2.1 圆周角定理 课件(人教A选修4-1)(2)
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2016-2017学年高中数学人教A版选修4-1课件：2.1 圆周角定理
易错点:误认为同弦或等弦所对圆周角相等而致错
【例3】 如图,若∠BAD=75°,则 ∠BCD= . 错解:∵∠BAD和∠BCD所对的弦都是BD, ∴∠BAD=∠BCD. ∴∠BCD=75°.
错因分析:错解中,没有注意到圆周角∠BAD和∠BCD所对的弧不 相等,导致得到错误的结论∠BAD=∠BCD.
-4-
一 圆周角定理
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
(3)通过圆周角定理的分析、证明,我们可以看到,在几何里讨论 问题时,常常从特殊情况入手,因为在特殊情况下问题往往容易解 决.如图,中间一种情况为圆周角的一边经过圆心,此时 ∠AOB=2∠C很容易证明,特殊情况下的问题解决之后,再想办法把 一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题,如图中的左图和右图 的情况,通过辅助线,把它们变成中间图中的两个角的和或差,这样 利用特殊情况下的结论,便可使一般情况下的结论得证.
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一 圆周角定理 题型一 题型二 题型三
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一 圆周角定理 题型一 题型二 题型三
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圆周角定理的理解 剖析:(1)应用圆周角定理时,要注意的问题如下: 圆周角定理推论1中,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
人教版高中数学选修四教学课件-圆周角定理
∴ ������������������ 所对圆心角是360°-150°=210°,
证明:∵BC是☉O的直径, ∴∠BAC为直角.
又∵AD⊥BC,∴Rt△BDA∽Rt△BAC. ∴∠BAD=∠ACB.
∵ ������������ = ������������ , ∴∠FBA=∠ACB,
∴∠BAD=∠FBA. ∴△ABE为等腰三角形. ∴AE=BE.
题型一 题型二 题型三
反思1.有关圆的题目中,圆周角与它所对的弧经常相互转化,即欲 证明圆周角相等,可转化为证明它们所对的弧相等;要证明线段相 等也可以转化为证明它们所对的弧相等,这是证明圆中线段相等的 常见策略.
反思求圆中线段长时,常先利用圆周角定理及其推论得到相似三 角形,从而得到成比例线段,再列方程求得线段长.
题型一 题型二 题型三
【变式训练 1】 如图,已知△ABC 内接于☉O, ������������ = ������������ , 点������是 ������������ 上任意一点, ������������与������������交于点������, ������������ = 6 cm, ������������ = 5 cm, ������������ = 3 cm, 求������������的长.
一 圆周角定理
1.了解圆心角定理,并能应用定理解决问题. 2.理解圆周角定理及其两个推论,并能应用定理解决有关问题.
圆周角定理的理解 剖析:(1)应用圆周角定理时,要注意的问题如下: 圆周角定理推论1中,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
这一定理成立的前提是同圆或等圆,否则不成立. (2)在圆周角定理的证明中,运用了数学中分类讨论和化归的思想
∴ED=2.5(cm).
高中数学 2.1圆周角定理课件 新人教A版选修4-1
直线与圆的位置关系 一 圆周角定理
复习：圆心角和圆周角定义及关系
• 探究：在⊙o中作一个顶点为A的圆周角∠BAC,连 接OB、OC,得圆心角∠BOC。度量∠BAC和∠BOC 的度数，它们之间有什么关系？改变圆周角的大小， 这种关系会改变吗
可以发现，无论圆周角的大小怎样改变，都有 A 1
∠BAC= 2 ∠BOC
于点D，求证：D是AB的中点。 B
D
A
•
•
C
O
例4 BC为⊙ O的直径，AD⊥BC, 垂足为D，A⌒B=A⌒F，BF和AD相交于
E，求证：AE=BE
A F
E
•
C
B
D
O
• 作业 • 第26页1、2、3
例1 如图，AD是△ABC的高，AE 是△ABC的外接圆直径。
A
求证：AB•AC =AE •AD
B E
•O
DHale Waihona Puke C例2 如图，AB与CD相交于圆内一 点P。求证：A⌒D的度数与B⌒C的度数
和的一半等于∠APD的度数。
D
B
P C
A
E
例3 如图，OA是⊙ O的半径，以 OA为直径的⊙ C与⊙ O的弦AB相交
O
B
C
圆周角定理：
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对
圆心角的一半。
已知：在⊙o中BC弧所对的圆周角和圆心角分别是
∠BAC、 ∠BOC
求证： ∠BAC= 1 ∠ BOC
A
2
•
O
B
C
D
