奇妙的裴波那契数列和黄金分割

奇妙的裴波那契数列和黄金分割

“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。

斐波那契数列指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21

这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/ 5)*{[(1+ 5)/2]^n - [(1- 5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）【 5表示根号5】很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。

【该数列有很多奇妙的属性】比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.87

还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积少（请自己验证后自己确定）1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多（请自己验证后自己确定）1。

如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。

如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6 等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。如果所有的数都要求是自然数，能找出被任意正整数整除的项的此类数列，必然是斐波那契数列的某项开始每一项的倍数，如4,6,10,16,26 （从2开始每个数的两倍）。

斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。

斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2 ）的其他性质：

1.f(0)+f(1)+f(2)+ +f(n)=f(n+2)-1

2.f(1)+f(3)+f(5)+ +f(2n-1)=f(2n)-1

3.f(0)+f(2)+f(4)+ +f(2n)=f(2n+1)-1

4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+ +[f(n)]^2=f(n) f(n+1)

5.f(0)-f(1)+f(2)- +(-1)^n f(n)=(-1)^n [f(n+1)-f(n)]+1

6.f(m+n)=f(m-1) f(n-1)+f(m) f(n)

7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1) f(n+1)

8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2

（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。

（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。

斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：

3 百合和蝴蝶花

5 蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草

8 翠雀花

13 金盏草

21 紫宛

34，55，84 雏菊

（3）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。

（4）斐波那契数列与黄金比值

相继的斐波那契数的比的数列：

它们交错地或大于或小于黄金比的值。该数列的极限为。这种联系暗示了无论（尤其在自然现象中）在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，那里也就会出现斐波那契数，反之亦然。

【与之相关的数学问题】 1.排列组合.

有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?

这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法

1，2，3，5，8，13 所以，登上十级，有89种

2.数列中相邻两项的前项比后项的极限.

就是问，当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1)的极限是多少？

这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+ 5)/2，这个就是所谓的黄金分割点，也是代表大自然的和谐的一个数字。

3.求递推数列a(1)=1,a(n+1)=1+1/a(n).的通项公式.

由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n).将菲波那契数列的通项式代入，化简就得结果。

【斐波那契数列别名】

斐波那契数列又因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。

斐波那契数列

一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？

我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：

第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对;

两个月后，生下一对小兔民数共有两对;

三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对;

－－－－－－

依次类推可以列出下表：

经过月数：---0---1---2---3---4---5---6---7---8---9--10--11--12

兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89-144-233

表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。

这个特点的证明：每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，相加。