北师大版八年级数学上册期末压轴题系列专题练习(有答案)
专题08 一次函数与几何综合的五种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册北师大版)
专题08一次函数与几何综合的五种考法类型一、等腰三角形存在性问题(1)求直线CB的解析式；(2)点E在x轴上，【答案】(1)12y x =+(2)(4,0)、(16,0)-、当10BE AB ==时，1E 点的坐标为(4,0)，2E 点的坐标为当AB AE =时，点B 与点E 是关于y 轴对称，E 当EA EB =时，设点E 坐标为(,0)x ，则2228(6)x x +=+，解得：73x =4E 点的坐标为7(,0)3，(1)当点P 在线段BO 上时，①求证：AOP BOQ ≌△△；②若点P 为BO 的中点，求△(2)在点P 的运动过程中，是否存在某一位置，的坐标；若不存在，请说明理由．当点P 在线段OB 上时，若OC OQ =，由于OP OQ =，则有在OCP △中，OPC AOP ∠=∠+OC OP ∴>，即OC OQ =不可能；若CQ OQ =，由于OP OQ =，则有过点C 作CH x ⊥轴于点H ，显然即CQ OQ =不可能，∴当COQ 是等腰三角形时，只有当点P在BO的延长线上时，同理可得：(0,424)P--，综上所述：(0,424)P-或P【点睛】本题考查了一次函数与几何图形综合，图形是解题的关键．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交于点B、A，点P为y(1)求点A、B的坐标；(2)当点P在y轴负半轴上，且ABP的面积为6时，求点(3)是否存在点P使得ABP为等腰三角形?若存在，求出点设()()0,0P n n <，则2PA =-所以()22224PA n n n =-=-+所以224416n n n -+=+解得3n =-，所以此时点P 的坐标为(0,3-综上所述，存在点P 使得ABP 例．如图，直线24y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 是OB 的中点．(1)求点C 的坐标：(2)在x 轴上找一点D ，使得ACD ABC S S = ，求点D 的坐标；(3)在x 轴上是否存在一点P ，使得ABP 是直角三角形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()0,2C (2)点D 的坐标为()4,0-或()0,0(3)存在，满足条件的P 点的坐标为()0,0或()8,0(1)填空：b =，m =，k =；(2)如图2，点D 为线段BC 上一动点，将ACD 沿直线AD 翻折得到AED △，线段AE 交轴于点F ．①求线段AE 的长度；②当点E 落在y 轴上时，求点E 的坐标；③若DEF 为直角三角形，请直接写出满足条件的点D 的坐标．【答案】(1)8，2-，12-(2)①45；②点E 的坐标为()0,4219-；③点D 的坐标为()20，或()254,0-【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）①过点A 作AH y ⊥轴于点H ，作AG x ⊥轴于点G ，根据勾股定理得到()222262480AE AC ==++=，于是得到结论；②利用勾股定理求出219HE =，可得2194OE =-，即可得答案；③分两种情况讨论，当90EDF ∠=︒时，求出135ADC ∠=︒，得45ADO ∠=︒，得DG AD ==得点D 坐标；当90DFE ∠=︒时，设DF x =，则8DE DC x ==-，由勾股定理得：()()2228454x x -=+-，求出DF ，得点D 坐标．【详解】（1）解：把()40B -，代入2y x b =+，∵()024b =⨯-+，∴8b =，∴直线AB ：28y x =+，把()4A m ，代入28y x =+，∴2m =-，∵ACD 翻折得到AED△∴()222262480AE AC ==++=，∴45AE =②当E 点落在y 轴上时，在Rt AHE △中，∵222AE AH HE -=∴222802HE AE AH =-=-=∴2194OE HE OH =-=-，∴点E 的坐标为()04219-，；③如下图，当90EDF ∠=︒时，由翻折得ADC ∠∴1359045ADO ∠︒︒=-=︒，∵4AG =，∴4DG AG ==，∴422OD DG OG =-=-=，∴点D 的坐标为()20，；如下图，当90DFE ∠=︒时，80AE AC ==设DF x =，则8DE DC x ==-，在Rt DEF △中，由勾股定理得：(解得：252x =-，∴254OD DF OF =-=-，∴点D 的坐标为()254,0-，综上，点D 的坐标为()20，或(2【点睛】本题考查了一次函数的综合题，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线．(1)如图1，求出AOP 的面积；(2)如图2，已知点C 是直线85y x =上一点，若APC △是以AP 为直角边的等腰直角三角形，求点C 的坐标．【答案】(1)AOP 的面积为40(2)点C 的坐标为()1016，或162,⎛⎫⎪∵直线l x ∥轴，点B ∴8PH OB ==，∴12AOP S OA PH == 故答案为：40；（2）设点(),8P n (n ≠过点P 作直线FE ，交APC 为等腰直角三角形，则90APE FPC ∴∠+∠=︒，APE FCP ∴∠=∠，90PEA CFP ∠=∠=︒ ，(AAS)PEA CFP ∴ ≌，同理可得：(AAS)AMP ANC ≌AM AM ∴=且MP NC =，8|10|m ∴=-或8105n m -=解得：2565m n =⎧⎪⎨=⎪⎩或181945m n =⎧⎪⎨=⎪⎩(1)求直线l 的解析式；(2)求证：ABC 是等腰直角三角形；(3)将直线l 沿y 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与在直线CD 上存在点P ，使得A △的坐标．【答案】(1)142y x =-+∴90DPE A PB ''∠=∠=︒，∴A PD B PE ''∠=∠，∵90A FP CEB ''∠=∠=︒，∴A FP CEB '' ≌，∴4,PE PF A F B E ''===，此时点P 的坐标为()44--，；如图，若以点P 为直角顶点时，过点同理此时点P 的坐标为()44-，；如图，若以点B '为直角顶点时，过点P 作同理A OB B GP ''' ≌，∴44OB PG OF t '====+，B '∴8t =-或0（舍去），∴8B G OA ''==，∴12OG =，∴此时点P 的坐标为()412--，；如图，若以点B '为直角顶点时，过点B '作B M CD '⊥轴于点M ，则4B M OF '==，OB MF '=，同理PB M A B O ''' ≌，∴44B M B O t ''===+，82PM OA t '==+，∴0=t （舍去）；如图，若以点A '为直角顶点时，同理A PF B A O ''' ≌，∴,PF A O B O A F '''==，∴4482t t --=---，解得：8t =-，∴8PF =，此时点P 的坐标为()48-，；如图，若以点A '为直角顶点时，同理A PF B A O ''' ≌，∴,PF A O B O A F '''==，∴4824t t --=++，解得：163t =-，∴83PF =，∴此时点P 的坐标为84⎛⎫--，；(1)①A 的坐标是_____________②求直线AB 的表达式；(2)点P 是直线y =(3)当ABP 为等腰直角三角形时，请直接写出【答案】(1)①(0,3【分析】（1）把x（3）解：如图1，当点P 为顶点时，过点P 作PE x ⊥轴，过点A 作AF 垂直于PE 的延长线于点F ，∵ABP 是等腰直角三角形，AP PB ∴=，APB ∠=90︒，=90FAP APF +∠︒ ，=90APF BPE ∠+∠︒，=FAP BPE ∴∠∠，在AFP 和PEB △中，F E FAP EPB AP PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFP PEB AAS ∴≅ ，AF PE ∴=，BE PF =，===90O F E ∠∠∠︒ ，∴四边形AOEF 是矩形，==AF PE OB BE ∴+，===AO FE FP PE BE PE ++，==2AO BE OB BE BE OB +++，()0,3A 、()1,0B ，=3AO ∴，1OB =，21=3BE ∴+，=1BE ∴，==31=2PE AO BE --，==11=2OE OB BE ∴++，∴点P 的坐标为()2,2；如图2，当点B 为顶点时，过点P 作PG x ⊥轴，ABP 是等腰直角三角形，AB BP ∴=，=90ABO OAB ∠+∠︒ ，=90ABO PBG ∠+∠︒，=OAB PBG ∴∠∠，在AOB 和BGP 中，O PGB OAB PBG AB BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOB BGP AAS ∴≅ ，=PG OB ∴，BG AO =，()0,3A 、()1,0B ，=3AO ∴，1OB =，==13=4OG OB BE ∴++，=1PG ，∴点P 的坐标为()4,1；如图3，当点A 为顶点时，过点P 作PM y ⊥轴，PAB △是等腰直角三角形，PA AB ∴=，=90PAB ∠︒，90MAP OAB ∠+∠=︒ ，90MAP MPA ∠+∠=︒，=MPA OAB ∴∠∠，在PMA △和AOB 中，M O MPA OAB AP AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PMA AOB AAS ∴≅ ，=MP AO ∴，=MA OB ，()0,3A 、()1,0B ，=3AO ∴，1OB =，3MP ∴=，==13=4OM MA AO ++，∴点P 的坐标为()3,4，故答案为：()2,2；()4,1；()3,4．【点睛】本题考查了一次函数的综合运用，等腰直角三角形的性质和矩形的性质及全等三角形的性质的判定，熟练求一次函数的解析式和构造全等三角形是解题的关键．类型四、全等问题(1)点A坐标为________，点B坐标为(2)当BOP△的面积是4时，求点(3)在y轴上是否存在点Q，使得以接写出所有符合条件的点P的坐标，否则请说明理由．【答案】(1)(3,0)，(0,4)，12 5(2)4(2,)20(2,)125OM OQ ==，12(0,)5Q 或12(0,)5-，6(5P ，12)5或24(5，12)5-；②如图3，图4，当OMP PQO ≌△△时，125PQ OM ∴==，12(5P ∴-，36)5或12(5，4)5；综上所述：P 点坐标为(65，12)5或24(5，12)5-或12(5-，36)5或12(5，4)5．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，判定及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．【变式训练1】如图，一次函数364y x =+的图象与于点C ，点P 在直线AB 上运动，点Q 在(1)求点A ，B 的坐标；(2)求OC 的长；(3)若以O ，P ，Q 为顶点的三角形与【答案】(1)()8,0A -，(B (3)Q 的坐标为120,5⎛⎫ ⎪⎝⎭或0,⎛ ⎝则OC PQ=，∴245PQ =，∴245m=-，∴33241266 4455m⎛⎫+=⨯-+=⎪⎝⎭，∵PQ OC=，∴245 PQ=．∴245=m，∴33244866 4455m+=⨯+=，∴48 0,5Q⎛⎫ ⎪⎝⎭；则245 OQ OC==，∴240,5Q⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上所述，Q的坐标为12 0,5⎛⎫ ⎪⎝⎭或(1)求点B 的坐标及直线BC 的函数表达式；(2)在坐标系平面内，存在点D ，使以点A ，B ，D 为顶点的三角形与ABC 全等，画出ABD ，并求出点D 的坐标．【答案】(1)点B 的坐标为(0，3)，33y x =-+；(2)图见解析，点D 的坐标为(4-，3)或(3-，4)或(0，1)-．【分析】（1）将点点(3A -，0)代入解析式得出3b =，继而得出点B 的坐标为(0，3)，根据:3:1OB OC =得出1OC =，即点C 的坐标为(1，0)，然后待定系数法求解析式即可求解；（2）分在x 轴上方：BAD ABC ≌和(ABD ABC ≌如图1)和点D 在y 轴上(如图②)两种情况，根据全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）解：∵直线AB ：y x b =+过点(3A -，0)，03b ∴=-+，3b ∴=．当0x =时，3y x b b =+==，∴点B 的坐标为(0，3)，即3OB =．OB ：3OC =：1，1OC ∴=．点C 在x 轴正半轴，∴点C 的坐标为(1，0)．设直线BC 的解析式为()0y kx c k =+≠，将(0B ，3)、(1C ，0)代入y kx c =+，得：30c k c =⎧⎨+=⎩，解得：33k c =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的函数表达式为33y x =-+．（2）分在x 轴上方：BAD ABC ≌和(ABD ABC ≌如图1)和点D 在y 轴上(如图②)两种情况考虑：如图①：①当BAD ABC ≌时，3OA OB == ，45BAC ∴∠=︒．BAD ABC ≌，45ABD BAC ∴∠=∠=︒，4BD AC ==，BD ∴∥AC ，∴点D 的坐标为(4-，3)；②当ABD ABC ≌时，45BAD BAC ∠=∠=︒，4AD AC ==，90DAC ∴∠=︒，∴点D 的坐标为(3-，4)．如图②当ABD BCA ≌时，4BD AC ==，1OD ∴=，∴点D 的坐标为(0，1)-．综上所述，点D 的坐标为(4-，3)或(3-，4)或(0，1)-．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键．【变式训练3】如图①，已知直线24y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，以OA OC ，为边在第一象限内作长方形OABC ．类型五、角度之间关系过点P 作EF y ⊥轴于点E ，过点H 作∴45POG ∠=︒，∵()3,1P ，∴1,3EP OE ==∵OA OB =，45AOB ∠=︒∴AOB 是等腰直角三角形，∵45APO EOP ∠+∠=︒，PQO APO∠=∠∴45PQO EOP ∠+∠=︒又∵9045EOP GOQ POG ∠+∠=︒-∠=∴GOQ GQO∠=∠∴GQ GO =，即点G 在OG 的垂直平分线上，∵90OEP PFH OPH ∠=∠=∠=︒，∴90OPE FPH PHF ∠=︒-∠=∠，(1)求直线AB的关系式；(2)连接PD，当线段PD AB⊥时，直线AD上有一点动M∴1284,2525S ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∵45,DKR DAO KT RK ∠=∠=︒⊥∴45DKR DKT ∠=︒=∠，∴KT KP =，∴P ，T 关于直线AD 对称，连接TS 交AD 于M ，交x 轴于N 4y x =-+12x =-得y =∵3,4OB OA ==，∴34PH PH AH HW==，设3PH t =，则4AH HW t ==∴5PW t OW ==，∵4OW HW AH OA ++==，∵12POA BAO ∠=∠，∴2POA APO POA ∠+∠=∠∴APO POA ∠=∠，∴4AO AP ==，∵34PF OB AF AF ==，∴165AF =36(1)求直线BC 的函数解析式；(2)设点M 是x 轴上的一个动点，过点M 作y 轴的平行线，交直线于点Q ．①若PQB △的面积为83，求点M 的坐标．②连接BM ，如图2，在点M 的运动过程中是否存在点P ，使∠求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．则113(3)22PQ m m m =-+-+=，则PQB ∆的面积21122PQ BD m =⋅=故点M 的坐标为43(3，0)或4(-②如图，当点M 在y 轴的左侧时，点C 与点A 关于y 轴对称，AB BC ∴=，BAC BCA ∴∠=∠，BMP BAC ∠=∠ ，BMP BCA ∴∠=∠，90BMP BMC ∠+∠=︒ ，90BMC BCA ∴∠+∠=︒(1)求点A，B的坐标；(2)若直线AC⊥AB交y轴负半轴于点(3)在y轴上是否存在点P，使以求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A(−1，0)；B(0，2)(2)1.25；(3)y轴上存在点P，使以A，当BA＝BP时，BP＝∴点P1的坐标为(0，当PB＝PA时，设OP ∴(2−x)2=1+x2，解得：∴点P3的坐标为(0，当AB＝AP时，OP＝∴点P4的坐标为(0，综上所述：y轴上存在点标为(0，2+5）或(0(1)填空：=a ______，b =______；(2)在射线CD 上有一动点E ，过点E 作EF 平行于y 轴交直线AB 时，求点E 的坐标；(3)点M 为直线AB 上一点，且45CDM ∠=︒，求点M 的坐标．【答案】(1)1，2-1112132⎛⎫∴90QCP QPC ∠+∠=︒，∵CP CD ⊥，∴90QCP DCL ∠+∠=︒∴QPC DCL ∠=∠，∴QPC LCP ≌△△，∵()1,1C -，()0,2D -，∴CG HK =，GH KD =，∵()1,1C -，()0,2D -，设(,H c d ∴2c =-，1d =-，∴()2,1H --，可得直线DH 的解析式为联立12213y x ⎧=--⎪⎪⎨，解得721x ⎧=-⎪⎪⎨(1)求点C的坐标；∥轴交AB于点(2)如图2，过点C作直线CD x①求线段CD的长；②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M DC≌△BDC时，当△1M和点B关于直线则点1M的坐标为：（-1∴点1M CD≌△BDC时，当△2。