我们知道，一个周角是360°。把周 角等分360份，每一份叫做1°的弧 由此，n°的圆心角所对的弧是n° 的弧；反之，n°的弧所对的圆心角
复习：圆心角和圆周角定义及关系
• 探究：在⊙o中作一个顶点为A的圆周角∠BAC,连 接OB、OC,得圆心角∠BOC。度量∠BAC和∠BOC 的度数，它们之间有什么关系？改变圆周角的大小， 这种关系会改变吗
可以发现，无论圆周角的大小怎样改变，都有 A 1
∠BAC= 2 ∠BOC
于点D，求证：D是AB的中点。 B
D
A
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C
O
例4 BC为⊙ O的直径，AD⊥BC, 垂足为D，A⌒B=A⌒F，BF和AD相交于
E，求证：AE=BE
A F
E
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C
B
D
O
• 作业 • 第26页1、2、3
例1 如图，AD是△ABC的高，AE 是△ABC的外接圆直径。
A
求证：AB•AC =AE •AD
B E
•O
DHale Waihona Puke C例2 如图，AB与CD相交于圆内一 点P。求证：A⌒D的度数与B⌒C的度数
和的一半等于∠APD的度数。
D
B
P C
A
E
例3 如图，OA是⊙ O的半径，以 OA为直径的⊙ C与⊙ O的弦AB相交
O
B
C
圆周角定理：
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对
圆心角的一半。
已知：在⊙o中BC弧所对的圆周角和圆心角分别是
∠BAC、 ∠BOC
求证： ∠BAC= 1 ∠ BOC
A
2
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O
B
C
D
我们知道，一个周角是360°。把周 角等分360份，每一份叫做1°的弧 由此，n°的圆心角所对的弧是n° 的弧；反之，n°的弧所对的圆心角
高中数学人教A版选修4-1创新应用第二讲 一 圆周角定理 课件
2．已知 AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径． 求证：∠BAE＝∠DAC. 证明：连接 BE，因为 AE 为直径， 所以∠ABE＝90°. 因为 AD 是△ABC 的高，所以∠ADC＝90°. 所以∠ADC＝∠ABE. 因为∠E＝∠C，所以∠BAE＝90°－∠E， ∠DAC＝90°－∠C. 所以∠BAE＝∠DAC.
[解] (1)证明：如图， 连接 AC. ∵BC 是半⊙O 的直径， ∴∠BAC＝90°， 又 AD⊥BC，垂足为 D， ∴∠1＝∠3. 在△AEB 中，AE＝BE， ∴∠1＝∠2. ∴∠2＝∠3，即 AB＝ AF .
(2)设 DE＝3x， ∵AD⊥BC，sin∠FBC＝35， ∴BE＝5x，BD＝4x. ∵AE＝BE， ∴AE＝5x，AD＝8x. 在 Rt△ADB 中，∠ADB＝90°，AB＝4 5， ∴(8x)2＋(4x)2＝(4 5)2， 解得 x＝1， ∴AD＝8.
5．如图，△ABC 的角平分线 AD 的延长线交 它的外接圆于点 E. (1)证明：△ABE∽△ADC； (2)若△ABC 的面积 S＝12AD·AE， 求∠BAC 的大小． 解：(1)证明：由已知条件可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角， 所以∠AEB＝∠ACD. 故△ABE∽△ADC.
3．已知⊙O 中，AB＝AC，D 是 BC 延长线上一点，AD 交⊙ O 于 E. 求证：AB2＝AD·AE. 证明：如图，∵AB＝AC，∴ AB＝ AC . ∴∠ABD＝∠AEB. 在△ABE 与△ADB 中，∠BAE＝∠DAB，∠AEB＝∠ABD， ∴△ABE∽△ADB. ∴AADB＝AAEB，即 AB2＝AD·AE.
∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC. 答案：B
2.1 圆周角定理 教学课件(人教A版选修4-1)
课前探究学习
课堂讲练互动
自学导引
1．圆周角定理
(1)圆心角及圆周角的概念：顶点在圆上，并且两边和圆相交 的角叫做圆周角；顶点在圆心的角叫做圆心角． (2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半 ．
课前探究学习
课堂讲练互动
2．圆心角定理 (1)定理：圆心角的度数等于 它所对弧 的度数．
(2)当圆中出现直径时，要注意寻找直径所对的圆周角，然后在直
角三角形中处理相关问题．
课前探究学习
课堂讲练互动
【变式2】 已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径， 求证：∠BAE＝∠DAC.
证明 连接BE，因为AE为直径，
所以∠ABE＝90°. 因为AD是△ABC的高， 所以∠ADC＝90°. 所以∠ADC＝∠ABE.因为∠E＝∠C，
证明
连接 BD.在△ACE 与△DCB 中，
∵∠EAC 与∠BDC 是同弧所对的圆周角， ∴∠EAC＝∠BDC. 又∵CE 为∠ACB 的平分线， ∴∠ACE＝∠DCB，∴△ACE∽△DCB. AC DC ∴CE＝ CB .∴AC· CB＝DC· CE.
