初中几何中的折叠问题
中考数学点对点-几何折叠翻折类问题(解析版)
专题33 中考几何折叠翻折类问题专题知识点概述1.轴对称（折痕）的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题（1）求角度大小；（2）求线段长度；（3）求面积；（4）其他综合问题。
3.解决折叠问题的思维方法（1）折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。
（2）折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。
（3）折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。
这对解决问题有很大帮助。
（4）折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。
（5）折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。
一般试题考查点圆最值问题。
（6）折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。
例题解析与对点练习【例题1】（2020•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B＝∠B＝50°，∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°。
数学初中折叠问题解题技巧
数学初中折叠问题解题技巧
初中数学中的折叠问题是一种常见的问题类型，涉及到几何和代数等多个方面，具有一定的挑战性和趣味性。
下面是一些折叠问题的解题技巧:
1. 观察折叠过程，提取关键信息。
在折叠问题中，通常会涉及到两个或多个图形的折叠，需要观察折叠过程，并提取关键信息。
例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，关键信息可能是矩形的长和宽，或者是正方形的边长。
2. 利用几何图形的性质，进行推理和计算。
折叠问题通常涉及到几何图形的性质，例如面积、周长、角等。
在解决问题时，需要利用这些性质进行推理和计算。
例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，可以利用矩形的面积和周长推导出正方形的面积和周长，进而计算出折叠后的形状。
3. 利用代数知识，进行化简和求解。
折叠问题还可以利用代数知识进行化简和求解。
例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，可以利用矩形的面积和周长推导出正方形的面积和周长，并将它们用代数式表示出来。
然后，通过解方程组或代数式的方法求解答案。
4. 寻找规律，构建模型。
有些折叠问题可以通过寻找规律，构建模型来解决。
例如，在将一个正多边形折叠成平面图形的过程中，可以尝试利用正多边形的边数来构建模型。
通过模型，可以更好地理解和解决问题。
折叠问题是初中数学中的一种重要问题类型，需要学生掌握一定
的几何和代数知识，并学会利用这些知识进行推理和计算。
同时，学生还需要具备较强的逻辑思维能力和分析问题的能力，才能有效地解决折叠问题。
几何中的折叠问题(解析版)--2024年中考数学压轴突破
几何中的折叠问题一、单选题1如图，在菱形ABCD中，AD=5，tan B=2，E是AB上一点，将菱形ABCD沿DE折叠，使B、C的对应点分别是B 、C ，当∠BEB =90°时，则点C 到BC的距离是()A.5+5B.25+2C.6D.35【答案】D【分析】过C作CH⊥AD于H，过C 作C F⊥AD于F，由菱形性质和正切定义求出HD=5，HC=25，再由折叠证明∠BED=∠B ED=135°，得到∠EDC=∠EDC =45°，从而得到△CHD≌△DFC ，则C F= HD=5，则问题可解．【详解】解：过C作CH⊥AD于H，过C 作C F⊥AD于F，由已知，AD=5，tan B=2，=2，∴CD=5，tan∠CDH=HCHD∴设HD=x，则HC=2x，∴在Rt△HDC中，HC2+HD2=CD2，2x2+x2=52，解得x=5，∴HD=5，HC=25，由折叠可知，∠BED=∠B ED，∠EDC=∠EDC ，CD=C D∵∠BEB =90°，∴∠BED=∠B ED=135°，∵AB∥DC，∴∠EDC=180°-∠BED=45°，∴∠EDC=∠EDC =45°∴∠CDC =90°∵∠CHD =∠C AD =90°，∴∠CDH +C DF =90°，∵∠CDH +∠HCD =90°，∴∠C DF =∠HCD ，∴△CHD ≌△DFC ，∴C F =HD =5，∴点C 到BC 的距离是C F +CH =5+25=35．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、图形的折叠以及正切定义的应用，解答关键是根据折叠的条件推出∠BED =∠B ED =135°．2如图，将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，展开后得到折痕l 与BC 交于点P ，且点P 到AB 的距离为3cm ，点Q 为AC 上任意一点，则PQ 的最小值为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.3.5cm【答案】C【分析】由折叠可得：PA 为∠BAC 的角平分线，根据垂线段最短即可解答．【详解】解：∵将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，∴PA 为∠BAC 的角平分线，∵点Q 为AC 上任意一点，∴PQ 的最小值等于点P 到AB 的距离3cm ．故选C ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质定理等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解答本题的关键．3如图，在▱ABCD 中，BC =8,AB =AC =45，点E 为BC 边上一点，BE =6，点F 是AB 边上的动点，将△BEF 沿直线EF 折叠得到△GEF ，点B 的对应点为点G ，连接DE ，有下列4个结论：①tan B =2；②DE =10；③当GE ⊥BC 时，EF =32；④若点G 恰好落在线段DE 上时，则AF BF=13．其中正确的是()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】D【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，利用三线和一以及正切的定义，求出tan B ，即可判断①；过点D 作DK ⊥BC 于点K ，利用勾股定理求出DE ，判断②；过点F 作FM ⊥BC 于点M ，证明△EMF 为等腰直角三角形，设EM =FM =x ，三角函数求出BM 的长，利用BE =BM +EM ，求出x 的值，进而求出EF 的长，判断③；证明△AND ∽△CNE ，推出∠ENC =∠ECN ，根据折叠的性质，推出EF ∥CA ，利用平行线分线段成比例，即可得出结论，判断④．【详解】解：①过点A 作AH ⊥BC 于点H ，∵BC =8,AB =AC =45，∴BH =12BC =4，∴AH =AB 2-BH 2=8，∴tan B =AH BH =2；故①正确；②过点D 作DK ⊥BC 于点K ，则：四边形AHKD 为矩形，∴DK =AH =8，HK =AD =BC =8，∵BE =6，∴CE =2，∵CH =12BC =4，∴CK =4，∴EK =CE +CK =6，∴DE =EK 2+DK 2=10；故②正确；③过点F 作FM ⊥BC 于点M ，∵GE ⊥BC ，∴∠BEG =90°，∵翻折，∴∠BEF =∠GEF =45°，∴∠EFM =∠BEF =45°，∴EM =FM ，设EM =FM =x ，∵tan B =FM BM =2，∴BM =12FM =12x ，∴BE =BM +EM =12x +x =6，∴x =4，∴EM =FM =4，∴EF =2EM =42；故③错误；④当点G 恰好落在线段DE 上时，如图：设AC 与DE 交于点N ，∵▱ABCD ，∴AD ∥BC ，∴△AND ∽△CNE ，∴EN DN =CE AD =28=14，∴EN DE =15，∴EN =15DE =2=CE ，∴∠ENC =∠ECN ，∴∠BEN =∠ENC +∠ECN =2∠ECN ，∵翻折，∴∠BEN =2∠BEF ，∴∠BEF =∠ECN ，∴EF ∥AC ，∴AF BF =CE BE=26=13；故④正确，综上：正确的是①②④；故选D ．【点睛】本题考查平行四边形的折叠问题，同时考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度较大，是中考常见的压轴题，熟练掌握相关性质，添加合适的辅助线，构造特殊三角形，是解题的关键．4如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，将劣弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，连接CD ，若∠ABC =α0°<α<45° ，则下列式子正确的是()A.sin α=BC AB B.sin α=CD AB C.cos α=AD BD D.cos α=CD BC 【答案】B【分析】连AC ，由AB 是⊙O 的直径，可知∠ACB =90°，由折叠，AC 和CD 所在的圆为等圆，可推得AC =CD ，再利用正弦定义求解即可．【详解】解：连AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，由折叠，AC 和CD所在的圆为等圆，又∵∠CBD =∠ABC ，∴AC 和CD 所对的圆周角相等，∴AC =CD ，∴AC =CD ，在Rt △ACB 中，sin α=AC AB =CD AB，故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角、弦、弧之间的关系以及正弦、余弦定义，解答关键是通过折叠找到公共的圆周角推出等弦．5如图，在平面直角坐标系中，OA 在x 轴正半轴上，OC 在y 轴正半轴上，以OA ，OC 为边构造矩形OABC ，点B 的坐标为8,6 ，D ，E 分别为OA ，BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点F 恰好落在CD 上，则点F 的坐标为()A.3213,3013B.3013,3213C.3013,2013D.2013,3013【答案】A【分析】先求得直线CD 的解析式，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，过点F 作FN ⊥OC 于点N ，设点F m ,-32m +6 ，在Rt △EMF 中，再利用勾股定理得到关于m 的方程，解方程即可．【详解】解：∵点B 的坐标为8,6 ，四边形OABC 是矩形，D ，E 分别为OA ，BC 的中点，∴C 0,6 ，D 4,0 ，E 4,6 ，由折叠的性质可得：EF =BE =4，设直线CD 的解析式为y =kx +b ，则6=b 4k +b =0 ，解得：k =-32b =6 ，∴直线CD 的解析式为y =-32x +6，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，过点F 作FN ⊥OC 于点N ，设点F m,-32m+6，则MF=CN=6--32m+6=32m，EM=4-m，在Rt△EMF中，EM2+MF2=EF2，∴4-m2+32m2=42，解得：m=3213或m=0(不合题意，舍去)，当m=3213时，y=-32×3213+6=3013，∴点F的坐标为3213,30 13，故选：A．【点睛】本题是一次函数与几何综合题，考查了求一次函数解析式，勾股定理，翻折的性质，矩形的性质，中点的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．6综合与实践课上，李老师让同学们以矩形纸片的折叠为主题开展数学活动．如图，将矩形纸片ABCD对折，折痕为EF，再把点A折叠在折痕EF上，其对应点为A ，折痕为DP，连接A B，若AB=2，BC =3，则tan∠A BF的值为()A.33B.3 C.32D.12【答案】A【分析】先证明EF=AB=CD=2，CF=BF=DE=32，∠DEA=90°，∠A FB=90°，AD=A D=3，可得A E=A D2-DE2=32，AF=2-32=12，再利用正切的定义求解即可.