轴向拉压杆应力
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由此可以认为：轴向受拉杆件横截面上任一点都受到且只受到平行于杆轴方向 （即与杆横截面正交方向，称为横截面法向或正向）的拉力作用，各点拉力 大小相等。即杆横截面实际上是受到连续均匀分布的正向拉力作用，这些分 布拉力的合力就是轴力。
轴向拉压杆横截面上的应力
分布内力的大小，用单位截面积上的内力值来度量，称为应力，它反映内力分布的密集程 度（分布集度）。由于内力是矢量，因而应力也是矢量，其方向就是分布内力的方向。
如果所产生的变形不会随外力的消失而消失，即无法恢复原状而残留下 来，则这种变形称为塑性变形。
通常，只要外力（或应力）不超过一定限度，材料的变形可保持为完全 弹性，称之为材料处于弹性状态。但若外力（或应力）超过了这个限 度，材料的变形中就既包含弹性变形又包含塑性变形。
二、胡克定律
实验表明，当等直杆段内轴力为常数时，只要杆件材料处于弹性状态（通常用正应力不 超与过杆某件一横限截值面σ积PA来成表反示比）：，则其伸缩变形量∆与轴力FN成正比，与杆段原长l成正比，
设杆件原长为l，变形后的长度为 l1，则杆件的纵向变形为
∆l= l1 -l ∆l为正时，表示拉伸量；为负时，表示压缩量。∆l的常用单位毫米（mm）。
∆l表示了杆件纵向的总变形量，但不能反映杆件的纵向变形程度。通常，对于长为
l的杆段，若纵向变形为∆l，则平均单位长度的纵向变形为
l
（10-4）
CD段 轴力为kN＝－80×103N，长度为m＝103mm，横截面积仍为mm2，弹性模量仍为GPa＝ 2×105N/mm2，故：
lCD
FN3 lCD EA1
80103 103 2105 706.86
0.6mm
DE段 轴力仍为kN＝－80×103N，长度，横截面积为mm2，弹性模量仍为GPa＝2×105N/mm2，
故:
lDE 全杆的纵向变形为：
FN 4 lDE EA2
80 103 103 2 105 900
0.4mm
l lAB lBC lCD lDE
=1.4＋1.0－0.6－0.4
=1.4mm（伸长） 结果为正，表明全杆总长增加了1.4mm。
在式（10-6）中，因为 FN / A ， l / l ，于是可得
利用式（10-7），例10-2的解法可变更如下：先计算出各段应变
AB
σ AB E
141 .47 2 10 5
7.07
σ BC
BC
E
99.03 2 10 5
4.95 10
4
CD
CD
E
113 .18 2 105
5.66 10 4
称之为杆段的平均线应变l ，用来描述杆件的纵向变形程度。
当l→0时，杆段成为一llim点0 ，ll所取极限值，称（为10该-5点）的线应变，用ε表示。即有
对于轴力为常数的等直杆段，各横截面处纵向变形程度相同，则平均线应变与各 点的线应变相同。
显然，杆件纵向线应变的正负与纵向变形∆l的正负是一致的，因此ε为正时表示拉 应变，为负时表示压应变。线应变ε是无量纲数，因此无单位，常用小数、百分 数或千分数来表示。
如图10-1d所示，设轴向受拉杆横截面上某点K周围的一个微小面积∆A上分布内力是∆FN ， 则应∆力A∆上FN的/∆平A也均与应截力面（垂即直内，力这的种平应均力分称布为集法度向）或为正∆F向N /应∆A力。，图简中称∆正FN应与力截，面用垂希直腊，字因母而 表示。∆A上的正应力用б表示，于是
lim N
l FN l A
引入比例系数E，则上述关系可写为
l FNl EA
（10-6）
这个规律最早由英国人胡克（R.Hooke）发现，故称为胡克定律。
保证这种比例关系成立的正应力上限值σP称为材料的比例极限，其值由试验测定，主要 由材料性质决定，因此是材料的一种力学性质参量。于是，胡克定律的适用条件可写 为σ≤σP 。