课前探究学习
课堂讲练互动
反思感悟 利用圆中角的关系证明时应注意的问题 (1)分析已知和所求，找好所在的三角形，并根据三角形所在圆上 的特殊性，寻求相关的圆周角作为桥梁；
课前探究学习 课堂讲练互动
证明 连结 CE、CF、EF，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BFC ＝90° ，∠BEC＝90° .又∵∠ACB＝90° ，∴∠BCE＝∠A. 又∵∠BFE＝∠BCE，∴∠BFE＝∠A.又∵∠EBF＝∠DBA， EF AD ∴△BEF∽△BDA.∴BE＝BD. ∵∠BFC＝∠BCA，∠CBD＝∠CBD， CF CD ∴△CBF∽△DBC.∴BC＝BD. EF CF BC CF 又∵AD＝CD，∴BE＝BC，∴BE ＝EF.
2.1圆周角定理课件(人教A选修4
2.1圆周角定理课件(人教A选修41返回1[读教材填要点] 1.圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.2.圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数.返回13.圆周角定理的推论(1)推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 . (2)推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90° 直径的圆周角所对的弦是 .返回1[小问题大思维] 1.圆心角的大小与圆的半径有关系吗？提示：圆心角的度数等于它所对弧的度数，与圆的半径没有关系.2.相等的圆周角所对的弧也相等吗？提示：不一定.只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等.返回1返回1[研一题][例1]锐角三角形ABC内接于⊙O,∠ABC=60°,∠BAC=40°,作OE⊥AB交劣弧于点E,连接EC, AB 求∠OEC. 分析：本题考查圆周角定理与圆心角定理的应用. 解决本题需要先求∠OEC所对的弧的度数，然后根据圆心角定理得∠OEC的度数.返回1解：连接OC. ∵∠ABC=60° ,∠BAC=40° , ∴∠ACB=80° . ∵OE⊥AB,∴E 为的中点. AB ∴ BE 和BC 的度数均为80° .∴∠EOC=80° +80° =160° . ∴∠OEC=10° .返回1[悟一法] 圆周角定理可以理解成一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.返回1[通一类] 1.已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，求证：∠BAE=∠DAC. 证明：连接BE,因为AE为直径，所以∠ABE=90°.因为AD是△ABC的高，所以∠ADC=90°. 所以∠ADC=∠ABE. 因为∠E=∠C,所以∠BAE=180°-∠ABE-∠E,∠DAC=180°-∠ADC-∠C. 所以∠BAE=∠DAC. 返回1[研一题] [例2] 已知三角形ABC是圆内接正三角形，M是B上的一点.求证：MA=MB+MC. 分析：本题考查圆周角定理及全等三角形的应用. 解答本题可先将MA分成MD和AD两段，然后证明MB=AD,DM=MC即可.返回1证明：在MA 上取点D,使MD=MC. ∵△ABC 为正三角形，∴∠1=∠2=60° . ∴△MDC 是等边三角形. ∴CD=MC. 在△ADC 与△BMC 中∠3=∠4, AC=BC, ∠ADC=∠BMC=120° , ∴△ADC≌△BMC. ∴AD=BM. ∴MA=MD+DA=MC+MB.返回1[悟一法](1)在圆中，只要有弧，就存在着所对的圆周角.同弧所对的圆周角相等，而相等的角为几何命题的推理提供了条件，要注意此种意识的应用. (2)证明一条线段等于两条线段之和，可将其分为两段，其中一段等于已知线段，再去证明另一段也等于已知线段.返回1[通一类] 2.如图，G是以BC为直径的圆上一点，A是劣弧BG 的中点，AD⊥BC,D为垂足，连接AC、BG,其中BG交AD、AC于点E、F.求证：BE=EF.证明：连接AB, ∵BC 为直径，∴∠BAC=90° . ∴∠2+∠DAC=90° .返回1∵∠C+∠DAC=90° , ∴∠2=∠C. ∵ BA = ,∴∠1=∠C. AG∴∠1=∠2.∴AE=BE. 又∵∠1+∠BFA=90° , ∠2+∠DAF=90° , ∴∠BFA=∠DAF, ∴AE=EF,∴BE=EF.返回1[研一题][例3] 如图，AB是⊙O的直径，AB=2 cm,点C在圆周上，且∠BAC=30°,∠ABD=120°,CD⊥BD于D.求BD的长.分析：本题考查“直径所对的圆周角为直角”的应用.解答本题可连接BC,然后利用直角三角形的有关知识解决. 返回1解：连接BC,∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90° . ∵∠BAC=30° ,AB=2cm, AB ∴BC= =1 (cm). 2 ∵∠ABD=120° , ∴∠DBC=120° -60° =60° . ∵CD⊥BD, ∴∠BCD=90° -60° =30° . BC ∴BD= =0.5 (cm). 2返回1[悟一法] 在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角、线段又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等.返回1[通一类] 3.如图，△ABC中，∠C=90°,AB=10,AC=6,以AC为直径的圆与斜边交于点P,求BP长.解：连接CP,∵AC 为圆的直径，∴∠CPA=90° ,即CP⊥AB. 又∵∠ACB=90° , ∴由射影定理可知AC2=AP AB. AC2 36 ∴AP= = =3.6. AB 10 ∴BP=AB-AP=10-3.6=6.4.。
人教A版高中数学选修4-1课件高二：2.1圆周角定理
还要想到它所对的圆周角,得到直角三角形,这样有关直角三角形的性质便 可应用了.如图(1),以 CD 为直径的☉O 交△ACD 的两边于 B,E,连接 BE,求 证:ADcos A=AB.