【详解】解：∵矩形纸片ABCD对折，折痕为EF，AB=2，BC=3，∴EF=AB=CD=2，CF=BF=DE=32，∠DEA=90°，∠A FB=90°，由折叠可得：AD=A D=3，∴A E=A D2-DE2=32，∴A F=2-32=12，∴tan ∠A BF =1232=33.故选A 【点睛】本题考查的是轴对称的性质,矩形的性质,勾股定理的应用,求解锐角的正切,熟记轴对称的性质是解本题的关键.7如图，矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，P 是边BC 中点，将顶点D 折叠至线段AP 上一点D ，折痕为EF ，此时，点C 折叠至点C ．下列说法中错误的是()A.cos ∠BAP =45B.当AE =53时，D E ⊥AP C.当AE =18-65时，△AD E 是等腰三角形D.sin ∠DAP =45【答案】C 【分析】根据矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质计算判断即可．【详解】∵矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，P 是边BC 中点，∴BP =12BC =32，∠B =90°，∴AP =AB 2+BP 2=22+32 2=52，∴cos ∠BAP =AB AP =252=45，故A 正确；∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAP =∠APB ，∴sin ∠DAP =sin ∠APB =cos ∠BAP =45，故D 正确；设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD -DE =3-x ，sin ∠DAP =45，∵D E ⊥AP ，∴sin ∠DAP =D E AE =x 3-x =45，解得x =43，∴AE =AD -DE =3-x =53，故B 正确；当D E =AE 时，∴x =3-x ，解得x =32；此时D ,A 重合，三角形不存在，不符合题意；当D E =AD 时，过点D 作D N ⊥AD 于点N ，则AN =NE ；∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAP =∠APB ，∴cos ∠DAP =cos ∠APB =3252=35，设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD -DE =3-x ，D E =AD =x ，∴AN AD =AN x =35，解得AN =35x ；∴AE =AD -DE =3-x =2AN =65x ，解得x =1511；∴AE =65×1511=1811；当AE =AD 时，过点D 作D H ⊥AD 于点H ，设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD =AD -DE =3-x ，∴D H =AD sin ∠DAP =453-x ，AH =AD cos ∠DAP =353-x ，∴HE =AE -AH =3-x -353-x =253-x ，根据勾股定理，得HE 2+D H 2=D E 2，∴253-x 2+453-x2=x 2解得x =65-12；∴AE =3-x =15-65；综上所述，AE =15-65或AE =1811，故C 错误，故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握三角函数，勾股定理，矩形的性质，折叠的性质是解题的关键．8如图，AB 为半圆O 的直径，点O 为圆心，点C 是弧上的一点，沿CB 为折痕折叠BC 交AB 于点M ，连接CM ，若点M 为AB 的黄金分割点(BM >AM )，则sin ∠BCM 的值为()A.5-12B.5+12C.5-14D.12【答案】A【分析】过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M′，连接CM ，BM′，根据折叠的性质可得：∠CMB=∠CM′B，BC⊥MM′，从而可得∠BDM=90°，再根据黄金分割的定义可得BMAB =5-12，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而证明A字模型相似三角形△DBM∽△CBA，进而利用相似三角形的性质可得DMAC=BMAB=5-12，最后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义定义可得：∠A=∠AMC，从而可得CA=CM，再在Rt△CDM中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【详解】解：过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M′，连接CM ，BM′，由折叠得：∠CMB=∠CM′B，BC⊥MM′，∴∠BDM=90°，∵点M为AB的黄金分割点(BM>AM)，∴BMAB =5-12，∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠MDB，∵∠DBM=∠CBA，∴△DBM∽△CBA，∴DMAC =BMAB=5-12，∵四边形ACM′B是半⊙O的内接四边形，∴∠A+∠CM′B=180°，∵∠AMC+∠CMB=180°，∠CMB=∠CM′B，∴∠A=∠AMC，∴CA=CM，在Rt△CDM中，sin∠BCM=DMCM=DMAC=5-12．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，解直角三角形，翻折变换(折叠问题)，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．二、填空题9如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，折痕为EF，折叠后，EC的对应边EH经过点A，CD的对应边HG交BA的延长线于点P．若PA=PG，AH=BE，CD=3，则BC的长为．【答案】43【分析】本题考查了矩形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理．连接PF ，设BC =2x ，AH =BE=a ，证明Rt △PAF ≌Rt △PGF HL ，求得FA =FG =FD =x ，由折叠的性质求得BE =12x ，在Rt △ABE 中，利用勾股定理列式计算，即可求解．【详解】解：连接PF ，设BC =2x ，AH =BE =a ，由矩形的性质和折叠的性质知FG =FD ，∠G =∠FAP =90°，AB =CD =3，AD =BC ，∵PA =PG ，PF =PF ，∴Rt △PAF ≌Rt △PGF HL ，∴FA =FG =FD =12AD =12BC =x ，由矩形的性质知：AD ∥BC∴∠AFE =∠FEC ，折叠的性质知：∠FEA =∠FEC ，∴∠FEA =∠AFE ，∴AE =FA =x ，由折叠的性质知EC =EH =AE +AH =x +a ，∴BC =BE +EC =a +x +a =2x ，∴a =12x ，即BE =12x ，在Rt △ABE 中，AB 2+BE 2=AE 2，即32+12x2=x 2，解得x =23，∴BC =2x =43，故答案为：4310如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =6，M 为AD 的中点，N 为BC 边上一动点，把矩形沿MN 折叠，点A ，B 的对应点分别为A ，B ，连接AA '并延长交射线CD 于点P ，交MN 于点O ，当N 恰好运动到BC 的三等分点处时，CP 的长为．【答案】1或5【分析】分两种情况：①当CN =2BN 时．过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形；②当BN =2CN 时，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，根据矩形的性质得GM =AM -AG =1.再由折叠的性质可得∠AOM =90°，然后根据相似三角形的判定与性质可得答案．【详解】解：①当CN =2BN 时．如图1，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，∴NG =AB =3，AG =BN =2．∵M 为AD 的中点，∴AM =3，∴GM =AM -AG =1．由折叠A 与A 对应，∴∠AOM =90°，∵∠MAO +∠APD =90°，∠MAO +∠AMO =90°，∴∠AMO =∠APD ，即∠GMN =∠APD ．又∵∠NGM =∠ADP =90°，∴△ADP ∽△NGM ，∴NG AD=GM DP =12，解得DP =2，∴CP =CD -DP =1．②当BN =2CN 时，如图2，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，∴NG =AB =3，AG =BN =4．∵M 为AD 的中点，∴AM =3，∴GM =AG -AM =1．由折叠A 与A 对应，∴∠AOM =90°∠MAO +∠AMO =90°，∠MAO +∠APD =90°，∴∠AMO =∠APD ，即∠GMN =∠APD ．又∠ADP =∠NGM =90°，∴△ADP ∽△NGM ，∴NG AD=GM DP =12，解得DP =2，∴CP =CD +DP =5．综上，CP 的长为1或5．故答案为：1或5．【点睛】此题考查的是翻折变换-折叠问题、矩形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．11如图，DE 平分等边△ABC 的面积，折叠△BDE 得到△FDE ,AC 分别与DF ,EF 相交于G ,H 两点．若DG =m ,EH =n ，用含m ,n 的式子表示GH 的长是．【答案】m 2+n 2【分析】先根据折叠的性质可得S △BDE =S △FDE ，∠F =∠B =60°，从而可得S △FHG =S △ADG +S △CHE ，再根据相似三角形的判定可证△ADG ∽△FHG ,△CHE ∽△FHG ，根据相似三角形的性质可得S △ADG S △FHG =DG GH2=m 2GH 2，S △CHE S △FHG =EH GH 2=n 2GH 2，然后将两个等式相加即可得．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C =60°，∵折叠△BDE 得到△FDE ，∴△BDE ≌△FDE ，∴S △BDE =S △FDE ，∠F =∠B =60°=∠A =∠C ，∵DE 平分等边△ABC 的面积，∴S 梯形ACED =S △BDE =S △FDE ，∴S △FHG =S △ADG +S △CHE ，又∵∠AGD =∠FGH ,∠CHE =∠FHG ，∴△ADG ∽△FHG ,△CHE ∽△FHG ，∴S △ADG S △FHG =DG GH 2=m 2GH 2，S △CHE S △FHG =EH GH 2=n 2GH 2，∴S △ADG S △FHG +S △CHE S △FHG =m 2+n 2GH 2=S △ADG +S △CHE S △FHG =1，∴GH 2=m 2+n 2，解得GH =m 2+n 2或GH =-m 2+n 2(不符合题意，舍去)，故答案为：m 2+n 2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．12在矩形ABCD 中，点E 为AD 边上一点(不与端点重合)，连接BE ，将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，连接并延长EF ，BF 分别交BC ，CD 于G ，H 两点.若BA =6，BC =8，FH =CH ，则AE 的长为．【答案】92【分析】连接GH ，证明Rt △FHG ≅Rt △CHG (HL )，可得FG =CG ，设FG =CG =x ，在Rt △BFG 中，有62+x 2=(8-x )2，可解得CG =FG =74，知BG =254，由矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，得∠AEB =∠FEB ，可得∠FEB =∠EBG ，EG =BG =254，故EF =EG -FG =92，从而得到AE =92．