简单的线性规划 说课稿 教案 教学设计

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简单的线性规划

【教学目标】

1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；

2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。 【教学重点】

用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】

准确求得线性规划问题的最优解 【教学过程】 1.课题导入 [复习提问]

1、二元一次不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示什么图形？

2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？

3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。 2.讲授新课

在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：

引例：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ （1）用不等式组表示问题中的限制条件：

设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：

2841641200x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪

≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ (1)

（2）画出不等式组所表示的平面区域：

如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。 （3）提出新问题：

进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？

（4）尝试解答：

设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：

当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？

把z=2x+3y 变形为

233z y x =-+，这是斜率为23-

，在y 轴上的截距为3z 的直线。当z 变化

第 2

时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一

个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（2833y x =-+

），这说明，截距3z 可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线

233z y x =-+

与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距3z

最大时，z 取得最大值。因此，问题可以转化为当直线233z y x =-+

与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P ，使直线经过点P 时截距3z

最大。

（5）获得结果：

由上图可以看出，当实现

233z y x =-+

金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M （4，2）时，截距3z 的值最大，最大值为14

3，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，

工厂可获得最大利润14万元。 2、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数：

关于x 、y 的一次式z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 变换条件，加深理解

探究：课本第100页的探究活动[来源:学,科,网]

在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。 有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？

3.随堂练习

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1．请同学们结合课本P103练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题.

（1）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪

⎨⎧-≥≤+≤.

1,1,y y x x y

解：不等式组表示的平面区域如图所示： 当x=0,y=0时，z=2x+y=0 点（0，0）在直线0

l :2x+y=0上.

作一组与直线

l 平行的直线

l :2x+y=t,t ∈R.

可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （2，-1）的直线所对应的t 最大. 所以zmax=2×2-1=3.

（2）求z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件

⎪⎩⎪

⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x

解：不等式组所表示的平面区域如图所示：

从图示可知，直线3x+5y=t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）

的直线所对应的t 最小，以经过点（817,

89）的直线所对应的t 最大.

所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.

zmax=3×89+5×817

=14