八年级数学上册压轴题 期末复习试卷专题练习(word版
八年级数学上册压轴题 期末复习试卷专题练习（word 版一、压轴题1．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点(),A a b ，(),B c d ，若点(),T x y 满足3a c x +=，3b d y +=那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：()1,8A -，()4,2B -，当点(),T x y 满足1413x -+==，()8223y +-==时，则点()1,2T 是点A ，B 的融合点． （1）已知点()1,5A -，()7,4B ，()2,3C ，请说明其中一个点是另外两个点的融合点． （2）如图，点()4,0D ，点(),25E t t +是直线l 上任意一点，点(),T x y 是点D ，E 的融合点．①试确定y 与x 的关系式；②在给定的坐标系xOy 中，画出①中的函数图象；③若直线ET 交x 轴于点H ．当DTH 为直角三角形时，直接写出点E 的坐标．2．（1）探索发现：如图1，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 过点C ，过点A 作AD ⊥l ，过点B 作BE ⊥l ，垂足分别为D 、E ．求证：AD ＝CE ，CD ＝BE ．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M 的坐标为（1，3），求点N 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y ＝﹣3x+3与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．3．（1）在等边三角形ABC 中，①如图①，D ，E 分别是边AC ，AB 上的点且AE=CD ，BD 与EC 交于点F ，则∠BFE 的度数是 度；②如图②，D ，E 分别是边AC ，BA 延长线上的点且AE=CD ，BD 与EC 的延长线交于点F ，此时∠BFE 的度数是 度；（2）如图③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，若∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．4．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣34x+m分别与x轴、y轴交于点B、A．其中B点坐标为（12，0），直线y＝38x与直线AB相交于点C．（1）求点A的坐标．（2）求△BOC的面积．（3）点D为直线AB上的一个动点，过点D作y轴的平行线DE，DE与直线OC交于点E （点D与点E不重合）．设点D的横坐标为t，线段DE长度为d．①求d与t的函数解析式（写出自变量的取值范围）．②当动点D在线段AC上运动时，以DE为边在DE的左侧作正方形DEPQ，若以点H（12，t）、G（1，t）为端点的线段与正方形DEPQ的边只有一个交点时，请直接写出t的取值范围．5．在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，2）．（1）如图2，点B的坐标为（b，0）．①若b＝﹣2，则点A，B的“相关矩形”的面积是；②若点A，B的“相关矩形”的面积是8，则b的值为．（2）如图3，点C在直线y＝﹣1上，若点A，C的“相关矩形”是正方形，求直线AC的表达式；（3）如图4，等边△DEF的边DE在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0）．点M的坐标为（m，2），若在△DEF的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围．6．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，求∠HPQ的度数．7．在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问：（1）如图1，在爬行过程中，CD和BE始终相等吗，请证明？（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE=60°；（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F ”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF =EF8．已知：ABC 中，过B 点作BE ⊥AD ，=90=，∠︒ACB AC BC ．(1)如图1，点D 在BC 的延长线上，连AD ，作BE AD ⊥于E ，交AC 于点F ．求证：=AD BF ；(2)如图2，点D 在线段BC 上，连AD ，过A 作AE AD ⊥，且=AE AD ，连BE 交AC 于F ，连DE ，问BD 与CF 有何数量关系，并加以证明；(3)如图3，点D 在CB 延长线上，=AE AD 且AE AD ⊥，连接BE 、AC 的延长线交BE 于点M ，若=3AC MC ，请直接写出DB BC的值．9．如图，在平面直角坐标系中，直线334y x =-+分别交,x y 轴于A B ，两点，C 为线段AB 的中点，(,0)D t 是线段OA 上一动点（不与A 点重合），射线//BF x 轴，延长DC 交BF 于点E ．（1）求证：AD BE =；（2）连接BD ，记BDE 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；（3）是否存在t 的值，使得BDE 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．10．（1）填空①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是________；②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是_______． （2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上左侧，且80EMF ∠=︒，求11C MB ∠的度数； ②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线右侧，且60EMF ∠=︒，求11C MA ∠的度数．（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，EB ，FB 为折痕，设ABC α∠=︒，EBF β∠=︒，11A BC γ∠=︒，求α，β，γ之间的数量关系．11．已知在△ABC 中，AB ＝AC ，射线BM 、BN 在∠ABC 内部，分别交线段AC 于点G 、H ． （1）如图1，若∠ABC ＝60°，∠MBN ＝30°，作AE ⊥BN 于点D ，分别交BC 、BM 于点E 、F ．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF ＝2AF ，连接CF ，求证：BF ⊥CF ；（2）如图3，点E 为BC 上一点，AE 交BM 于点F ，连接CF ，若∠BFE ＝∠BAC ＝2∠CFE ，求ABFACF S S 的值．12．在Rt ABC 中，ACB =∠90°，30A ∠=︒，点D 是AB 的中点，连结CD ．（1）如图①，BC 与BD 之间的数量关系是_________，请写出理由；（2）如图②，若P 是线段CB 上一动点（点P 不与点B 、C 重合），连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连结BF ，请猜想BF ，BP ，BD 三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P 是线段CB 延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图③中补全图形，并直接写出BF ，BP ，BD 三者之间的数量关系．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）点C 是点A 、B 的融合点；（2）①2-1y x =；②见详解；③点E 的坐标为：（2，9）或（8，21）【解析】【分析】（1）根据融合点的定义3a c x +=，3b d y +=，即可求解； （2）①由题意得：分别得到x 与t 、y 与t 的关系，即可求解；②利用①的函数关系式解答；③分∠DTH ＝90°、∠TDH ＝90°、∠HTD ＝90°三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）x ＝-17233a c ++==，y ＝54333b d ++==， 故点C 是点A 、B 的融合点；（2）①由题意得：x＝433a c t++=，y＝2533b d t++=，则3-4t x=，则()23-452-13xy x+==；②令x＝0，y＝-1；令y＝0，x＝12，图象如下：③当∠THD＝90°时，∵点E（t，2t＋5），点T（t，2t−1），点D（4，0），且点T（x，y）是点D，E的融合点．∴t＝13（t＋4），∴t＝2，∴点E（2，9）；当∠TDH＝90°时，∵点E（t，2t＋5），点T（4，7），点D（4，0），且点T（x，y）是点D，E的融合点．∴4＝13（4＋t）∴t＝8，∴点E（8，21）；当∠HTD＝90°时，由于EH与x轴不平行，故∠HTD不可能为90°；故点E的坐标为：（2，9）或（8，21）．【点睛】本题是一次函数综合运用题，涉及到直角三角形的运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解．2．（1）见解析（2）（4，2）（3）（6，0）【解析】【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；（2）先判断出MF=NG，OF=MG，进而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出结论；（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=4，SH=0Q=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论.【详解】证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l∴∠ACB＝∠ADC∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，∵M（1，3）∴MF＝1，OF＝3∴MG＝3，NG＝1∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，∴点N的坐标为（4，2），（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3∴P（0，3），∴OP＝3由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°∴∠PSQ＝45°＝∠QPS∴PQ＝SQ∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1∴S（4，1），设直线PR为y＝kx+b，则341bk b=⎧⎨+=⎩，解得1k2b3⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线PR为y＝﹣12x+3由y＝0得，x＝6∴R（6，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键.3．（1）①60°；②60°；（2）∠BFE =α．【解析】【分析】（1）①先证明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠CBD+∠BCF；②先证明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA；（2）证明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D，则∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【详解】（1）如图①中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案为60．（2）如图②中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案为60．（3）如图③中，∵点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，∴OC=OA，∴∠EAC=∠DCB=α，∵AC=BC，AE=CD，∴△AEC≌△CDB，∴∠E=∠D，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【点睛】本题综合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.4．（1）点A坐标为（0，9）；（2）△BOC的面积＝18；（3）①当t＜8时，d＝﹣9 8t+9，当t＞8时，d＝98t﹣9；②12≤t≤1或7617≤t≤8017．【解析】【分析】（1）将点B坐标代入解析式可求直线AB解析式，即可求点A坐标；（2）联立方程组可求点C坐标，即可求解；（3）由题意列出不等式组，可求解．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣34x+m与y轴交于点B（12，0），∴0＝﹣34×12+m，∴m＝9，∴直线AB的解析式为：y＝﹣34x+9，当x＝0时，y＝9，∴点A坐标为（0，9）；（2）由题意可得：38394y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：83 xy=⎧⎨=⎩，∴点C（8，3），∴△BOC的面积＝12×12×3＝18；（3）①如图，∵点D的横坐标为t，∴点D（t，﹣34t+9），点E（t，38t），当t＜8时，d＝﹣34t+9﹣38t＝﹣98t+9，当t＞8时，d＝38t+34t﹣9＝98t﹣9；②∵以点H（12，t）、G（1，t）为端点的线段与正方形DEPQ的边只有一个交点，∴12≤t≤1或919829918t tt t⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪-+≥-⎪⎩，∴12≤t≤1或7617≤t≤8017．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积公式，不等式组的应用，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．5．（1）①6；②5或﹣3；（2）直线AC的表达式为：y＝﹣x+3或y＝x+1；（3）m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2m≤3．【解析】【分析】（1）①由矩形的性质即可得出结果；②由矩形的性质即可得出结果；（2）过点A（1，2）作直线y＝﹣1的垂线，垂足为点G，则AG＝3求出正方形AGCH的边长为3，分两种情况求出直线AC的表达式即可；（3）由题意得出点M在直线y＝2上，由等边三角形的性质和题意得出OD＝OE＝12DE＝1，EF＝DF＝DE＝2，得出OF OD①当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣3，2）或（1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣2）；得出m的取值范围为﹣3≤m≤﹣或2﹣≤m≤1；②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M 的坐标为（3，2）或（﹣1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（22）；得出m的取值范围为2≤m≤3或2﹣≤m≤1；即可得出结论．