第三章 矩阵分析及其应用精品PPT课件
合集下载
矩阵及其应用ppt课件
线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn
《矩阵分析》课件
方阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵。
01
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的方阵称 为对角矩阵。
03
对称矩阵
设$A = (a_{ij})$为$n$阶方阵，若对任意$i, j$都有$a_{ij} = a_{ ji}$，则称$A$为对称矩
阵。
05
02
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 $O$。
04
非零行的首非零元所在列在上一行的 首非零元所在列的右边。
同一行的所有非零元均在首非零元的 右边。
线性无关组与基础解系
线性无关组：一组向量线性无关当且仅当它们不能 由其中的部分向量线性表示出来。换句话说，只有 当这组向量中任何一个向量都不能由其余向量线性 表示时，这组向量才是线性无关的。
基础解系中的解向量线性无关。
当B=I时，广义特征值问题退化为普通的特征值问题。此外，广义特征值问题可以通 过相似变换转化为普通的特征值问题进行求解。
06
CATALOGUE
矩阵函数与微分学在矩阵分析中应用
矩阵函数定义及性质
矩阵函数的性质 矩阵函数的转置、逆和行列式等运算也遵循相应的矩
阵运算规则。
矩阵函数的定义：设$A(t)=(a_{ij}(t))$是一个 $ntimes n$矩阵，其元素$a_{ij}(t)$是变量$t$ 的函数，则称$A(t)$为矩阵函数。
Gauss消元法原理
LU分解求解线性方程组
通过行变换将矩阵化为上三角矩阵， 从而解线性方程组。
将Ax=b转化为LUx=b，通过前向替 换和后向替换求解。
LU分解定义
将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个 上三角矩阵U的乘积。
QR分解原理及实现
QR分解定义
矩阵分析与应用
编码理论
象层 步特征分 抽象层面的进一步特征分析
12
教学大纲
第 周 第一周 第二周 第三周 周一 周四 周一 周四 周一 周四 周一 第四周 周四 第五周 周一 周 周四 背景介绍，矩阵分析应用 矩阵基础知识复习 向量空间，赋范空间 矩阵标量函数 逆矩阵，伪逆矩阵，MP逆矩阵 矩阵函数 Hermitian矩阵，酉矩阵，Toeplitz矩阵， 循环矩阵 Vandermonde矩阵，Fourier矩阵， Hadamard矩阵，稀疏矩阵 矩阵对角化分解 数值稳定性 矩阵对角化分解，数值稳定性 矩阵三角化分解，三角对角化分解
-1 -1
特征值，特征向量 特征值 特征向量
Ax x
2
矩阵分析课程介绍
起点：线性代数的矩阵基本知识 起点 线性代数的矩阵基本知识 目标：基于分析的语言，学习矩阵理论
特殊矩阵
矩阵 基本理论
矩阵分解
子空间与 投影分析
抽象代数 简介
矩阵特征 分析
3
矩阵基本理论
向量，向量空间，内积空间 加法，标量乘法，闭合 矩阵范数 矩阵“长度” A 矩阵标量函数
13
教学大纲
第六周 第七周 第八周 第九周 第十周 第十一周周 第十 周周 末 周一 周四 周一 周四 周一 周四 周一 周四 周一 周四 特征值，特征向量，Hamilton-Cayley定理 KL变换，主分量分析 广义特征值分解 R l i h商 特征值扰动 Rayleigh商，特征值扰动 子空间理论，子空间投影 投影分析 最小二乘 投影分析，最小二乘 稀疏矩阵表示，压缩感知 稀疏矩阵方程求解，优化理论与方法 抽象代数：群，环 抽象代数：域 第一阶段考核
y {A x, x R N }
第三章矩阵和向量的应用ppt课件
k 1 1 k 22 k n rn r
1,2,,nr是解空间的一组系基。础解
例1：求方程组的通解
x1 2x2 x3 0 2x1 3x2 x3 0
解：
4x1 7x2 x3 0
1 A 2
4
2 3 7
1 1
1 0
1
r2
2r1
0
2 1 1
1
3
1 0
你能推导出向量在不同基下的坐标变换式吗？
3.向量在一组基下的坐标如何求？
详见参考书第59页。
一般有两种求法：待定系数法与矩阵方程法。
若齐次线性方程组的解空间存在一组基 1,2, ,s,则方程组的全
部解就是 k 11 k 22 k ss,这称为方程组的通解。
由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。
3 0
1 0
0
0 1 0
5 3 0
1 0 0
0 1 0
5 同解方程组为
3 0
x1 5x3 x2 3x3
2 1 1 3 0 0
x3 1,
x1 5
x2
3
基础解系为 (5,3,1)T 通解为 kk(5,3,1)T
例2：求方程组的通解 x1 x2 x3 x4 0
n
a2n
a
mn
b 1
b2
b
m
x 11 x 22 x nn
方程组的向量方程
非齐次线性方程组的有解判定
方程组（1）有解 可由 1,2, ,n线性表示 A (1 ,2 , ,n ,)r ( , A ) r ( A ) A(1,2, ,n,)称为(1 方 )的程 增组 .广矩 非齐次线性方程组的解法
xr1,xr2, ,xn
1,2,,nr是解空间的一组系基。础解
例1：求方程组的通解
x1 2x2 x3 0 2x1 3x2 x3 0
解：
4x1 7x2 x3 0
1 A 2
4
2 3 7
1 1
1 0
1
r2
2r1
0
2 1 1
1
3
1 0
你能推导出向量在不同基下的坐标变换式吗？
3.向量在一组基下的坐标如何求？
详见参考书第59页。
一般有两种求法：待定系数法与矩阵方程法。
若齐次线性方程组的解空间存在一组基 1,2, ,s,则方程组的全
部解就是 k 11 k 22 k ss,这称为方程组的通解。
由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。
3 0
1 0
0
0 1 0
5 3 0
1 0 0
0 1 0
5 同解方程组为
3 0
x1 5x3 x2 3x3
2 1 1 3 0 0
x3 1,
x1 5
x2
3
基础解系为 (5,3,1)T 通解为 kk(5,3,1)T
例2：求方程组的通解 x1 x2 x3 x4 0
n
a2n
a
mn
b 1
b2
b
m
x 11 x 22 x nn
方程组的向量方程
非齐次线性方程组的有解判定
方程组（1）有解 可由 1,2, ,n线性表示 A (1 ,2 , ,n ,)r ( , A ) r ( A ) A(1,2, ,n,)称为(1 方 )的程 增组 .广矩 非齐次线性方程组的解法
xr1,xr2, ,xn
矩阵分析课件
一、线性空间的概念 几何空间和 n 维向量空间的回顾 推广思想：
抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。
定义1.1（P .1）
要点：
• 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算 • 运算的性质刻画
