复变函数论第三版钟玉泉第七章

总结以上两点,即知G=f(D)是区域.
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定理7.2 设w=f(z)在区域D内单叶解析,则D的 象G=f(D)也是一个区域.
证 因f(z)在区域D内单叶,必f(z)在D内不恒为常数. 注 定理7.1可以推广成这样的形式:“w=f(z)在扩充z 平面的区域D内除可能有极点外处处解析（即为亚 纯函数）,且不恒为常数,则D的象G=f(D)为扩充z平
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第七章 共形映射
7.1 解析变换的特性
7.1.1 解析变换的保域性 7.1.2 解析变换的保角性 7.1.3 单叶解析变换的共形性
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7.1.1解析变换的保域性 定理7.1 (保域定理)设w=f(z)在区域D内解析且
由于D是区域,可在D内部取一条联结z1,z2的折线 C:z=z(t) [t1≤t≤t2,z(t1)=z1,z(t2)=z2].于是：
: w f [z(t)](t1 t t2 )
就是联结w1,w2的并且完全含于D的一条曲线. 从而,参照柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到
一条连接w1,w2,内接于 且完全含于G的折线1
不恒为常数,则D的象G=f(D)也是一个区域.
证 首先证明G的每一点都是内点. 设w0∈G,则有一点z0∈D,使w0=f(z0). 要证w0是G的内点,只须证明w*与w0 充分接近时,w*亦属于G.
即当w*与w0 充分接近时, 方程w*=f(z) 在D内有解.
为此,考察 f(z)-w*=(f(z)-w0)+(w0-w*,)显然 f(z0)-w0=0,
设w=f(z)于区域D内解析,z0∈D,在点z0有导数
f '(z0 ) 0 通过z0任意引一条有向光滑曲线
则 z'(t0C)必:z=存z(t在)(t且0≤tz≤'(t1t0),)z0=0z(t0).
因此C在z0有切线, z'(t0 ) 就是切向量,
它的倾角为 arg z '(t0 ).
经变换w=f(z),C的象曲线 f (C)

w0
u
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y
Cz
z0+∆z
z0
w=f(z)

图7.1
0
x
v
w0 0
w 设 f (z0 ) Rei ,

w0+∆w
| f (z0 ) | R,
argf (z0) （,7.1）
且lim w R 0（. 7.2）
为变换 w0 f (z0 ) 在点 z0 的旋转角。—导数辐角的几何意义.
(7.2)说明:象点间无穷小距离与原象点间的无穷小距离之比
的极限是 R | f (z0 ) | ,它仅与 z0 有关,而与过 z0 的曲线C的
Байду номын сангаас
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方向无关,称为变换w=f(z)在点 z0的伸缩率.这也就是导 数模的几何意义.
z0 z
u
arg w'(t0 ) arg f '(z0 ) arg z'(t0 ), arg f '(z0 ).
如果假定x轴与u轴,y轴与v轴的正方向相同,而且将原曲线
切线的正方向与变换后象曲线的切线正方向间的夹角,理解
为原曲线经过变换后的旋转角,则：
(7.1)说明:象曲线 在点w0 f (z0 ) 的切线正向,可由原曲 线C在点 z0 的切线正向旋转一个角度arg f (z0) 得出。 arg f (z0) 仅与 z0 有关,而与经过 z0 的曲线C的选择无关,称
0
y
z0

C
z x
的参数方程应为
w=f(z)
: w f [z(t)](t0 t t1)
由定理7.3及第三章习题(一)13,
v
w
在点w0=w(t0)的邻域内是光滑的. 又由于w(t0) f (z0)z(t0) 0 故 在w0=f(z0)也有切线，
5 w'(t0 ) 就是切向量,设其倾角为，则 0
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经点z0的两条有向曲线C1,C2的切线方向所构 成的角称为两曲线在该点的夹角.
面上的区域.
定理7.3 设函数w=f(z)在点z0解析,且f (z0)≠0,则
f(z)在z0的一个邻域内单叶解析.
注 满足定理7.2和7.3的条件的解析变换w=f(z)将z0的 一个充分小的邻域内变成w0=f(z0)的一个曲边邻域.
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7.1.2 解析变换的保角性 —导数的几何意义
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因此根据儒歇定理,在C的内部
f (z) w* [ f (z) w0 ] w0 w* 与f(z)-w0有相同零点的个数.于是w*=f(z)在D内有解.
其次,要证明G中任意两点w1=f(z1),w2=f(z2)均可 以用一条完全含于G的折线联结起来.（连通性）
上面提到的旋转角与C的选择无关的这个性质,称 为旋转角不变性;伸缩率与C的方向无关,这个性质,称
为伸缩率不变性. 从几何意义上看:如果忽略高阶无穷小,伸缩率
不变性就表示w=f(z)将z z0 处无穷小的圆变w成 w0 处的无穷小的圆,其半径之比为| f (z0 ) | .
上式可视为 f z f z0 f z0 z z0
由解析函数零点的孤立性,必有以z0为心的某个圆
C:|z-z0|=R,C及C的内部全含于D,使得
f(z)-w0在C上及C的内部(除z0外)均不为零.因而在C上:
对在邻域 |
w*

| f (z)
w0 |
w0 | 0. 内的点w*及在C上的点z有
2
| f (z) w0 | | w* w0 | .
f z0 1,表示从z0出发的任一无穷小距离伸长；
f z0 1,表示从z0出发的任一无穷小距离缩短； f z0 1,表示从z0出发的任一无穷小距离不变。
上面的讨论说明:解析函数在导数不为零的地方
具有旋转角不变性与伸缩率不变性.
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