【详解】解：（1）①∵b＝﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），如图2﹣1所示：∵点A的坐标为（1，2），∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝（1+2）×2＝6，故答案为：6；②如图2﹣2所示：由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝|b﹣1|×2＝8，∴|b﹣1|＝4，∴b＝5或b＝﹣3，故答案为：5或﹣3；（2）过点A（1，2）作直线y＝﹣1的垂线，垂足为点G，则AG＝3，∵点C在直线y＝﹣1上，点A，C的“相关矩形”AGCH是正方形，∴正方形AGCH的边长为3，当点C在直线x＝1右侧时，如图3﹣1所示：CG＝3，则C（4，﹣1），设直线AC的表达式为：y＝kx+a，则214k ak a=+⎧⎨-=+⎩，解得；13ka=-⎧⎨=⎩，∴直线AC的表达式为：y＝﹣x+3；当点C在直线x＝1左侧时，如图3﹣2所示：CG＝3，则C（﹣2，﹣1），设直线AC的表达式为：y＝k′x+b，则212k bk b=+⎧⎨-=-+''⎩，解得：k1 b1=⎧⎨='⎩，∴直线AC的表达式为：y＝x+1，综上所述，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3或y＝x+1；（3）∵点M的坐标为（m，2），∴点M在直线y＝2上，∵△DEF是等边三角形，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0），∴OD＝OE＝12DE＝1，EF＝DF＝DE＝2，∴OF＝3OD＝3，分两种情况：如图4所示：①当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣3，2）或（1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣2+3，2）或（2﹣3，2）；∴m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+3或2﹣3≤m≤1；②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（3，2）或（﹣1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（2﹣3，2）或（﹣2+3，2）；∴m的取值范围为2﹣3≤m≤3或﹣1≤m≤﹣2+3；综上所述，m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+3或2﹣3≤m≤3．【点睛】此题主要考查图形与坐标综合，解题的关键是熟知正方形的性质、一次函数的图像与性质及新定义的应用．6．（1）AB ∥CD ，理由见解析；（2）证明见解析；（3）45°．【解析】【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，所以易证AB ∥CD ；（2）利用（1）中平行线的性质推知∠BEF+∠EFD=180°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，故结合已知条件GH ⊥EG ，易证PF ∥GH ； （3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得90902KPG PKG HPK ︒︒∠=-∠=-∠；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知1452QPK EPK HPK ︒∠=∠=+∠；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ =45°．【详解】（1）AB ∥CD ，理由如下：∵∠1与∠2互补，∴∠1+∠2=180°，又∵∠1=∠AEF ，∠2=∠CFE ，∴∠AEF +∠CFE =180°，∴AB ∥CD ；（2）由（1）知，AB ∥CD ，∴∠BEF +∠EFD =180°．又∵∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ， ∴1()902FEP EFP BEF EFD ︒∠+∠=∠+∠= ∴∠EPF =90°，即EG ⊥PF ．∵GH ⊥EG ，∴PF ∥GH ；（3）∵∠PHK =∠HPK ，∴∠PKG =2∠HPK ．又∵GH ⊥EG ，∴∠KPG =90°﹣∠PKG =90°﹣2∠HPK ，∴∠EPK =180°﹣∠KPG =90°+2∠HPK ．∵PQ 平分∠EPK ， ∴1452QPK EPK HPK ︒∠=∠=+∠， ∴∠HPQ =∠QPK ﹣∠HPK =45°．答：∠HPQ 的度数为45°．【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质．解题过程中，注意“数形结合”数学思想的运用．7．（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析．【解析】【分析】（1）先证明△ACD ≌△CBE ，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE ；（2）先证明△BCD ≌△ABE ，得到∠BCD=∠ABE ，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC ，∠CQE=180°-∠DQB ，即可解答； （3）如图3，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，根据等边三角形的三边相等，可以证得AD=DG=CE ；进而证明△DGF 和△ECF 全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）解：CD 和BE 始终相等，理由如下：如图1，AB=BC=CA ，两只蜗牛速度相同，且同时出发，∴CE=AD ，∠A=∠BCE=60°在△ACD 与△CBE 中，AC=CB ，∠A=∠BCE ，AD=CE∴△ACD ≌△CBE （SAS ），∴CD=BE ，即CD 和BE 始终相等；（2）证明：根据题意得：CE=AD ，∵AB=AC ，∴AE=BD ，∴△ABC 是等边三角形，∴AB=BC ，∠BAC=∠ACB=60°，∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，∴∠EAB=∠DBC ，在△BCD 和△ABE 中，BC=AB ，∠DBC=∠EAB ，BD=AE∴△BCD ≌△ABE （SAS ），∴∠BCD=∠ABE∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；（3）解：爬行过程中，DF 始终等于EF 是正确的，理由如下：如图，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E ，∴△ADG 为等边三角形，∴AD=DG=CE ，在△DGF 和△ECF 中，∠GFD=∠CFE ，∠GDF=∠E ，DG=EC∴△DGF ≌△EDF （AAS ），∴DF=EF.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质；题弄懂题中所给的信息，再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键．8．（1）见详解，（2）2BD CF ，证明见详解，（3）23．【解析】【分析】（1）欲证明BF AD =，只要证明BCF ACD ∆≅∆即可；（2）结论：2BD CF =．如图2中，作EH AC ⊥于H ．只要证明ACD EHA ∆≅∆，推出CD AH =，EH AC BC ==，由EHF BCF ∆≅∆，推出CH CF =即可解决问题； （3）利用（2）中结论即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，BE AD ⊥于E ，90AEF BCF ∴∠=∠=︒，AFE CFB ∠=∠，DAC CBF ∴∠=∠，BC AC =，BCF ACD ∴∆≅∆(AAS )，BF AD ∴=．（2）结论：2BD CF =．理由：如图2中，作EH AC ⊥于H ．90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，ACD EHA ∴∆≅∆，CD AH ∴=，EH AC BC ==，CB CA =，BD CH ∴=，90EHF BCF ∠=∠=︒，EFH BFC ∠=∠，EH BC =，EHF BCF ∴∆≅∆，FH FC ∴=，2BD CH CF ∴==．（3）如图3中，作EH AC ⊥于交AC 延长线于H ． 90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒， 90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，ACD EHA ∴∆≅∆，CD AH ∴=，EH AC BC ==，CB CA =，BD CH ∴=，90EHM BCM ∠=∠=︒，EMH BMC ∠=∠，EH BC =，EHM BCM ∴∆≅∆，MH MC ∴=，2BD CH CM ∴==．3AC CM =，设CM a =，则3AC CB a ==，2BD a =，∴2233DB a BC a ==．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．另外对于类似连续几步的综合题，一般前一步为后一步提供解题的条件或方法．9．（1）详见解析；（2）36(04)2BDE t t S -+≤<=；（3）存在，当78t =或43时，使得BDE 是以BD 为腰的等腰三角形．【解析】【分析】 （1）先判断出EBC DAC ∠=∠，CEB CDA ∠=∠，再判断出BC AC =，进而判断出△BCE ≌△ACD ，即可得出结论；（2）先确定出点A ，B 坐标，再表示出AD ，即可得出结论；（3）分两种情况：当BD BE =时，利用勾股定理建立方程2223(4)t t +=-，即可得出结论；当BD DE =时，先判断出Rt △OBD ≌Rt △MED ，得出DM OD t ==，再用OM BE =建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）证明：射线//BF x 轴，EBC DAC ∴∠=∠，CEB CDA ∠=∠，又C 为线段AB 的中点，BC AC ∴=，在△BCE 和△ACD 中， CEB CDA EBC DAC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△ACD （AAS ），BE AD ∴=；（2）解：在直线334y x =-+中， 令0x =，则3y =，令0y =，则4x =，A ∴点坐标为(4,0)，B 点坐标为(0,3)，D 点坐标为(,0)t ，4AD t BE ∴=-=，113(4)36(04)222BDE ABD B S S AD y t t t ∴==⋅=-⨯=-+<；（3）当BD BE =时，在Rt OBD ∆中，90BOD ∠=︒，由勾股定理得：222OB OD DB +=，即2223(4)t t +=-解得：78t =； 当BD DE =时，过点E 作EM x ⊥轴于M ，90BOD EMD ∴∠=∠=︒，//BF OA ，OB ME ∴= 在Rt △OBD 和Rt △MED 中，==BD DE OB ME⎧⎨⎩， ∴Rt △OBD ≌Rt △MED （HL ），OD DM t ∴==，由OM BE =得：24t t =- 解得：43t =， 综上所述，当78t =或43时，使得△BDE 是以BD 为腰的等腰三角形．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，用方程的思想解决问题是解本题的关键．10．90︒，45︒；20︒，30︒；2a γβ+=，2a γβ-=.【解析】【分析】（1）①如图①知1112EMC BMC ∠=∠，1112C MF C MC ∠=∠得 ()1112EMF BMC C MC ∠=∠+∠可求出解. ②由图②知111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠得()1112EBF ABC C BC ∠=∠+∠可求出解.（2）①由图③折叠知11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，可推出11()BMC EMF EMF C MB ∠-∠-∠=∠，即可求出解.②由图④中折叠知11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，可推出()112906090A MC ︒︒︒-+∠=，即可求出解.（3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，a ββγ-=-、a ββγ-=+，即可求得 2a γβ+=、2a γβ-=.【详解】解：（1）①如图①中，1112EMC BMC ∠=∠，1112C MF C MC ∠=∠， ()1111111800229EMF EMC C MF BMC C MC ︒︒∴∠=∠+∠=∠⨯=+∠=， 故答案为90︒. ②如图②中，111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠， ()111111904522EBF EBC C BF ABC C BC ︒︒∴∠=∠+∠=∠+∠=⨯=， 故答案为45︒.（2）①如图③中由折叠可知，11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，1111C MF EMB EMF C MB ∠+∠-∠=∠，11CMF BME EMF C MB ∴∠+∠-∠=∠，11()BMC EMF EMF C MB ∴∠-∠-∠=∠，111808020C MB ︒︒︒∴-=∠=；②如图④中根据折叠可知，11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，112290CMF ABE A MC ︒∠+∠+∠=，112()90CMF ABE A MC ︒∴∠+∠+∠=，()1129090EMF AMC ︒︒∴-∠+∠=，()112906090AMC ︒︒︒∴-+∠=， 1130A MC ︒∴∠=；（3）如图⑤-1中，由折叠可知，a ββγ-=-，2a γβ∴+=；如图⑤-2中，由折叠可知，a ββγ-=+，2a γβ∴-=.【点睛】本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.11．（1）①见解析；②见解析；（2）2【解析】【分析】（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt △BFD 中，∵∠FBD ＝30°，∴BF ＝2DF ，∵BF ＝2AF ，∴BF ＝AD ，∵∠BAE ＝∠FBC ，AB ＝BC ，∴△BFC ≌△ADB ，∴∠BFC ＝∠ADB ＝90°，∴BF ⊥CF（2）在BF 上截取BK ＝AF ，连接AK．∵∠BFE ＝∠2+∠BAF ，∠CFE ＝∠4+∠1，∴∠CFB ＝∠2+∠4+∠BAC ，∵∠BFE ＝∠BAC ＝2∠EFC ，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB ＝AC ，∴△ABK ≌CAF ，∴∠3＝∠4，S △ABK ＝S △AFC ，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE ＝∠AKB ，∠BAC ＝2∠CEF ，∴∠KAF ＝∠1+∠3＝∠AKF ，∴AF ＝FK ＝BK ，∴S △ABK ＝S △AFK ，∴ABF AFCS 2S ∆∆=． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．12．（1）BC BD =，理由见解析；（2）BF BP BD +=，证明见解析；（3）BF BP BD +=．【解析】【分析】（1）利用含30的直角三角形的性质得出12BC AB =，即可得出结论； （2）同（1）的方法得出BC BD =进而得出BCD ∆是等边三角形，进而利用旋转全等模型易证DCP DBF ∆≅∆，得出CP BF =即可解答；（3）同（2）的方法得出结论．【详解】解：（1）90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，60CBA ∴∠=︒，12BC AB =， 点D 是AB 的中点，BC BD ∴=，故答案为：BC BD =；（2）BF BP BD +=，理由：90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，60CBA ∴∠=︒，12BC AB =， 点D 是AB 的中点，BC BD ∴=，DBC ∴∆是等边三角形，60CDB ∴∠=︒，DC DB =，线段DP 绕点D 逆时针旋转60︒，得到线段DF ，60PDF ∴∠=︒，DP DF =，CDB PDB PDF PDB ∴∠-∠=∠-∠，CDP BDF ∴∠=∠，在DCP ∆和DBF ∆中， DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DCP DBF ∴∆≅∆，CP BF ∴=，CP BP BC +=，BF BP BC ∴+=，BC BD =，BF BP BD ∴+=；（3）如图③，BF BD BP=+，理由：90ACB∠=︒，30A∠=︒，60CBA∴∠=︒，12BC AB=，点D是AB的中点，BC BD∴=，DBC∴∆是等边三角形，60CDB∴∠=︒，DC DB=，线段DP绕点D逆时针旋转60︒，得到线段DF，60PDF∴∠=︒，DP DF=，CDB PDB PDF PDB∴∠+∠=∠+∠，CDP BDF∴∠=∠，在DCP∆和DBF∆中，DC DBCDP BDFDP DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DCP DBF∴∆≅∆，CP BF∴=，CP BC BP=+，BF BC BP∴=+，BC BD=，BF BD BP∴=+．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了含30的直角三角形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解本题的关键是判断出DCP DBF∆≅∆，是一道中等难度的中考常考题．。
