奇妙的裴波那契数列和黄金分割
带你了解数学中的奇妙规律
带你了解数学中的奇妙规律数学中有许多令人惊叹的奇妙规律，这些规律揭示了世界的秩序和美妙。
本文将带你一起探索数学中的奇妙规律，让我们一同进入这个神奇的领域。
1. 斐波那契数列与黄金分割斐波那契数列是一个无限序列，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。
这个数列具有惊人的特性，例如：当你把相邻两个数相除，会逐渐接近一个固定的比例——黄金分割。
黄金分割比例约为1.618。
2. 费马大定理费马大定理由法国数学家费马提出，它声称：对于任何大于2的整数n，方程x^n + y^n = z^n没有整数解。
这个定理迷惑了数学家长达几个世纪，直到1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
3. 素数之谜素数是仅能被1和它本身整除的正整数，它们分布得相当随机。
尽管如此，研究者们发现了一些规律，比如素数的最密集区域往往在数字线上的某些位置。
这种奇妙的规律尚未完全解开，仍然是数学界的谜题。
4. 黑洞数黑洞数是一个奇特的数字，它具有许多有趣的性质。
以任意顺序排列一个数字的各个数字，然后按降序和升序重新排列，然后用升序减去降序，得到的结果仍然是这个数本身。
例如，495是一个黑洞数：954-459=495。
5. 无穷的奇妙小数有些数字的小数部分是无限循环的，如1/3=0.3333…，但有一些数字的小数部分是无限不循环的。
这些无理数，如π和e，具有无穷不循环的小数部分，它们让数学世界充满了神秘与奇妙。
6. 矩阵的幂矩阵是数学中一种重要的工具，它们具有奇特的特性。
当一个矩阵乘以它自己时，我们得到矩阵的幂。
这些幂具有许多有趣的性质，它们可以描述复杂的变换和关系，被广泛应用于物理学、计算机科学等领域。
数学中的这些奇妙规律只是冰山一角，数学的世界充满了无限的奇迹等待我们去发现。
希望这篇文章带给你对数学的新认识和启发，让你更深入地了解数学的美妙与奇迹。
斐波那契数列与黄金分割 ppt课件
F1 1 F2 1
第三个月兔子数
F 3F 1F 2 1 12
随着时间不断流逝。。。。。。
第n个月兔子 数
Fn Fn1Fn2
按照递推公式计算，得到 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
从第三项起每一项都等于前两项之和。19世纪法国数 学家路卡斯给这个数列起了一个颇适合的名字:“斐波那契数 列”，数列中的每一个数称为斐波那契数．
数学家们已经发现了许多关于斐波那契数列的特性。例如：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , …
• 从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1， 每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
• 第3、第6、第9、第12项的数字，能夠被 2整除
古希腊的数学家不必说了，中世纪的意 大利数学家裴波那契(Fibonacci, 约1170— 1240), 文艺复兴时代的德国天文学家开普勒 (Kepler, 1571—1630)，以及当代的一些著名 科学家都对它十分关注，并投入了大量的精 力。
意大利的数学家列昂 那多·斐波那契在1202 年提出这样一个问题
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
21个花瓣的紫菀
34个花瓣的雏菊 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
斐波那契数有时也称松果数，因为连续的 斐波那契数会出现在松果的左和右的两种 螺旋形走向的数目之中
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
斐波那契（Leonardo Pisano
F ibonacci ; 1170 1250 ）
数学文化之旅------神奇的斐波那契数列与黄金分割
神奇的斐波那契数列与黄金分割石家庄二中南校区孟柳比萨的列奥纳多，又称斐波那契(Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175年-1250年)，中世纪意大利数学家，是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
列奥纳多的父亲Guilielmo(威廉)，外号Bonacci.因此列奥纳多就得到了外号斐波那契(Fibonacci，意即filius Bonacci，Bonacci之子)。
1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，当时仍是小伙子的列奥纳多已经开始协助父亲工作,因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。
于是他就学会了阿拉伯数字。
他是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