【详解】连接GH ，如图：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，∵将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，∴BF =AB =6,AE =EF ,∠BFE =∠A =90°，∴∠GFH =90°=∠C ，∵GH =GH ,FH =CH ，∴Rt △FHG ≅Rt △CHG (HL )，∴FG =CG ，设FG =CG =x ，则BG =BC -CG =8-x在Rt △BFG 中，BF 2+FG 2=BG 2∴62+x 2=(8-x )2，解得：x =74，∴CG =FG =74，∴BG =8-x =25x，∵将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，∴∠AEB =∠FEB ，∵AD ⎳BC ，∴∠AEB =∠EBG ，∴∠FEB =∠EBG ，∴EG =BG =254，∴AE =92，故答案为：92．【点睛】本题考查矩形中的翻折变换，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，掌握相关知识是解题的关键．13如图，在矩形ABCD 中，AD =23，CD =6，E 是AB 的中点，F 是线段BC 上的一点，连接EF ，把△BEF 沿EF 折叠，使点B 落在点G 处，连接DG ，BG 的延长线交线段CD 于点H ．给出下列判断：①∠BAC =30°；②△EBF ∽△BCH ；③当∠EGD =90°时，DG 的长度是23 ④线段DG 长度的最小值是21-3；⑤当点G 落在矩形ABCD 的对角线上，BG 的长度是3或33；其中正确的是．(写出所有正确判断的序号)【答案】①②③【分析】利用正切函数的定义即可判断①正确；利用同角的余角相等推出∠HBC =∠BEF ，可判断②正确；推出点D 、G 、F 三点共线，证明Rt △EAD ≌Rt △EGD HL ，可判断③正确；当点D 、G 、E 三点共线，线段DG 长度的最小值是21-3，由于F 是线段BC 上的一点，不存在D 、G 、E 三点共线，可判断④不正确；证明△BGE 是等边三角形，可判断⑤．【详解】解：连接AC ，∵矩形ABCD 中，AD =23，CD =6，∴tan ∠ACD =AD CD=236=33，∴∠ACD =30°，∴∠BAC =30°，故①正确；由折叠的性质知EF 是BG 的垂直平分线，∴∠HBC +∠BFE =90°=∠BEF +∠BFE ，∴∠HBC =∠BEF ，∴△EBF ∽△BCH ，故②正确；由折叠的性质知∠EGF =∠ABC =90°，∵∠EGD =90°，∴点D 、G 、F 三点共线，连接DE ，在Rt △EAD 和Rt △EGD 中，AE =BE =EG ，DE =DE ，∴Rt △EAD ≌Rt △EGD HL ，∴DG =AD =23，故③正确；∵AE =BE =EG ，∴点A 、G 、B 都在以E 为圆心，3为半径的圆上，DE =23 2+32=21，∴当点D 、G 、E 三点共线，线段DG 长度的最小值是21-3，但F 是线段BC 上的一点，∴D 、G 、E 三点不可能共线，故④不正确；当点G 落在矩形ABCD 的对角线AC 上时，由折叠的性质知BE =EG ，∵E 是AB 的中点，由①知∠BAC =30°，∴BE =EG =EA ，∠BAC =∠EGA =30°，∴∠BEG =∠BAC +∠EGA =60°，∴△BGE 是等边三角形，∴BG 的长度是3；由于F 是线段BC 上的一点，则点G 不会落在矩形ABCD 的对角线BD 上，故⑤不正确；综上，①②③说法正确，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，正切函数，相似三角形的判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．14如图，将矩形ABCD沿BE折叠，点A与点A 重合，连接EA 并延长分别交BD、BC于点G、F，且BG=BF．(1)若∠AEB=55°，则∠GBF=；(2)若AB=3，BC=4，则ED=．【答案】40°/40度5-10/-10+5【分析】(1)先证明∠DEF=180°-2×55°=70°，∠BFG=∠DEF=70°，利用BG=BF，可得答案；(2)如图，过F作FQ⊥AD于Q，可得CF=DQ，FQ=CD=3，同理可得：∠BGF=∠BFG，∠DEG=∠BFG，而∠DGE=∠BGF，则∠DEG=∠DGE，设DE=DG=x，而BD=32+42=5，则BG=BF=5-x，CF=4-5-x=1，再求解EF=12+32=10，由折叠可得：A E=AE=4 =x-1，EQ=x-x-1-x，AF=10-4+x，利用cos∠BFA=cos∠FEQ，再建立方程求解即可．【详解】解：(1)∵∠AEB=55°，结合折叠可得：∠AEB=∠A EB=55°，∴∠DEF=180°-2×55°=70°，∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠BFG=∠DEF=70°，∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG=70°；∴∠GBF=180°-2×70°=40°；故答案为：40°．(2)如图，过F作FQ⊥AD于Q，∴四边形FCDQ是矩形，则CF=DQ，FQ=CD=3，同理可得：∠BGF=∠BFG，∠DEG=∠BFG，而∠DGE=∠BGF，∴∠DEG=∠DGE，∴设DE=DG=x，∵矩形ABCD，AB=3，BC=4，∴BD=32+42=5，∴BG=BF=5-x，∴CF=4-5-x=x-1，∴EQ=x-x-1=1，∴EF=12+32=10，由折叠可得：A E=AE=4-x，∴AF =10-4+x，∵∠QEF=∠BFA ，∴cos∠BFA =cos∠FEQ，∴EQEF=A FBF，∴110=10-4+x5-x，解得：x=5-10，经检验符合题意；∴DE=5-10．故答案为：5-10．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用以上知识解题是关键．三、解答题15综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展实践活动．(1)操作判断操作一：如图(1)，正方形纸片ABCD，点E是BC边上(点E不与点B，C重合)任意一点，沿AE折叠△ABE到△AFE，如图(2)所示；操作二：将图(2)沿过点F的直线折叠，使点E的对称点G落在AE上，得到折痕MN，点C的对称点记为H，如图(3)所示；操作三：将纸片展平，连接BM，如图(4)所示．根据以上操作，回答下列问题：①B，M，N三点(填“在”或“不在”)一条直线上；②AE和BN的位置关系是，数量关系是；③如图(5)，连接AN，改变点E在BC上的位置，(填“存在”或“不存在”)点E，使AN平分∠DAE．(2)迁移探究苏钰同学将正方形纸片换成矩形纸片ABCD，AB=4，BC=6，按照(1)中的方式操作，得到图(6)或图(7)．请完成下列探究：①当点N在CD上时，如图(6)，BE和CN有何数量关系？并说明理由；②当DN的长为1时，请直接写出BE的长．【答案】(1)①在，②AE⊥BN，相等；③不存在；(2)①BECN =23，理由见解析；②BE=2或165．【分析】(1)①E的对称点为E ，BF⊥EE ，MF⊥EE ，即可判断；②由①AE⊥BN，由同角的余角相等得∠BAE=∠CBN，由AAS可判定△ABE≌△BCN，由全等三角形的性质即可得证；③由AAS可判定△DAN≌△MAN，由全等三角形的性质得AM=AD，等量代换得AB=AM，与AB>AM矛盾，即可得证；(2)①由(1)中的②可判定△ABE∽△BCN，由三角形相似的性质即可求解；②当N在CD上时，△ABE∽△BCN，由三角形相似的性质即可求解；当N在AD上时，同理可判定△ABE∽△NAB，由三角形相似的性质即可求解．【详解】(1)解：①E的对称点为E ，∴BF⊥EE ，MF⊥EE ，∴B、F、M共线，故答案为：在；②由①知：B、F、M共线，N在FM上，∴AE⊥BN，∴∠AMB=90°，∴∠ABM+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCN=90°，AB=BC，∴∠CBN+∠ABM=90°，∴∠BAE=∠CBN，在△ABE和△BCN中，∠BAE=∠CBN ∠ABC=∠BCN AB=BC，∴△ABE≌△BCN(AAS)，∴AE=BN，故答案为：相等；③不存在，理由如下：假如存在，∵AN平分∠DAE，∴∠DAN=∠MAN，∵四边形ABCD是正方形，AM⊥BN，∴∠D=∠AMN=90°，在△DAN和△MAN中，∠D=∠AMN∠DAN=∠MAN AN=ANN∴△DAN≌△MAN(AAS)，∴AM=AD，∵AD=AB，∴AB=AM，∵AB是Rt△ABM的斜边，∴AB>AM，∴AB =AM 与AB >AM 矛盾，故假设不成立，所以答案为：不存在；(2)解：①BE CN=23，理由如下：由(1)中的②得：∠BAE =∠CBN ，∠ABE =∠C =90°，∴△ABE ∽△BCN ，∴BE CN =AB BC=23；②当N 在CD 上时，CN =CD -DN =3，由①知：△ABE ∽△BCN ，∴BE CN =AB BC =23，∴BE =23CN =2，当N 在AD 上时，AN =AD -DN =5，∵∠BAE =∠CBN =∠ANB ，∠ABE =∠BAN =90°，∴△ABE ∽△NAB ，∴BE AB =AB AN ，∴BE 4=45，∴BE =165，综上所述：BE =2或165．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质，“十字架”典型问题的解法是解题的关键．16在矩形ABCD 中，AD =2AB =8，点P 是边CD 上的一个动点，将△BPC 沿直线BP 折叠得到△BPC ．(1)如图1，当点P 与点D 重合时，BC ′与AD 交于点E ，求BE 的长度；(2)当点P 为CD 的三等分点时，直线BC ′与直线AD 相交于点E ，求DE 的长度；(3)如图2，取AB 中点F ，连接DF ，若点C ′恰好落在DF 边上时，试判断四边形BFDP 的形状，并说明理由．【答案】(1)BE 的长度为5；(2)DE 的长度为113或83;(3)四边形BFDP 是平行四边形(理由见解析)【分析】本题利用了折叠的知识(折叠后的两个图形全等)以及矩形的性质(矩形的对边相等，对角相等)，以及平行四边形的判定有关知识．(1)利用矩形性质和折叠的性质可推出BE=DE，设BE=x,则DE=x,AE=8-x,利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；(2)设DE=m,则AE=m+8，设BE交CD于G，可证得△AEB∽△CBG，得出CGAB =BCAE，即CG4=8m+8，求得CG=32m+8，分两种情况：当PC=13CD=43时，当PC=23CD=83时，分别添加辅助线构造相似三角形，利用相似三角形性质建立方程求解即可得出答案；(3)由中点定义可得AF=BF，过点C 作C M∥AD交AB于点M，过点F作FN⊥BC 于点N，由矩形性质和翻折的性质可得∠C BP=∠CBP=12∠C BC，可证得△FC M∽△FDA，得出FMAF=C MAD，再证得△BFN∽△BC M，进而推出FM=FN，利用角平分线的判定定理可得∠BC F=∠MC F=12∠BC M推出∠BC F=∠C BP，再由平行线的判定定理可得DF∥BP，运用平行四边形的判定定理即可证得四边形BFDP是平行四边形．