八年级上册数学 压轴题 期末复习试卷专题练习(解析版)
八年级上册数学 压轴题 期末复习试卷专题练习（解析版）一、压轴题1．对于实数x ，若231a x ≤+，则符合条件的a 中最大的正数为X 的內数，例如：8的内数是5；7的内数是4．（1）1的内数是______，20的內数是______，6的內数是______；（2）若3是x 的內数，求x 的取值范围；（3）一动点从原点出发，以3个单位/秒的速度按如图1所示的方向前进，经过t 秒后，动点经过的格点（横，纵坐标均为整数的点）中能围成的最大实心正方形的格点数（包括正方形边界与内部的格点）为n ，例如当1t =时，4n =，如图2①……；当4t =时，9n =，如图2②，③；……①用n 表示t 的內数；②当t 的內数为9时，符合条件的最大实心正方形有多少个，在这些实心正方形的格点中，直接写出离原点最远的格点的坐标．（若有多点并列最远，全部写出）2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x =的图象为直线1．（1）观察与探究已知点A 与A '，点B 与B '分别关于直线l 对称，其位置和坐标如图所示．请在图中标出()2,3C -关于线l 的对称点C '的位置，并写出C '的坐标______．（2）归纳与发现 观察以上三组对称点的坐标，你会发现： 平面直角坐标系中点()P m n ,关于直线l 的对称点P '的坐标为______． （3）运用与拓展已知两点()2,3E -、()1,4F --，试在直线l 上作出点Q ，使点Q 到E 、F 点的距离之和最小，并求出相应的最小值．3．如图，以直角三角形AOC 的直角顶点O 为原点，以OC ，OA 所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点A （0，a ），C （b ，0）满足a 6b 80-+-=．（1）a = ；b = ；直角三角形AOC 的面积为 ．（2）已知坐标轴上有两动点P ，Q 同时出发，P 点从C 点出发以每秒2个单位长度的速度向点O 匀速移动，Q 点从O 点出发以每秒1个单位长度的速度向点A 匀速移动，点P 到达O 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是（4，3），设运动时间为t 秒．问：是否存在这样的t ，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若∠DOC =∠D CO ，点G 是第二象限中一点，并且y 轴平分∠GOD ．点E 是线段OA 上一动点，连接接CE 交OD 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，探究∠GOD ，∠OHC ，∠ACE 之间的数量关系，并证明你的结论(三角形的内角和为180)．4．如图，直线112y x b =-+分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，与直线26y kx =-交于点()C 4,2．（1）b = ；k = ；点B 坐标为 ；（2）在线段AB 上有一动点E ，过点E 作y 轴的平行线交直线y 2于点F ，设点E 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O 、B 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形；（3）若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P，Q，A，B四个点能构成一个菱形．若存在，直接写出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．5．在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，2）．（1）如图2，点B的坐标为（b，0）．①若b＝﹣2，则点A，B的“相关矩形”的面积是；②若点A，B的“相关矩形”的面积是8，则b的值为．（2）如图3，点C在直线y＝﹣1上，若点A，C的“相关矩形”是正方形，求直线AC的表达式；（3）如图4，等边△DEF的边DE在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0）．点M的坐标为（m，2），若在△DEF的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围．6．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC 上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，BP= cm，CQ= cm．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（4）若点Q以（3）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次相遇？7．如图1，矩形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴与y 轴上，且点()6,10C ，点()0,2D ，点P 为矩形AC 、CB 两边上的一个点．（1）当点P 与C 重合时，求直线DP 的函数解析式；（2）如图②，当P 在BC 边上，将矩形沿着OP 折叠，点B 对应点B '恰落在AC 边上，求此时点P 的坐标．（3）是否存P 在使BDP ∆为等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．阅读下列材料，并按要求解答．（模型建立）如图①，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于点D ，过B 作BE ⊥ED 于点E ．求证：△BEC ≌△CDA ．（模型应用）应用1：如图②，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AD ＝6，CD ＝8，BC ＝10，AB 2＝200．求线段BD 的长．应用2：如图 ③，在平面直角坐标系中，纸片△OPQ 为等腰直角三角形，QO ＝QP ，P （4，m ），点Q 始终在直线OP 的上方．（1）折叠纸片，使得点P 与点O 重合，折痕所在的直线l 过点Q 且与线段OP 交于点M ，当m ＝2时，求Q 点的坐标和直线l 与x 轴的交点坐标；（2）若无论m 取何值，点Q 总在某条确定的直线上，请直接写出这条直线的解析式 ．9．如图1中的三种情况所示，对于平面内的点M ，点N ，点P ，如果将线段PM 绕点P 顺时针旋转90°能得到线段PN ，就称点N 是点M 关于点P 的“正矩点”．（1）在如图2所示的平面直角坐标系xOy 中，已知(3,1),(1,3),(1,3)S P Q ---，(2,4)M -．①在点P ，点Q 中，___________是点S 关于原点O 的“正矩点”；②在S ，P ，Q ，M 这四点中选择合适的三点，使得这三点满足：点_________是点___________关于点___________的“正矩点”，写出一种情况即可； （2）在平面直角坐标系xOy 中，直线3(0)y kx k =+<与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点A 关于点B 的“正矩点”记为点C ，坐标为(,)C C C x y ．①当点A 在x 轴的正半轴上且OA 小于3时，求点C 的横坐标C x 的值；②若点C 的纵坐标C y 满足12C y -<≤，直接写出相应的k 的取值范围．10．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x ＝3+a c ，y ＝3+b d ，那么称点T 是点A 和B 的融合点．例如：M （﹣1，8），N （4，﹣2），则点T （1，2）是点M 和N 的融合点．如图，已知点D （3，0），点E 是直线y ＝x +2上任意一点，点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点．（1）若点E 的纵坐标是6，则点T 的坐标为 ；（2）求点T （x ，y ）的纵坐标y 与横坐标x 的函数关系式：（3）若直线ET 交x 轴于点H ，当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标．11．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线1l ，2l ，3l 上，90BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：（1）小明说：我只需要过B 、C 向1l 作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB 的长. （2）小林说：“我们可以改变ABC 的形状.如图2，AB AC =，120BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长.”（3）小谢说：“我们除了改变ABC 的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC 三个顶点分别落在三条平行线1l ，2l ，3l 上，且1l 与2l 之间的距离为1，2l 与3l 之间的距离为2，求AB 的长、”请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB 的长度.12．已知，在平面直角坐标系中，(42,0)A ，(0,42)B ，C 为AB 的中点，P 是线段AB 上一动点，D 是线段OA 上一点，且PO PD =，DE AB ⊥于E ．（1）求OAB ∠的度数；（2）当点P 运动时，PE 的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE 的值． （3）若45OPD ∠=︒，求点D 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）2，7，4；（2）83x ≥；（3）①t 的内数=有2个，离原点最远的格点的坐标有两个，为()8,4-±．【解析】【分析】（1）根据内数的定义即可求解；（2）根据内数的定义可列不等式2331x ≤+，求解即可；（3）①分析可得当1t =时，即t 的内数为2时，4n =；当4t =时，即t 的内数为3时，9n =，当5t =时，即t 的内数为4时，16n =……归纳可得结论；②分析可得当t 的内数为奇数时，最大实心正方形有2个；当t 的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；且最大实心正方形的边长为：t 的內数－1，即可求解．【详解】解：（1）22311=⨯+，所以1的内数是2；232017⨯+>，所以20的内数是7；23614⨯+>，所以6的内数是4；（2）∵3是x 的內数，∴2331x ≤+， 解得83x ≥； （3）①当1t =时，即t 的内数为2时，4n =；当4t =时，即t 的内数为3时，9n =，当5t =时，即t 的内数为4时，16n =，……∴t 的内数=②当t 的内数为2时，最大实心正方形有1个；当t 的内数为3时，最大实心正方形有2个，当t 的内数为4时，最大实心正方形有1个，……即当t 的内数为奇数时，最大实心正方形有2个；当t 的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；∴当t 的內数为9时，符合条件的最大实心正方形有2个，由前几个例子推理可得最大实心正方形的边长为：t 的內数－1，∴此时最大实心正方形的边长为8，离原点最远的格点的坐标有两个，为()8,4-±．【点睛】本题考查图形类规律探究，明确题干中内数的定义是解题的关键．2．(1) （3，-2）；(2) （n ，m ）；(3)图见解析, 点Q 到E 、F 点的距离之和最小值为210【解析】【分析】（1）根据题意和图形可以写出C '的坐标；（2）根据图形可以直接写出点P 关于直线l 的对称点的坐标；（3）作点E 关于直线l 的对称点E '，连接E 'F ，根据最短路径问题解答.【详解】（1）如图，C '的坐标为（3，-2），故答案为（3，-2）；（2）平面直角坐标系中点()P m n ,关于直线l 的对称点P '的坐标为（n ，m ）， 故答案为（n ，m ）；（3）点E 关于直线l 的对称点为E '（-3,2），连接E 'F 角直线l 于一点即为点Q ，此时点Q 到E 、F 点的距离之和最小，即为线段E 'F ，∵E 'F ()[]221(3)2(4)210=---+--=⎡⎤⎣⎦， ∴点Q 到E 、F 点的距离之和最小值为10【点睛】此题考查轴对称的知识，画关于直线的对称点，最短路径问题，勾股定理关键是找到点的对称点，由此解决问题.3．（1）6；8；24；（2）存在 2.4t =时，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等；（3）∠GOD+∠ACE=∠OHC ，见解析【解析】【分析】（1）利用非负性即可求出a ，b 即可得出结论,即可求出△ABC 的面积；（2）先表示出OQ ，OP ，利用那个面积相等，建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出∠OAC=∠AOD ，进而判断出OG ∥AC ，即可判断出∠FHC=∠ACE ，同理∠FHO=∠GOD ，即可得出结论．【详解】解：(1) 解：（1）∵a 6b 80--=， ∴a-6=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A （0，6），C （8，0）；∴S △ABC=6×8÷2=24,故答案为（0，6），（8，0）； 6；8；24 (2) ∵114222ODQ D S OQ x t t ∆=⋅=⋅⋅= 11(82)312322ODP D S OP y t t ∆=⋅=⋅-⋅=- 由2123t t =-时, 2.4t =∴存在 2.4t =时,使得△ODP 与△ODQ 的面积相等(3) ）∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC ，理由如下：∵x 轴⊥y 轴，∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°∴∠OAC+∠ACO=90°又∵∠DOC=∠DCO∴∠OAC=∠AOD∵y轴平分∠GOD∴∠GOA=∠AOD∴∠GOA=∠OAC∴OG∥AC，如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，∴HF∥AC∴∠FHC=∠ACE同理∠FHO=∠GOD，∵OG∥FH，∴∠GOD=∠FHO，∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC即∠GOD+∠ACE=∠OHC，∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．∴∠GOD+∠ACE=∠OHC．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了非负性的性质，三角形的面积公式，角平分线的定义，平行线的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．4．（1）4；2；(0，4)；（2）125m=或285m=；（3）存在．Q点坐标为()45,4-，()45,4，()0,4-或()5,4．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，将点C(4，2)代入解析式可求解；（2）设点E(m，142m+)，F(m，2m-6)，得()154261022EF m m m=-+--=-，由平行四边形的性质可得BO=EF=4，列出方程即可求解；（3）分两种情况讨论，由菱形的性质按照点平移的坐标规律，先确定P点坐标，再确定O 点坐标即可求解．【详解】解：（1）（1）∵直线y2=kx-6交于点C(4，2)，∴2=4k-6，∴k =2， ∵直线212y x b =-+过点C (4，2)， ∴2=-2+b ，∴b =4，∴直线解析式为：212y x b =-+，直线解析式为y 2=2x -6， ∵直线212y x b =-+分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点， ∴当x =0时，y =4，当y =0时，x =8，∴点B (0，4)，点A (8，0)，故答案为：4；2；(0，4)（2）∵点E 在线段AB 上，点E 的横坐标为m ，∴1,42E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(),26F m m -， ∴()154261022EF m m m =-+--=-． ∵四边形OBEF 是平行四边形，∴EF BO =，∴51042m -=， 解得：125m =或285m =时， ∴当125m =或285m =时，四边形OBEF 是平行四边形． （3）存在．此时Q 点坐标为()45,4-，()45,4，()0,4-或()5,4．