常见的线性空间
F n={X=（x1，x2，…，xn）T：x F} 运算：向量加法和数乘向量 F mn = {A=[aij]mn：a ijF}； 运算：矩阵的加法和数乘矩阵 i 1 R mn ；C mn 。 ix a i aiR} Pn [x]={p(x)= ：
0
1
]
5 向量的长度 定义： || || = ( , ) 性质： || k || =k || || ；
Cauchy 不等式：
， [Vn(F)；(，)], | (，) | || || || || 。 || ＋|| || || ＋|| ||
如果
W1=L{1，2，…， m }，
W2=L{1，2，…， k}，
则 W1＋W2=L{1，2，…，m，1，2，…， k }
3 、维数公式
子空间的包含关系： W1 W1 W2 W1 W2 Vn ( F ) W2
dimW1W2 dim Wi dimW1＋W2 dimVn（F）。
子空间的“和”为“直和”的充要–条件 ： 定理1· 8 设 W=W1＋W2，则下列各条等价： （ 1） W=W1W2 （ 2） X W，X=X 1＋X2的表 是惟一的 （ 3） W中零向量的表示是惟一的 （ 4） dim W =dimW1＋dimW2
例1 P12 eg18 例2 设在Rn×n中，子空间 W 1={A AT =A } ， W2={B BT= –B }， 证明Rn×n=W1W2。 例3 子空间W的“直和补子空间”
抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。
定义1.1（P .1）
要点：
• 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算 • 运算的性质刻画
常见的线性空间
F n={X=（x1，x2，…，xn）T：x F} 运算：向量加法和数乘向量 F mn = {A=[aij]mn：a ijF}； 运算：矩阵的加法和数乘矩阵 i 1 R mn ；C mn 。 ix a i aiR} Pn [x]={p(x)= ：
0
1
]
5 向量的长度 定义： || || = ( , ) 性质： || k || =k || || ；
Cauchy 不等式：
， [Vn(F)；(，)], | (，) | || || || || 。 || ＋|| || || ＋|| ||
如果
W1=L{1，2，…， m }，
W2=L{1，2，…， k}，
则 W1＋W2=L{1，2，…，m，1，2，…， k }
3 、维数公式
子空间的包含关系： W1 W1 W2 W1 W2 Vn ( F ) W2
dimW1W2 dim Wi dimW1＋W2 dimVn（F）。
子空间的“和”为“直和”的充要–条件 ： 定理1· 8 设 W=W1＋W2，则下列各条等价： （ 1） W=W1W2 （ 2） X W，X=X 1＋X2的表 是惟一的 （ 3） W中零向量的表示是惟一的 （ 4） dim W =dimW1＋dimW2
例1 P12 eg18 例2 设在Rn×n中，子空间 W 1={A AT =A } ， W2={B BT= –B }， 证明Rn×n=W1W2。 例3 子空间W的“直和补子空间”
矩阵分析第三章ppt课件
2
我们知道，向量是特殊的矩阵。所有 m n阶的实矩 阵的集合 R m n 对矩阵的加法和数乘封闭，并且也满
足上述8条运算律。因此也是“实向量空间”。 不过这里的“向量”是实矩阵！！
二、线性空间(Linear Space)的概念
定义1.1如果非空集合 V 对于加法及数乘两种运算 封闭，并且对于加法和数乘满足下面8条运算律，那 么就称集合 V 为数域 F 上的线性空间或向量空间：
例1.2 闭区间 [ a , b ] 上的所有实值连续函数按通常 函数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间 C [a , b ] 例1.3 次数不超过 n 的所有实系数多项式按通常 多项式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间 P [ x ] n 例1.4 所有收敛的实数数列按数列极限的加法和数
乘，构成线性空间 l
( A 2 ) 加 法 结 合 律 ： ( ) ( ) ，
(A 3) 具有加法单位元（零向量） R2 ，使得 (A4) 具有加法逆元（负向量） R2 ，使得 ( )
( M 1 ) 数 乘 的 结 合 律 ： k () l ( k l )
( M 1 ) 数 乘 的 结 合 律 ： k () l ( k l )
( M 2 ) 数 乘 的 单 位 元 ： 1
( D 2 ) 分 配 律 2 : ( k l ) kl
( D 1 ) 分 配 律 1 : k ( ) k k
例1.1所有 m n阶的实（复）矩阵按矩阵的加法 m n m n 和数乘，构成线性空间 R (C ) 。
三、线性空间的基本性质
如果 V 是数域 F 上的线性空间，则
(1 )
矩阵分析3ppt课件
3. 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
应用 计算矩阵多项式
1 0 2
例 A0 1 1 ，求(A) 2A8 3A5 A4 A2 4
0 1 0
特征多式E- A 3 21，于是A3 2A10 (A) (2A5 4A3 5A2 9A)(A3 2A1)
24A2 37A10E
0 0 ( 2 ) ( 1)( 2 )
1 0
0
0 0
0
(
0 1)(
2)
4. 多项式矩阵与史密斯标准形
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
性质 初等变换不改变矩阵的各阶行列式因子及秩 史密斯标准形中的d i 即是不变因子
充要条件 两个矩阵等价，则它们具有相同的行列式因 子，相同的不变因子，相同的初等因子
2
n
1. 矩阵的相似对角形
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
充要条件 n阶矩阵A能与对角矩阵相似的充要条 件，是A有n个线性无关的特征向量
充分条件 n阶矩阵A如果有n个不同的特征值， 则A可与对角矩阵相似
1. 矩阵的相似对角形
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
充分条件 n阶矩阵A如果有n个不同的特征值， 则A可与对角矩阵相似
1
1
0
1 2 1
2
P －1 A P
1
1
2
100
2100 2 2101 2 0
A100
P
1
P －1
2100 1
2101 1
0
1
2100 1 2101 2 1
1. 矩阵的相似对角形
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
并非每个矩阵都可以相似于对角矩阵。当矩阵 不能相似于对角阵的时候，能否找到一个比较 简单的分块对角阵与它相似？
2024全新矩阵及其运算ppt课件
06
矩阵在实际问题中应 用举例
图像处理中矩阵运算应用
图像表示