【点睛】点睛片段【详解】(1)解：∵AD=2AB=8，∴AB=4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，由折叠得：∠DBC=∠DBC ，∴∠ADB=∠DBC ，即∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，设BE=x，则DE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2，∴(8-x)2+42=x2，解得：x=5，∴BE的长度为5；(2)设DE=m，则AE=m+8，设BE交CD于G，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=8，CD=AB=4，AD∥BC，∠A=∠BCG=90°，∴∠AEB=∠CBG，∴△AEB∽△CBG，∴CG AB =BCAE，即CG4=8m+8，∴CG=32m+8，当PC=13CD=43时，BP=BC2+PC2=82+432=4373，连接CC ，过点C 作C H⊥CD于点H，如图，∵将△BPC沿直线BP折叠得到△BPC ，∴CC ⊥BP，△BPC ≌△BPC，∴S四边形BCPC =2S△BPC，∴1BP⋅CC =2×1BC⋅PC，即12×4373CC =2×12×8×43，∴CC =163737，∵∠C CH +∠BPC =90°，∠PBC +∠BPC =90°，∴∠C CH =∠PBC ，∵∠CHC =∠BCP =90°，∴△CC H ∽△BPC ，∴C H PC =CH BC =CC BP ，即CH 43=CH 8=1637374373，∴C H =1637，CH =9637，∵∠C HG =∠EDG =90°，∴C H ∥AE ，∴∠GC ′H =∠AEB ，∴△C GH ∽△EBA ，∴GH AB =C H AE ，即GH 4=1637m +8，∴GH =6437(m +8)，∵CH +GH =CG ，∴9637+6437(m +8)=32m +8，解得：m =113，经检验，m =113是该方程的解，∴DE =113；当PC =23CD =83时，BP =BC 2+PC 2=82+83 2=8103，连接CC ，过点C 作C H ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，作C G ⊥AD 于点G ，如图，同理可得：CC =8105，同理△CC H ∽△BPC ，∴C H PC =CH BC =CC BP ，即CH 83=CH 8=81058103，∴C H =85，CH =245，∴DH =CH -CD =245-4=45，∵∠HDG =∠H =∠C GD =90°，∴四边形DGC H 是矩形，∴C G =DH =45，DG =C H =85，∵∠C GE =∠A =90°，∠C EG =∠BEA ，∴△C EG ∽△BEA ，∴EG AE =C G AB =454=15，∴AE =5EG ，∵AE +EG =AG =AD -DG =8-85=325，∴5EG +EG =325，∴EG =1615，∴DE =DG +EG =85+1615=83，综上所述，DE 的长度为113或83；(3)四边形BFDP 是平行四边形，理由如下：∵点F 是AB 的中点，∴AF =BF ，过点C 作C M ∥AD 交AB 于点M ，过点F 作FN ⊥BC 于点N ，如图，则∠FC M =∠ADF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ,AB ∥CD ，∴C M ∥BC ，∴∠BC M =∠C BC ，由翻折得：∠C BP =∠CBP =12∠C BC ，BC =BC =8，∵C M ∥AD ，∴△FC M ∽△FDA ，∴FM AF =C M AD ，∴FM BF =C MBC ，∵∠BNF =∠BMC =90°，∠FBN =∠C BM ，∴△BFN ∼△BC M∴FN BF =C MBC ，∴FM BF =FN BF ，∴FM =FN ，又∵FM ⊥C M ，FN ⊥C B ，∴∠BC F =∠MC F =12∠BC M ，∴∠BC F =∠C BP ，∴DF ∥BP ，∴四边形BFDP 是平行四边形．17矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，点E 为对角线AC 上一点，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，EG ⊥AC 交边BC 于点G ，将△AEF 沿AC 折叠得△AEH ，连接HG ．(1)如图1，若点H 落在边BC 上，求证：AH =CH ；(2)如图2，若A ，H ，G 三点在同一条直线上，求HG 的长；(3)若△EHG 是以EG 为腰的等腰三角形，求EF 的长．【答案】(1)见解析(2)HG =94(3)EF =103或4【分析】(1)根据矩形的性质和翻折的性质证明∠ACH =∠HAC ，即可解决问题；(2)结合(1)的方法AG =CG ，解Rt △AEG ，Rt △HEG 分别求得EG ,HG ；(3)当△EHG 是以EG 为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当EG =EH ，②当EG =HG ，结合(2)的方法，利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质即可解决问题．【详解】(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ．∴∠DAE =∠ACH .∵△AHE 由△AFE 折叠得到，∴∠HAC =∠DAE ，∴∠HAC =∠ACH ，∴AH =CH ；(2)∵矩形ABCD 中，AB =6,AD =8．∴AC =10.当A ，H ，G 三点在同一条直线上时，∠EHG =90°．同(1)可得AG =CG ．又∵EG ⊥AC ，∴AE =12AC =5．∵∠AEH +∠HEG =90°，∠AEH +∠HAE =90°，∴∠HEG =∠HAC =∠CAD ．∵在Rt △AEG 中，tan ∠EAG =EG AE =34，∴EG =34AE =154．∵在Rt △HEG 中，sin ∠HEG =HG EG =35，∴HG =35EG =94．(3)①若EH =EG ，如图3①设EF =EH =EG =x ，∵EF ⊥AD ，∴EF ∥CD ，∴△AEF ∽△ACD ，∴AE AC =AF AD =EF CD ∴AE 10=AF 8=x 6∴AE =53x ,AF =43x ，∴AH =AF =43x ，∵∠AHE =∠CEG =90°，∠HAE =∠GCE ，EH =EH ，∴△AHE ≌△CGE AAS ，∴AH =CE ，∴43x =10-53x ，∴x =103∴EF =103．②若HG =GE ，如图3②．(图3②)过点G 作GM ⊥HE ，设EF =a ,∵EC =10-53a ，∵∠AHE =∠CEG =90°，∠HAE =∠GCE ，∴△AHE ∽△CGE ，∴EG =34EC =3410-53a =152-54a ，∵∠GME =∠EHA ，∠MGE =90°-∠MEG =∠HAE ，∴△MGE ∽△HEA ，∴ME AH =EG AE ，∵AH AE =AD AC =45，∴AH =45AE ，∴ME =45EG =45152-54a =6-a ，∴HE =2ME =12-2a =EF ，∴12-2a =a ，∴a =4，∴EF =4，综上，EF =103或4．【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，翻折的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．18综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片ABCD，组织同学们进行折纸探究活动．【初步尝试】把正方形对折，折痕为EF，然后展开，沿过点A与点E所在的直线折叠，点B落在点B 处，连接 B C，如图1，请直接写出∠AEB 与∠ECB 的数量关系．【能力提升】把正方形对折，折痕为EF，然后展开，沿过点A与BE上的点G所在的直线折叠，使点B落在EF上的点P处，连接PD，如图2，猜想∠APD的度数，并说明理由．【拓展延伸】在图2的条件下，作点A关于直线CP的对称点A ，连接PA ，BA ，AC，如图3，求∠PA B的度数．【答案】初步尝试：∠AEB =∠ECB ；能力提升：猜想：∠APD=60°，理由见解析；拓展延伸：∠PA B=15°【分析】初步尝试：连接BB ，由折叠的性质可知，BE=CE，BE=BE ，∠AEB=∠AEB ，BB ⊥AE，根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，得出∠BB C=90°，推出AE∥CB ，即可得出答案；能力提升：根据正方形的性质和折叠的性质，易证△AFP≌△DFP SAS，从而证明△APD是等边三角形，即可得到答案；拓展延伸：连接A C、AA ，由(2)得△APD是等边三角形，进而得出∠PDC=30°，再结合等边对等角的性质和三角形内角和定理，求得∠PAC=15°，∠ACP=30°，由对称性质得：AC=A C，∠ACP=∠A CP=30°，证明△AA B≌△CA B SSS，得到∠CA B=30°，再由∠CA P=∠CAP=15°，即可求出∠PA B的度数．【详解】解：初步尝试：∠AEB =∠ECB ，理由如下：如图，连接BB ，由折叠的性质可知，BE=CE，BE=BE ，∠AEB=∠AEB ，BB ⊥AE，∴BE=CE=BE ，∴∠EBB =∠EB B，∠ECB =∠EB C，∵∠EBB +∠EB B+∠EB C+∠ECB =2∠EB B+∠EB C=180°，∴∠BB C=90°，即BB ⊥CB ，∴AE∥CB ，∴∠AEB=∠ECB ，∴∠AEB =∠ECB ；解：能力提升：猜想：∠APD=60°，理由如下：理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ADC=90°，由折叠性质可得：AF =DF ，EF ⊥AD ，AB =AP ，在△AFP 和△DFP 中，AF =DF∠AFP =∠DFP =90°FP =FP，∴△AFP ≌△DFP SAS ，∴AP =PD ，∴AP =AD =PD ，∴△APD 是等边三角形，∴∠APD =60°；解：拓展延伸：如图，连接A C 、AA ，由(2)得△APD 是等边三角形，∴∠PAD =∠PDA =∠APD =60°，AP =DP =AD ，∵∠ADC =90°，∴∠PDC =30°，又∵PD =AD =DC ，∴∠DPC =∠DCP =12×180°-30° =75°，∠DAC =∠DCA =45°，∴∠PAC =∠PAD -∠DAC =60°-45°=15°，∠ACP =∠DCP -∠DCA =75°-45°=30°，由对称性质得：AC =A C ，∠ACP =∠A CP =30°，∴∠ACA =60°，∴△ACA 是等边三角形，在△AA B 与△CA B 中，A A =A CA B =A B AB =BC，∴△AA B ≌△CA B SSS ，∴∠AA B =∠CA B =12∠AA C =30°，又∵∠CA P =∠CAP =15°，∴∠PA B =∠CA B -∠CA P =15°．【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．19综合与实践数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片ABCD 对折，使得点A ，D 重合，点B ，C 重合，折痕为EF ，展开后沿过点B 的直线再次折叠纸片，点A 的对应点为点N ，折痕为BM ． (1)如图(1)若AB =BC ，则当点N 落在EF 上时，BF 和BN 的数量关系是，∠NBF 的度数为．思考探究：(2)在AB=BC的条件下进一步进行探究，将△BMN沿BN所在的直线折叠，点M的对应点为点M ．当点M 落在CD上时，如图(2)，设BN，BM 分别交EF于点J，K．若DM =4，请求出三角形BJK的面积．开放拓展：(3)如图(3)，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=4，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为BM，点A的对应点为点N，展开后再将四边形ABNM沿BN所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点M ，连接CP，DP，若PC=PD，请直接写出AM的长．(温馨提示：12+3=2-3，12+1=2-1)【答案】(1)BF=12BN，60°(2)2+2(3)4-23【分析】(1)根据折叠的性质得：AB=BN，BF=CF=12BC，根据直角三角形的性质可得∠BNF=30°，由直角三角形的两锐角互余可得结论；(2)由折叠得：BM=BM ，证明Rt△ABM≌Rt△CBM (HL)，可知AM=CM ，∠ABM=∠CBM ，得△BFJ是等腰直角三角形，再证明四边形ABCD是正方形，分别计算BF=FJ=12BC=2+2，JK=2，由三角形面积公式可得结论；(3)如图(3)，过点P作PG⊥BC于G，PH⊥CD于H，根据等腰三角形的三线合一可得DH=CH=12CD=12AB=1，由折叠的性质和矩形的性质可得PG=CH=1，BN=BP=AB=2，∠NBP=∠ABN，设PL=x，则M L=2x，M P=3x，根据NL=233=NM +M L，列方程可解答．