理由如下：假设存在．以P ，Q ，A ，B 为顶点的菱形分两种情况：①以AB 为边，如图1所示．因为点()8,0A ，()0,4B ，所以45AB =．因为以P ，Q ，A ，B 为顶点的四边形为菱形，所以AP AB =或BP BA =．当AP AB =时，点()845,0P -或()845,0+； 当BP BA =时，点()8,0P -． 当()845,0P -时，()8458,04Q --+，即()45,4-； 当()845,0P +时，()8458,04Q +-+，即()45,4； 当()8,0P -时，()880,004Q -+-+-，即()0,4-．②以AB 为对角线，对角线的交点为M ，如图2所示．可得5AP =，点P 坐标为()3,0．因为以P ，Q ，A ，B 为顶点的四边形为菱形，所以点Q 坐标为()5,4．综上可知：若点P 为x 轴上一点，则在平面直角坐标系中存在一点Q ，使得P ，Q ，A ，B 四个点能构成一个菱形，此时Q 点坐标为()45,4-，()45,4，()0,4-或()5,4．【点睛】本题是一次函数综合题，利用待定系数法求解析式，平行四边形的性质，菱形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．5．（1）①6；②5或﹣3；（2）直线AC 的表达式为：y ＝﹣x+3或y ＝x+1；（3）m 的取值范围为﹣3≤m ≤﹣323m ≤3．【解析】【分析】（1）①由矩形的性质即可得出结果；②由矩形的性质即可得出结果；（2）过点A （1，2）作直线y ＝﹣1的垂线，垂足为点G ，则AG ＝3求出正方形AGCH 的边长为3，分两种情况求出直线AC 的表达式即可；（3）由题意得出点M在直线y＝2上，由等边三角形的性质和题意得出OD＝OE＝12DE＝1，EF＝DF＝DE＝2，得出OF OD①当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣3，2）或（1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣2）；得出m的取值范围为﹣3≤m≤﹣或2﹣≤m≤1；②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M 的坐标为（3，2）或（﹣1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（22）；得出m的取值范围为2≤m≤3或2﹣≤m≤1；即可得出结论．【详解】解：（1）①∵b＝﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），如图2﹣1所示：∵点A的坐标为（1，2），∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝（1+2）×2＝6，故答案为：6；②如图2﹣2所示：由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝|b﹣1|×2＝8，∴|b﹣1|＝4，∴b＝5或b＝﹣3，故答案为：5或﹣3；（2）过点A（1，2）作直线y＝﹣1的垂线，垂足为点G，则AG＝3，∵点C在直线y＝﹣1上，点A，C的“相关矩形”AGCH是正方形，∴正方形AGCH的边长为3，当点C在直线x＝1右侧时，如图3﹣1所示：CG＝3，则C（4，﹣1），设直线AC的表达式为：y＝kx+a，则214k ak a=+⎧⎨-=+⎩，解得；13ka=-⎧⎨=⎩，∴直线AC的表达式为：y＝﹣x+3；当点C在直线x＝1左侧时，如图3﹣2所示：CG＝3，则C（﹣2，﹣1），设直线AC的表达式为：y＝k′x+b，则212k bk b=+⎧⎨-=-+''⎩，解得：k1 b1=⎧⎨='⎩，∴直线AC的表达式为：y＝x+1，综上所述，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3或y＝x+1；（3）∵点M的坐标为（m，2），∴点M在直线y＝2上，∵△DEF是等边三角形，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0），∴OD＝OE＝12DE＝1，EF＝DF＝DE＝2，∴OF＝3OD＝3，分两种情况：如图4所示：①当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣3，2）或（1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣2+3，2）或（2﹣3，2）；∴m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+3或2﹣3≤m≤1；②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（3，2）或（﹣1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（2﹣3，2）或（﹣2+3，2）；∴m的取值范围为2﹣3≤m≤3或﹣1≤m≤﹣2+3；综上所述，m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+3或2﹣3≤m≤3．【点睛】此题主要考查图形与坐标综合，解题的关键是熟知正方形的性质、一次函数的图像与性质及新定义的应用．6．（1）BP=3cm，CQ=3cm；（2）全等，理由详见解析；（3）154；（4）经过803s点P与点Q第一次相遇．【解析】【分析】（1）速度和时间相乘可得BP、CQ的长；（2）利用SAS可证三角形全等；（3）三角形全等，则可得出BP=PC，CQ=BD，从而求出t的值；（4）第一次相遇，即点Q第一次追上点P，即点Q的运动的路程比点P运动的路程多10+10=20cm的长度．【详解】解：（1）BP=3×1=3㎝，CQ=3×1=3㎝（2）∵t=1s，点Q的运动速度与点P的运动速度相等∴BP=CQ=3×1=3cm，∵AB=10cm，点D为AB的中点，∴BD=5cm ．又∵PC=BC ﹣BP ，BC=8cm ，∴PC=8﹣3=5cm ，∴PC=BD又∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，在△BPD 和△CQP 中，PC BD B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BPD ≌△CQP(SAS)（3）∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，∴BP 与CQ 不是对应边，即BP≠CQ∴若△BPD ≌△CPQ ，且∠B=∠C ，则BP=PC=4cm ，CQ=BD=5cm ，∴点P ，点Q 运动的时间t=433BP =s ， ∴154Q CQ V t ==cm/s ； （4）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇． 由题意，得154x=3x+2×10， 解得80x=3 ∴经过803s 点P 与点Q 第一次相遇． 【点睛】本题考查动点问题，解题关键还是全等的证明和利用，将动点问题视为定点问题来分析可简化思考过程．7．（1）y=43x+2；（2）（103，10）；（3）存在， P 坐标为（6，6）或（6，+2）或（6，）．【解析】【分析】（1）设直线DP 解析式为y=kx+b ，将D 与C 坐标代入求出k 与b 的值，即可确定出解析式；（2）当点B 的对应点B′恰好落在AC 边上时，根据勾股定理列方程即可求出此时P 坐标； （3）存在，分别以BD ，DP ，BP 为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．【详解】解：（1）∵C（6，10）,D（0，2），设此时直线DP解析式为y=kx+b，把D（0，2），C（6，10）分别代入，得2610bk b=⎧⎨+=⎩，解得432kb⎧=⎪⎨⎪=⎩则此时直线DP解析式为y=43x+2；（2）设P（m，10），则PB=PB′=m，如图2，∵OB′=OB=10，OA=6，∴AB′=22OB OA'-=8，∴B′C=10-8=2，∵PC=6-m，∴m2=22+（6-m）2，解得m=103则此时点P的坐标是（103，10）；（3）存在，理由为：若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，①当BD=BP1=OB-OD=10-2=8，在Rt△BCP1中，BP1=8，BC=6，根据勾股定理得：CP1228627-=∴AP17P1（6，7）；②当BP2=DP2时，此时P2（6，6）；③当DB=DP3=8时，在Rt△DEP3中，DE=6，根据勾股定理得：P3228627-∴AP3=AE+EP3，即P3（6，+2），综上，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，+2）或（6，）．【点睛】此题属于一次函数综合题，待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法是解题的关键．8．模型建立：见解析；应用1：2：（1）Q(1，3)，交点坐标为(52，0)；（2）y＝﹣x+4【解析】【分析】根据AAS证明△BEC≌△CDA，即可；应用1：连接AC，过点B作BH⊥DC，交DC的延长线于点H，易证△ADC≌△CHB，结合勾股定理，即可求解；应用2：（1）过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥y轴于点K，直线KQ和直线NP 相交于点H，易得：△OKQ≌△QHP，设H(4，y)，列出方程，求出y的值，进而求出Q(1，3)，再根据中点坐标公式，得P(4，2)，即可得到直线l的函数解析式，进而求出直线l与x轴的交点坐标；（2）设Q(x，y)，由△OKQ≌△QHP，KQ＝x，OK＝HQ＝y，可得：y＝﹣x+4，进而即可得到结论．【详解】如图①，∵AD⊥ED，BE⊥ED，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，∵AC＝BC，∴△BEC≌△CDA（AAS）；应用1：如图②，连接AC，过点B作BH⊥DC，交DC的延长线于点H，∵∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，∴AC＝10，∵BC＝10，AB2＝200，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵∠ADC＝∠BHC＝∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠CBH，∵AC＝BC＝10，∴△ADC≌△CHB（AAS），∴CH＝AD＝6，BH＝CD＝8，∴DH=6+8=14，∵BH⊥DC，∴BD ＝22260BH DH +=＝265；应用2：（1）如图③，过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，过点Q 作QK ⊥y 轴于点K ，直线KQ 和直线NP 相交于点H ，由题意易：△OKQ ≌△QHP （AAS ），设H (4，y )，那么KQ ＝PH ＝y ﹣m ＝y ﹣2，OK ＝QH ＝4﹣KQ ＝6﹣y ，又∵OK ＝y ，∴6﹣y ＝y ，y ＝3，∴Q (1，3)，∵折叠纸片，使得点P 与点O 重合，折痕所在的直线l 过点Q 且与线段OP 交于点M ， ∴点M 是OP 的中点，∵P(4，2)，∴M(2，1)，设直线Q M 的函数表达式为：y ＝kx+b ，把Q (1，3)，M(2，1)，代入上式得：213k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：25k b =-⎧⎨=⎩∴直线l 的函数表达式为：y ＝﹣2x +5，∴该直线l 与x 轴的交点坐标为(52，0)； （2）∵△OKQ ≌△QHP ，∴QK ＝PH ，OK ＝HQ ，设Q (x ，y )，∴KQ ＝x ，OK ＝HQ ＝y ，∴x +y ＝KQ +HQ ＝4，∴y ＝﹣x +4，∴无论m 取何值，点Q 总在某条确定的直线上，这条直线的解析式为：y ＝﹣x +4， 故答案为：y ＝﹣x +4．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，勾股定理，一次函数的图象和性质，掌握“一线三垂直”模型，待定系数法是解题的关键．9．（1）①点P ；②见解析；（2）①点C 的横坐标C x 的值为-3；②334k -≤<-【解析】【分析】（1）①在点P ，点Q 中，点OS 绕点O 顺时针旋转90°能得到线段OP ，故S 关于点O 的“正矩点”为点P ；②利用新定义得点S 是点P 关于点M 的“正矩点”（答案不唯一）；（2）①利用新定义结合题意画出符合题意的图形，利用新定义的性质证明△BCF ≌△AOB ，则FC=OB 求得点C 的横坐标；②用含k 的代数式表示点C 纵坐标，代入不等式求解即可．【详解】解：（1）①在点P ，点Q 中，点OS 绕点O 顺时针旋转90°能得到线段OP ，故S 关于点O 的“正矩点”为点P ，故答案为点P ；②因为MP 绕M 点顺时针旋转90︒得MS ，所以点S 是点P 关于点M 的“正矩点”，同理还可以得点Q 是点P 关于点S 的“正矩点”．（任写一种情况就可以）（2）①符合题意的图形如图1所示，作CE ⊥x 轴于点E ，CF ⊥y 轴于点F ，可得 ∠BFC=∠AOB=90°．∵直线3(0)y kx k =+<与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴点B 的坐标为3(0,3),(,0)B A k-在x 轴的正半轴上， ∵点A 关于点B 的“正矩点”为点(,)C C C x y ，∴∠ABC=90°，BC=BA ，∴∠1＋∠2=90°，∵∠AOB=90°，∴∠2＋∠3=90°，∴∠1=∠3．∴△BFC ≌△AOB ，∴3FC OB ==，可得OE ＝3．∵点A 在x 轴的正半轴上且3OA <，0C x ∴<，∴点C 的横坐标C x 的值为－3．②因为△BFC ≌△AOB ，3(,0)A k-，A 在x 轴正半轴上， 所以BF ＝OA ，所以OF ＝OB-OF ＝33k +点3(3,3)C k -+，如图2， -1＜C y ≤2，即：-1＜33k+ ≤2，则334k -≤<-． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、解不等式，新定义等，此类新定义题目，通常按照题设的顺序，逐次求解．10．（1）（73，2）；（2）y ＝x ﹣13；（3）E 的坐标为（32，72）或（6，8） 【解析】【分析】（1）把点E 的纵坐标代入直线解析式，求出横坐标，得到点E 的坐标，根据融合点的定义求求解即可；（2）设点E 的坐标为（a ，a+2），根据融合点的定义用a 表示出x 、y ，整理得到答案；（3）分∠THD=90°、∠TDH=90°、∠DTH=90°三种情况，根据融合点的定义解答．【详解】解：（1）∵点E 是直线y ＝x +2上一点，点E 的纵坐标是6，∴x +2＝6，解得，x ＝4，∴点E 的坐标是（4，6）， ∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点，∴x ＝343+＝73，y ＝063+＝2， ∴点T 的坐标为（73，2）， 故答案为：（73，2）； （2）设点E 的坐标为（a ，a +2）， ∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点，∴x ＝33a +，y ＝023a ++， 解得，a ＝3x ﹣3，a ＝3y ﹣2，∴3x ﹣3＝3y ﹣2，整理得，y＝x﹣13；（3）设点E的坐标为（a，a+2），则点T的坐标为（33a+，23a+），当∠THD＝90°时，点E与点T的横坐标相同，∴33a+＝a，解得，a＝32，此时点E的坐标为（32，72），当∠TDH＝90°时，点T与点D的横坐标相同，∴33a+＝3，解得，a＝6，此时点E的坐标为（6，8），当∠DTH＝90°时，该情况不存在，综上所述，当△DTH为直角三角形时，点E的坐标为（32，72）或（6，8）【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、融合点的定义，解题关键是灵活运用分情况讨论思想．11．（123【解析】【分析】（1）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于M，N两点，证明△ABM≌△CAN，得到AM=CN，AN=BM，即可得出AB；（2）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于点P，Q两点，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，证明△AMB≌△CAN，得到CN=AM，再通过△PBM和△QCN算出PM和NQ的值，得到AP，最后在△APB中，利用勾股定理算出AB的长；（3）在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B作l3的垂线，交l3于点P，过A作l3的垂线，交l3于点Q，证明△BCN≌△CAM，得到CN=AM，在△BPN和△AQM中利用勾股定理算出NP和AM，从而得到PC，结合BP算出BC的长，即为AB.