均匀分布。
=lAD lDE lEB lBC
i
= N lAD AD ＋ N lDE DE ＋ N lEB EB ＋ N lBC BC
Ec AAD Ec ADE Es AEB Es ABC
=- 120103 1000 100103 10102
- 60103 1000 100103 10102
-
60103 1000 210103 10102
10/55
6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形——变形计算
3、横向变形
➢实验结果表明，若在弹性范围内加载，轴向应变x与横向 应变y 之间存在下列关系：
y x
为材料的另一个弹性常数，称为泊松比，为无量纲量。
11/55
6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形——变形计算
杆件的应力与强度—杆件拉压时应力与强度(建筑力学)
轴向拉（压）杆的强度
2 强度计算
1. 校核强度 2. 设计截面
3. 确定许用载荷
轴向拉（压）杆的强度
【例2】
一直杆AB的受力情况如图（a）所示。直杆的横截面面积A=10 cm2，C点 的拉力为40 kN，D 点拉力为130 kN，材料的许用应力［σ］=160 MPa， 试校核杆的强度。
轴向拉（压）杆的强度
1.轴向拉（压）杆横截面上的应力计算； 2.轴向拉（压）杆的强度计算。
难点内容
1.轴向拉（压）杆件的强度计算； 2.根据已知条件判别轴向拉（压）杆的危险截面。
轴向拉（压）杆截面上的应力
轴向拉（压）杆横截面上应力的分布
轴向拉（压）杆截面上的应力
轴向拉（压）杆横截面上应力的分布特点
轴向拉（压）杆截面上的应力
【例2】 【解】 首先作出直杆AB的轴力图，如图5-27（b）所示。由于是等直杆， CD段的截面是产生最大内力的危险截面，因此由强度条件得：
故满足强度条件。
【例3】
轴向拉（压）杆的强度
图（a）所示为正方形截面阶梯形柱。 已知：材料的许用压应力［σ］=1.05 MPa，弹性模 量 E=3 GPa，荷载FP=60 kN，柱自重不计。试校核 该柱的强度。
轴向拉（压）杆的强度
1 极限应力
2 许应用力 3 安全因数
式中：
—— 许用应力 —— 极限应力 —— 安全因数
对塑性材料一般取：ns=1.4～1.7， 对脆性材料一般取：nb=2.5～5.0。
轴向拉（压）杆的强度
1 强度条件
对于等截面杆件：
式中，Fnmax 和 A 分别为危险截面上的轴力及其横截面面积。
杆件拉压时应力与强度
教学目标
知识目标
6拉伸与压缩 PPT课件
P1
N AC
0.575
20.9kN
N BC BC A 10kN 取 P 8.69kN
P2
N BC
1.15
8.69kN
韧性材料
A
C
30
P
脆性材料
B
拉、压杆的简单静不定问题
AB刚性梁，不计自重 求拉杆CD、BE的轴力 平面一般力系 三个独立方程 A
B
D
C
A
3
2
1
l1
N1l1 EA1
20103 100103 200109 250106
250
200
0.04103 m
100
0.04mm
l2
N3l3 EA3
0.179mm
N
20kN
l l1 l2 l3 0.139mm
x
2.
2
1
较高,则应如何选用这两种杆件?此时结构的许用载荷
P
解:
?