【详解】(1)解：由折叠得：AB=BN，BF=CF，∠BFN=90°，∵AB=BC，∴BF=12BN，∴∠BNF=30°，∴∠NBF=90°-30°=60°，故答案为：BF=12BN，60°；(2)由折叠得：BM=BM ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，∵AB=BC，∴Rt△ABM≌Rt△CBM (HL)，∴AM=CM ，∠ABM=∠CBM ，∴∠ABM=∠MBN=∠NBM =∠CBM ，∴∠FBJ=45°，∴△BFJ是等腰直角三角形，∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴矩形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠D=90°，∴DM=DM =4，∴MM =42，∵AM=MN=M N=CM ，∴CM =22，∴BC =CD =4+22，∴BF =FC =2+2，∵FK ∥CM ，∴BK =KM ，∴FK =12CM =2，∵△BFJ 是等腰直角三角形，∴BF =FJ =12BC =2+2，∴JK =2+2-2=2，∴S △BJK =12⋅JK ⋅BF =12×2×(2+2)=2+2；(3)如图，过点P 作PG ⊥BC 于G ，PH ⊥CD 于H ，∵PC =PD ，∴DH =CH =12CD =12AB =1，∵∠PGC =∠PHC =∠BCH =90°，∵四边形PGCH 是矩形，∴PG =CH =1，由折叠得：BN =BP =AB =2，∠NBP =∠ABN ，Rt △BPG 中，∠PBG =30°，∴∠ABN =∠NBP =90°-30°2=30°，延长NM ，BP 交于L ，Rt △BNL 中，BN =2，∠NBL =30°，∴NL =2×33=233，Rt △M PL 中，∠M LP =90°-30°=60°，∴∠PM L =30°，设PL =x ，则M L =2x ，M P =3x ，∵NL =233=NM +M L ，∴3x +2x =233，∴x =433-2，∴AM =3x =3×433-2 =4-23．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定和性质，三角函数等知识，掌握折叠的性质和正确作辅助线是解题的关键，题目具有一定的综合性，比较新颖．20综合与实践综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断如图1，先用对折的方式确定矩形ABCD 的边AB 的中点E ，再沿DE 折叠，点A 落在点F 处，把纸片展平，延长DF ，与BC 交点为G ．。
七年级折叠问题解题技巧
七年级折叠问题解题技巧一、折叠问题中的基本性质与关系1. 折叠性质在折叠过程中，折叠前后的图形全等。
这意味着对应边相等，对应角相等。
例如，将一个三角形沿着某条直线折叠，折叠后的三角形与原三角形的对应边长度不变，对应角的大小也不变。
折痕是对应点连线的垂直平分线。
比如将矩形ABCD沿着EF折叠，使得点A与点C重合，那么EF就是AC的垂直平分线。
2. 常见的几何图形中的折叠三角形折叠例1：在△ABC中，∠C = 90°，将△ABC沿着直线DE折叠，使点A与点B 重合，若AC = 6，BC = 8，求折痕DE的长。
解析：因为点A与点B重合，所以DE是AB的垂直平分线。
先根据勾股定理求出AB=公式。
设AB中点为F，则AF=公式。
由于△ADE和△BDE全等，所以AD = BD。
设BD = x，则AD = x，CD = 8 x。
在Rt△ACD中，根据勾股定理公式，即公式，解得公式。
再根据相似三角形，△ADE∽△ABC，公式，即公式，解得DE=公式。
矩形折叠例2：矩形ABCD中，AB = 3，BC = 4，将矩形沿对角线AC折叠，求重叠部分（△AEC）的面积。
解析：因为矩形沿对角线AC折叠，所以△ADC≌△AEC。
设AE = x，则BE = 4 x。
在Rt△ABE中，根据勾股定理公式，即公式，解得公式。
所以公式。
二、解题步骤与技巧1. 步骤第一步：根据折叠性质确定相等的边和角。
这是解决折叠问题的基础，只有明确了这些关系，才能进一步进行计算。
第二步：设未知数。
通常根据所求的量或者与所求量相关的线段设未知数，然后利用勾股定理、相似三角形等知识建立方程。
第三步：求解方程。
通过解方程得到未知数的值，从而求出最终答案。
2. 技巧利用勾股定理在直角三角形中，折叠后常常会形成新的直角三角形，此时可以利用勾股定理建立方程求解。
如上述矩形折叠的例子中，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度。
利用相似三角形当折叠后的图形与原图形存在相似关系时，利用相似三角形的对应边成比例来求解。
数学折叠问题初一
数学折叠问题初一数学折叠问题是一种典型的几何问题，它涉及到图形在空间中的变换和计算。
在初中阶段，数学折叠问题不仅能帮助学生巩固几何知识，还能提高他们的空间想象力和逻辑思维能力。
本文将从数学折叠问题的概念、应用场景、解决方法以及在初中的教学意义等方面进行详细阐述。
一、数学折叠问题的概念与基本原理数学折叠问题是指在平面或空间几何中，通过对一个图形进行折叠，使其变为另一个图形的问题。
在这个过程中，图形的形状、大小和位置可能会发生变化。
解决数学折叠问题需要掌握图形的折叠原理，了解图形的各个部分之间的关系。
二、数学折叠问题的应用场景数学折叠问题在日常生活和学术研究中具有广泛的应用。
例如，在建筑、设计和制造领域，数学折叠问题可以帮助我们更好地理解和分析空间结构；在数学和物理研究中，数学折叠问题有助于探究图形的变换和性质。
三、解决数学折叠问题的方法与技巧解决数学折叠问题有以下几种方法：1.观察法：通过观察图形的特征，找到图形之间的联系和规律。
2.折叠法：将图形按照折叠线进行折叠，分析折叠前后的图形关系。
3.方程法：建立数学模型，利用方程求解图形折叠问题。
4.几何变换法：利用平移、旋转等几何变换，将问题转化为已知图形的性质。
四、数学折叠问题在初中的教学意义数学折叠问题在初中阶段的教学具有重要意义。
通过解决数学折叠问题，学生可以：1.加深对几何图形的理解和掌握；2.提高空间想象力和逻辑思维能力；3.培养观察、分析和解决问题的能力；4.巩固和拓展数学知识，为高中阶段的学习打下基础。
五、提高初中生数学折叠问题能力的建议1.多做练习：通过大量练习，熟练掌握数学折叠问题的解题技巧；2.培养空间想象力：通过观察和折叠实物，提高空间想象力；3.学会分类和归纳：将数学折叠问题进行分类，总结规律；4.及时请教老师：在遇到难题时，及时向老师请教，确保掌握数学折叠问题的解题方法。
初中几何折叠问题的三种解法
初中几何折叠问题的三种解法初中几何折叠问题的三种解法初中几何是数学中的一个重要分支，而折叠问题则是初中几何中常见的一种问题。
在这里，我们将介绍三种不同的方法来解决初中几何折叠问题。
方法一：手工模拟法手工模拟法是一种简单直观的方法。
它通过将纸张折叠成所需形状来解决问题。
步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。
2. 将纸张按照比例剪成相应大小。
3. 按照题目要求，将纸张进行折叠，直到得到所需形状。
4. 计算所需参数并得出答案。
优点：手工模拟法操作简单易懂，适合初学者使用。
同时也能够帮助学生更好地理解折叠问题的本质。
缺点：手工模拟法需要较长时间完成，并且需要精确测量和折叠。
同时也容易出现误差和偏差。
方法二：平面几何法平面几何法是一种基于平面几何知识来解决问题的方法。
它通过利用图形相似性和对称性来计算所需参数。
步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。
2. 根据平面几何知识，计算所需参数，如角度、长度等。
3. 得出答案。
优点：平面几何法具有计算速度快、精度高等特点。
同时也能够帮助学生更好地理解平面几何知识的应用。
缺点：平面几何法需要学生具备一定的数学基础，并且需要对图形相似性和对称性有深入理解。
同时也容易出现计算错误和漏算情况。
方法三：三维几何法三维几何法是一种基于立体几何知识来解决问题的方法。
它通过利用立体图形的投影和相似性来计算所需参数。
步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。
2. 利用三维几何知识，将立体图形投影到二维平面上，并计算所需参数，如角度、长度等。
3. 得出答案。
优点：三维几何法具有计算速度快、精度高等特点。
同时也能够帮助学生更好地理解立体几何知识的应用。
缺点：三维几何法需要学生具备一定的数学基础，并且需要对立体图形的投影和相似性有深入理解。
同时也容易出现计算错误和漏算情况。
结论：初中几何折叠问题可以通过多种方法来解决，其中手工模拟法、平面几何法和三维几何法是常见的三种方法。
(完整版)中考数学中的折叠问题
DE中考数学中的折叠问题为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，近几年来中考中常出现折叠问题。
几何图形的折叠问题，实际是轴对称问题。
处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可利用。
所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。
即对应角相等，对应线段相等。
有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。
这一类问题，把握住了关键点，并不难解决。
例1 （成都市中考题）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠， EM 、FM 为折痕，折叠后的C 点落在'B M 或'B M 的延长线上，那么∠EMF 的度数是（ ）A 、85°B 、90°C 、95°D 、100°分析与解答：本题考查了有关折叠的知识。
由题意可知：∠BME=∠'EMC ，∠CMF=∠'FMC ，''180BMC CMC ∠+∠=°，又'C M 与'B M 重合，则∠EMF=∠'EMC +∠'FMC =''11()18022BMC CMC ∠+∠=⨯°= 90°，故选B 。
例2 （武汉市实验区中考题）将五边形ABCDE 纸片按如图的方式折叠，折痕为AF, 点E 、D 分别落在'E 、'D 。
已知∠AFC=76°，则'CFD ∠等于（ ）A 、31°B 、28°C 、24°D 、22°分析与解答：本题同样是考查了折叠的知识。
根据题意得：'AFD AFD ∠=∠=180°-76°=104°，则'CFD ∠=104°-76°=28°，故选B 。
例3（河南省实验区中考题）如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连结OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点'A 的位置，若1tan 2BOC ∠=，则点'A 的坐标为 。
数学折叠问题初一
数学折叠问题初一
在初一的数学课程中，折叠问题是一个常见的话题。
这些问题通常涉及到几何形状，特别是多边形和纸张的折叠。
通过解决这些问题，学生可以锻炼他们的空间想象能力和几何推理能力。
以下是一些常见的初一数学折叠问题的类型和解决方法：
1. 角度计算
问题：一张纸被折叠一次，使得一个角与另一个角重合。
计算新形成的角度。
解决方法：首先理解折叠是轴对称的。
如果知道原始角度，可以通过减去或加上相应的角度来找到新角度。
2. 长度计算
问题：一张纸被折叠后，某一部分与另一部分重合。
计算重合部分的长度。
解决方法：利用相似三角形或全等三角形的性质来计算长度。
3. 面积计算
问题：一张纸被折叠后，形成一个新的形状。
计算新形状的面积。
解决方法：根据折叠后的形状，使用相应的面积公式进行计算。
4. 折叠模式识别
问题：描述一个特定的折叠过程，然后要求学生识别出最终的形状或模式。
解决方法：通过逻辑推理和空间想象来预测最终的形状或模式。
5.多步骤折叠
问题：一张纸经过多次折叠后形成一个复杂的形状。
要求学生描述或分析这个过程。
解决方法：分步骤进行，每次只关注一次折叠，然后逐步建立整体的理解。
解决这些问题时，建议学生使用实际的纸张进行模拟，这有助于他们更好地理解折叠过程并锻炼空间想象能力。
同时，也要鼓励学生多练习不同类型的折叠问题，以提高他们的解题技巧和速度。
例谈初中几何中的折叠问题