【详解】解：（1）如图，分别过点B，C向l1作垂线，交l1于M，N两点，由题意可得：∠BAC=90°，∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，∴∠MAB=∠NCA，在△ABM和△CAN中，===AMB CNAMAB NCAAB AC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ABM≌△CAN（AAS），∴AM=CN=2，AN=BM=1，∴AB=22251=+；（2）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于P，Q两点，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，∵∠BAC=120°，∴∠MAB+∠NAC=60°，∵∠ABM+∠MAB=60°，∴∠ABM=∠NAC，在△AMB和△CNA中，===AMB CNAABM NACAB AC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△AMB≌△CNA（AAS），∴CN=AM，∵∠AMB=∠ANC=120°，∴∠PMB=∠QNC=60°，∴PM=12BM，NQ=12NC，∵PB=1，CQ=2，设PM=a，NQ=b，∴2221=4a a+，2222=4b b+，解得：3a，23=b，∴CN=AM=222323⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=43， ∴AB=22AP BP +=()22AM PM BP ++=2213；（3）如图，在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B 作l 3的垂线，交于点P ，过A 作l 3的垂线，交于点Q ，∵△ABC 是等边三角形，∴BC=AC ，∠ACB=60°，∴∠BCN+∠ACM=120°，∵∠BCN+∠NBC=120°，∴∠NBC=∠ACM ，在△BCN 和△CAM 中，BNC CMA NBC MAC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCN ≌△CAM （AAS ），∴CN=AM ，BN=CM ，∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，∴BN=2NP ，在△BPN 中，222BP NP BN +=，即22224NP NP +=，解得：23 ∵∠AMC=60°，AQ=3，∴∠MAQ=30°，∴AM=2QM ，在△AQM 中，222AQ QM AM +=，即22234QM QM +=，解得：3，∴AM=23，∴PC=CN-NP=AM-NP=433， 在△BPC 中，BP 2+CP 2=BC 2， 即BC=22224322123BP CP ⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴AB=BC=221.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是利用平行线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质以及勾股定理求解.12．（1）45°；（2）PE 的值不变，PE=4，理由见详解；（3）D(828-，0)．【解析】【分析】（1）根据(42,0)A ，(0,2)B ，得△AOB 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，即可求出∠OAB 的度数；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，再证明△POC ≌△DPE ，根据全等三角形的性质得到OC=PE ，即可得到答案；（3）证明△POB ≌△DPA ，得到PA=OB=2，DA=PB ，进而得OD 的值，即可求出点D 的坐标．【详解】（1）(42,0)A ，(0,42)B ，∴OA=OB=2∵∠AOB=90°，∴△AOB 为等腰直角三角形，∴∠OAB=45°；（2）PE 的值不变，理由如下：∵△AOB 为等腰直角三角形，C 为AB 的中点，∴∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，∵PO=PD ，∴∠POD=∠PDO ，∵D 是线段OA 上一点，∴点P 在线段BC 上，∵∠POD=45°+∠POC ，∠PDO=45°+∠DPE ，∴∠POC=∠DPE ，在△POC 和△DPE 中，90POC DPE OCP PED PO PD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△POC ≅△DPE(AAS)，∴OC=PE ，∵OC=12AB=12××=4， ∴PE=4；（3）∵OP=PD ，∴∠POD=∠PDO=(180°−45°)÷2=67.5°，∴∠APD=∠PDO−∠A=22.5°，∠BOP=90°−∠POD=22.5°，∴∠APD=∠BOP ，在△POB 和△DPA 中，OBP PAD BOP APD OP PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△POB ≌△DPA(AAS)，∴PA=OB=DA=PB ，∴DA=PB=-，∴OD=OA−DA=8-，∴点D 的坐标为(8，0)．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质定理，图形与坐标，掌握等腰直角三角形的性质，是解题的关键．。
八年级数学上册期末压轴20题(解析版)
八年级上册数学压轴题专题练习（解析版）一、压轴题1．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点 P在线段 AB上以1cm/s的速度由点 A向点 B运动，同时，点 Q在线段 BD上由点 B向点 D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点 Q的运动速度与点 P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段 PC和线段 PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点 Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．2．在Rt ABC中，∠ACB=90︒，∠A=30︒，BD是ABC的角平分线，DE⊥AB于点E.（1）如图1，连接EC，求证：EBC是等边三角形；（2）如图2，点M是线段CD上的一点（不与点C,D重合），以BM为一边，在BM下方作∠BMG=60︒，MG交DE延长线于点G.求证：AD=DG+MD；（3）如图3，点N是线段AD上的点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60︒，NG交DE延长线于点G.直接写出ND，DG与AD数量之间的关系.3．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线l1，l2，l3上，∠BAC=90︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：（1）小明说：我只需要过B、C向l1作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB的长.（2）小林说：“我们可以改变ABC的形状.如图2，AB=AC，∠BAC=120︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB的长.”（3）小谢说：“我们除了改变ABC的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC三个顶点分别落在三条平行线l1，l2，l3上，且l1与l2之间的距离为1，l2与l3之间的距离为2，求AB的长、”请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB的长度.4．在ABC中，AB=AC，D是直线AB上一点，E在直线BC上，且DE=DC．（1）如图1，当D在AB上，E在CB延长线上时，求证：∠EDB=∠ACD；（2）如图2，当ABC为等边三角形时，D是BA的延长线上一点，E在BC上时，作EF//AC，求证：BE=AD；（3）在（2）的条件下，∠ABC的平分线BF交CD于点F，连AF，过A点作AH⊥CD于点H，当∠EDC=30︒，CF=6时，求DH的长度．5．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系．6．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F．请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系．”小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”......老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC的度数；（2）在图1中探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．7．（1）填空①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在B 1M或B1M的延长线上，那么EMF的度数是________；②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B点与M点重合，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在A1M或A1M的延长线上，那么EMF的度数是_______．（2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在B1M或B1M的延长线上左侧，且EMF80，求C1MB1的度数；②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B点与M点重合，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在A1M或A1M的延长线右侧，且EMF60，求C1MA1的度数．（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，EB，FB为折痕，设ABC，EBF，A1BC1，求，，之间的数量关系．8．已知ABC和ADE都是等腰三角形，AB AC，AD AE，DAE BAC．（初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D，E分别在边AB，AC上，则DB__________EC．（填＞、＜或=）（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE绕点A旋转，当点D在ABC外部，点E 在ABC内部时，求证：DB EC．（深入研究）（3）如图③，ABC和ADE都是等边三角形，点C，E，D在同一条直线上，则∠CDB的度数为__________；线段CE，BD之间的数量关系为__________．（4）如图④，ABC和ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90︒，点C、D、E在同一直线上，AM为ADE中DE边上的高，则∠CDB的度数为__________；线段AM，BD，CD之间的数量关系为__________．（拓展提升）（5）如图⑤，ABC和ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90︒，将ADE绕点A逆时针旋转，连结BE、CD．当AB=5，AD=2时，在旋转过程中，△ABE与ADC的面积和的最大值为__________．9．直角三角形ABC中，∠ACB=90︒，直线l过点C．（1）当AC=BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点E，ACD与△CBE是否全等，并说明理由；（2）当AC=8cm，BC=6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF，点M是AC上一点，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，点M,N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒，当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值．10．已知：ABC中，过B点作BE⊥AD，∠ACB=90︒，AC=BC．(1)如图1，点D在BC的延长线上，连AD，作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD=BF；(2)如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE=AD，连BE交AC 于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；(3)如图3，点D在CB延长线上，AE=AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC=3MC，请直接写出DB的值．BC11．（1）在等边三角形ABC中，①如图①，D，E分别是边AC，AB上的点且AE=CD，BD与EC交于点F，则∠BFE的度数是度；②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点且AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，此时∠BFE的度数是度；（2）如图③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，若∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．12．已知ABC，P是平面内任意一点（A、B、C、P中任意三点都不在同一直线上）．连接 PB、PC，设∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y°．（1）如图，当点 P在ABC内时，①若 y＝70，s＝10，t＝20，则 x＝；②探究 s、t、x、y之间的数量关系，并证明你得到的结论．（2）当点 P在ABC外时，直接写出 s、t、x、y之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形．13．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=60°，则∠1+∠2=；（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．14．探索发现：11111111 =1-;=-;=-……1⨯222⨯3233⨯434根据你发现的规律，回答下列问题：（1）11＝，＝；n⨯(n+1)4⨯5111⋅+++1⨯22⨯33⨯4+1n⨯(n+1)（2）利用你发现的规律计算：（3）利用规律解方程：111112x-1 ++++=x(x+1)(x+1)(x+2)(x+2)(x+3)(x+3)(x+4)(x+4)(x+5)x(x+5) 15．数学活动课上，老师出了这样一个题目：“已知：MF⊥NF于F，点A、C分别在NF和MF上，作线段AB和CD（如图1），使∠FAB-∠MCD=90︒．求证：AB//CD”．（1）聪聪同学给出一种证明问题的辅助线：如图2，过A作AG//FM，交CD于G．请你根据聪聪同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），给出问题的证明．（2）若点E在直线CD下方，且知∠BED=30︒，直接写出∠ABE和∠CDE之间的数量关系．16．现给出一个结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；该结论是正确的，用图形语言可以表示为：如图1在∆ABC中，∠C=90︒,若点D为AB的中点，则CD=请结合上述结论解决如下问题：1AB．2已知，点P是射线BA上一动点（不与A,B重合）分别过点A,B向直线CP作垂线，垂足分别为E,F,其中Q为AB的中点（1）如图2，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系____________；QE与QF的数量关系是__________（2）如图3，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．(3)如图4，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路．17．在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC=40°，则∠ACE=，∠DCE=，BC、DC、CE之间的数量关系为；（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，试探究∠ACB的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）．18．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD =S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．