用橡胶棒制作一根等截面直杆，并在其表面均匀地画上一些与杆轴平行的纵线和 与之垂直的横线（图10-1a）。当在杆上施加轴向拉力后（图10-1b），可以 看到所有纵线都伸长了，且伸长量相等；所有横线仍保持与杆轴线垂直，但 间距增大了。
我们可以用这个模型解释观察到的等直杆轴向拉伸变形现象：等直杆在轴向拉力 作用下，所有纵向纤维都伸长了相同的量；所有横截面仍保持为平面且与杆 轴垂直（此即所谓的平截面假设），只不过相对离开了一定的距离。
第十章 轴向拉压杆应力和强度条件
第一节 轴向拉压杆横截面上的应力与应力集中 第二节 轴向拉压杆的变形及位移 第三节 土木工程中常用材料在拉伸和压缩时的力学性能 第四节 轴向拉压杆的强度条件及应用
第一节 轴向拉压杆横截面上的应力与应力集中
一、轴向拉压杆横截面上的应力
轴向拉压的等截面直杆（简称等直杆）轴力在横截面上是均匀分布的，且方向都 沿杆轴方向。
l AB
FN1l AB EA1
105 2 103 2 105 706 86
1.4mm
BC段量仍轴为力G为PkaN＝＝27×01×015N03/mN，m2长，度故为m＝2×103mm，横截面积仍为A1＝706.86mm2，弹性模 lBC FN 2 lBC 7 103 2 103 1.0mm EA1 2105 706.86
由于轴向拉压杆横截面上只有均匀分布的拉或压力，故横截面上各点只有正应力且大小相 等。设杆件横截面上轴力为，截面积为A，则横截面上任一点的正应力为
FN
A
（10-3）
轴力为拉力时，正应力为拉应力，σ取正号；为压力时，正应力为压应力，σ取负号。即正 应力取正号时为拉应力，取负号时为压应力。式（10-3）就是轴力对应的截面应力计 算公式。其适用条件是杆件横截面不变或变化缓慢，外力沿杆轴线。
实测表明，在被削弱横截面上，靠近“削弱”位置的正应力出现了局部急剧增大 的现象。这种因杆件横截面尺寸突然变化而引起杆件局部应力急剧增大的现 象，叫做应力集中。
杆件应力集中部位的纵向纤维拉或压变形程度要比没有应力集中处更大，更易破 坏，因而更危险。日常生活中，零售布料的工作人员先用剪刀在布匹上剪一 小口再撕布，就很易把布撕开，就是利用了应力集中的现象。
杆件横向线应变
同理，若杆件横截面原尺寸为h，变形后尺寸为h1，则杆件横向变形为 ∆h=h1-h
∆h为正时，表示杆件受压；为负时，表示杆件受拉。 杆件横向线应变为
h
h 显然，杆件受拉时ε′为负，受压时ε′为正，即横向线应变与纵向线应变恒
异号。
2．弹性变形与塑性变形概念
如前所述，杆件材料在外力作用下都要产生变形。如果材料在外力作用 下所产生的变形能随着外力的消失而消失，即能恢复原状，则这种变 形称为完全弹性变形，简称弹性变形。
FN 2 70 103 99.03N/mm2 99.03MPa（拉）
BC A1 706.86
CD段 轴力为FN3=-80kN，横截面积为A1=706.86mm2，故，
FN3 80103 113.18N / mm2 113.18MPa（压)
CD
A1
706.86
从式（10-6）可以看出，当为正（即拉力）时，亦为正，表明是拉伸变形；反之，当为 负值（计即算压，力而）在时结，果亦后为面负标， 明表是明拉是伸压还缩是变压形缩。。在应用式（10-6）时，也常取FN的绝对
例10-2 试计算“例10-1”中杆件的伸缩量。已知材料的弹性模量E=200GPa，AB=BC=2m， CD=DE=1m。
DE
再计算全杆变形
DE
E
88.89 2 105
4.44 10 4
l lAB lBC lCD lDE
l AB AB l BC BC BC l CD CD l DE DE
A0
FN A
（10-2）
应力的常用单位有牛顿/米2（N/m2，1N/m2称为1帕斯卡，简称1帕，代号Pa）。 几种单位间的换算关系为：