将图像转换为矩阵形式，每个像 素点对应矩阵中的一个元素，方
便进行数学处理。
图像变换
通过矩阵运算实现图像的旋转、缩 放、平移等变换，满足图像处理的 各种需求。
图像压缩
利用矩阵分解等技术，对图像数据 进行压缩，减少存储空间和提高传 输效率。
一个矩阵可以与一个数相 乘，相乘的结果是一个维 度相同的矩阵，其元素为 原矩阵对应位置的元素与 数的乘积。
两个矩阵可以相乘当且仅 当第一个矩阵的列数等于 第二个矩阵的行数。相乘 的结果是一个维度为 $(m,p)$的矩阵，其中$m$ 为第一个矩阵的行数，$p$ 为第二个矩阵的列数。新 矩阵的元素由第一个矩阵 的一行与第二个矩阵的一 列对应元素相乘后求和得 到。
矩阵定义及表示方法
end{pmatrix}$
这$m times n$个数称为矩阵A的元素，简称为元，数$a_{ij}$位于矩阵A的第$i$行第$j$列 ，称为矩阵A的$(i,j)$元，以数$a_{ij}$为$(i,j)$元的矩阵可记为$(a_{ij})$或$(a_{ij})_{m times n}$，$m times n$矩阵A也记作$A_{mn}$。
单元刚度矩阵
根据单元的物理特性和形状函数，构造单元刚度矩阵，反映单元 的力学特性。
整体刚度矩阵
将所有单元的刚度矩阵按照一定规则组装成整体刚度矩阵，用于 求解整个系统的力学响应。
THANK YOU
配方法
通过配方将二次型化为标 准型。
合同变换法
利用合同变换将二次型化 为标准型。
正交变换法
利用正交变换将二次型化 为标准型。
正交变换在二次型化简中应用
矩阵分析课件 3
• The identity map id(v ) = v and the zero map 0(v ) = 0 are linear transformations. It is easy to see that a linear transformation ϕ : V → W is uniquely determined by the values of f on a basis in V . Indeed we have the following definition. Definition 2. Let V and W be vector spaces over F and B be a basis of V . Any arbitrary function f : B → W can be extended by linearity to a unique transformation ϕ : V → W , that is ϕ(λ1 x1 + · · · + λk xk ) = λ1 f (x1 ) + · · · + λk f (xk ) for any x1 , . . . , xk ∈ B and λ1 , . . . , λk ∈ F. There is a one-to-one correspondence between a function from B to W and a linear map from V to W . 2
算法
1.3
Arithmetics on linear maps
Definition 4. Let f, g : V → W be linear transformations and λ ∈ F . The sum of f and g is the linear transformation f + g : V → W defined by (f + g )(x) = f (x) + g (x). The scalar multiplication of f and λ is the linear transformation λf : V → W defined by (λf )(x) = λf (x). Definition 5. Let f : V → W and g : U → V be linear transformations. The composition of f and g is the linear transformation f ◦ g : U → W defined by (f ◦ g )(x) = f (g (x)). Definition 6. Let f : V → W be an isomorphism. The inverse of f is the linear transformation f −1 : W → V defined by f −1 (x) = y whenever f (y ) = x. Examples: • Let A, B ∈ Mm,n (F ). Consider f, g : F n → F m defined by f (x) = Ax and g (x) = Bx. Then (f + g )(x) = (A + B )x and (λf )(x) = λAx. • Let A ∈ Mm,n (F ) and B ∈ Mn,p (F ). Consider f : F n → F m defined by f (x) = Ax and g : F p → F n defined by g (x) = Bx. Then (f ◦ g )(x) = ABx. • Let A be an invertible n × n matrix. Consider f : F n → F n defined by f (x) = Ax. Then (f −1 )(x) = A−1 x. 4
2024年度矩阵分析课件精品PPT
2024/3/24
6
矩阵性质总结
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
05
2024/3/24
(A+B)+C=A+(B+C)，(AB)C=A(BC)。 A+B=B+A，但AB≠BA。 (A+B)C=AC+BC，C(A+B)=CA+CB。 λ(μA)=(λμ)A，(λ+μ)A=λA+μA。 λ(A+B)=λA+λB。
12
03
线性方程组与矩阵解法
2024/3/24
13
线性方程组表示形式
80%
一般形式
Ax = b，其中A为系数矩阵，x为 未知数列向量，b为常数列向量 。
100%
增广矩阵形式
[A|b]，将系数矩阵A和常数列向 量b合并为一个增广矩阵。
80%
向量形式
x = Ab，表示通过矩阵A的逆求 解未知数列向量x。
04
典型例题解析
10
秩及其求法
2024/3/24
01
矩阵秩的定义与性质
02
利用初等变换求矩阵秩的方法
03
利用向量组的极大无关组求矩阵秩的方法
04
典型例题解析
11
典型例题解析
01 02 03 04
2024/3/24
初等变换与初等矩阵相关例题 矩阵等价性判断相关例题 秩及其求法相关例题 综合应用相关例题
矩阵分析课件精品PPT
2024/3/24
1
目
CONTENCT
录
2024/3/24
• 矩阵基本概念与性质 • 矩阵变换与等价性 • 线性方程组与矩阵解法 • 特征值与特征向量 • 相似对角化与二次型 • 矩阵函数与微分方程求解
矩阵分析与应用教学介绍PPT课件
第1页/共7页
需要上课么?