19．（1）如图1，ABC和DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P，求证：BE=AD．（2）如图2，在BCD中，若∠BCD<120︒，分别以BC，CD和BD为边在BCD外部作等边ABC，等边△CDE，等边BDF，连接AD、BE、CF恰交于点P．①求证：AD=BE=CF；②如图2，在（2）的条件下，试猜想PB，PC，PD与BE存在怎样的数量关系，并说明理由．20．阅读并填空：如图，ABC是等腰三角形，AB=AC，D是边AC延长线上的一点，E在边AB上且联接DE交BC于O，如果OE OD，那么CD=BE，为什么？解：过点E作EF AC交BC于F所以∠ACB=∠EFB（两直线平行，同位角相等）∠D=∠OEF（________）在OCD与△OFE中⎧∠COD=∠FOE(________)⎪⎨OD=OE⎪∠D=∠OEF⎩所以△OCD≌△OFE，（________）所以CD=FE（________）因为AB=AC（已知）所以∠ACB=∠B（________）所以∠EFB=∠B（等量代换）所以BE=FE（________）所以CD=BE【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题⎧t=2⎧t=1⎪1．（1）全等，垂直，理由详见解析；（2）存在，⎨或⎨3x=1x=⎩⎪2⎩【解析】【分析】（1）在t =1的条件下，找出条件判定△ACP和△BPQ全等，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质，可证∠CPQ= 90°，即可判断线段 PC和线段 PQ的位置关系;（2）本题主要在动点的条件下，分情况讨论，利用三角形全等时对应边相等的性质进行解答即可.【详解】(1)当t=1时，AP= BQ=1, BP= AC=3,又∠A=∠B= 90°，在△ACP和△BPQ中，AP=BQ{∠A=∠BAC=BP∴△ACP≌△BPQ(SAS).∴∠ACP=∠BPQ ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.∴∠CPQ= 90°，即线段PC与线段PQ垂直；(2)①若△ACP ≌△BPQ ，则AC= BP ，AP= BQ ，⎧3=4-t ⎨t =xt⎩解得⎨⎧t =1;x =1⎩②若△ACP ≌△BQP ，则AC= BQ ，AP= BP ，⎧3=xt ⎨t =4-t⎩⎧t =2⎪解得：⎨3x =⎪⎩2⎧t =2⎧t =1⎪综上所述,存在⎨或⎨3使得△ACP 与△BPQ 全等.x =1x =⎩⎪⎩2【点睛】本题主要考查三角形全等与动点问题，熟练掌握三角形全等的性质与判定定理，是解决本题的关键.2．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD =DG -ND ，证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质得出∠ABC =60︒，再根据角平分线的性质可得CD =ED ，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC =BE ，最后根据等边三角形的判定即可得证；（2）如图（见解析），延长ED 使得DF =MD ，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出∆MDF 是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出∠F =∠MDB ,MF =MD ,∠FMG =∠DMB ，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；（3）如图（见解析），参照题（2），先证∆HDN 是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出∠H =∠NDG ,NH =ND ,∠HNB =∠DNG ，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．【详解】（1）∠ACB =90︒,∠A =30︒∴∠ABC =90︒-∠A =60︒BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB∴CD =ED⎧CD=ED在∆BCD和∆BED中，⎨BD=BD⎩∴∆BCD≅∆BED(HL)∴BC=BE∴∆EBC是等边三角形；（2）如图，延长ED使得DF=MD，连接MF∠ACB=90︒,∠A=30︒，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB∴∠ADE=∠BDE=60︒,AD=BD∴∠MDF=∠ADE=60︒,∠MDB=180︒-∠ADE-∠BDE=60︒∴∆MDF是等边三角形∴MF=DM,∠F=∠DMF=60︒∠BMG=60︒∴∠DMF+∠DMG=∠BMG+∠DMG，即∠FMG=∠DMB⎧∠F=∠MDB=60︒⎪在∆FMG和∆DMB中，⎨MF=MD⎪∠FMG=∠DMB⎩∴∆FMG≅∆DMB(ASA)∴GF=BD，即DF+DG=BD∴AD=DF+DG=MD+DG即AD=DG+MD；（3）结论：AD=DG-ND，证明过程如下：如图，延长BD使得DH=ND，连接NH由（2）可知，∠ADE=60︒,∠HDN=180︒-∠ADE-∠BDE=60︒,AD=BD ∴∆HDN是等边三角形∴NH=ND,∠H=∠HND=60︒∠BNG=60︒∴∠HND+∠BND=∠BNG+∠BND，即∠HNB=∠DNG⎧∠H=∠NDG=60︒⎪在∆HNB和∆DNG中，⎨NH=ND⎪∠HNB=∠DNG⎩∴∆HNB≅∆DNG(ASA)∴HB =DG ，即DH +BD =DG∴ND +AD =DG即AD =DG -ND ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键．3．（1）5；（2）【解析】【分析】（1）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，证明△ABM ≌△CAN ，得到AM=CN ，AN=BM ，即可得出AB ；（2）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于点P ，Q 两点，在l 1上取M ，N 使∠AMB=∠CNA=120°，证明△AMB ≌△CAN ，得到CN=AM ，再通过△PBM 和△QCN 算出PM 和NQ 的值，得到AP ，最后在△APB 中，利用勾股定理算出AB 的长；（3）在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B 作l 3的垂线，交l 3于点P ，过A 作l 3的垂线，交l 3于点Q ，证明△BCN ≌△CAM ，得到CN=AM ，在△BPN 和△AQM 中利用勾股定理算出NP 和AM ，从而得到PC ，结合BP 算出BC 的长，即为AB.【详解】解：（1）如图，分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，由题意可得：∠BAC=90°，∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，∴∠MAB=∠NCA ，在△ABM 和△CAN 中，221221；（3）33⎧∠AMB =∠CNA ⎪⎨∠MAB =∠NCA ，⎪AB =AC ⎩∴△ABM ≌△CAN （AAS ），∴AM=CN=2，AN=BM=1，∴AB=22+12=5；（2）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于P，Q两点，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，∵∠BAC=120°，∴∠MAB+∠NAC=60°，∵∠ABM+∠MAB=60°，∴∠ABM=∠NAC，在△AMB和△CNA中，⎧∠AMB=∠CNA⎪⎨∠ABM=∠NAC，⎪AB=AC⎩∴△AMB≌△CNA（AAS），∴CN=AM，∵∠AMB=∠ANC=120°，∴∠PMB=∠QNC=60°，∴PM=11 BM，NQ=NC，22∵PB=1，CQ=2，设PM=a，NQ=b，∴a2+12=4a2，b2+22=4b2，解得：a=323，b=，332⎛23⎫43=∴CN=AM=22+ ，⎪3⎪3⎝⎭∴AB=AP2+BP2=(AM+PM)2+BP2=221；3（3）如图，在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B作l3的垂线，交于点P，过A作l3的垂线，交于点Q，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∴∠BCN+∠ACM=120°，∵∠BCN+∠NBC=120°，∴∠NBC=∠ACM，在△BCN和△CAM中，⎧∠BNC=∠CMA⎪⎨∠NBC=∠MAC，⎪BC=AC⎩∴△BCN≌△CAM（AAS），∴CN=AM，BN=CM，∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，∴BN=2NP，在△BPN中，BP2+NP2=BN2，即22+NP2=4NP2，解得：NP=23，3∵∠AMC=60°，AQ=3，∴∠MAQ=30°，∴AM=2QM，在△AQM中，AQ2+QM2=AM2，即32+QM2=4QM2，解得：QM=3，∴AM=23=CN，∴PC=CN-NP=AM-NP=在△BPC中，BP2+CP2=BC2，43，3⎛43⎫221即BC=BP2+CP2=22+ ，=⎪3⎪3⎝⎭2∴AB=BC=221.3【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是利用平行线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质以及勾股定理求解.4．（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论；（2）过E作EF∥AC交AB于F，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，推出△BEF是等边三角形，得到BE=EF，∠BFE=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）连接AF，证明△ABF≌△CBF，得AF=CF，再证明DH=AH=【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE=DC，∴∠E=∠DCE，∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB，即∠EDB=∠ACD；（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE=EF，∠BFE=60°，∴∠DFE=120°，∴∠DFE=∠CAD，在△DEF与△CAD中，1CF=3．2⎧∠EDF=∠DCA⎪⎨∠DFE=∠CAD，⎪DE=CD⎩∴△DEF≌△CAD（AAS），∴EF=AD，∴AD=BE；（3）连接AF，如图3所示：∵DE=DC，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，在△ABF和△CBF中，⎧AB=BC⎪⎨∠ABF=∠CBF，⎪BF=BF⎩△ABF≌△CBF（SAS），∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°，∵AH⊥CD，∴AH=11AF=CF=3，22∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解决问题的关键．5．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF＜CF，进而判断出∠OBC＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP （SAS），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，⎧AB＝AC⎪⎨∠BAD＝∠CAE，⎪AD＝AE⎩∴△ABD≌△ACE；（2）如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，⎧AB＝AC⎪⎨∠BAD＝∠CAE，⎪AD＝AE⎩∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，①正确，∠ADB=∠AEC，记AD与CE的交点为G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正确，在OB上取一点F，使OF=OC，∴△OCF是等边三角形，∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，连接AF，要使OC=OE，则有OC=∵BD=CE，∴CF=OF=1 CE，21BD，2∴OF=BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【点睛】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．6．（1）60°；（2）EF=AF+FC，证明见解析；（3）AF=EF+2DF，证明见解析．【解析】【分析】（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度数；（2）在EC上截取EG＝CF，连接AG，证明△AEG≌△ACF，然后再证明△AFG为等边三角形，从而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；（3）在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，证明方法类似（2），先证明△ABG≌△EBF，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．【详解】解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，又△ABE为等边三角形，∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，证明如下：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，连接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG为等边三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）补全图形如图所示，结论：AF=EF+2DF．证明如下：同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，∴∠CAE＝180°－2β，∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF，在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，又AB=BE ，∴△ABG ≌△EBF （SAS ），∴BG ＝BF ，又AF 垂直平分BC ，∴BF=CF ，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG 为等边三角形，∴BG=BF ，又BC ⊥FG ，∴FG=BF=2DF ，∴AF ＝AG ＋GF ＝BF ＋EF ＝2DF ＋EF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．7．90︒，45︒；20︒，30︒；a +γ=2β，a -γ=2β.【解析】【分析】（1）①如图①知∠EMC 1=11∠BMC 1，∠C 1MF =∠C 1MC 得22∠EMF =1(∠BMC 1+∠C 1MC )可求出解.2111∠ABC 1,∠C 1BF =∠C 1BC 得∠EBF =(∠ABC 1+∠C 1BC )可222②由图②知∠EBA 1=求出解.（2）①由图③折叠知∠CMF =∠FMC 1,∠BME =∠EMB 1，可推出(∠BMC -∠EMF )-∠EMF =∠C 1MB 1，即可求出解.②由图④中折叠知∠CMF =∠C 1MF ,∠ABE =∠A 1BE ，可推出290︒-60︒+∠A 1MC 1=90︒，即可求出解.（3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，a -β=β-γ、a -β=β+γ，即可求得()a +γ=2β、a -γ=2β.【详解】解：（1）①如图①中，11∠EMC 1=∠BMC 1，∠C 1MF =∠C 1MC ，22∴∠EMF =∠EMC 1+∠C 1MF =故答案为90︒.②如图②中，11(∠BMC 1+∠C 1MC )=⨯180︒=90︒，2211∠EBA 1=∠ABC 1,∠C 1BF =∠C 1BC ，22∴∠EBF =∠EBC 1+∠C 1BF =故答案为45︒.