1千帕（kPa）＝103帕（Pa） 1兆帕（MPa）＝103千帕（kPa）＝106帕（Pa） 1吉帕（GPa）＝103兆帕（MPa）＝106千帕（kPa）＝109帕（Pa）
在离应力集中部位稍远的地方，则可认为杆件横截面上正应力又趋于均匀分布， 因而可用式（10-3）计算。
第二节 轴向拉压杆的变形及位移
一、轴向拉压杆的变形
1．轴向拉压杆变形的度量
轴向拉压杆的变形主要是纵向伸长或缩短。由实验不难发现，在杆件纵向伸长或 缩短的同时也伴随着横截面尺寸的缩小或增大，如图10-4所示。
DE段 轴力为FN3=-80kN 横截面积为A2=a2=900mm2，故
FN 4 80 103 88.89N / mm2 88.89MPa（压）
DE
A2
900
最大拉应力位于AB段，
全杆绝对最大正应力是AB段的拉应力
max
141 .47MPa
最大压应力位于CD段，
AB段 轴力为常数kN，横截面面积亦为常数：
A1 d 2 302 706.86mm2
4
4
故由式（10-3）知，各横截面上正应力相同，记为σAB：
FN1 100103 141.47N / mm2 141.47Pa（拉） AB A1 706.86
Fra Baidu bibliotek
BC段 同理，轴力为FN2=70kN，横截面积为A1=706.86mm2 ，故
解： AD段虽然是直径为30mm的圆形等直杆，但轴力却不是常数。故从轴力看应分成AB、BC
和CE分别计算变形值。但CE段轴力虽然是常数，却不是等截面直杆。其中CD段是圆形截面
例10-2 杆，DE段是方形截面杆，也应会别计算其变形值。所以，全杆应分四段计算。
AB段706轴.8力6m为mF2N，1=弹10性0k模N量＝E10=52N0，0G长P度a＝为2lA×B=120m5N＝/m2m×21，0故3m：m。在例10-1中已算得A1＝
标准轴向拉伸钢试件两端的夹持段比中部的工作段要粗，因此常将这一粗一细两 段的连接部位加工成平缓过渡形状，以避免出现应力集中。
杆件上应力集中部位附近一定范围内的杆件横截面上正应力呈非均匀分布。按理， 这些部位横截面上正应力的计算不能用式（10-3），而需要更高级的力学理 论来分析计算。因此，我们在计算时都应避开这些部位。不过，建筑力学并 不需要精确分析计算这些部位，所以也就常常不仔细区分。
比例系数E也是杆件材料的一种力学性质参量，称为材料的弹性模量。由式（10-6）知， 弹性模量E有量纲，其单位应与应力相同，常用单位有兆帕（MPa）、吉帕（GPa）。 通过试验测得常用材料的σP和E值见表10-1。
由式（10-6）知，轴力及原长相同的杆件，EA值越大，伸缩值越小；反之，越小，伸缩 值越大。EA值反映了杆件抵抗轴向拉压变形的能力，称为杆件的截面抗拉压刚度。
max
113.18MPa
max
| AB
| 141.47MPa
全杆绝对最小正应力是DE段的压应力
min
| DE
| 88.89MPa
二、应力集中
等直杆不论是受轴向拉力还是受轴向压力作用，其横截面上都只产生均匀分布的 正应力。当然前者是拉应力，后者是压应力。但是，若等直杆横截面有局部 削弱（如开槽，钻孔等），即使外力仍沿杆轴线作用，被削弱横截面上的正 应力也不再均匀分布，如图10-3所示。
例10-1 例10-1 计算图10-2所示轴向受力杆横截面上的应力，已知AD段横截面为圆形，直径d=30mm。DE段横截面 为方形，边长a=30mm。 解： 作出杆的轴力图如图10-2b所示。由图知，AB、BC段均受拉，CE段受压。但值得注意的是：CE段轴力
虽然是常数，但CD段与DE段横截面形状和面积都不一样，故应将CE段分成CD与DE两段分别计算。
E
（10-7）
这是胡克定律的应力－应变形式。它表明：只要正应力不超过材料的比
例极限σP，则杆件内任一点处的正应力与材料沿正应力方向的线应变 成正比，其比例系数就是材料的弹性模量。胡克定律的这种形式是针