数学学得好的基本都是自学 的
• 认知学上所谓“悟”和练，佛家所 谓的“修”;
悟有感悟，体悟,顿悟；
修有“修养、修炼”
悟需要天份，机遇;
修只要勤奋，刻苦,所以人人可 以做到。
• 有天份的人可以不上;
谁应该上课?
• 没有天份的应该上, 上课教学的目标就是主要针对那些没有天份只
考查矩阵理论学好与否的标志之一:
你能否提出一个有意义的关于矩阵的问题？不管
你能否解决它？你如何想到这个问题的，问题的
背景是什么？
怎么分析的，考虑解决问题的
出发点在哪里？解决问题的难点在哪里？
基• 本计算计方算法设计的原理是什么？
• 矩阵计算的推导过程是学习矩阵分析应该掌握的 基本技术，考察矩阵计算是否过关的标志之一。
第5页/共7页
向后误差分析法
真实的场景
假设的场景
计算机字长有限，输入数据x 精确， 计算过程由于截断误差影响不精确， 因此输出结果有误差；
用函数映射的语言就是：xf(x) (x精确， f()不能精确实现)
误差f(x)- f (x)分析很困难; 例如:
Ax=b ; x’=f(A,b)。
• 计算机计算过程精确(函数f())精 确， 但是输入x有误差，
• 用函数映射的语言就是： • 求x，使得f (x)= f(x); • 向后误差分析的方法
就是在此假设下分析 | f(x) - f(x)|
• 从而重点在于分析误差x-x。 • Ax=b,x’=(A+△A)\(b+△b)
第6页/共7页
感谢观看！
第7页/共7页
通过课后练习和复习掌握，定理证明我们主要分析证明思路(为什么这样 证明)，证明细节留给大家)。
需要上课么?
数学学得好的基本都是自学 的
• 认知学上所谓“悟”和练，佛家所 谓的“修”;
悟有感悟，体悟,顿悟；
修有“修养、修炼”
悟需要天份，机遇;
修只要勤奋，刻苦,所以人人可 以做到。
• 有天份的人可以不上;
谁应该上课?
• 没有天份的应该上, 上课教学的目标就是主要针对那些没有天份只
考查矩阵理论学好与否的标志之一:
你能否提出一个有意义的关于矩阵的问题？不管
你能否解决它？你如何想到这个问题的，问题的
背景是什么？
怎么分析的，考虑解决问题的
出发点在哪里？解决问题的难点在哪里？
基• 本计算计方算法设计的原理是什么？
• 矩阵计算的推导过程是学习矩阵分析应该掌握的 基本技术，考察矩阵计算是否过关的标志之一。
第5页/共7页
向后误差分析法
真实的场景
假设的场景
计算机字长有限，输入数据x 精确， 计算过程由于截断误差影响不精确， 因此输出结果有误差；
用函数映射的语言就是：xf(x) (x精确， f()不能精确实现)
误差f(x)- f (x)分析很困难; 例如:
Ax=b ; x’=f(A,b)。
• 计算机计算过程精确(函数f())精 确， 但是输入x有误差，
• 用函数映射的语言就是： • 求x，使得f (x)= f(x); • 向后误差分析的方法
就是在此假设下分析 | f(x) - f(x)|
• 从而重点在于分析误差x-x。 • Ax=b,x’=(A+△A)\(b+△b)
第6页/共7页
感谢观看！
第7页/共7页
通过课后练习和复习掌握，定理证明我们主要分析证明思路(为什么这样 证明)，证明细节留给大家)。
第三章_矩阵分析及其应用
1
( A) lim Ak k k
例4 构造一个收敛的二阶可逆矩阵序列，但是其极限矩阵不 可逆。
解
a(k) 11
k 1, 3k
a(k) 12
k
k
a(k) 21
k
5,
a(k) 22
3k 2 k k2 2
显然每一个 A(k) (k 1, 2, ) 均可逆，但是其极限矩阵
却不可逆。
1 A lim A(k) 3
A(k) A A B(k) B A(k) A B A(k) A B(k) B A B(k) B A(k) A B 0
（4） PA(k)Q PAQ P( A(k) A)Q P A(k) A Q 0
（5） A1 ( A(k) )1 A1 [ A ( A(k) A)]1 A1 A1( A(k) A) 1 A1( A(k) A)
, m; j 1, 2,
,n
k 1
都绝对收敛， 则称以上矩阵级数绝对收敛。
例 如果设 A(k ) (aikj )22 C 22 ，其中
a (k) 11
k 1
k 1
1, k(k 1)
a (k) 12 k 1
k 1
1 k3
a (k) 21 k 1
k 1
2k
,
a (k) 22 k 1
1
k
1 3
矩阵级数
定义：设 A(k) (aikj )mn C mn，如果mn个常数项级数
a (k ij
)
,
i 1, 2,
, m; j 1, 2,
,n
k 1
都收敛， 则称矩阵级数
A(k ) A(1) A(2)
k 1
收敛。如果mn个常数项级数
( A) lim Ak k k
例4 构造一个收敛的二阶可逆矩阵序列，但是其极限矩阵不 可逆。
解
a(k) 11
k 1, 3k
a(k) 12
k
k
a(k) 21
k
5,
a(k) 22
3k 2 k k2 2
显然每一个 A(k) (k 1, 2, ) 均可逆，但是其极限矩阵
却不可逆。
1 A lim A(k) 3
A(k) A A B(k) B A(k) A B A(k) A B(k) B A B(k) B A(k) A B 0
（4） PA(k)Q PAQ P( A(k) A)Q P A(k) A Q 0