主要著作有《算盘书》《几何实践》《花朵》《平方数书》斐波那契在《算盘书》中提出了一个有趣的兔子问题：一般而言，兔子在出生两个月后就具有了繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对兔子，如果兔子都不死，那么一年后能有多少对兔子？拿新出生的一对兔子研究：第一个月兔子没有繁殖能力，两个月后生下一对小兔总数共有两对；三个月后，老兔子生下又一对，因为上一轮的小兔没有繁殖能力，所以总数是三对；…………..1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……依次类推下去，你会发现，它后一个数等于前面两个数的和。
在这个数列中的数字，就被称为斐波那契数。
2是第3个斐波那契数。
斐波那契数列还满足一下特点：1.任一项的平方数都等于与它相邻的两项乘积相差12.相邻的4个数，内积与外积相差13.前一项与后一项的比大约是0.6184.后一项比前一项大约是1.618经研究发现，相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
斐波那契数列与黄金分割
数学文化
主讲教师 李令斗
斐波那契数列与黄金分割
一、兔子问题和斐波那契数列
二、数学的统一美
三、 斐波那契协会和《斐波那契季刊》
一、兔子问题和斐波那契数列
1． 兔子问题
1） 问题 ——取自意大利数学家 斐波那契的《算盘书》 （1202年）
(L.Fibonacci,1170-1250）
D (DB)
AC AB
交A D于 E ，
5 1 2
再作 A ( A E ) 交 A B于 C
，则
D
C ， 即
为 A B 的黄金分割点。
5
E
1
A
C
B
2
25
证：不妨令
AD 2 1
2
BD 1
，则
5 1 2
AB 2
，
5 1，
5
， AE
AC AB
AD ED
AC AE
un vn
19
对照
x 1 1
1 1 1 1 1 1
可算得
u1
1 u2 , v1 1 v2
1 1
1 u3 , 1 2 v3 1
1 1 1 1 1 1
2 u4 , 3 v4
1 1 1 1 1 1 1 1
3 5
20
发现规律后可以改一种方法算，
un vn 1
3
兔子问题
假设一对初生兔子要一个月才到成熟期， 而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么， 由一对初生兔子开始，12 个月后会有多少 对兔子呢？
4
解答
1 月 1 对
5
解答
数学与自然界的奥秘斐波那契数列和黄金分割
数学与自然界的奥秘斐波那契数列和黄金分割数学与自然界的奥秘：斐波那契数列和黄金分割数学作为一门精确而又抽象的科学，被广泛应用于自然界的解释和描述。
其中，斐波那契数列和黄金分割作为数学与自然界奥秘的具体例子，引人入胜。
它们不仅在数学领域有着重要的意义，而且在生物学、物理学、艺术等多个领域中都有着广泛的应用。
本文将为你揭示这两个数学奥秘的魅力。
一、斐波那契数列的魅力斐波那契数列是一个起源于12世纪的数列，由意大利数学家斐波那契首次提出。
它的定义方式非常简单，即从第三项开始，每一项都是前两项的和。
数列的前几项为0、1、1、2、3、5、8、13……1. 自然界中的斐波那契数列斐波那契数列在自然界中广泛存在，它们出现在很多自然物体的生长和排列中。
树枝、花瓣、蜂窝等都呈现出斐波那契数列的特性。
例如，一棵树的主干会在第一个分支处分为两个分支，之后每一个分支都会以斐波那契数列的规律逐渐生长。
这种规律不仅让我们惊叹于自然的智慧，也让我们深入理解数学与自然的奥秘。
2. 黄金比例与斐波那契数列斐波那契数列与黄金比例之间有着紧密的联系。
黄金比例是指一段线段分成两部分，其中较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值。
这个比例约等于1:1.618。
而斐波那契数列的相邻两项接近黄金比例，当数列项数越往后推进，这种趋势就越明显。
二、黄金分割的神秘之处黄金分割作为一种比例，被广泛应用于数学、美术、建筑等领域。
它被认为是一种最具美感和完美比例的存在。
1. 黄金分割与艺术许多著名的艺术品都采用了黄金分割的设计原则。
画家们在构图时往往按照黄金分割比例来分割画面空间，以达到视觉上的平衡和和谐。
同时，建筑师们也常常运用黄金分割来设计建筑物的比例和布局，使其具有更加美感和舒适感。
2. 黄金分割在自然界中的体现黄金分割比例也在自然界中随处可见。
例如，我们身体的比例就在一定程度上符合黄金分割。
人脸的眼睛、耳朵、嘴巴的布局和大小关系往往符合黄金分割比例。
斐波那契数列与黄金分割
我们可以在鹦鹉螺的外壳发现这样的螺线
所谓黄金三角形是一个 等腰三角形其底与腰的长 度比为黄金比值。我们若 以底边为一腰作一等腰三 角形则此三角形亦为一黄 金三角形，如下图。图中 三种不同长度的线段，其 中次长的线段（蓝色）与 最长的线段（红色）比是 黄金比例，最短的线段 （绿色）与次长线段（蓝 色）也是黄金比例。
1 5 ，其正根为 x 2
5 1 x 0.6180339 0.618 2 A B
小段 大段
3．黄金矩形
定义：一个矩形，如果从中裁去 一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长 之比，与原矩形的一样（即剩下的矩形与 原矩形相似），则称具有这种宽与长之比 的矩形为黄金矩形。黄金矩形可以用上述 方法无限地分割下去。
Fn Fn1 Fn2 , n 2.