此题必须先证 AD,AB 所在△ABD 为直角三角形,此时连接 BD,可由直 径所对的圆周角为 90°,这样就得到了所需的条件.
25
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Z S 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
随堂练习
UITANG LIANXI
1 2345
1.如图所示,在☉O 中,∠BAC=25°,则∠BOC 等于( )
A.25°
B.50°
C.30°
D.12.5°
解析:根据圆周角定理,得∠BOC=2∠BAC=50°.
点都可得到相等的圆周角∠C=∠D=∠E.也可以由角找弧,再由弧找角,如
图(2),AD 平分∠BAC,得∠1=∠2,∠1 对������������,∠2 对������������,∠3 也对������������,故∠1=
∠2=∠3.如果要证△DBE∽△DAB,无疑两个相等的角为此提供了条件.
7
图(1)
图(2)
12
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温馨提示(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但并
不是“圆心角等于它所对的弧”; (2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”; (3)由弦相等推出弧相等时,这里的弧要求同是优弧或同是劣弧,一般选
������������������所对的圆心角为 2×75°=150°.又������������������ 和 ������������������所对圆心角的和是周角 360°, ∴������������������所对圆心角是 360°-150°=210°,
此题必须先证 AD,AB 所在△ABD 为直角三角形,此时连接 BD,可由直 径所对的圆周角为 90°,这样就得到了所需的条件.
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1 2345
1.如图所示,在☉O 中,∠BAC=25°,则∠BOC 等于( )
A.25°
B.50°
C.30°
D.12.5°
解析:根据圆周角定理,得∠BOC=2∠BAC=50°.
点都可得到相等的圆周角∠C=∠D=∠E.也可以由角找弧,再由弧找角,如
图(2),AD 平分∠BAC,得∠1=∠2,∠1 对������������,∠2 对������������,∠3 也对������������,故∠1=
∠2=∠3.如果要证△DBE∽△DAB,无疑两个相等的角为此提供了条件.
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图(1)
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温馨提示(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但并
不是“圆心角等于它所对的弧”; (2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”; (3)由弦相等推出弧相等时,这里的弧要求同是优弧或同是劣弧,一般选
������������������所对的圆心角为 2×75°=150°.又������������������ 和 ������������������所对圆心角的和是周角 360°, ∴������������������所对圆心角是 360°-150°=210°,
2018学年高中数学选修4-1课件：第二讲2.1圆周角定理 精品
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．下面的角是圆周角的是( )
解析：A 项中，角的顶点在圆外，故不是圆周角，故 A 项错误；B 项中，角的顶点在圆内，故不是圆周角，故 B 项错误；
C 项中，角的顶点在圆上，且两边都与圆相交，故是 圆周角，故 C 项正确；D 项中，角的两边不和圆相交， 故不是圆周角，故 D 项错误．
3．圆周角定理的推论
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆 中，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的 圆周角所对的弦是直径．
温馨提示 “相等的圆周角所对的弧也相等”的前 提条件是“在同圆或等圆中”，应用推论时要时刻记住这 一点．
[思考尝试·夯基]
第二讲 直线与圆的位置关系
2．1 圆周角定理
[学习目标] 1.理解圆周角定理(重点)． 2.理解圆心 角定理及其推论(重点)． 3.能正确应用以上定理解决几 何问题(难点)．
[知识提炼·梳理] 1．圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一 半． 温馨提示 1.圆心角与圆周角只有对着同一条弧，它 们才有定理中的数量关系.2.圆周角定理也可以理解成圆 上一条弧所对的圆心角是它所对圆周角的二倍．
1．圆周角定理也可理解成一条弧所对的圆心角是它 所对的圆周角的二倍，圆周角的度数等于它所对弧的度 数的一半．
2．圆周角定理、圆心角定理及推论给出了圆心角、 圆周角和它们所对的弧以及所对弦之间的关系，可应用 于求角、弦、弦长等有关问题，可推证角相等、弧相等、 弦相等，为判定相似三角形、直角三角形等平面几何中 常见的问题提供了十分简便的方法．
于点 D.因为 OD⊥AB，OD 经过圆心，所以
AD＝BD＝5
2．下面的角是圆周角的是( )