（5） A1 ( A(k) )1 A1 [ A ( A(k) A)]1 A1 A1( A(k) A) 1 A1( A(k) A)
, m; j 1, 2,
,n
k 1
都绝对收敛， 则称以上矩阵级数绝对收敛。
例 如果设 A(k ) (aikj )22 C 22 ，其中
a (k) 11
k 1
k 1
1, k(k 1)
a (k) 12 k 1
k 1
1 k3
a (k) 21 k 1
k 1
2k
,
a (k) 22 k 1
1
k
1 3
矩阵级数
定义：设 A(k) (aikj )mn C mn，如果mn个常数项级数
a (k ij
)
,
i 1, 2,
, m; j 1, 2,
,n
k 1
都收敛， 则称矩阵级数
A(k ) A(1) A(2)
k 1
收敛。如果mn个常数项级数
《矩阵分析》PPT课件
握时机，以寻求更大的发展。
2.抑制性（机会+劣势）
抑制性意味着妨碍、阻止、影响与控制。当环境提
供的机会与企业内部资源优势不相适合，或者不能相互
重叠时，企业的优势再大也将得不到发挥。在这种情形
下，企业就需要提供和追加某种资源，以促进内部资源
劣势向优势方面转化，从而迎合或适应外部机会。
3.脆弱性（优势+威胁）
（2）现金牛产品（cash cow）， 又称厚利产品。它是指处于低增 长率、高市场占有率象限内的产 品群，已进入成熟期。其财务特 点是销售量大，产品利润率高、 负债比率低，可以为企业提供资 金，而且由于增长率低，也无需 增大投资。因而成为企业回收资 金，支持其它产品，尤其明星产 品投资的后盾。收获战略；适合 于事业部制组织结构；选拔市场 营销型人物来负责。
说明 相对市场份额
以公司在某个领域的市场份额除以该领域最大竞争对手的 市场份额
通常以1.0把相对市场份额分为高低两部分。
市场增长率
可以用经济增长率作为标准，或者用10%。
圆圈反映了一个领域的份额和增长情况，面积反映了企业 从这个领域得到的销售收入占全部收入的比例。
各象限产品的定义及战略对 策 （1）明星类产品 增长较快速，略显资金不足； 一般水平的利润率和负债比 率。 扩大投资战略；采用事业部 形式的组织结构；选拔对生 产技术和销售都很内行的人 负责 。
缺乏具有竞争意义的技能技术。
缺乏有竞争力的有形资产、无形资产、人力资源、组织 资产。
关键领域里的竞争能力正在丧失。
机会 公司面临的潜在机会（O）：潜在的发展机会可能是： 客户群的扩大趋势或产品细分市场。
技能技术向新产品新业务转移，为更大客户群服务。
前向或后向整合。 市场进入壁垒降低。 获得购并竞争对手的能力。 市场需求增长强劲，可快速扩张。 出现向其他地理区域扩张，扩大市场份额的机会。
矩阵分析.ppt
X
x2
，
am X
xn
nm
同理，a X 对X T的导数定义为
a1 X
x1
da X
a2
X
dX T
x1
am X
x1
a1 X
x2
a2 X
x2
am X
x2
bX
daT X
dX
bX
dbT X
dX
aX
;
5
d dX T
aT
X
bX
bT
X
da X
dX T
aT
X
db X
dX T
。
例6
设A
aij
,
mn
X
x1, x2 ,
, xn T ，
求线性向量函数y AX关于向量X T的导数
可微，其导数定义如下：
A' t= aij' t ,同样，At的高阶导数定义为：
A'' t=
A' t
'
,
, An
t
=
n1
A
t
'
。
性质1 设函数矩阵At，Bt都可微，则 1设k任意常数，则kAt' kA' t;
2若At与Bt可以相加，则 At Bt' A' t B' t;
矩阵分析PPT课件
(AB)T=BTAT; (AB)*=B*A*; (AB)-1=B-1A-1.
例2引出的一些结论
• 在R2中至少可定义两个不同的内积.
• 欧氏空间是由实线性空间连同内积一起定义的, 同一实线性空间连同不同内积会定义不同的欧 氏空间.因此,用标准内积和例2的内积对R2能 定义出两个不同的欧氏空间.
• 这两个不同内积的确定义了两个不同欧氏空间. 例如,同一向量a=(1,0)T在标准内积下的长度 是(a,a)1/2=1;而在例2的内积下的长度是:
数学的重要性
① 新世纪国家间的竞争主要是经济竞争。但归 根结底是人才的竞争。人才培养的关键是素质 教育。素质教育包括修养、品质、知识、技能 等各个方面。数学教育在素质教育中占据重要 地位。
② 当今社会正日益数学化，数学是高科技的基 础。
数学在素质教育中的重要地位
• 数学授人以能力,数学训练能使人变聪明.
tr(k1A+k2B)=i (k1aii+k2bA+k2trB
欧氏空间例3 (例3.1.3 p.113)
A,BRmn={A=(aij)|aijR,i=1,…m,j=1,…,n}. 定义内积:(A,B)=tr(ATB)=ijaijbij.
1阶方阵
(k,)=TG(k)=kTG=k(,), (+,)=TG(+)=TG+TG=(,)+(,),
TG(b1
2 b2)1
1a1 1a2
(b1
b2)2aa11aa22
2 a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 2 b 2
(a,a)1/2=(2+0+0+0)1/2=21/2,
二者不相同.