对构件内一点而言，不针对杆段，故具有更普遍的适用价值，被广泛 应用于各种条件下受力构件内一点处的应力—应变分析中。
轴向拉压杆横截面上的应力
分布内力的大小，用单位截面积上的内力值来度量，称为应力，它反映内力分布的密集程 度（分布集度）。由于内力是矢量，因而应力也是矢量，其方向就是分布内力的方向。
如果所产生的变形不会随外力的消失而消失，即无法恢复原状而残留下 来，则这种变形称为塑性变形。
通常，只要外力（或应力）不超过一定限度，材料的变形可保持为完全 弹性，称之为材料处于弹性状态。但若外力（或应力）超过了这个限 度，材料的变形中就既包含弹性变形又包含塑性变形。
二、胡克定律
实验表明，当等直杆段内轴力为常数时，只要杆件材料处于弹性状态（通常用正应力不 超与过杆某件一横限截值面σ积PA来成表反示比）：，则其伸缩变形量∆与轴力FN成正比，与杆段原长l成正比，
设杆件原长为l，变形后的长度为 l1，则杆件的纵向变形为
∆l= l1 -l ∆l为正时，表示拉伸量；为负时，表示压缩量。∆l的常用单位毫米（mm）。
∆l表示了杆件纵向的总变形量，但不能反映杆件的纵向变形程度。通常，对于长为
l的杆段，若纵向变形为∆l，则平均单位长度的纵向变形为
l
（10-4）
CD段 轴力为kN＝－80×103N，长度为m＝103mm，横截面积仍为mm2，弹性模量仍为GPa＝ 2×105N/mm2，故：
lCD
FN3 lCD EA1
80103 103 2105 706.86
0.6mm
DE段 轴力仍为kN＝－80×103N，长度，横截面积为mm2，弹性模量仍为GPa＝2×105N/mm2，
故:
lDE 全杆的纵向变形为：
FN 4 lDE EA2
80 103 103 2 105 900
0.4mm
l lAB lBC lCD lDE
=1.4＋1.0－0.6－0.4
=1.4mm（伸长） 结果为正，表明全杆总长增加了1.4mm。
在式（10-6）中，因为 FN / A ， l / l ，于是可得
利用式（10-7），例10-2的解法可变更如下：先计算出各段应变
AB
σ AB E
141 .47 2 10 5
7.07
σ BC
BC
E
99.03 2 10 5
4.95 10
4
CD
CD
E
113 .18 2 105
5.66 10 4
称之为杆段的平均线应变l ，用来描述杆件的纵向变形程度。
当l→0时，杆段成为一llim点0 ，ll所取极限值，称（为10该-5点）的线应变，用ε表示。即有
对于轴力为常数的等直杆段，各横截面处纵向变形程度相同，则平均线应变与各 点的线应变相同。
显然，杆件纵向线应变的正负与纵向变形∆l的正负是一致的，因此ε为正时表示拉 应变，为负时表示压应变。线应变ε是无量纲数，因此无单位，常用小数、百分 数或千分数来表示。
如图10-1d所示，设轴向受拉杆横截面上某点K周围的一个微小面积∆A上分布内力是∆FN ， 则应∆力A∆上FN的/∆平A也均与应截力面（垂即直内，力这的种平应均力分称布为集法度向）或为正∆F向N /应∆A力。，图简中称∆正FN应与力截，面用垂希直腊，字因母而 表示。∆A上的正应力用б表示，于是
lim N
l FN l A
引入比例系数E，则上述关系可写为
l FNl EA
（10-6）
这个规律最早由英国人胡克（R.Hooke）发现，故称为胡克定律。
保证这种比例关系成立的正应力上限值σP称为材料的比例极限，其值由试验测定，主要 由材料性质决定，因此是材料的一种力学性质参量。于是，胡克定律的适用条件可写 为σ≤σP 。
用橡胶棒制作一根等截面直杆，并在其表面均匀地画上一些与杆轴平行的纵线和 与之垂直的横线（图10-1a）。当在杆上施加轴向拉力后（图10-1b），可以 看到所有纵线都伸长了，且伸长量相等；所有横线仍保持与杆轴线垂直，但 间距增大了。