解析：A 项中，角的顶点在圆外，故不是圆周角，故 A 项错误；B 项中，角的顶点在圆内，故不是圆周角，故 B 项错误；
C 项中，角的顶点在圆上，且两边都与圆相交，故是 圆周角，故 C 项正确；D 项中，角的两边不和圆相交， 故不是圆周角，故 D 项错误．
3．圆周角定理的推论
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆 中，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的 圆周角所对的弦是直径．
温馨提示 “相等的圆周角所对的弧也相等”的前 提条件是“在同圆或等圆中”，应用推论时要时刻记住这 一点．
[思考尝试·夯基]
第二讲 直线与圆的位置关系
2．1 圆周角定理
[学习目标] 1.理解圆周角定理(重点)． 2.理解圆心 角定理及其推论(重点)． 3.能正确应用以上定理解决几 何问题(难点)．
[知识提炼·梳理] 1．圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一 半． 温馨提示 1.圆心角与圆周角只有对着同一条弧，它 们才有定理中的数量关系.2.圆周角定理也可以理解成圆 上一条弧所对的圆心角是它所对圆周角的二倍．
1．圆周角定理也可理解成一条弧所对的圆心角是它 所对的圆周角的二倍，圆周角的度数等于它所对弧的度 数的一半．
2．圆周角定理、圆心角定理及推论给出了圆心角、 圆周角和它们所对的弧以及所对弦之间的关系，可应用 于求角、弦、弦长等有关问题，可推证角相等、弧相等、 弦相等，为判定相似三角形、直角三角形等平面几何中 常见的问题提供了十分简便的方法．
于点 D.因为 OD⊥AB，OD 经过圆心，所以
AD＝BD＝5
高中数学第二讲圆周角定理课件新人教A版选修4-1
3.如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点
O(0,0)，B是y轴右侧⊙A弧上一点，则
cos∠OBC的值为
()
A.12
B.
3 2
3
4
C.5
D.5
解析：法一：设⊙A与x轴另一个交点为D，
连接CD，如图所示．
因为∠COD＝90°，
所以CD为⊙A的直径．
利用圆周角进行计算
[例2] 如图，已知BC为半⊙O的直径， AD⊥BC，垂足为D，BF交AD于点E，且AE＝ BE.
(1)求证： »AB＝ ¼AF ； (2)如果sin ∠FBC＝35，AB＝4 5，求AD的长． [思路点拨] BC为半⊙O的直径，连接AC，构造Rt△ ABC.
与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算，不仅可 以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线 段，有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算．
与圆周角定理相关的证明
[例1] 已知：如图，△ABC内接于⊙O，D， E在BC边上，且BD＝CE，∠1＝∠2.
求证：AB＝AC. [思路点拨] 证明此题可先添加辅助线构造等 弦、等弧的条件，再由圆周角定理及其推论证明．
利用圆周角定理证明等量关系时，主要是分析圆周 角、圆心角、弧、弦之间的等量关系，有时需添加辅助线 构造等弧、等角、等弦的条件．
一
圆周角定理
1．圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 ． 应当注意的是，圆周角与圆心角一定是对着同一条弧，它 们才有上面定理中所说的数量关系． 2．圆心角定理 (1)圆心角的度数 等于 它所对的弧的度数，它与圆的半径 无关，也就是说在大小不等的两个圆中，相同度数的圆心角， 它们所对的弧的度数 相等 ；反过来，弧的度数相等，它们所对 的圆心角的度数 也相等 ．
2016-2017学年高中数学选修4-1课件：第二讲2.1圆周角定理
解：连接 BC，因为 AB 为⊙O 的直径，
第二十二页，编辑于星期五：十七点 三十分。
所以∠ABC＝60°，BC＝A2B＝1(cm)． 因为∠ABD＝120°， 所以∠DBC＝120°－60°＝60°. 因为 CD⊥BD， 所以∠BCD＝90°－60°＝30°. 所以 BD＝B2C＝12(cm)．
第十五页，编辑于星期五：十七点 三十分。
5．如图所示，⊙O 直径 MN⊥AB 于点 P，∠BMN ＝30°，则∠AON＝________．
第十六页，编辑于星期五：十七点 三十分。
解析：连 BO，则 AO＝BO， 即∠OAB＝∠OBA， 又 MN⊥AB，则∠AON＝∠NOB＝ 2∠BMN＝60°. 答案：60°
︵︵ [规范解答] (1)连接 FC，OF，因为AB＝AF，OB ＝OF， 所以点 G 是 BF 的中点， OG⊥BF. 因为 BC 是⊙O 的直径， 所以 CF⊥BF.(1 分)
第二十五页，编辑于星期五：十七点 三十分。
所以 OG∥CF.所以∠AOB＝∠FCB，(2 分) 所以∠DAO＝90°－∠AOB， ∠FBC＝90°－∠FCB，(4 分) 所以∠DAO＝∠FBC.(6 分)
第八页，编辑于星期五：十七点 三十分。
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)顶点在圆周上的角是圆周角．( ) (2)圆周角的度数等于圆心角度数的一半．( ) (3)90°的圆周角所对的弦是直径．( ) (4)圆周角相等，则它们所对的弧也相等．( )
第九页，编辑于星期五：十七点 三十分。
第二讲 直线与圆的位置关系
第一页，编辑于星期五：十七点 三十分。
2．1 圆周角定理
第二页，编辑于星期五：十七点 三十分。
