复变函数第二章习题答案

第二章解析函数

1-6题中：

（1）只要不满足C-R 条件，肯定不可导、不可微、不解析 （2）可导、可微的证明：求出一阶偏导y x y x v v u u ,,,，只要一阶偏导存在且连续，同时满足C-R 条件。

（3）解析两种情况：第一种函数在区域内解析，只要在区域内处处可导，就处处解析；第二种情况函数在某一点解析，只要函数在该点及其邻域内处处可导则在该点解析，如果只在该点可导，而在其邻域不可导则在该点不解析。

（4）解析函数的虚部和实部是调和函数，而且实部和虚部守C-R 条件的制约，证明函数区域内解析的另一个方法为：其实部和虚部满足调和函数和C-R 条件，反过来，如果函数实部或者虚部不满足调和函数或者C-R 条件则肯定不是解析函数。 解析函数求导：x x iv u z f +=')(

4、若函数)(z f 在区域D 上解析，并满足下列的条件，证明)(z f 必为常数。

（1）证明：因为)(z f 在区域上解析，所以。

令),(),()(y x iv y x u z f +=，即x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,0=∂∂+∂∂='y

v

i x u z f )(。 由复数相等的定义得：

00=∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂x

v y u y v x u ,。 所以，1C y x u =),((常数)，2C y x v =),((常数)，即21iC C z f +=)(为常数。

5、证明函数在平面上解析，并求出其导数。

（1）

()()0f z z D '=∈z (cos sin )(cos sin ).x x

e x y y y ie y y x y -++

证明：设=

则

，

；

；

满足

x

v

y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,。 即函数在平面上),(y x 可微且满足C-R 条件，故函数在平面上解析。

8、（1）由已知条件求解析函数iv u z f +=)(，xy y x u +-=22，i i f +-=1)(。 解：

由于函数解析，根据C-R 条件得

y x v u y x +==2

于是

)(x y xy v ψ++=2

22

其中)(x ψ是x 的待定函数，再由C —R 条件的另一个方程得

x y u x y v y x -=-='+=22)(ψ，

所以x x -=')(ψ，即c x x +-=2

2

)(ψ。

于是

c x y xy v +-+=2

222

2

又因为i i f +-=1)(，所以当10==y x ,，时1=u ，121

=+=c v 得2

1=c

()()(),,f z u x y iv x y

=+(cos sin )(cos sin ).x x e x y y y ie y y x y -++(),(cos sin )

x u x y e x y y y =-(),(cos sin )

x v x y e y y x y =+(cos sin )cos x x

u e x y y y e y

x ∂=-+∂cos sin cos x x x v e y y ye x ye y ∂=-+∂(sin sin cos )x u e x y y y y y ∂=-++∂(cos sin sin )x v

e y y x y y x ∂=++∂z z ()(cos sin cos )(cos sin sin )x x u v

f z i e x y y y y ie y y x y y x x ∂∂'=

+=-++++∂∂2,2x y u x y u y x

=+=-+

所以

)()(2

1

222222

2

+-+++-=x y xy i xy y x z f 。

9、提示：解析函数的实部和虚部为调和函数，只要该函数不是调和函数则它就不能做为解析函数的实部或虚部。

10、提示：求出实部和虚部对x ，y 的一阶偏导，若不满足C-R 条件则肯定不是解析函数，若满足C-R 条件，同时满足一阶偏导存在且连续则为解析函数。

14.若iy x z +=，试证：（1）xshy i xchy z cos sin sin +=。 证：

= =

18、解方程 （1）31i e z += 解：)(ππ

k i z e i e 23

231+=+= 其中,......,,210±±=k

则

)(

ln ][)

(ππ

ππ

k i e

Ln z k i 23

2223

++==+

（2）2

π

i z =ln 。 解：

即

sin sin()sin cos cos sin z x iy x iy x iy =+=+()sin cos 22iiy i iy iiy iiy

e e e e x x

i --+-+()sin cos 22y y i iy y

e e e e x i x

--+-+sin cos xchy i xshy =+ln ln arg 02i z z i z π=+=+

设

，

得，即。 20、

（2）)sin(ln )cos(ln ln 33333i e e i iLn i +===试求i i i i e i i ++231,,,)(及)(i Ln +1。 解：（1）)(])[()(i iLn i Ln i e e i i

++==+111 因为

)(

ln ][)()

(ππ

ππ

k i e

Ln i Ln k i 24

22124

++==++

所以

)(ln )

(ln )

()(ππ

ππ

k k i i iLn i

e

e

e

e

i 24

2

224

211+-+-+===+

,......,,210±±=k

（3）iLni i e i =

)(

)(ππ

ππ

k i Lne

Lni k i 22

22

+==+

)(ππ

k iLni

i

e

e

i 22

+-==

,......,,210±±=k

（4）)sin (cos 11222i e e e e i i +==+ （5）)(

ln ][)()(ππ

ππ

k i e Ln i Ln k i 24

22124

++==++

1,arg 2z z π

==

z x iy =

+1

=()arg 2x iy π

+=

0,1x y ==z i =