每月大兔对数 Fn 排成数列为： 0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，
•••
4
定义：若一个数列,前两项均等于1,而从 第三项起每一项是其前两项之和,则称该数列
为斐波那契数列。即：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …
（1）人体各部分的比Fra bibliotek肚 脐：
印堂穴：
（头—脚）
（口—头顶）
肘关节： （肩—中指尖） 膝 盖： （髋关节—足尖）
（2）著名建筑物中各部分的比
如埃及的金字塔，高（137米）与底边长 （227米）之比为0.629
雅典的帕德侬神庙 (Parthenon at Athens) 庄严、宏伟，被认为 是古希腊最伟大的建筑之一。有 人认为它之所以显得那么和谐， 是因为这个建筑符合黄金比。
Field daisies have 34 petals
斐波那契数列与黄金分割的联系
斐波那契数列与黄金分割的联系斐波那契数列与黄金分割是两个在数学和自然界中非常重要的概念。
它们之间存在着密切的联系，这一联系体现在斐波那契数列中每两个相邻数的比例，正好是无限接近于黄金分割的比例。
斐波那契数列是一个无限序列，从0和1开始，后面的每个数都是前面两个数之和。
具体来说，斐波那契数列的定义如下：F(0) = 0，F(1) = 1，F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中n≥2。
斐波那契数列中的数迅速增长，例如，前几个斐波那契数是：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，...可以看出这个数列几乎是无穷无尽的。
黄金分割是指一种特殊的比例关系，即将一条线段分成两部分，使得整体长度与较长部分的比值等于较长部分与较短部分的比值。
这个比值通常用希腊字母φ（phi）来表示，约等于1.618。
斐波那契数列中的相邻数之间的比值逐渐逼近黄金分割比例。
具体来说，当n较大时，F(n)/F(n-1)的比值接近于黄金分割比例φ。
例如，当n=20时，F(20)/F(19)≈1.618，接近于黄金分割比例。
为什么斐波那契数列和黄金分割之间存在联系呢？这涉及到一个数学性质，即斐波那契数列的极限比值与黄金分割比例是相等的。
换句话说，当n趋近于无穷大时，F(n)/F(n-1)的极限等于黄金分割比例φ。
这一性质可以通过数学推导得到。
斐波那契数列和黄金分割在自然界中的广泛存在也是它们联系的体现。
黄金分割比例被广泛应用于艺术、建筑和设计领域，人们认为它具有一种视觉上的美感。
许多传统文化中的建筑和艺术作品都采用了黄金分割比例。
斐波那契数列也出现在自然界中各种地方，如植物的生长中、动物的骨骼结构、海洋中的螺旋壳形状等。
这些都体现了斐波那契数列和黄金分割的普遍存在。
斐波那契数列和黄金分割的联系还可以用几何形状来展示。
通过绘制正方形并在正方形的一边上不断添加等边三角形，可以形成一个逐渐扩大的黄金矩形。
斐波那契与黄金分割
斐波那契比萨的列奥纳多，又称斐波那契（Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175年-1250年），意大利数学家，西方第一个研究斐波那契数，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
目录1人物背景2数列3质数4重要作品1人物背景家庭列奥纳多的父亲Guilielmo（威廉），外号Bonacci（意即「好、自然」或「简单」）。
因此列奥纳多就得到了外号斐波那契 (Fibonacci，意即filius Bonacci，Bonacci之子）。
威廉是商人，在北非一带工作（今阿尔及利亚Bejaia），当时仍是小伙子的列奥纳多已经开始协助父亲工作。
于是他就学会了阿拉伯数字。
学习有感使用阿拉伯数字比罗马数字更有效，列奥纳多前往地中海一带向当时著名的阿拉伯数学家学习，约于1200年回国。
1202年，27岁的他将其所学写进计算之书（Liber Abaci）。
这本书通过在记帐、重量计算、利息、汇率和其他的应用，显示了新的数字系统的实用价值。
这本书大大影响了欧洲人的思想，可是在三世纪后印制术发明之前，十进制数字并不流行。
（例子：1482年，Ptolemaeus世界地图，Lienhart Holle在Ulm印制）成就列奥纳多曾成为热爱数学和科学的腓特烈二世 (神圣罗马帝国）的坐上客。
欧洲数学在希腊文明衰落之后长期处于停滞状态，直到12世纪才有复苏的迹象。
这种复苏开始是受了翻译、传播希腊、阿拉伯著作的刺激。
对希腊与东方古典数学成就的发掘、探讨，最终导致了文艺复兴时期（15～16世纪）欧洲数学的高涨。
文艺复兴的前哨意大利，由于其特殊地理位置与贸易联系而成为东西方文化的熔炉。
意大利学者早在12～13世纪就开始翻译、介绍希腊与阿拉伯的数学文献。
欧洲，黑暗时代以后第一位有影响的数学家斐波那契（约1175～1240），其拉丁文代表著作《算经》、《几何实践》等也是根据阿拉伯文与希腊文材料编译而成的，斐波那契，即比萨的列昂纳多（Leonardo of Pisa），早年随父在北非从师阿拉伯人习算，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后即写成《算经》（Liber Abac·1202，亦译作《算盘书》）。
黄金分割率与斐波那契数列
黄金分割率与斐波那契数列黄金分割率（Golden Ratio）是数学中一种非常特殊且神奇的比例关系。
而斐波那契数列（Fibonacci Sequence）则是一组在数列中的数字具有特定规律的数列。
这两者在数学和自然界中有着广泛的应用和影响。
本文将通过生动、全面和有指导意义的方式，介绍黄金分割率和斐波那契数列之间的关系。
首先，我们来了解黄金分割率。
黄金分割率是指两个数量之间，如果它们的比值等于两者之和与较大数量之比，那么这两者的比值就被称为黄金分割率。
黄金分割率的数值约等于1.618，它在数学上被表示为φ（phi）。
这个特殊的比例关系在几何学、建筑学、艺术和自然科学等领域中都被广泛应用。
在艺术中，黄金分割率被认为是产生美感和平衡感的重要因素。
许多著名画作和建筑物都使用了黄金分割率来实现视觉上的吸引力。