第二十二页，编辑于星期五：十七点 三十分。
所以∠ABC＝60°，BC＝A2B＝1(cm)． 因为∠ABD＝120°， 所以∠DBC＝120°－60°＝60°. 因为 CD⊥BD， 所以∠BCD＝90°－60°＝30°. 所以 BD＝B2C＝12(cm)．
第十五页，编辑于星期五：十七点 三十分。
5．如图所示，⊙O 直径 MN⊥AB 于点 P，∠BMN ＝30°，则∠AON＝________．
第十六页，编辑于星期五：十七点 三十分。
解析：连 BO，则 AO＝BO， 即∠OAB＝∠OBA， 又 MN⊥AB，则∠AON＝∠NOB＝ 2∠BMN＝60°. 答案：60°
︵︵ [规范解答] (1)连接 FC，OF，因为AB＝AF，OB ＝OF， 所以点 G 是 BF 的中点， OG⊥BF. 因为 BC 是⊙O 的直径， 所以 CF⊥BF.(1 分)
第二十五页，编辑于星期五：十七点 三十分。
所以 OG∥CF.所以∠AOB＝∠FCB，(2 分) 所以∠DAO＝90°－∠AOB， ∠FBC＝90°－∠FCB，(4 分) 所以∠DAO＝∠FBC.(6 分)
第八页，编辑于星期五：十七点 三十分。
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)顶点在圆周上的角是圆周角．( ) (2)圆周角的度数等于圆心角度数的一半．( ) (3)90°的圆周角所对的弦是直径．( ) (4)圆周角相等，则它们所对的弧也相等．( )
第九页，编辑于星期五：十七点 三十分。
第二讲 直线与圆的位置关系
第一页，编辑于星期五：十七点 三十分。
2．1 圆周角定理
第二页，编辑于星期五：十七点 三十分。
人A版数学选修4-1课件：第2讲 1 圆周角定理
列问题．
度数 等于它所对弧的______ 度数 ． 圆心角的______
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在半径为 R 的圆中有一条长度为 R 的弦，则该弦所对的圆周角的度数是 ( )
【导学号：07370028】 A．30° C．60° B．30° 或 150° D．60° 或 120°
阶 段 一
阶 段 三
一
阶 段 二
圆周角定理
学 业 分 层 测 评
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1．理解圆周角定理及其两个推论，并能解决有关问题．(重点、难点) 2．了解圆心角定理．
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[ 基础· 初探] 教材整理 1 圆周角定理及其推论 阅读教材 P24～P26，完成下列问题 1．圆周角定理
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[ 小组合作型]
利用圆周角定理和圆心角 定理进行计算
在半径为 5 cm 的圆内有长为 5 3 cm 的弦，求此弦所对的圆周角．
【精彩点拨】
过圆心作弦的垂线构造直角三角形．先求弦所对的圆心角
度数，再分两种情况求弦所对的圆周角的度数．
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【自主解答】
如图所示，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D.
图 214
的
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【解析】
如图，连接 AF.
∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠AFC＝90° ， ∴AF⊥BC. ∵AB＝AC， 1 ∴∠BAF＝2∠BAC＝25° ， ∴ 的度数为 50° .
【答案】 B
AD＝6 cm，BD＝5 cm，CD＝3 cm，求 DE 的长．
图 212
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度数 等于它所对弧的______ 度数 ． 圆心角的______
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在半径为 R 的圆中有一条长度为 R 的弦，则该弦所对的圆周角的度数是 ( )
【导学号：07370028】 A．30° C．60° B．30° 或 150° D．60° 或 120°
阶 段 一
阶 段 三
一
阶 段 二
圆周角定理
学 业 分 层 测 评
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1．理解圆周角定理及其两个推论，并能解决有关问题．(重点、难点) 2．了解圆心角定理．
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[ 基础· 初探] 教材整理 1 圆周角定理及其推论 阅读教材 P24～P26，完成下列问题 1．圆周角定理
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[ 小组合作型]
利用圆周角定理和圆心角 定理进行计算
在半径为 5 cm 的圆内有长为 5 3 cm 的弦，求此弦所对的圆周角．
【精彩点拨】
过圆心作弦的垂线构造直角三角形．先求弦所对的圆心角
度数，再分两种情况求弦所对的圆周角的度数．
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【自主解答】
如图所示，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D.