方阵A=(aij)Cnn,A的迹定义为其所有对角元 之和:
例2引出的一些结论
• 在R2中至少可定义两个不同的内积.
• 欧氏空间是由实线性空间连同内积一起定义的, 同一实线性空间连同不同内积会定义不同的欧 氏空间.因此,用标准内积和例2的内积对R2能 定义出两个不同的欧氏空间.
• 这两个不同内积的确定义了两个不同欧氏空间. 例如,同一向量a=(1,0)T在标准内积下的长度 是(a,a)1/2=1;而在例2的内积下的长度是:
数学的重要性
① 新世纪国家间的竞争主要是经济竞争。但归 根结底是人才的竞争。人才培养的关键是素质 教育。素质教育包括修养、品质、知识、技能 等各个方面。数学教育在素质教育中占据重要 地位。
② 当今社会正日益数学化，数学是高科技的基 础。
数学在素质教育中的重要地位
• 数学授人以能力,数学训练能使人变聪明.
tr(k1A+k2B)=i (k1aii+k2bA+k2trB
欧氏空间例3 (例3.1.3 p.113)
A,BRmn={A=(aij)|aijR,i=1,…m,j=1,…,n}. 定义内积:(A,B)=tr(ATB)=ijaijbij.
1阶方阵
(k,)=TG(k)=kTG=k(,), (+,)=TG(+)=TG+TG=(,)+(,),
TG(b1
2 b2)1
1a1 1a2
(b1
b2)2aa11aa22
2 a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 2 b 2
(a,a)1/2=(2+0+0+0)1/2=21/2,
二者不相同.
方阵A=(aij)Cnn,A的迹定义为其所有对角元 之和:
矩阵分析考试重点.ppt
这说明 A B 为一个半正定H-阵。
类似地，可以证明另外一问。
习题3-23 设 A 是一个正定的H-阵, B 是一 个反H-阵, 证明: A B 是可逆矩阵.
证明: 由于 A是一个正定H-阵, 所以存在可
逆矩阵 Q 使得
A QHQ
这表明 A 是可逆的. 于是
A B A AA1B A I A1B
0 是 f 的特征值 0 是 A 的特征值
x1
(1,2,L
,
n
)
x2
Hale Waihona Puke M是f的属于0 的特征向量
x1
x2
M
是
xn
A的属于0
的特征向量
xn
18
第二章 矩阵与矩阵的Jordan标准形
主要掌握以下内容：
1、会求 矩阵的Smith标准形：
（1）初等变换法 （2）行列式因子法 （3）初等因子法
第一章 线性空间和线性变换
主要掌握以下内容： 1、能给出常见线性空间的基；
会求一个向量在给定基下的坐标； 会求两组基的过渡矩阵
1
例 1 实数域 R 上的线性空间R3 的一组基
(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)
例 2 实数域 R 上的线性空间R22 中的一组基
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 , 0 0 , 1 0 , 0 1
M
Ik
in
因才阵此 成 ，，立所只，以有这A当样与有J对i 为角in 一矩阶阵1 ，矩相这阵似表时。明上面J的为矩对阵角等矩式
2-6 设 A为数域 F上的 n 阶方阵且满足
A2 A ，证明： A 与对角矩阵
1
O
1
J
类似地，可以证明另外一问。
习题3-23 设 A 是一个正定的H-阵, B 是一 个反H-阵, 证明: A B 是可逆矩阵.
证明: 由于 A是一个正定H-阵, 所以存在可
逆矩阵 Q 使得
A QHQ
这表明 A 是可逆的. 于是
A B A AA1B A I A1B
0 是 f 的特征值 0 是 A 的特征值
x1
(1,2,L
,
n
)
x2
Hale Waihona Puke M是f的属于0 的特征向量
x1
x2
M
是
xn
A的属于0
的特征向量
xn
18
第二章 矩阵与矩阵的Jordan标准形
主要掌握以下内容：
1、会求 矩阵的Smith标准形：
（1）初等变换法 （2）行列式因子法 （3）初等因子法
第一章 线性空间和线性变换
主要掌握以下内容： 1、能给出常见线性空间的基；
会求一个向量在给定基下的坐标； 会求两组基的过渡矩阵
1
例 1 实数域 R 上的线性空间R3 的一组基
(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)
例 2 实数域 R 上的线性空间R22 中的一组基
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 , 0 0 , 1 0 , 0 1
M
Ik
in
因才阵此 成 ，，立所只，以有这A当样与有J对i 为角in 一矩阶阵1 ，矩相这阵似表时。明上面J的为矩对阵角等矩式
2-6 设 A为数域 F上的 n 阶方阵且满足
A2 A ，证明： A 与对角矩阵
1
O
1
J
《矩阵分析》课件
行列式的计算方法
代数余子式法
01
利用代数余子式展开行列式，将行列式化为三角形或对角线形
式，从而简化计算。
递推法
02
根据行列式的性质和展开定理，利用递推关系式计算行列式的
值。
公式法
03
对于一些特殊的行列式，可以利用已知的公式直接计算其值。
如三阶行列式公式、范德蒙德公式等。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
逆矩阵的求法
高斯-约当消元法是求逆矩阵的一种常用方法，通过一系列行 变换将矩阵变为单位矩阵，其伴随矩阵即为所求的逆矩阵。
行列式的定义与性质
行列式的定义
n阶方阵A的行列式记为det(A)或|A|， 是一个标量，其值是所有n阶排列的 代数和，每个排列对应一个二项式系 数。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换 律、结合律、分配律等。此外，行列 式的值也可以通过对角线元素、主子 式、余子式等计算得到。
04
矩阵的特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义与性质
特征值
对于给定的矩阵A，如果存在一个标量λ和相应的非零向量v，使得A×v=λ×v成立，则称λ为矩阵A的特征值，v为 矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
特征向量的性质