接下来，我们来研究斐波那契数列。
斐波那契数列是一组数字序列，其中每个数字都是前两个数字的和。
起始数字通常是0和1，后续的数字分别是1、2、3、5、8、13、21、34等等。
这个数列最早在13世纪的欧洲由数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）引入，并用于解决兔子繁殖问题。
但后来发现，斐波那契数列在自然界中出现的频率非常高，尤其是在植物的分枝、螺旋壳物种、音乐节奏和股市等领域中。
现在来看一下黄金分割率与斐波那契数列之间的关系。
令我们惊讶的是，斐波那契数列中的数字相邻两个数字的比值也趋近于黄金分割率。
当我们将数列中相邻两个数字的比值计算出来，我们会发现，随着数列的继续推进，这个比值会无限接近1.618，即黄金分割率。
例如4/3约等于1.333，5/3约等于1.667，而8/5约等于1.6。
这个奇妙的现象造就了斐波那契数列和黄金分割率之间的紧密关系。
为何斐波那契数列的数字比值逐渐趋向于黄金分割率？这个问题一直困扰着数学家和研究者。
其中一个解释是斐波那契数列的性质使得它在某种程度上能够逼近黄金分割率。
漫谈斐波那契数列与黄金分割比
漫谈斐波那契数列与黄金分割比（一）奇妙的斐波那契数列：斐波那契数列的由来是“兔子问题”。
从中总结的规律就是：（1）每个月小兔子数 = 上个月的大兔子数；（2）每个月的大兔子数 = 上个月的大兔子数 + 上个月的小兔子数；（3）每个月的大兔子数 = 上个月的大兔子数 + 上上个月的大兔子数。
1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55，89，,144......即前两项是1， 1，后面的每一项是前面两项的和，这就是斐波那契数列。
提到数列，作为大学生，学过高等数学，很自然想到求极限。
所以，这里斐波那契数列后一项与前一项比值的极限就是二分之根号五减一，约等于0.618.这就是后面要说的黄金分割比。
递推公式为：发现斐波纳契数&&寻找斐波那契数列：1.自然中的斐波那契数：花基数（花瓣的数目），树杈的生长，菜花，松子，向日葵：顺时针方向的对数螺线，逆时针方向的对数螺线都是斐波纳契数。
更为惊人的是，顺时针方向的对数螺线和逆时针方向的对数螺线是两个相继斐波纳契数。
还曾经发现过一个更大的向日葵，顺时针对数螺线144条，逆时针对数螺线233条。
如下图：叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。
向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。
这就是神秘的大自然！这些现象是植物生长动力学特性造成的。
相邻器官原基之间的夹角是一个特殊角，这使种子的堆积效率达到最高。
2.斐波那契数列的推广：首先，思考一下，斐波那契数列的前两项是1， 1，那可不可以是1，2呢？如果是1,2 的话，这就成了缺少第一项的斐波那契数列，即1， 2，3 ，5， 8，......,这不算是本质的推广。
演示文稿斐波那契数列与黄金分割
有一位学者细心地数过一朵花的花瓣，发现这朵花
的花瓣刚好是157瓣。且他又发现其中有13瓣与其他 144瓣有显著的不同，是特别长并卷曲向内，这表明 这朵花的花瓣数目是由F7=13和F12=144合成的。这一 模式几个世纪以来一直被广泛研究，但真正意义上的 解释直到1993年才给出。目前科学家们对这一模式 还在研究之中。
=1.6180・・・
黄金比，黄金数
第十八页，共55页。
第十九页，共55页。
斐波那契数列的美妙性质
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 …
☆ 随着项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分
割0.6180339887…… ☆ 从第二项起，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每 个偶数项的平方都比前后两项之积少1。
的美,是一种冷而严肃的美。”
我国著名数学家徐利治教授指出：“数学园地处处
开放着美丽花朵，它是一片灿烂夺目的花果园，这片花果
园正是按照美的追求开拓出来的。”
第三页，共55页。
1 2 3 5 8 13 21 34 55 + 89 ??
第四页，共55页。
十秒钟加数
• 请用十秒，计算出左边一列数的 和。
时间到！
第二十五页，共55页。
A、自然界中花朵的花瓣中存在斐氏数列特征
生物学家们发现，花瓣数是极有特征的。多数 情况下，花瓣的数目都是3，5，8，13，21，34， 55，89，144……
例如：百合花有3瓣花瓣，至良属的植物有5瓣 花瓣，许多翠雀属植物有8瓣花瓣，万寿菊的花瓣有 13瓣，紫莺属的植物有21瓣花瓣……
第二十九页，共55页。
B、斐氏数列与游戏
一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对 他的地毯匠朋友说： “请您把这块地毯分成四小块，再 把它们缝成一块长13英尺、宽5英尺的长方形地毯。” 这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为8英尺的正方形 地毯面积是64平方英尺，如何能够拼出65平方英尺的地 毯？两者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师做 到了。他让匠师用下图的办法达到了他的目的！
黄金分割与斐波那契数列
第八讲 黄金分割与斐波那契数列一、 黄金分割1. 黄金分割的概念把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是（√5-1）：2，取其小数点后三位的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字。
德国天文学家开普勒（J.Kepler ）曾说“几何学有两大宝藏，其一为毕氏定理，其二为将一线段分成外内比。
前者如黄金，后者如珍珠。