我们可以用这个模型解释观察到的等直杆轴向拉伸变形现象：等直杆在轴向拉力 作用下，所有纵向纤维都伸长了相同的量；所有横截面仍保持为平面且与杆 轴垂直（此即所谓的平截面假设），只不过相对离开了一定的距离。
第十章 轴向拉压杆应力和强度条件
第一节 轴向拉压杆横截面上的应力与应力集中 第二节 轴向拉压杆的变形及位移 第三节 土木工程中常用材料在拉伸和压缩时的力学性能 第四节 轴向拉压杆的强度条件及应用
第一节 轴向拉压杆横截面上的应力与应力集中
一、轴向拉压杆横截面上的应力
轴向拉压的等截面直杆（简称等直杆）轴力在横截面上是均匀分布的，且方向都 沿杆轴方向。
l AB
FN1l AB EA1
105 2 103 2 105 706 86
1.4mm
BC段量仍轴为力G为PkaN＝＝27×01×015N03/mN，m2长，度故为m＝2×103mm，横截面积仍为A1＝706.86mm2，弹性模 lBC FN 2 lBC 7 103 2 103 1.0mm EA1 2105 706.86
由于轴向拉压杆横截面上只有均匀分布的拉或压力，故横截面上各点只有正应力且大小相 等。设杆件横截面上轴力为，截面积为A，则横截面上任一点的正应力为
FN
A
（10-3）
轴力为拉力时，正应力为拉应力，σ取正号；为压力时，正应力为压应力，σ取负号。即正 应力取正号时为拉应力，取负号时为压应力。式（10-3）就是轴力对应的截面应力计 算公式。其适用条件是杆件横截面不变或变化缓慢，外力沿杆轴线。
实测表明，在被削弱横截面上，靠近“削弱”位置的正应力出现了局部急剧增大 的现象。这种因杆件横截面尺寸突然变化而引起杆件局部应力急剧增大的现 象，叫做应力集中。
杆件应力集中部位的纵向纤维拉或压变形程度要比没有应力集中处更大，更易破 坏，因而更危险。日常生活中，零售布料的工作人员先用剪刀在布匹上剪一 小口再撕布，就很易把布撕开，就是利用了应力集中的现象。
杆件横向线应变
同理，若杆件横截面原尺寸为h，变形后尺寸为h1，则杆件横向变形为 ∆h=h1-h
∆h为正时，表示杆件受压；为负时，表示杆件受拉。 杆件横向线应变为
h
h 显然，杆件受拉时ε′为负，受压时ε′为正，即横向线应变与纵向线应变恒
异号。
2．弹性变形与塑性变形概念
如前所述，杆件材料在外力作用下都要产生变形。如果材料在外力作用 下所产生的变形能随着外力的消失而消失，即能恢复原状，则这种变 形称为完全弹性变形，简称弹性变形。
FN 2 70 103 99.03N/mm2 99.03MPa（拉）
BC A1 706.86
CD段 轴力为FN3=-80kN，横截面积为A1=706.86mm2，故，
FN3 80103 113.18N / mm2 113.18MPa（压)
CD
A1
706.86
从式（10-6）可以看出，当为正（即拉力）时，亦为正，表明是拉伸变形；反之，当为 负值（计即算压，力而）在时结，果亦后为面负标， 明表是明拉是伸压还缩是变压形缩。。在应用式（10-6）时，也常取FN的绝对
例10-2 试计算“例10-1”中杆件的伸缩量。已知材料的弹性模量E=200GPa，AB=BC=2m， CD=DE=1m。
DE
再计算全杆变形
DE
E
88.89 2 105
4.44 10 4
l lAB lBC lCD lDE
l AB AB l BC BC BC l CD CD l DE DE
A0
FN A
（10-2）
应力的常用单位有牛顿/米2（N/m2，1N/m2称为1帕斯卡，简称1帕，代号Pa）。 几种单位间的换算关系为：
1千帕（kPa）＝103帕（Pa） 1兆帕（MPa）＝103千帕（kPa）＝106帕（Pa） 1吉帕（GPa）＝103兆帕（MPa）＝106千帕（kPa）＝109帕（Pa）