特征向量与特征值是对应的，不同的特征值对应的特征向量是线性无关的，特征向量与特征值之间满足特定的关 系式。
高斯消元法
通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
迭代法
通过迭代的方式逼近方程组的解，常 用的方法有雅可比迭代法和SOR方法 等。
共轭梯度法
一种用于求解大规模稀疏线性方程组 的方法，通过迭代寻找方程组的解。
最小二乘法
矩阵理论与方法的应用46页PPT
矩阵理论与方法的应用
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自Байду номын сангаас。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A(k) A A B(k) B A(k) A B A(k) A B(k) B A B(k) B A(k) A B 0
（4） PA(k)Q PAQ P( A(k) A)Q P A(k) A Q 0
（5） A1 ( A(k) )1 A1 [ A ( A(k) A)]1 A1 A1( A(k) A) 1 A1( A(k) A)
1
( A) lim Ak k k
例4 构造一个收敛的二阶可逆矩阵序列，但是其极限矩阵不 可逆。
解
a(k) 11
k 1, 3k
a(k) 12
k
k
a(k) 21
k
5,
a(k) 22
3k 2 k k2 2
显然每一个 A(k) (k 1, 2, ) 均可逆，但是其极限矩阵
却不可逆。
1 A lim A(k) 3
k1 sin 2k
那么矩阵级数
A(k ) A(1) A(2)
k 1
是收敛的，而且是绝对收敛的。
A(k )
定理 设 A(k ) (aikj )mn C mn，则矩阵级数
A(k ) A(1) A(2) A(k )
k 1
绝对收敛的充分必要条件是正项级数
A(k ) A(1) A(2) A(k )
1
k
1 3
矩阵级数
定义：设 A(k) (aikj )mn C mn，如果mn个常数项级数
a (k ij
)
,
i 1, 2,
, m; j 1, 2,
,n
k 1
都收敛， 则称矩阵级数
A(k ) A(1) A(2)
k 1
收敛。如果mn个常数项级数
A(k )
a (k ij
)
,
i 1, 2,
c1 k1 ki ik
di di
ckl k(k 1)
(k l 1) (当l k) l!
ckl 0
(当l k)
于是 因此
lim
k
J
k i
(i
)
0
的充要条件是 i
1。
lim Ak 0 的充要条件是 ( A) 1
k
例3 设 有
是 Cnn 的相容矩阵范数，则对任意 A Cnn ，都
第三章
矩阵分析及其应用
矩阵序列与极限
定义 设已知矩阵序列 {A(k )}，其中 A(k ) (aikj )mn C mn，当
k→∞， aikj aij时，称{A(k)}收敛，并称矩阵
A
(aij
)
为
mn
{A(k)}的极限，或称{A(k)}收敛于A，记为
lim A(k) A 或
k
不收敛的矩阵序列称为发散。
k 1
收敛，其中 A 为任意一种矩阵范数。
mn
证明 取矩阵范数 A(k)
a (k) ij
，那么对每一对 i,j
都有
i1 j1
因此如果
A(k )
a (k) ij
A(k ) A(1) A(2) A(k )
这样，当
lim A(k ) A 0
k
时同样可得
lim A(k ) A 0
k
因此定理对于任意一种范数都成立。
矩阵序列极限运算的性质。
（1）收敛矩阵序列的极限是唯一的。
（2）设 lim A(k ) A, lim B(k) B
k
k
则 lim aA(k ) bB(k) aA bB , k
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
从而有 上式即为
mn
lim
k i1
a (k) ij
aij
j 1
0
lim A(k ) A 0
k
mn
充分性：设
lim
k
A(k ) A
lim k i1
a (k) ij
aij
j 1
0
那么对每一对 i, j 都有
lim
k
a (k) ij
A1 2 A(k ) A
0
1 A1 A(k ) A
例 1 若对矩阵A的某一范数 A 1 ，则 lim Ak 0
k
例 2 lim Ak 0 的充要条件是 ( A) 1 。 k
证明 设A的Jordan标准形 J diag(J1(1), J2(2 ), , J r (r ))
i 1
Ji
(i
（5）设 lim A(k) A，且 {A(k)} , A均可逆，则 {( A(k ) )1} k 也收敛，且 lim( A(k ) )1 A1 k
证明： （2） aA(k) bB(k) aA bB a A(k) A b B(k) B 0 （3） A(k ) B(k ) AB A(k ) B(k ) A(k ) B A(k ) B AB
a, b C
（3）设 lim A(k ) A, lim B(k ) B ，其中 A(k ) C ml , B(k ) Cln
k
k
那么 lim A(k )B(k ) AB
k
（4）设 lim A(k) A ，那么 lim PA(k)Q PAQ
k
k
其中 A(k ) C mn , P C mm ,Q C nn
aij
0
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
即
lim
k
aij
(
k
)
aij
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
故有
lim
k
A了定理对于所设的范数成立。如果 A 是另
外一种范数，那么由范数的等价性可知
d1 A(k ) A A(k ) A d2 A(k ) A
, m; j 1, 2,
,n
k 1
都绝对收敛， 则称以上矩阵级数绝对收敛。
例 如果设 A(k ) (aikj )22 C 22 ，其中
a (k) 11
k 1
k 1
1, k(k 1)
a (k) 12 k 1
k 1
1 k3
a (k) 21 k 1
k 1
2k
,
a (k) 22 k 1
A(k) A
定理 矩阵序列{A(k)} 收敛于A的充分必要条件是
lim A(k ) A 0
k
其中 A(k ) A 为任意一种矩阵范数。
证明 取矩阵范数
mn
A aij
i1 j1
必要性：设
lim
k
A(k )
A
[aij ]
那么由定义可知对每一对i, j 都有
lim
k