”所谓将一线段分成“中外比（或称中末比或外内比）”，这是欧几里得在《几何原本》（公元前三世纪前后）里的说法：A straight line is said to have been cut in extreme and mean radio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the less.分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比。
关于黄金分割的历史，可以追溯到公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们已经研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
而《几何原本》是吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学帕乔利称之为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称之为神圣分割。
当时，人们都还是称之为“中外比”，直到19世纪初，黄金分割这个名称才出现。
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。
这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们常说的比例方法。
斐波那契数列与黄金分割
斐波那契数列与黄金分割斐波那契数列是一组数列，其中每个数都是前两个数的和。
数列的前几个数字是0、1、1、2、3、5、8、13……以此类推。
斐波那契数列是由意大利数学家列昂纳多·斐波那契在13世纪提出的，但在此之前，类似的数列在古代印度、波斯和阿拉伯已经被许多数学家广泛研究过。
斐波那契数列在数学和自然科学中有广泛的应用。
它被使用于金融学、计算机科学、美学等领域。
其中一个与斐波那契数列紧密相关的概念是黄金分割。
黄金分割是指将一个线段分为两段，使其整体与较长段之比等于较长段与较短段之比。
这个比例被称为黄金分割比，约等于1.618。
黄金分割比例在建筑、艺术和自然界中被广泛运用，因其视觉上的美感而备受推崇。
斐波那契数列与黄金分割之间有着紧密的联系。
实际上，斐波那契数列中的相邻两个数字的比例接近黄金分割比。
当我们计算连续斐波那契数字（Fn+1 / Fn）的比例时，随着n的增大，这个比值趋近于黄金分割比。
这个有趣的现象引发了许多数学家的兴趣，他们提出了许多关于这一现象的推论和证明。
斐波那契数列和黄金分割在自然界中也有许多应用。
例如，一些植物和动物的生长模式可以用斐波那契数列和黄金分割来解释。
例如，向日葵的花瓣和松果的排列就遵循着黄金角度。
这种奇特的规律性被认为与斐波那契数列和黄金分割的美学特点有关。
在美学中，黄金分割被广泛应用于艺术和设计。
一些著名的古代建筑和绘画作品中都能看到黄金分割的运用。
黄金分割比例被认为是最具吸引力和令人满意的比例之一，这也解释了为什么我们会在自然界和艺术中频繁地看到它。
总结起来，斐波那契数列与黄金分割之间有着密切的联系。
斐波那契数列中相邻数字的比例趋近于黄金分割比例，这种奇妙的数学现象与自然界中的生长模式和美学规律有关，被广泛应用于金融、计算机科学、建筑和艺术等领域。
深入研究斐波那契数列和黄金分割的数学特性和应用将进一步丰富我们对数学和自然界的理解。
奇妙的裴波那契数列和黄金分割
奇妙的裴波那契数列和黄金分割“斐波那契数列〞的创造者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契〔Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。
籍贯大概是比萨〕。
他被人称作“比萨的列昂纳多〞。
1202年，他撰写了?珠算原理?(Liber Abaci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯教师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21这个数列从第三项开场，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(1/ 5)*{[(1+ 5)/2]^n - [(1- 5)/2]^n}〔又叫“比内公式〞，是用无理数表示有理数的一个范例。
〕【5表示根号5】很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
【该数列有很多奇妙的属性】比方：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887还有一项性质，从第二项开场，每个奇数项的平方都比前后两项之积少〔请自己验证后自己确定〕1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多〔请自己验证后自己确定〕1。
如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
如果任意挑两个数为起始，比方5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6 等，你将发现随着数列的开展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。
神秘的黄金分割,曼妙的斐波纳契数列
植物的神秘数字
在中国，梅花有着类似的象征意义。民 间传说梅花五瓣代表着五福。民国把梅花 定为国花，声称梅花五瓣象征五族共和， 具有敦五伦、重五常、敷五教的意义。但 是梅花有五枚花瓣并非独特，事实上，花 最常见的花瓣数目就是五枚，例如与梅同 属蔷薇科的其他物种，像桃、李、樱花、 杏、苹果、梨等等就都开五瓣花。常见的 花瓣数还有：3枚，鸢尾花、百合花(看上 去6枚，实际上是两套3枚)；8枚，飞燕草； 13枚，瓜叶菊；向日葵的花瓣有的是21枚， 有的是34枚；雏菊的花瓣有的是34、55或 89枚。而其他数目花瓣的花则很少。
甲
乙
丙
一个有趣的实验：
心理学家测量了大家选出来的矩形 21
5
8 8
13
34 13
21
什么是“斐波纳契数列”
坐落在意大利比萨的 斐波纳契雕像