例谈初中几何中的折叠问题一与四边形有关的折叠问题（2010•密云县）（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．解：（1）同意．如图，设AD与EF交于点G．由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．又由折叠知，∠AGE=∠DGE，∠AGE+∠DGE=180°，所以∠AGE=∠AGF=90°，所以∠AEF=∠AFE．所以AE=AF，即△AEF为等腰三角形．（2）由折叠知，四边形ABFE是正方形，∠AEB=45°，所以∠BED=135度．又由折叠知，∠BEG=∠DEG，所以∠DEG=67.5度．从而∠α=90°﹣67.5°=22.5°．1.课程学习：正方形折纸中的数学．动手操作：如图1，四边形ABCD是一张正方形纸片，先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′．数学思考：（1）求∠CB′F的度数；（2）如图2，在图1的基础上，连接AB′，试判断∠B′AE与∠GCB′的大小关系，并说明理由；解决问题：（3）如图3，按以下步骤进行操作：第一步：先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后继续对折，使AB与DC重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设EF和MN相交于点O；第二步：沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′，再沿直线AH折叠，使D点落在EF上，对应点为D′；第三步：设CG、AH分别与MN相交于点P、Q，连接B′P、PD′、D′Q、QB′，试判断四边形B′PD′Q 的形状，并证明你的结论．2.折叠问题：（1）如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G点在边BC上，BG=10．①当折痕的另一端点F在AB边上时，如图①，求△EFG的面积；②当折痕的另一端点F在AD边上时，如图②，证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．（2）在矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=13．如图③所示，折叠纸片，使点A落在BC 边上的A′处，折痕为PQ．当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，求点A′在BC边上可移动的最大距离3.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，折痕的一端点G在边BC上，BG=10．（1）当折痕的另一端点F在AB边上时，如图①，求△EFG的面积；（2）当折痕的另一端点F在AD边上时，且B，F及A的对应点H三点共线，如图②，证明：四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长4.（1）动手操作：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为．（2）观察发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（3）实践与运用：将矩形纸片ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求∠MNF的大小．5.对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2．（1）证明：∠ABE=30°；（2）证明：四边形BFB′E为菱形．6.课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由．（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．…7.观察与发现：（1）小明将三角形纸片ABC （AB ＞AC ）沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到△AEF （如图②）．你认为△AEF 是什么形状的三角形？为什么？实践与运用：如图，将矩形纸片ABCD 按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕EF （如图①）；沿GC 折叠，使点B 落在EF 上的点B′处（如图②）；展平，得折痕GC （如图③）；沿GH 折叠，使点C 落在DH 上的点C′处（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′、GH （如图⑥）． （2）在图②中连接BB′，判断△BCB′的形状，请说明理由； （3）图⑥中的△GCC′是等边三角形吗？请说明理由．二与圆有关的折叠问题A。
初中数学几何图形中的折叠问题解题思路
初中数学几何图形中的折叠问题解题思路折叠问题中的背景图形通常有，三角形、正方形、矩形、梯形等，解决这类问题的关键是一定要灵活运用轴对称和背景图形的性质。
轴对称性质：折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。
典型例题：例题1、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，E、F 分别为 AB、BC 上的点，沿线段 EF 将∠B 折叠，使点 B 恰好落在 AC 上的点 D 处，试问当△ADE 恰好为直角三角形时，此时 BE 的长度为多少?解题思路：△ADE 为直角三角形分两种情况：①∠ADE =90°，②∠AED = 90°，此题需要分类讨论，结合三角形的相似、折叠的性质，来求折叠中线段的长度，关键是能画出折叠后的图形。
解答过程：当 ∠ADE = 90°时，如下图所示：证明：先来证明四边形 DEBF 为棱形：∵ 在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ADE = 90° ，∴ DE∥BC ，∴ ∠DEF = ∠EFB ，又∵ 沿线段 EF 将 ∠B 折叠，∴ DE = BE ,DF = BF ，∠DFE = ∠BFE ，∴ ∠DEF = ∠DFE ，DE = DF = BF ，∴ 四边形 DEBF 为棱形。
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是棱形)。
再来证明Rt△ADE ∽ Rt△ACB (相似三角形判断图形中的“A”字型)∵ 在三角形 ACB 中，DE∥BC ，∴ Rt△ADE ∽ Rt△ACB ，设棱形 DEBF 的边长为 x , 则有 DE = x , AE = 10 - x ,在Rt△ACB 中，AB = 10 , AC = 8 ,由勾股定理得：BC = 6 。
七年级折叠问题知识点梳理
七年级折叠问题知识点梳理折叠问题是数学中的一种经典问题，也是考察对数学知识的理解和实际应用能力的重要领域。
在初中数学中，折叠问题也是一个重要的知识点，需要深入理解和掌握。
本文将对七年级折叠问题知识点进行梳理和整理，以帮助同学们更好地掌握这一知识点，从而在考试中取得更好的成绩。
一、基本概念折叠问题是指在平面图形上切割一条或数条线，然后将剩余部分按照指定的顺序进行折叠，并寻求可能出现的图形形态。
常出现的几何图形包括三角形、正方形、长方形等。
二、折叠的基本操作1. 折叠轴：指在平面图形上折叠的参考线，通常为直线。
2. 对称轴：指原图形和折叠后图形的对称轴，它们的交点处是折叠轴。
3. 折线：指从折叠轴起到图形边缘的折叠线段。
4. 折叠方向：指折叠时图形所向的方向，可以是向上、向下、向左或向右。
5. 折痕：指在图形上产生的折叠痕迹。
三、折叠问题的解题方法在解决折叠问题时，首先要对给定图形和折叠过程进行分析，然后选择合适的方法进行求解，一般有以下几种方法：1. 利用对称性：可以利用图形对称性进行折叠，其中对称轴可以作为折叠轴，而对称轴两侧的部分可以通过折叠得到图形的其他部分。
2. 利用折线的特性：根据折线的特性可以确定图形的边长和角度，从而得到图形的面积和形状。
3. 综合使用多种方法：在解决较为复杂的折叠问题时，可以综合使用多种方法，包括对称性、折线特性、面积等多个方面，灵活应用不同的方法。
四、折叠问题的实际应用折叠问题在实际生活中也有广泛的应用，例如在制作纸质建筑模型时，需要根据图纸进行折叠，从而得到复杂的建筑结构；在设计3D打印模型时，需要将平面图形折叠成三维立体模型，从而进行后续加工等。
总之，折叠问题是数学中非常重要的一个知识点，需要同学们用心理解和掌握，善于运用不同的方法解决问题，在实际应用中也能够得心应手。
希望本文对七年级学生们的学习有所帮助，祝愿大家在数学学习中取得更好的成绩。
初三复习 数学几何中折叠问题 4大类 分类 含答案
初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。
本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。
其实对于折叠问题，我们要明白：1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度．BC、BD是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC，∠EBD = ∠HBD则∠CBD = 90°折叠前后的对应角相等2．如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是．沿BC折叠，顶点落在点A’处，根据对称的性质得到BC垂直平分AA’，即AF = 12AA’，又DE∥BC，得到△ABC ∽△ADE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积= 24对称轴垂直平分对应点的连线3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．由勾股定理可得BD = 5，由对称的性质得△ADG ≌ △A ’DG ，由A ’D = AD = 3，AG ’ = AG ，则A ’B = 5 – 3 = 2，在Rt △A ’BG 中根据勾股定理，列方程可以求出AG 的值根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（ ）根据对称的性质得到∠ABE=∠CBE ，∠EBF=∠CBF ，据此即可求出∠FBC 的度数，又知道∠C=90°，根据三角形外角的定义即可求出∠DFB = 112.5°注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积． ∵点C 与点E 关于直线BD 对称，∴∠1 = ∠2 ∵AD ∥BC ，∴∠1 = ∠3∴∠2 = ∠3 ∴FB = FD设FD = x ，则FB = x ，FA = 8 – x在Rt △BAF 中，BA 2 + AF 2 = BF 2∴62 + (8 - x)2 = x 2 解得x = 254所以，阴影部分的面积S △FBD = 12 FD ×AB = 12 ×254 ×6 = 754cm2重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6．将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状 三角形．∵四边形CDFE 与四边形C ’D ’FE 关于直线EF 对称∴∠2 = ∠3 = 64°∴∠4 = 180° - 2 × 64° = 52° ∵AD ∥BC321F E D C B A54132G D‘FC‘DAGA'CA B D∴∠1 = ∠4 = 52°∠2 = ∠5又∵∠2 = ∠3∴∠3 = ∠5∴GE = GF∴△EFG是等腰三角形对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF7．如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图⑥）．（1）求图②中∠BCB′的大小；（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．（1）由对称的性质可知：B’C=BC，然后在Rt△B′FC中，求得cos∠B’CF= 12，利用特殊角的三角函数值的知识即可求得∠BCB’= 60°；（2）首先根据题意得：GC平分∠BCB’，即可求得∠GCC’= 60°，然后由对称的性质知：GH是线段CC’的对称轴，可得GC’= GC，即可得△GCC’是正三角形．理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为四边形BCFE与四边形B′C′FE关于直线EF对称，则①②③④这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD的周长折叠前后对应边相等9．如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，求四边形BCFE的面积设AE = x，则BE = GE = 4 - x，在Rt△AEG中，根据勾股定理有：AE2 + AG2 = GE2即：x2 + 4 = (4 - x)2解得x = 1.5，BE = EG = 4 – 1.5 = 2.5∵∠1 + ∠2 = 90°，∠2 + ∠3 = 90°∴∠1 = ∠3又∵∠A = ∠D = 90°∴△AEG ∽△DGP∴AEDG=EGGP，则1.52=2.5GP，解得GP =103PH = GH – GP = 4 - 103=23∵∠3 = ∠4，tan∠3 = tan∠1 = 3 4∴tan∠4 = 34，FHPH=34，FH =34×PH =34×23=12∴CF = FH = 1 2∴S梯形BCFE = 12(12+52)×4 = 6注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上不与A、D 重合．