N
AC
BC
AC
s
0.575P(拉) N
240 120MPa
BC
n1b
2 300
100MPa
n2
3
1.15P(压) N AC
60
N BC
C
P
N AC AC A 12kN
抗拉与抗压性能 s拉 s压
E↓（80~160GPa)
5%
拉伸时无明显塑性变形 压缩时有明显塑性变形
b b拉 b压
拉伸 沿与轴45°方向出
6拉压内力和应力
力学精讲》，p15)。
9
10
图示结构， A、B、C为铰链连接，
A
求杆件AB、CB的应力。已知
F=20kN；AB为直径20mm的圆截面杆，
1 CB为15mm×15mm的方截面杆。
45° B
C
2F
FN1
y
FN 2 45° B x
F
解：1、计算各杆件的轴力。用 截面法取节点B为研究对象
Fx 0 Fy 0
向力FN后用式
s FN 求拉应力。 b
FN
FR 2
而
FR
π
( pb
d
d )s in
pbd
0
2
所以
s 1 ( pbd ) pd (2106 Pa)(0.2m)
b 2 2
2(510-3 m)
40106 Pa 40 MPa
14
§6-2 拉压杆的变形 胡克定律
纵向变形 ： 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
34
FN1
FN 2 α
y Ax
F
2、根据斜杆的强度，求许可载荷
查表得斜杆AC的面积为 A1=2×4.8cm2
FN1 s A1
F1
1 2
s
A1
1 2
120 106
2
4.8 104
57.6103 N 57.6kN
35
FN1
FN 2 α
3、根据水平杆的强度，求许可载荷
y Ax
F
查表得水平杆AB的面积为 A2=2×12.74cm2
29
F=1000kN，b=25mm，h=90mm，α=200 。
〔σ〕=120MPa。试校核斜杆的强度。
F
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B
D C
FP
图所示连接螺栓，内径d1＝15.3mm，被连接部分的总长度l＝ 54mm ， 拧 紧 时 螺 栓 AB 段 的 Δl=0.04mm ， 钢 的 弹 性 模 量 E=200GPa，泊松比μ=0.3。试求螺栓横截面上的正应力及螺栓 的横向变形。
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
式中负号表示：纵向伸长时横向缩短；纵向缩短时则横向伸长。
【例题6-1】如图所示之变截面直杆，已知：ADEB段杆的横截面 面积 AAB=10·102mm2，BC段杆的横截面面积ABC=5*102mm2； FP=60KN；铜的弹性模量EC=100MPa，钢的弹性量 EC=210MPa ； 各段长度如图，单位为mm。试求：
FP
FP
l l1 杆件的伸长量： l l1 l
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
实验表明：对于由结构钢等材料制成的拉杆，当横截面上 的σ≤σp时，不仅变形是弹性的，且存在
l Pl A
引入比例常数E，得到
l Pl FNl EA EA
胡克定律
E：弹性模量，材料拉伸或压缩时抵抗弹性变形的能力，实验测定
其值为Fmax。取AC为研究对象，在不计杆件自重及连接处的摩擦时
，受力分析如图 所示。
根据平衡方程
ΣMC=0， Fmax sin AC W AC 0
解得
Fmax
W
s in
由三角形ABC求出
sin BC 0.8 0.388
AB 0.82 1.92
故有
Fmax
Байду номын сангаас
W
sin
15 0.388
38.7 kN
的最大载荷？ B
D C
FP
一、强度设计准则、安全因数与许用应力
根据分析计算所得构件之应力，称为工作应力。 强度设计：指将杆件中的最大应力限制在允许的范围内，
以保证杆件正常工作，不仅不发生强度失效，而且还要具 有一定的安全裕度.
拉伸与压缩杆件的强度设计准则（强度条件）：
构件工作应力的最大容许值，必须低于材料的极限应力。
§6.2 拉伸与压缩杆件的强度设计
进行杆件应力和变形分析的目的：
分析已有或设想中的机器或结构，确定它们在特 定载荷条件下的性态。
设计新的机器或新的结构，使之安全而经济地实 现特定的功能。
1）在确定受力情况下，二杆分别选用什么材料来保证三角架 结构安全可靠地工作？
2）给定载荷和材料的情形下，如何判断结构是否安全可靠？ 3）给定杆件截面尺寸和材料的情形下，如何确定结构能承受
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
一、拉（压）杆件的应力计算
（1）、问题提出
根据轴力不能判断杆件是否有足够的强度。
P
P
P
P
拉杆强度的相关因素
轴力大小 杆件横截面面积
（2）横截面上的应力
拉（压）杆的横截面上，与轴力FN对应的应力只有正应力σ。 根据连续性假设，横截面上到处存在内力。
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
(2) 求应力 斜杆AB横截面正应力为
FN Fmax 38.7 103 N 123106 Pa 123MPa
A
A 202 106 m2
4
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
二、拉（压）杆的变形计算
（1）绝对变形与胡克定律
工程力学
第六章 拉压杆件的应力变形分析与 强度设计