斐波纳契(1170-1240)是中世纪意大 利数学家，他也许是在生活在丢番图 (Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出的 数论学家。我们对他的生平知道得很少。 他出生在意大利那个后来因为伽里略做过 落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现 在那里还有他的一座雕像。他年轻是跟随 经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就是 由此而学习到了世界各地不同的算术体系。 在他最重要的著作《算盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度阿拉伯数码（包括0）及其演算法则。数 论方面他在丢番图方程和同余方程方面有 重要贡献。
在一月底，最初的一对兔子交配，但是还只有1对 兔子；在二月底，雌兔产下一对兔子，共有2对兔子； 在三月底，最老的雌兔产下第二对兔子，共有3对兔子； 在四月底，最老的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的 雌兔产下一对兔子，共有5对兔子；……如此这般计算 下去，兔子对数分别是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89, 144, ...看出规律了吗？
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奇妙的裴波那契数列和黄金分割“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。
籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(1/ 5)*{[(1+ 5)/2]^n - [(1- 5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
）【 5表示根号5】很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
【该数列有很多奇妙的属性】比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.87还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积少（请自己验证后自己确定）1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多（请自己验证后自己确定）1。
如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6 等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。
如果所有的数都要求是自然数，能找出被任意正整数整除的项的此类数列，必然是斐波那契数列的某项开始每一项的倍数，如4,6,10,16,26 （从2开始每个数的两倍）。
斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2 ）的其他性质：1.f(0)+f(1)+f(2)+ +f(n)=f(n+2)-12.f(1)+f(3)+f(5)+ +f(2n-1)=f(2n)-13.f(0)+f(2)+f(4)+ +f(2n)=f(2n+1)-14.[f(0)]^2+[f(1)]^2+ +[f(n)]^2=f(n) f(n+1)5.f(0)-f(1)+f(2)- +(-1)^n f(n)=(-1)^n [f(n+1)-f(n)]+16.f(m+n)=f(m-1) f(n-1)+f(m) f(n)7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1) f(n+1)8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。
（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。
斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：3 百合和蝴蝶花5 蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草8 翠雀花13 金盏草21 紫宛34，55，84 雏菊（3）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。
例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。
叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。
叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。
在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。
多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
（4）斐波那契数列与黄金比值相继的斐波那契数的比的数列：它们交错地或大于或小于黄金比的值。
该数列的极限为。
这种联系暗示了无论（尤其在自然现象中）在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，那里也就会出现斐波那契数，反之亦然。
【与之相关的数学问题】 1.排列组合.有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法1，2，3，5，8，13 所以，登上十级，有89种2.数列中相邻两项的前项比后项的极限.就是问，当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1)的极限是多少？这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+ 5)/2，这个就是所谓的黄金分割点，也是代表大自然的和谐的一个数字。