在离应力集中部位稍远的地方，则可认为杆件横截面上正应力又趋于均匀分布， 因而可用式（10-3）计算。
第二节 轴向拉压杆的变形及位移
一、轴向拉压杆的变形
1．轴向拉压杆变形的度量
轴向拉压杆的变形主要是纵向伸长或缩短。由实验不难发现，在杆件纵向伸长或 缩短的同时也伴随着横截面尺寸的缩小或增大，如图10-4所示。
DE段 轴力为FN3=-80kN 横截面积为A2=a2=900mm2，故
FN 4 80 103 88.89N / mm2 88.89MPa（压）
DE
A2
900
最大拉应力位于AB段，
全杆绝对最大正应力是AB段的拉应力
max
141 .47MPa
最大压应力位于CD段，
AB段 轴力为常数kN，横截面面积亦为常数：
A1 d 2 302 706.86mm2
4
4
故由式（10-3）知，各横截面上正应力相同，记为σAB：
FN1 100103 141.47N / mm2 141.47Pa（拉） AB A1 706.86
Fra Baidu bibliotek
BC段 同理，轴力为FN2=70kN，横截面积为A1=706.86mm2 ，故
解： AD段虽然是直径为30mm的圆形等直杆，但轴力却不是常数。故从轴力看应分成AB、BC
和CE分别计算变形值。但CE段轴力虽然是常数，却不是等截面直杆。其中CD段是圆形截面
例10-2 杆，DE段是方形截面杆，也应会别计算其变形值。所以，全杆应分四段计算。
AB段706轴.8力6m为mF2N，1=弹10性0k模N量＝E10=52N0，0G长P度a＝为2lA×B=120m5N＝/m2m×21，0故3m：m。在例10-1中已算得A1＝
标准轴向拉伸钢试件两端的夹持段比中部的工作段要粗，因此常将这一粗一细两 段的连接部位加工成平缓过渡形状，以避免出现应力集中。
杆件上应力集中部位附近一定范围内的杆件横截面上正应力呈非均匀分布。按理， 这些部位横截面上正应力的计算不能用式（10-3），而需要更高级的力学理 论来分析计算。因此，我们在计算时都应避开这些部位。不过，建筑力学并 不需要精确分析计算这些部位，所以也就常常不仔细区分。
比例系数E也是杆件材料的一种力学性质参量，称为材料的弹性模量。由式（10-6）知， 弹性模量E有量纲，其单位应与应力相同，常用单位有兆帕（MPa）、吉帕（GPa）。 通过试验测得常用材料的σP和E值见表10-1。
由式（10-6）知，轴力及原长相同的杆件，EA值越大，伸缩值越小；反之，越小，伸缩 值越大。EA值反映了杆件抵抗轴向拉压变形的能力，称为杆件的截面抗拉压刚度。
max
113.18MPa
max
| AB
| 141.47MPa
全杆绝对最小正应力是DE段的压应力
min
| DE
| 88.89MPa
二、应力集中
等直杆不论是受轴向拉力还是受轴向压力作用，其横截面上都只产生均匀分布的 正应力。当然前者是拉应力，后者是压应力。但是，若等直杆横截面有局部 削弱（如开槽，钻孔等），即使外力仍沿杆轴线作用，被削弱横截面上的正 应力也不再均匀分布，如图10-3所示。
例10-1 例10-1 计算图10-2所示轴向受力杆横截面上的应力，已知AD段横截面为圆形，直径d=30mm。DE段横截面 为方形，边长a=30mm。 解： 作出杆的轴力图如图10-2b所示。由图知，AB、BC段均受拉，CE段受压。但值得注意的是：CE段轴力
虽然是常数，但CD段与DE段横截面形状和面积都不一样，故应将CE段分成CD与DE两段分别计算。
E
（10-7）
这是胡克定律的应力－应变形式。它表明：只要正应力不超过材料的比
例极限σP，则杆件内任一点处的正应力与材料沿正应力方向的线应变 成正比，其比例系数就是材料的弹性模量。胡克定律的这种形式是针
对构件内一点而言，不针对杆段，故具有更普遍的适用价值，被广泛 应用于各种条件下受力构件内一点处的应力—应变分析中。