MN为折痕，折叠后B’C’与DN交于P．(1)连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗？为什么？(2)设BM=y，AB’=x，求y与x的函数关系式；(3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．(1)BB’ = MN过点N作NH∥BC交AB于点H），证△ABB’≌△HNM(2)MB’ = MB = y，AM = 1 – y，AB’ = x在Rt△ABB’中BB’ = AB2 + AB'2= 1 + x2因为点B与点B’关于MN对称，所以BQ = B’Q，则BQ = 12 1 + x2由△BMQ∽△BB’A得BM×BA = BQ×BB’PC'NB CA DMB'QPHC'NB CA DMB'∴y = 12 1 + x2× 1 + x2=12(1 + x2)(3) 梯形MNC′B′的面积与梯形MNCB的面积相等由(1)可知，HM = AB’ = x，BH = BM – HM = y – x，则CN = y - x∴梯形MNCB的面积为：12(y – x + y) ×1 = 12(2y - x)= 12(2×12(1 + x2) – x)= 12(x -12)2 +38当x = 12时，即B点落在AD的中点时，梯形MNC’B’的面积有最小值，且最小值是38二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）∵∠α= ∠1，∠2 = ∠1∴∠α= ∠2∴2∠α+∠ABE=180°，即2∠α+30°=180°，解得∠α=75°．题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为作CD⊥AB，∵CE∥AB，∴∠1=∠2，根据翻折不变性，∠1=∠BCA，故∠2=∠BCA．∴AB=AC．又∵∠CAB=45°，∴在Rt△ADC中，AC = 2 2 ，AB = 2 2S△ＡＢＣ＝12AB×CD = 2 2a2130°BEFACD在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm 的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是如图，作QH ⊥PA ，垂足为H ，则QH=2cm ， 由平行线的性质，得∠DPA=∠PAQ=60° 由折叠的性质，得∠DPA =∠PAQ ， ∴∠APQ=60°，又∵∠PAQ=∠APQ=60°， ∴△APQ 为等边三角形， 在Rt △PQH 中，sin ∠HPQ = HQPQ∴32 = 2PQ ，则PQ = 433注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQ14．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（ ）图c 图b图aCDGFEC GDFEFBCAEBB∵AD ∥BC ，∴∠DEF=∠EFB=20°，在图b 中，GE = GF ，∠GFC=180°-2∠EFG=140°， 在图c 中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b ∠GFC=140°，图c 中的∠CFE=∠GFC-∠EFG15．将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ，沿对称轴EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与CD 间的距离为60cm ，则原纸片的宽AB 是（ ）设AB=xcm ．右图中，AF = CE = 35，EF = x根据轴对称图形的性质，得AE=CF=35-x （cm ）． 则有2（35-x ）+x=60， x=10．16．一根30cm 、宽3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长将折叠这条展开如图，根据折叠的性质可知，两个梯形的上底等于纸条宽，即3cm ， 下底等于纸条宽的2倍，即6cm ， 两个三角形都为等腰直角三角形， 斜边为纸条宽的2倍，即6cm ，故超出点P 的长度为（30-15）÷2=7.5， AM=7.5+6=13.5GEFD AE FD B C A B C 60cm三、三角形中的折叠17．如图，把Rt △ABC （∠C=90°），使A ，B 两点重合，得到折痕ED ，再沿BE 折叠，C 点恰好与D 点重合，则CE ：AE=18．在△ABC 中，已知AB=2a ，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小△ACD 与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的14 ．（1）当中线CD 等于a 时，重叠部分的面积等于 ；（2）有如下结论（不在“CD 等于a ”的限制条件下）：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于32a 2；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等．其中， 结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）． (1)∵CD = 12 AB∴∠ACB = 90°∵AB = 2a ，BC = a ，∴AC = 3a ∴S △ABC = 12 ×AC ×BC = 32a 2∴重叠部分的面积为：14×32a 2 = 38a 2(2)若AC = a ，如右图∵AD = a ，∴∠2 = 180°- 30°2 = 75°∠BDC = 180°- 75°= 105° ∴∠B'DC = 105°∴∠3 = 105°- 75°= 30° ∴∠1 = ∠3 ∴AC ∥B'D∴四边形AB'DC 是平行四边形∴重叠部分△CDE 的面积等于△ＡＢＣ的面积的14若折叠前△ABC 的面积等于32a 2 过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则 12 ×AB ×CH = 32a 2 B'CDAB231EB'CDBACH =32a 又tan ∠1 =CH AH∴AH = 32a∴BH = 12a则tan ∠B =CHBH，得∠B = 60° ∴△CBD 是等边三角形 ∴∠2 = ∠4∴∠3 = ∠4，AD ∥CB 2又CB 2 = BC = BD = a ，∴CB 2 = AD ∴四边形ADCB 2是平行四边形则重叠部分△CDE 的面积是△ABC 面积的14(3)如右图，由对称的性质得，∠3 = ∠4，DA = DB 3 ∴∠1 = ∠2又∵∠3 + ∠4 = ∠1 +∠2 ∴∠4 = ∠1 ∴AB 3∥CD注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角和对应边19．在△ABC 中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE 沿DE 进行不同的折叠得△C ′DE ，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（1）把△CDE 沿DE 折叠在四边形ADEB 内，则求∠1+∠2的和； （2）如图（2）把△CDE 沿DE 折叠覆盖∠A ，则求∠1+∠2的和；（3）如图（3）把△CDE 沿DE 斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C 的关系．（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE ，∠2=180°-2∠CED ，再根据三角形内角和定理比可求出答案；（2）连接DG ，将∠ADG+∠AGD 作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；3241EHB 2DABC3412B 3DA BC在第一次折叠中可得到∠EAD = ∠FAD在第二次折叠中可得到EF是AD的垂直平分线，则AD⊥EF∴∠AEF = ∠AFE∴△AEF是等腰三角形(1)由折叠可知∠AEB = ∠FEB，∠DEG = ∠BEG而∠BEG = 45°+ ∠α因为∠AEB + ∠BEG + ∠DEG = 180°所以 45°+ 2（45°+∠α）= 180°∠α = 22.5°由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。
初中几何折叠问题总结
初中几何折叠问题是一个重要的知识点，主要考察学生的空间想象能力和几何变换的理解。
这类问题通常涉及到一些平面图形经过折叠变成三维图形，或者三维图形经过折叠变成平面图形。
以下是关于初中几何折叠问题的总结：1. **理解折叠的基本概念**：折叠是一种几何变换，它涉及到将一个平面图形沿着一条或几条折痕进行翻转，使其变成另一个形状。
2. **常见类型**：* 平面图形折叠成三维图形：例如，将一个矩形或三角形折叠成一个立方体或长方体。
* 三维图形折叠成平面图形：例如，将一个立方体或长方体折叠成一个平面图形。
3. **解题策略**：* **画出草图**：为了更好地理解问题和图形之间的关系，建议学生先画出草图。
* **标记关键点**：在草图上标记关键点，以便跟踪这些点在折叠过程中的位置变化。
* **分析角度和边长**：折叠过程可能会导致角度或边长发生变化。
学生需要分析这些变化，并找出其中的规律。
* **空间思考**：解决这类问题需要一定的空间想象力。
建议学生尝试使用不同的方法来解决问题，以增强他们的空间感。
4. **常见考点**：* **角度和边长的变化**：折叠可能会改变角度或边长。
学生需要理解这些变化是如何发生的，并能够计算出具体的数值。
* **轴对称和中心对称**：有些折叠问题涉及到轴对称或中心对称。
学生需要理解这两种对称的概念，并能够应用它们来解决问题。
* **全等图形**：在某些情况下，折叠前后的两个图形是全等的。
学生需要能够识别这种关系，并利用它来解决问题。
5. **实际应用**：折叠问题不仅在数学中有应用，在实际生活中也有很多应用。
例如，包装、折纸艺术、建筑设计等都涉及到折叠的概念。
通过以上总结，学生可以更好地理解初中几何折叠问题的概念、解题策略、考点和应用，从而更好地掌握这一知识点。
2025年四川省聚焦中考数学必备考点透析-第7章 图形及其变化微专题六 图形的折叠问题
答案：3
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5
方法点拨：解决三角形折叠问题的技巧主要包括利用轴对称及全等
的性质、勾股定理的应用、方程思想的运用以及数形结合的方法.这些技
巧不仅适用于解决折叠问题中的线段长度求解，还有助于理解和分析折
叠问题中的几何关系和变化规律.
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6
【热身演练1】
（2023·凉山中考）如下图，在Rt△ ABC 纸片中，∠ ACB ＝90°， CD 是
涉及如何利用折叠前后图形的全等性、对称轴的性质以及如何通过构造
直角三角形和利用勾股定理来解决问题，而且是培养空间想象能力的好
题材，也是中考命题的热点.
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3
专题讲练
（2024·甘孜中考）如下图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC
＝8， BC ＝4，折叠△ ABC ，使点 A 与点 B 重合，折痕 DE 与 AB 交于点
处，则 cos ∠ CEF 的值为（）
例3
A.
7
4
B.
7
3
3
C.
4
5
D.
4
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15
分析：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AD ＝ BC ＝8，∠ B ＝∠ C ＝∠ D ＝90°，
∴∠ CEF ＋∠ EFC ＝90°.