图 214
的
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【解析】
如图，连接 AF.
∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠AFC＝90° ， ∴AF⊥BC. ∵AB＝AC， 1 ∴∠BAF＝2∠BAC＝25° ， ∴ 的度数为 50° .
【答案】 B
AD＝6 cm，BD＝5 cm，CD＝3 cm，求 DE 的长．
图 212
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圆周角定理(选修4-1)PPT课件
6
例1 如图,AD是△ABC的高,AE是△ABC 的外接圆直径.求证:AB·AC=AE·AD.
证明:连接BE.
ADC ABE 900, C E.
ADC∽ ABE,
AC AD. AE AB
∴AB·AC=AE·AD.
2021/3/12
7
例2 如图,AB与CD相交于圆内一点P.
⌒
⌒
求证:AD的度数与BC的度数和的一
半等于∠APD的度数.
证明:过点C作CE//AB交圆于点E, 既非圆周角
则有 APD C.
也非圆心角
⌒
⌒
∵AE=BC, ( ? )
∠ABE=∠BEC
D
B
⌒⌒
⌒
⌒⌒
⌒ ∴DAE=DA+AE=AD+BC,
A
又∵∠DCE的度数等于DAE的一半
P
C
E
⌒
⌒
∴ ∠APD的度数等于AD的度数与BC的度数和的一半.
2.如图,圆的直径AB=13cm,C为圆上一点,CD⊥AB,垂足D,且 CD=6cm.求AD的长.
⌒⌒ 3.如图,BC是⊙O的直径, AD⊥BC,垂足D.AB=AF,BF和AD相交 于E.求证:AE=BE.
B
C
D
A
F
E
ACO
EA D
B B DO
C
(第1题)
2021/3/12
(第2题)
(第3题) 10
1， 你能证明圆周角定理吗？ 2，圆心角与它所对的弧度有什么关系？
2021/3/12
4
一.圆周角定理 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的
圆心角的一半。 已知 在⊙O中，B⌒C所对的圆周角和圆心角分别是
2.1 圆周角定理 课件(人教A选修4-1)(2)
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[悟一法]
(1)在圆中，只要有弧，就存在着所对的圆周
角．同弧所对的圆周角相等，而相等的角为几何命题的
推理提供了条件，要注意此种意识的应用． (2)证明一条线段等于两条线段之和，可将其分为 两段，其中一段等于已知线段，再去证明另一段也等于 已知线段．
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[通一类] 2.如图，G是以BC为直径的圆上一点，
＝AD，DM＝MC即可．
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证明：在 MA 上取点 D，使 MD＝MC. ∵△ABC 为正三角形， ∴∠1＝∠2＝60° . ∴△MDC 是等边三角形． ∴CD＝MC. 在△ADC 与△BMC 中
∠3＝∠4， AC＝BC， ∠ADC＝∠BMC＝120° ，
∴△ADC≌△BMC. ∴AD＝BM. ∴MA＝MD＋DA＝MC＋MB.
所以∠ABE＝90°.
因为AD是△ABC的高， 所以∠ADC＝90°. 所以∠ADC＝∠ABE. 因为∠E＝∠C，
所以∠BAE＝180°－∠ABE－∠E，
∠DAC＝180°－∠ADC－∠C. 所以∠BAE＝∠DAC. 返回
[研一题] [例2] 已知三角形ABC是圆内接正三角形，M是
B上的一点．
求证：MA＝MB＋MC. 分析：本题考查圆周角定理及全等三角形的应用． 解答本题可先将MA分成MD和AD两段，然后证明MB
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本课时考点常与相似三角形、平行线分线段成比 例定理等问题相结合考查，2012年江苏高考以证明
题的形式重点考查圆周角定理、圆心角定理及三角形
边角关系．
返回
[考题印证] (2012·江苏高考)如图，AB是圆O的 直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两
点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，
连结AC，AE，DE. 求证：∠E＝∠C. [命题立意] 本题主要考查圆周角定理和三角形的边角
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∠BAC＝40°，作OE⊥AB交劣弧 于点E，连接EC， AB 求∠OEC. 分析：本题考查圆周角定理与圆心角定理的应用． 解决本题需要先求∠OEC所对的弧的度数，然后根据圆心
角定理得∠OEC的度数．
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解：连接 OC. ∵∠ABC＝60° ，∠BAC＝40° ， ∴∠ACB＝80° .