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
§6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形
受力特点 受到等值、反向、作用线与轴线重合的外力作用 变形特点 杆件沿轴线方向伸长或缩短
拉压杆 轴向拉伸与压缩
工 程 实 例
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
max [ ]
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
[ ] 称为许用应力
[ ] 0
n
0 为材料的极限应力或危险应力，由材料的拉伸试
验确定，n为安全因数。
安全因数
➢过大，浪费材料，使构件笨重 ➢过小，不能保证安全，造成事故
EA：杆件的抗拉（压）刚度。
EA/l：杆件的线刚度或刚度系数，杆件产生单位变形所需的力。
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
当拉、压杆有两个以上的外力作用时，需要先画出轴力图， 然后分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的 总伸长量（或缩短量）
l
FNili
i (EA)i
（2）相对变形 正应变
FN AdA dA A Fp
A
a FN
FN
A
σ
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
简易旋臂式吊车如图 a)所示。斜杆AB为横截面直径d＝20 mm 的钢材，载荷W=15 kN。求当W移到A点时，斜杆AB横截面应 力(两杆的自重不计)。
解： (1) 受力分析 当W移到A点时，斜杆AB受到的拉力最大，设
1）直杆横截面上的绝对值最大的正应力。 2）直杆的总变形量。
1000
1000 1000
2FP
A
FP
D
铜
E 2FP
1500 FP
B
C
钢
【例题6-2】三角架结构尺寸及受力如图所示。其中FP=22.2KN；钢 杆BD的直径d1=25.4mm；钢梁CD的横截面面积 A2=2.32*103mm2。 试求杆BD与CD的横截面上的正应力。
横截面面积为A，微面积dA上
的微内力σdA 组成一垂直于横
截面的平行力系，其合力就是
A
轴力FN，为：
dA
FN
dA
A
平面假设
ac
FP
a'
c' FP
b'
d'
bd
平面假设：变形前原为平面的横截面在变形后仍为平面。
纵向纤维变形相等、力学性能相同，受力一样。
横截面上各点的σ相等，即正应力均匀分布，等于常量
FN dx
x
dx dx
EA(x) dx
x
E
表明：无论变形是均匀还是不均匀，正应力与正应变之间的 关系都是相同的。
（3）横向变形与泊松比
横向变形：杆件在垂直于杆件轴线方向产生的变形。
d1 d
F
F
l l1
试验结果表明：在弹性范围内加载，轴向应变与横向应变之
间存在如下关系： y v x
v 称为泊松比．为量纲一的量。
对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长量表示 轴向变形的程度，即正应变：
x
l l
l FNl EA
x
FN A
FN l
x
l l
EA l
x
E
公式适合于杆件各处均匀变形的情形。
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
对于各处变形不均匀的情形，则以微段dx的相对变形作为杆 件局部的变形程度．即：
D C
FP
图所示连接螺栓，内径d1＝15.3mm，被连接部分的总长度l＝ 54mm ， 拧 紧 时 螺 栓 AB 段 的 Δl=0.04mm ， 钢 的 弹 性 模 量 E=200GPa，泊松比μ=0.3。试求螺栓横截面上的正应力及螺栓 的横向变形。
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
式中负号表示：纵向伸长时横向缩短；纵向缩短时则横向伸长。
【例题6-1】如图所示之变截面直杆，已知：ADEB段杆的横截面 面积 AAB=10·102mm2，BC段杆的横截面面积ABC=5*102mm2； FP=60KN；铜的弹性模量EC=100MPa，钢的弹性量 EC=210MPa ； 各段长度如图，单位为mm。试求：
FP
FP
l l1 杆件的伸长量： l l1 l
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
实验表明：对于由结构钢等材料制成的拉杆，当横截面上 的σ≤σp时，不仅变形是弹性的，且存在
l Pl A
引入比例常数E，得到
l Pl FNl EA EA
胡克定律
E：弹性模量，材料拉伸或压缩时抵抗弹性变形的能力，实验测定
其值为Fmax。取AC为研究对象，在不计杆件自重及连接处的摩擦时
，受力分析如图 所示。
根据平衡方程
ΣMC=0， Fmax sin AC W AC 0
解得
Fmax
W
s in
由三角形ABC求出
sin BC 0.8 0.388
AB 0.82 1.92
故有
Fmax
Байду номын сангаас
W
sin
15 0.388
38.7 kN
的最大载荷？ B
D C
FP
一、强度设计准则、安全因数与许用应力
根据分析计算所得构件之应力，称为工作应力。 强度设计：指将杆件中的最大应力限制在允许的范围内，
以保证杆件正常工作，不仅不发生强度失效，而且还要具 有一定的安全裕度.