∵把△ ADE 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，
∴ AF ＝ AD ＝8，∠ AFE ＝∠ D ＝90°，
∴ EF ＝ BD ＝ ×8＝4.∵ EF ⊥ AO ，∴∠ OME ＝90°，∴ S△ OEF ＝
初二几何折叠问题
初二几何折叠问题在初二的数学课程中，几何折叠问题是一个重要的内容。
它不仅涉及到图形的形状和大小的变化，还涉及到角度、边长、面积等几何元素的关联。
理解几何折叠问题的特点、折叠前后的图形关系、折叠形成的角度和边长关系、折叠与对称的关系以及折叠在实际问题中的应用，对于提高学生的几何思维能力和解决实际问题能力具有重要意义。
一、折叠图形的特点折叠图形是一种具有独特性质的图形，它可以通过将一个图形沿着一条直线或曲线折叠，使图形的一部分折叠到另一部分下面，从而改变图形的形状和大小。
折叠图形的特点包括：1.有一条折痕或折缝，将图形分为两个部分；2.折叠后，图形的形状和大小会发生变化；3.折叠可以是一种对称操作，即将图形沿着一条直线或曲线折叠，使图形的两部分相互对称。
二、折叠前后的图形关系在折叠图形的过程中，图形的形状和大小会发生变化，但图形的面积和周长等几何属性不会改变。
因此，通过折叠前后的图形关系，可以得出以下结论：1.折叠前后的面积相等；2.折叠前后的周长相等；3.折叠前后的对称性不变。
三、折叠形成的角度和边长关系在折叠图形的过程中，角度和边长也会发生变化。
例如，当一个三角形沿着一条直线折叠时，三角形的角度和边长都会发生变化。
通过观察和计算，可以得出以下结论：1.折叠形成的角度与原来图形的角度之间的关系可以通过轴对称的性质来解释；2.折叠形成的边长与原来图形的边长之间的关系可以通过轴对称的性质来解释；3.在折叠过程中，角度和边长的变化是有规律的，可以根据轴对称的性质进行计算。
四、折叠与对称的关系折叠是一种特殊的对称操作，它可以将一个图形沿着一条直线或曲线折叠成两个相互对称的部分。
通过学习和实践，可以得出以下结论：1.折叠是一种特殊的对称操作；2.通过折叠，可以将一个图形分成两个相互对称的部分；3.在折叠过程中，对称性是一个重要的几何属性。
五、折叠在实际问题中的应用几何折叠问题不仅是一个纯数学问题，而且在现实生活中也有广泛的应用。
数学初中折叠问题解题技巧
数学初中折叠问题解题技巧
初中数学中的折叠问题是一种常见的几何问题，涉及到对图形的折叠、展开或转化等操作。
以下是一些常见的折叠问题解题技巧:
1. 观察特殊图形法：直接观察题目所给出的目标图形中的特殊面，或者特殊图形连接的位置，然后对比选项，与之不符的直接排除。
2. 相对面不相邻法：空间折叠类题目要结合排除法解题，最常用的排除技巧是相对面不相邻原则。
即一定要抓住某两个相邻面或对立面的图形特征，从而可以利用排除法选择正确答案，违背这些特征的，便是错误选项。
3. 初中数学坐标系里折叠的问题：对于在平面直角坐标系中的折叠问题，可以通过建立直角坐标系来解决。
一般来说，需要根据折叠前后的形状及坐标变化关系，画出折叠后的图形，然后根据题意找到对应的坐标值。
4. 长方形折叠问题：对于长方形的折叠问题，可以通过对折将长方形变成长方体，然后根据长方体的面积公式及长方形的面积公式来求解。
另外，也可以利用折叠的性质：折叠后的图形与图形全等，来解决问题。
总结起来，对于折叠问题的解题技巧，需要结合具体的题目来进行理解和应用。
同时，需要学生具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力，才能更好地解决折叠问题。
折叠几何综合专题---16道题目(含答案)
折叠几何综合专题---16道题目(含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN01如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E 处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝25，求BE的长．(1)证明：由折叠性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，∠EFA ＝∠DFA ，EG ＝GD ，∵EG ∥DC ，∴∠DFA ＝∠EGF ， ∴∠EFA ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形；(2)解：EG 2＝12GF ·AF .理由如下： 如解图，连接ED ，交AF 于点H ，∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝12DE ， ∵∠FEH ＝90°－∠EFA ＝∠FAE ，∠FHE ＝∠AEF ＝90°， ∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EFAF ＝FHEF ，即EF 2＝FH ·AF ，又∵FH ＝12GF ，EG ＝EF ，∴EG 2＝12GF ·AF ；(3)解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2＝12AF ·GF ，∴(25)2＝12(6＋GF )·GF ，解得GF ＝4或GF ＝－10(舍)，∴GF ＝4，∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8，∵∠CDE ＋∠DFA ＝90°，∠DAF ＋∠DFA ＝90°，∴∠CDE ＝∠DAF ，∵∠DCE ＝∠ADF ＝90°，∴Rt △DCE ∽Rt △ADF ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810，∴EC ＝855，∴BE ＝BC －EC ＝1255.02如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 对折，点C 落在E 处，BE 与AD 相交于点F ，若DE ＝4，BD ＝8.(1)求证：AF ＝EF ；(2)求证：BF 平分∠ABD .证明：(1)在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，∠A ＝∠C ＝90°， ∵△BED 是△BCD 对折得到的，∴ED ＝CD ，∠E ＝∠C ，∴ED ＝AB ，∠E ＝∠A ，(2分)又∵∠AFB ＝∠EFD ，∴△ABF ≌△EDF (AAS)，∴AF ＝EF ；(4分)(2)在Rt △BCD 中，∵DC ＝DE ＝4，BD ＝8，∴sin ∠CBD ＝DC BD ＝12， ∴∠CBD ＝30°，(5分)∴∠EBD ＝∠CBD ＝30°，∴∠ABF＝90°－30°×2＝30°，(7分)∴∠ABF＝∠EBD，∴BF平分∠ABD.(8分)03把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F 重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG。
空间几何中的折叠问题例题和知识点总结
空间几何中的折叠问题例题和知识点总结在空间几何的学习中，折叠问题是一个重要且具有一定难度的考点。
通过折叠，可以将平面图形转化为空间图形，从而增加了问题的复杂性和抽象性。
下面，我们将通过一些例题来深入探讨空间几何中的折叠问题，并对相关知识点进行总结。
一、折叠问题的基本概念折叠问题通常是指将一个平面图形沿着某条直线或折线进行折叠，使其成为一个空间几何体。
在这个过程中，图形的某些元素（如线段的长度、角度的大小等）保持不变，而有些元素则会发生变化。
例如，将一个矩形沿着其中一条边折叠，可以得到一个三棱柱；将一个直角三角形沿着斜边折叠，可以得到一个三棱锥。
二、折叠问题的关键知识点1、不变量在折叠过程中，有些量是不变的。
例如，折叠前后对应线段的长度不变，对应角度的大小不变。
2、垂直关系折叠前后，原来垂直的线段和平面在折叠后仍然垂直。
3、距离和角度的变化折叠后，某些线段之间的距离和角度会发生变化，需要根据折叠的方式和几何关系进行重新计算。
三、例题分析例 1：已知矩形 ABCD 中，AB ＝ 3，BC ＝ 4。
现将矩形沿着对角线 AC 折叠，求折叠后点 B 到平面 ACD 的距离。
解：首先，通过勾股定理求出 AC 的长度：AC ＝√（AB²＋ BC²) ＝ 5设点 B 折叠后对应的点为 B'，由于折叠前后三角形 ABC 的面积不变。
三角形 ABC 的面积＝ 1/2 × AB × BC ＝ 1/2 × AC × h （h 为点 B 到平面 ACD 的距离）所以 h ＝（AB × BC) ／ AC ＝（3 × 4) ／ 5 ＝ 12 ／ 5例 2：如图，在直角三角形 ABC 中，∠ACB ＝ 90°，AC ＝ 2，BC ＝ 1，将三角形 ABC 沿斜边 AB 折叠，得到三棱锥 C ABD。
求证：平面 CAD ⊥平面 BAD。
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4. 如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点P在AB上，AP＝1.将矩形ABCD沿CP折叠， 点B落在点B′处．B′P、B′C分别与AD交于点E、F，则EF＝________．
第6题图
折法3 如图矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，沿EF将四边形 ABFE折叠至四边形A′B′FE后，B′落在AD上，你能发现什么新的结论？
图①
图②
针对训练 1. 如图，将长16 cm，宽8 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕EF 的长为________．
第7题图
2．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF， 若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝________．
3. 如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点 D恰好落在BC边上的G点处，若矩形ABCD面积为4 3 ，且∠AFG＝60°，GE＝2BG， 则折痕EF的长为________．
边形、正六边形、圆等； 图形
与折叠有关的计算常用性质
1. 折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形； ①线段相等：C′D＝________，BC＝________； ②角度相等：∠1＝________，∠3＝________； ③全等关系：△BC′D≌________． 2. 折痕可看作垂直平分线(对应的两点之间的连线被折痕垂直平分)； 3. 折痕可看作角平分线(对应线段所在的直线与折痕的夹角相等)．
针对训练
1如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将
△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于( )
A. 120° B. 108° C. 72°
D. 36°
以矩形折叠为例，列举以下几种类型： 折法1 如图，点P为矩形ABCD边AD上一点，当点P与点D重合时，沿BP将 △ABP折叠至△EBP，BE交CD于点H，你能发现什么新的结论？
第2题图
折法2 如图，点P在AD上，将△ABP沿BP折叠至△EBP，点A落在CD边的点E处， 你能发什么新的结论吗？
图②
(点P为AD中点)
图①
图③
针对训练 1. 如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，若DE＝5， AB＝8，则S△ABF∶S△FCE＝________．
第8题图
折法4 如图矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，沿EF将四边形ABFE 折叠至四边形A′B′FE后，B′落在DC上，你能发现什么新的结论？
拓展类型 那么下面的折法还有什么新的结论吗？
针对训练 1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝10，点F，G分别是AB、CD上的两点，连接 FG，将矩形ABCD沿FG折叠，使点B恰好落在AD边上的中点E处，连接BE，则折痕 FG的长为________．
第3题图
2. 如图，矩形ABCD中，E在BC上，BE＝2CE，将矩形沿DE折叠，点C恰好落 在对角线BD上的点F处，若AB＝3，则BF的长为________．
第4题图
3. 如图，正方形ABCD中，AB＝6，E是CD的中点，将△ADE沿AE翻折至△AFE，连 接CF，则CF的长度是________．
第9题图
2．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点 C落在点H处，已知∠DGH＝30°，连接BG，则∠AGB＝ ________．
3. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，折痕为EF，若AB＝2，BC＝3，则阴影部分的周 长为________．
(1)找出原图形的关键点(各顶点)，作出它们关于对称轴(或对称中心)的对称点； (2)根据原图形依次连接各对称点即可
图形的对称
图形
轴对称图形
判断方法
(1)找对称轴； (2)图形沿________折叠；
(3)对称轴两边图形__________
等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、正五 常见的轴对称
针对训练 1. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中 阴影部分的面积是__ __．
第1题图
2. 如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8，0)，点C的坐标为(0，4)，把矩形 OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为_______________．
几何图形中的折叠问题
(1)定义：折叠是轴对称变换，折痕所在的直线就是对称轴，折叠前后的图形全等． (2)性质：折叠前后的两部分图形全等且关于折痕成________图形，对应边、角、线 段、周长、面积相等；折叠前后，对应点的连线被________垂直平分．
轴对称
图形
轴对称
性质
作图 方法
(1)成轴对称的两个图形________； (2)成轴对称的两个图形只有一条对称轴； (3)对应点连线被对称轴________