a (k) ij
aij
0
)
i
(i 1, 2, , r) 1
i di di
于是
Ak
Pdiag(
J
k 1
(1
),
J
k 2
(2
),
,
J
k r
(
r
))
P
1
显然，
lim Ak 0
k
的充要条件是
lim
k
J
k i
(i
)
0,
i
1,
2,
,r
又因 其中
ik
J
k i
(i
)
c1 k1 ki ik
c di 1 kdi 1 ki
（4） PA(k)Q PAQ P( A(k) A)Q P A(k) A Q 0
（5） A1 ( A(k) )1 A1 [ A ( A(k) A)]1 A1 A1( A(k) A) 1 A1( A(k) A)
1
( A) lim Ak k k
例4 构造一个收敛的二阶可逆矩阵序列，但是其极限矩阵不 可逆。
解
a(k) 11
k 1, 3k
a(k) 12
k
k
a(k) 21
k
5,
a(k) 22
3k 2 k k2 2
显然每一个 A(k) (k 1, 2, ) 均可逆，但是其极限矩阵
却不可逆。
1 A lim A(k) 3
k1 sin 2k
那么矩阵级数
A(k ) A(1) A(2)
k 1
是收敛的，而且是绝对收敛的。
A(k )
定理 设 A(k ) (aikj )mn C mn，则矩阵级数
A(k ) A(1) A(2) A(k )
k 1
绝对收敛的充分必要条件是正项级数
A(k ) A(1) A(2) A(k )
1
k
1 3
矩阵级数
定义：设 A(k) (aikj )mn C mn，如果mn个常数项级数
a (k ij
)
,
i 1, 2,
, m; j 1, 2,
,n
k 1
都收敛， 则称矩阵级数
A(k ) A(1) A(2)
k 1
收敛。如果mn个常数项级数
A(k )
a (k ij
)
,
i 1, 2,
c1 k1 ki ik
di di
ckl k(k 1)
(k l 1) (当l k) l!
ckl 0
(当l k)
于是 因此
lim
k
J
k i
(i
)
0
的充要条件是 i
1。
lim Ak 0 的充要条件是 ( A) 1
k
例3 设 有
是 Cnn 的相容矩阵范数，则对任意 A Cnn ，都
第三章
矩阵分析及其应用
矩阵序列与极限
定义 设已知矩阵序列 {A(k )}，其中 A(k ) (aikj )mn C mn，当
k→∞， aikj aij时，称{A(k)}收敛，并称矩阵
A
(aij
)
为
mn
{A(k)}的极限，或称{A(k)}收敛于A，记为
lim A(k) A 或
k
不收敛的矩阵序列称为发散。
k 1
收敛，其中 A 为任意一种矩阵范数。
mn
证明 取矩阵范数 A(k)
a (k) ij
，那么对每一对 i,j
都有
i1 j1
因此如果
A(k )
a (k) ij
A(k ) A(1) A(2) A(k )
这样，当
lim A(k ) A 0
k
时同样可得
lim A(k ) A 0
k
因此定理对于任意一种范数都成立。
矩阵序列极限运算的性质。
（1）收敛矩阵序列的极限是唯一的。
（2）设 lim A(k ) A, lim B(k) B
k
k
则 lim aA(k ) bB(k) aA bB , k
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
从而有 上式即为
mn
lim
k i1
a (k) ij
aij
j 1
0
lim A(k ) A 0
k
mn
充分性：设
lim
k
A(k ) A
lim k i1
a (k) ij
aij
j 1
0
那么对每一对 i, j 都有
lim
k
a (k) ij
A1 2 A(k ) A
0
1 A1 A(k ) A
例 1 若对矩阵A的某一范数 A 1 ，则 lim Ak 0
k
例 2 lim Ak 0 的充要条件是 ( A) 1 。 k
证明 设A的Jordan标准形 J diag(J1(1), J2(2 ), , J r (r ))
i 1
Ji
(i
（5）设 lim A(k) A，且 {A(k)} , A均可逆，则 {( A(k ) )1} k 也收敛，且 lim( A(k ) )1 A1 k
证明： （2） aA(k) bB(k) aA bB a A(k) A b B(k) B 0 （3） A(k ) B(k ) AB A(k ) B(k ) A(k ) B A(k ) B AB
a, b C
（3）设 lim A(k ) A, lim B(k ) B ，其中 A(k ) C ml , B(k ) Cln
k
k
那么 lim A(k )B(k ) AB
k
（4）设 lim A(k) A ，那么 lim PA(k)Q PAQ
k
k
其中 A(k ) C mn , P C mm ,Q C nn
aij
0
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
即
lim
k
aij
(
k
)
aij
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
故有
lim
k
A了定理对于所设的范数成立。如果 A 是另
外一种范数，那么由范数的等价性可知
d1 A(k ) A A(k ) A d2 A(k ) A
, m; j 1, 2,
,n
k 1
都绝对收敛， 则称以上矩阵级数绝对收敛。
例 如果设 A(k ) (aikj )22 C 22 ，其中
a (k) 11
k 1
k 1
1, k(k 1)
a (k) 12 k 1
k 1
1 k3
a (k) 21 k 1
k 1
2k
,
a (k) 22 k 1
A(k) A
定理 矩阵序列{A(k)} 收敛于A的充分必要条件是
lim A(k ) A 0
k
其中 A(k ) A 为任意一种矩阵范数。
证明 取矩阵范数
mn
A aij
i1 j1
必要性：设
lim
k
A(k )
A
[aij ]
那么由定义可知对每一对i, j 都有
lim
k
a (k) ij
aij
0
)
i
(i 1, 2, , r) 1
i di di
于是
Ak
Pdiag(
J
k 1
(1
),
J
k 2
(2
),
,
J
k r
(
r
))
P
1
显然，
lim Ak 0
k
的充要条件是
lim
k
J
k i
(i
)
0,
i
1,
2,
,r
又因 其中
ik
J
k i
(i
)
c1 k1 ki ik
c di 1 kdi 1 ki