拉伸与压缩杆件的强度设计准则（强度条件）：
构件工作应力的最大容许值，必须低于材料的极限应力。
§6.2 拉伸与压缩杆件的强度设计
进行杆件应力和变形分析的目的：
分析已有或设想中的机器或结构，确定它们在特 定载荷条件下的性态。
设计新的机器或新的结构，使之安全而经济地实 现特定的功能。
1）在确定受力情况下，二杆分别选用什么材料来保证三角架 结构安全可靠地工作？
2）给定载荷和材料的情形下，如何判断结构是否安全可靠？ 3）给定杆件截面尺寸和材料的情形下，如何确定结构能承受
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
一、拉（压）杆件的应力计算
（1）、问题提出
根据轴力不能判断杆件是否有足够的强度。
P
P
P
P
拉杆强度的相关因素
轴力大小 杆件横截面面积
（2）横截面上的应力
拉（压）杆的横截面上，与轴力FN对应的应力只有正应力σ。 根据连续性假设，横截面上到处存在内力。
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
(2) 求应力 斜杆AB横截面正应力为
FN Fmax 38.7 103 N 123106 Pa 123MPa
A
A 202 106 m2
4
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
二、拉（压）杆的变形计算
（1）绝对变形与胡克定律
工程力学
第六章 拉压杆件的应力变形分析与 强度设计
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
§6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形
受力特点 受到等值、反向、作用线与轴线重合的外力作用 变形特点 杆件沿轴线方向伸长或缩短
拉压杆 轴向拉伸与压缩
工 程 实 例
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
max [ ]
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
[ ] 称为许用应力
[ ] 0
n
0 为材料的极限应力或危险应力，由材料的拉伸试
验确定，n为安全因数。
安全因数
➢过大，浪费材料，使构件笨重 ➢过小，不能保证安全，造成事故
EA：杆件的抗拉（压）刚度。
EA/l：杆件的线刚度或刚度系数，杆件产生单位变形所需的力。
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
当拉、压杆有两个以上的外力作用时，需要先画出轴力图， 然后分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的 总伸长量（或缩短量）
l
FNili
i (EA)i
（2）相对变形 正应变
FN AdA dA A Fp
A
a FN
FN
A
σ
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
简易旋臂式吊车如图 a)所示。斜杆AB为横截面直径d＝20 mm 的钢材，载荷W=15 kN。求当W移到A点时，斜杆AB横截面应 力(两杆的自重不计)。
解： (1) 受力分析 当W移到A点时，斜杆AB受到的拉力最大，设
1）直杆横截面上的绝对值最大的正应力。 2）直杆的总变形量。
1000
1000 1000
2FP
A
FP
D
铜
E 2FP
1500 FP
B
C
钢
【例题6-2】三角架结构尺寸及受力如图所示。其中FP=22.2KN；钢 杆BD的直径d1=25.4mm；钢梁CD的横截面面积 A2=2.32*103mm2。 试求杆BD与CD的横截面上的正应力。
横截面面积为A，微面积dA上
的微内力σdA 组成一垂直于横
截面的平行力系，其合力就是
A
轴力FN，为：
dA
FN
dA
A
平面假设
ac
FP
a'
c' FP
b'
d'
bd
平面假设：变形前原为平面的横截面在变形后仍为平面。
纵向纤维变形相等、力学性能相同，受力一样。
横截面上各点的σ相等，即正应力均匀分布，等于常量
FN dx
x
dx dx
EA(x) dx
x
E
表明：无论变形是均匀还是不均匀，正应力与正应变之间的 关系都是相同的。
（3）横向变形与泊松比
横向变形：杆件在垂直于杆件轴线方向产生的变形。
d1 d
F
F
l l1
试验结果表明：在弹性范围内加载，轴向应变与横向应变之
间存在如下关系： y v x
v 称为泊松比．为量纲一的量。
对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长量表示 轴向变形的程度，即正应变：
x
l l
l FNl EA
x
FN A
FN l
x
l l
EA l
x
E
公式适合于杆件各处均匀变形的情形。
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
对于各处变形不均匀的情形，则以微段dx的相对变形作为杆 件局部的变形程度．即：