AB ∵OE⊥AB，∴E 为 的中点．
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[读教材·填要点] 1．圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半．
2．圆心角定理 圆心角的度数 等于 它所对弧的度数．
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3．圆周角定理的推论
(1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角 相等 ；同圆或等 圆中，相等的圆周角所对的弧 也相等 ． (2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ；90° 直径 的圆周角所对的弦是 ．
解：连接 BC，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90° . ∵∠BAC＝30° ，AB＝2 cm， AB ∴BC＝ ＝1 (cm)． 2 ∵∠ABD＝120° ， ∴∠DBC＝120° －60° ＝60° . ∵CD⊥BD， ∴∠BCD＝90° －60° ＝30° . BC ∴BD＝ ＝0.5 (cm)． 2
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本课时考点常与相似三角形、平行线分线段成比 例定理等问题相结合考查，2012年江苏高考以证明
题的形式重点考查圆周角定理、圆心角定理及三角形
边角关系．
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[考题印证] (2012·江苏高考)如图，AB是圆O的 直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两
点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，
连结AC，AE，DE. 求证：∠E＝∠C. [命题立意] 本题主要考查圆周角定理和三角形的边角
A是劣弧BG 的中点，AD⊥BC，D为
垂 足，连接AC、BG，其中BG交AD、
AC于点E、F.
求证：BE＝EF.
证明：连接 AB， ∵BC 为直径， ∴∠BAC＝90° . ∴∠2＋∠DAC＝90° .
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∵∠C＋∠DAC＝90° ， ∴∠2＝∠C.
AG ∵ BA ＝ ，∴∠1＝∠C.
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关系在证明中的应用． 返回
证明：连结OD，因为BD＝DC，
O为AB的中点，
所以OD∥AC，于是∠ODB＝
∠C.
因为OB＝OD，所以∠ODB＝ ∠B.于是∠B＝∠C. 因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上 位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周
角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.
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[小问题·大思维] 1．圆心角的大小与圆的半径有关系吗？ 提示：圆心角的度数等于它所对弧的度数，与圆的半径 没有关系． 2．相等的圆周角所对的弧也相等吗？ 提示：不一定．只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所
对的弧才相等．
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[研一题]
[例1]
锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC＝60°，
∴ 0° ＋80° ＝160° . ∴∠OEC＝10° .
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[悟一法] 圆周角定理可以理解成一条弧所对的圆心角是它所 对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对弧的度数 的一半．
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[通一类] 1．已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径， 求证：∠BAE＝∠DAC. 证明：连接BE，因为AE为直径，
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[悟一法]
(1)在圆中，只要有弧，就存在着所对的圆周
角．同弧所对的圆周角相等，而相等的角为几何命题的
推理提供了条件，要注意此种意识的应用． (2)证明一条线段等于两条线段之和，可将其分为 两段，其中一段等于已知线段，再去证明另一段也等于 已知线段．
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[通一类] 2.如图，G是以BC为直径的圆上一点，
∴∠1＝∠2.∴AE＝BE. 又∵∠1＋∠BFA＝90° ， ∠2＋∠DAF＝90° ， ∴∠BFA＝∠DAF， ∴AE＝EF，∴BE＝EF.
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[研一题]
[例3] 如图，AB是⊙O的直径，
AB＝2 cm，点C在圆周上，且∠BAC
＝30°，∠ABD＝120°，CD⊥BD于
D.求BD的长．
分析：本题考查“直径所对的圆周角为直角”的应 用．解答本题可连接BC，然后利用直角三角形的有关知识 解决． 返回
＝AD，DM＝MC即可．
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证明：在 MA 上取点 D，使 MD＝MC. ∵△ABC 为正三角形， ∴∠1＝∠2＝60° . ∴△MDC 是等边三角形． ∴CD＝MC. 在△ADC 与△BMC 中
∠3＝∠4， AC＝BC， ∠ADC＝∠BMC＝120° ，
∴△ADC≌△BMC. ∴AD＝BM. ∴MA＝MD＋DA＝MC＋MB.
所以∠ABE＝90°.
因为AD是△ABC的高， 所以∠ADC＝90°. 所以∠ADC＝∠ABE. 因为∠E＝∠C，
所以∠BAE＝180°－∠ABE－∠E，
∠DAC＝180°－∠ADC－∠C. 所以∠BAE＝∠DAC. 返回
[研一题] [例2] 已知三角形ABC是圆内接正三角形，M是
B上的一点．
求证：MA＝MB＋MC. 分析：本题考查圆周角定理及全等三角形的应用． 解答本题可先将MA分成MD和AD两段，然后证明MB
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[悟一法] 在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是 直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角、线
段又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明
比例式相等．
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[通一类] 3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝
10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边 交于点P，求BP长．
解：连接 CP，∵AC 为圆的直径， ∴∠CPA＝90° ，即 CP⊥AB. 又∵∠ACB＝90° ， ∴由射影定理可知 AC2＝AP· AB. AC2 36 ∴AP＝ ＝ ＝3.6. AB 10 ∴BP＝AB－AP＝10－3.6＝6.4.