3.求递推数列a(1)=1,a(n+1)=1+1/a(n).的通项公式.由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n).将菲波那契数列的通项式代入，化简就得结果。
【斐波那契数列别名】斐波那契数列又因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
斐波那契数列一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。
如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对;两个月后，生下一对小兔民数共有两对;三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对;－－－－－－依次类推可以列出下表：经过月数：---0---1---2---3---4---5---6---7---8---9--10--11--12兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89-144-233表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。
这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
这个特点的证明：每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，相加。
这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性质外，还可以证明通项公式为：an=1/ [（1＋ 5/2) n-(1- 5/2)n](n=1,2,3.....）【数列值的另一种求法】F(n) = [ (( sqrt ( 5 ) + 1 ) / 2) ^ n ]其中[ x ]表示取距离 x 最近的整数。
斐波那契数列的应用】一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方形地毯。
”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为商者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的！这真是不可思议的事！亲爱的读者，你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢？斐波那契数列在自然科学的其他分支，也有许多应用。
例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。
所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。
这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。
这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。
另外，观察延龄草,野玫瑰,南美血根草,大波斯菊,金凤花,耧斗菜,百合花,蝴蝶花的花瓣.可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数:3,5,8,13,21斐波那契螺旋具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。
这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。
叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数1.9 的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。
向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。
介绍把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是[5^(1/2)-1]/2，取其前三位数字的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1/0.618=1.618(1-0.618)/0.618=0.618这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。
让我们首先从一个数列开始，它的前面几个数是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144 ..这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。
特点是即除前两个数（数值为1）之外，每个数都是它前面两个数之和。
斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
即f(n)/f(n-1)- 0.618 。
由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。
但是当我们继续计算出后面更大的斐波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。
不仅这个由1,1,2,3,5....开始的“斐波那契数”是这样，随便选两个整数，然后按照斐波那契数的规律排下去，两数间比也是会逐渐逼近黄金比的。
一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。
五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。
正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。
黄金分割三角形还有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。
由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2Sin18 。