（2）①如图③中由折叠可知，11(∠ABC 1+∠C 1BC )=⨯90︒=45︒，22∠CMF =∠FMC 1,∠BME =∠EMB 1，∠C 1MF +∠EMB 1-∠EMF =∠C 1MB 1，∴∠CMF +∠BME -∠EMF =∠C 1MB 1，∴(∠BMC -∠EMF )-∠EMF =∠C 1MB 1，∴180︒-80︒=∠C 1MB 1=20︒；②如图④中根据折叠可知，∠CMF =∠C 1MF ,∠ABE =∠A 1BE ，︒2∠CMF +2∠ABE +∠AMC =90，11︒∴2(∠CMF +∠ABE )+∠AMC 11=90，(∴2(90∴290︒-∠EMF +∠A 1MC 1=90︒，︒)-60︒+∠A 1MC 1=90︒，)︒∴∠AMC =30；11（3）如图⑤-1中，由折叠可知，a -β=β-γ，∴a +γ=2β；如图⑤-2中，由折叠可知，a -β=β+γ，∴a -γ=2β.【点睛】本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.8．（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE；（4）90°，AM+BD=CM ；（5）7【解析】【分析】（1）由DE ∥BC ，得到DB EC =，结合AB=AC ，得到DB=EC ；AB AC（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质求出结论；（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；（5）根据旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC的AC始终保持不变，即可．【详解】[初步感知]（1）∵DE∥BC，∴DB EC=，AB AC∵AB=AC，∴DB=EC，故答案为：=，（2）成立．理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中⎧AD＝AE⎪⎨∠DAB＝∠EAC，⎪AB＝AC⎩∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE；[深入探究]（3）如图③，设AB，CD交于O，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中⎧AD＝AE⎪⎨∠DAB＝∠EAC，⎪AB＝AC⎩∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠BOD=∠AOC，∴∠BDC=∠BAC=60°；（4）∵△DAE 是等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∴∠AEC=135°，在△DAB 和△EAC 中⎧AD ＝AE⎪⎨∠DAB ＝∠EAC，⎪AB ＝AC⎩∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE ，∵∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，∵△ADE 都是等腰直角三角形，AM 为△ADE 中DE 边上的高，∴AM=EM=MD ，∴AM+BD=CM ；故答案为：90°，AM+BD=CM ；【拓展提升】（5）如图，由旋转可知，在旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变，△ADE 与△ADC 面积的和达到最大，∴△ADC 面积最大，∵在旋转的过程中，AC 始终保持不变，∴要△ADC 面积最大，∴点D 到AC 的距离最大，∴DA ⊥AC ，∴△ADE 与△ADC 面积的和达到的最大为2+故答案为7．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．9．（1）全等，理由见解析；（2）t=3.5秒或5秒1×AC×AD=5+2=7，2【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB ，利用AAS 定理证明△ACD ≌△CBE ；（2）分点F 沿C→B 路径运动和点F 沿B→C 路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；【详解】解：（1）△ACD 与△CBE 全等．理由如下：∵AD ⊥直线l ，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠ECB ，在△ACD 和△CBE 中，⎧∠ADC =∠CEB⎪⎨∠DAC =∠ECB，⎪CA =CB⎩∴△ACD ≌△CBE （AAS ）；（2）由题意得，AM=t ，FN=3t ，则CM=8-t ，由折叠的性质可知，CF=CB=6，∴CN=6-3t ，点N 在BC 上时，△CMN 为等腰直角三角形，当点N 沿C→B 路径运动时，由题意得，8-t=3t-6，解得，t=3.5，当点N 沿B→C 路径运动时，由题意得，8-t=18-3t ，解得，t=5，综上所述，当t=3.5秒或5秒时，△CMN 为等腰直角三角形；【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．10．（1）见详解，（2）BD =2CF ，证明见详解，（3）【解析】【分析】（1）欲证明BF =AD ，只要证明∆BCF ≅∆ACD 即可；（2）结论：BD =2CF ．如图2中，作EH ⊥AC 于H ．只要证明∆ACD ≅∆EHA ，推出CD =AH ，EH =AC =BC ，由∆EHF ≅∆BCF ，推出CH 2．3=CF 即可解决问题；（3）利用（2）中结论即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，BE⊥AD于E，∴∠AEF=∠BCF=90︒，∠AFE=∠CFB，∴∠DAC=∠CBF，BC=AC，∴∆BCF≅∆ACD(AAS)，∴BF=AD．（2）结论：BD=2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∠AHE=∠ACD=∠DAE=90︒，∴∠DAC+∠ADC=90︒，∠DAC+∠EAH=90︒，∴∠ADC=∠EAH，AD=AE，∴∆ACD≅∆EHA，∴CD=AH，EH=AC=BC，CB=CA，∴BD=CH，∠EHF=∠BCF=90︒，∠EFH=∠BFC，EH=BC，∴∆EHF≅∆BCF，∴FH=FC，∴BD=CH=2CF．（3）如图3中，作EH⊥AC于交AC延长线于H．∠AHE=∠ACD=∠DAE=90︒，∴∠DAC+∠ADC=90︒，∠DAC+∠EAH=90︒，∴∠ADC=∠EAH，AD=AE，∴∆ACD≅∆EHA，∴CD=AH，EH=AC=BC，CB=CA，∴BD=CH，∠EHM=∠BCM=90︒，∠EMH=∠BMC，EH=BC，∴∆EHM≅∆BCM，∴MH=MC，∴BD=CH=2CM．AC=3CM，设CM=a，则AC=CB=3a，BD=2a，∴DB2a2==．BC3a3【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．另外对于类似连续几步的综合题，一般前一步为后一步提供解题的条件或方法．11．（1）①60°；②60°；（2）∠BFE =α．【解析】【分析】（1）①先证明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠CBD+∠BCF；②先证明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA；（2）证明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D，则∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【详解】（1）如图①中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案为60．（2）如图②中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案为60．（3）如图③中，∵点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，∴OC=OA，∴∠EAC=∠DCB=α，∵AC=BC，AE=CD，∴△AEC≌△CDB，∴∠E=∠D，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【点睛】本题综合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.12．（1）①100；②x=y+s+t；（2）见详解．【解析】【分析】（1）①利用三角形的内角和定理即可解决问题；②结论：x=y+s+t．利用三角形内角和定理即可证明；（2）分6种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）①∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∵∠PBA=10°，∠PCA=20°，∴∠PBC+∠PCB=80°，∴∠BPC=100°，∴x=100，故答案为：100．②结论：x=y+s+t．理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠A+∠PBA+∠PCA=∠BPC，∴x=y+s+t．（2）s、t、x、y之间所有可能的数量关系：如图1：s+x=t+y；如图2：s+y=t+x；如图3：y=x+s+t；如图4：x+y+s+t=360°；如图5：t=s+x+y；如图6：s=t+x+y；【点睛】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．13．(1)150°；(2)∠1＋∠2＝90°＋α；(3)∠1＝90°＋∠2＋α，理由详见解析；(4)∠2＝90°＋∠1－α，理由详见解析【解析】【分析】(1)先用平角的得出，∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，最后用四边形的内角和即可；(2)同(1)方法即可；(3)利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论；(4)利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论．【详解】解：(1)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，故答案为：150；(2)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α，故答案为：∠1+∠2=90°+α；(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α．理由如下：如图3，设DP与BE的交点为F，∵∠2＋∠α＝∠DFE，∠DFE＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如图4，设PE 与AC 的交点为G ，∵∠PGD ＝∠EGC ，∴∠α＋180°－∠1＝∠C ＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α．故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，解本题的关键是将∠1，∠2，α转化到一个三角形或四边形中，是一道比较简单的中考常考题．14．（1）【解析】【分析】（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到和1111n -,-；（2）；（3）见解析．45n n +1n +114⨯51n ⨯(n +1)（2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它们的和.（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可.【详解】111111=-=-，解：（1）；n (n +1)n n +14⨯545故答案为1111-,-45n n +111111+-+-+22334+111n -=1-= ;n n +1n +1n +1（2）原式＝1-1111-+-+（3）已知等式整理得：x x +1x +1x +2112x -1-=所以，原方程即：，x x +5x (x +5)方程的两边同乘x （x +5），得：x +5﹣x ＝2x ﹣1，解得：x ＝3，检验：把x ＝3代入x （x +5）＝24≠0，∴原方程的解为：x ＝3．【点睛】+112x -1-=x +4x +5x (x +5)本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点.15．（1）见解析；（2）∠ABE -∠CDE =30︒【解析】（1）根据聪聪提供的辅助线作法进行证明，先由平行线的性质得：∠AGC=∠MCD，∠F+∠GAF=90︒，再证明∠MCD=∠BAG，可得结论；（2）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得结论．【详解】解：（1）证明：如图2，过A作AG//FM，交CD于G，∴∠AGC=∠MCD，∠F+∠GAF=90︒，FN⊥FM，∴∠F=90︒，∴∠GAF=90︒，∠FAB-∠MCD=90︒，∴∠FAB-∠GAF=∠MCD=∠BAG，∴AB//CD；（2）解：∠ABE-∠CDE=30︒，理由如下：如图3，AB//CD，∴∠BPD=∠ABE，∠BPD=∠CDE+∠BED，∠BED=30︒，∴∠BPD-∠CDE=30︒，∴∠ABE-∠CDE=30︒．。
北师大版八年级(上)期末数学压轴题系列专题练习(含答案)
图3EDBA图2EDCBA图1EDCBA2018-2019学年北师大版八年级数学（上）八年级数学期末试题北师大版八年级上册期末压轴题系列11、如图，已知：点D 是△ABC 的边BC 上一动点，且AB =AC ，DA =DE ，∠BAC =∠ADE =α.⑴如图1，当α=60°时，∠BCE = ；⑵如图2，当α=90°时，试判断∠BCE 的度数是否发生改变，若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值，并给出证明；（图1） （图2） （图3）⑶如图3，当α=120°时，则∠BCE = ；2、如图1，在平面直角坐标系xoy 中，直线6y x =+与x 轴交于A ，与y 轴交于B ，BC ⊥AB 交x 轴于C 。
①求△ABC 的面积。
如图2，②D 为OA 延长线上一动点，以BD 为直角边做等腰直角三角形BDE ，连结EA .求直线EA 的解析式.③点E 是y 轴正半轴上一点，且∠OAE =30°，上一动点，是判断是否存在这样的点M 、N ，使得OM +NM 的值最小，若存在，请写出其最小值，并加以说明.3. 如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+，（1）求直线2l 的解析式；（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E ,过点C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。
在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。
4. 如图①，直线AB 与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点.OA 、OB 的长度分别为a 和b ，且满足2220a ab b -+=.⑴判断△AOB 的形状.⑵如图②，正比例函数(0)y kx k =<的图象与直线AB 交于点Q ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM =9，BN =4，求MN 的长.⑶如图③，E 为AB 上一动点，以AE 为斜边作等腰直角△ADE ，P 为BE 的中点，连结PD 、PO ，试问：线段PD 、PO 是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明.①OQ NMyxBA②OPy xE DBA③5、如图，已知△ABC 和△ADC是以AC为公共底边的等腰三角形，E、F分别在AD和CD上，已知：∠ADC+∠ABC=180°，∠ABC=2∠EBF；（1）求证：EF=AE+FC（2）若点E、F在直线AD和BD上，则是否有类似的结论？6、操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN．（1）探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明；（2）若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，请你再探线段BM，MN，NC之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．（3）求证：CN-BM=MN图①图②图③图④EDCBAF北师大版八年级上册期末压轴题5答案; 1、⑴如图1，当α=60°时，∠BCE =120°；⑵证明：如图，过D 作DF ⊥BC ，交CA 或延长线于F 。
八年级数学上册压轴题 期末复习试卷专题练习(解析版)
八年级数学上册压轴题 期末复习试卷专题练习（解析版）一、压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x =的图象为直线1．（1）观察与探究已知点A 与A '，点B 与B '分别关于直线l 对称，其位置和坐标如图所示．请在图中标出()2,3C -关于线l 的对称点C '的位置，并写出C '的坐标______．（2）归纳与发现观察以上三组对称点的坐标，你会发现：平面直角坐标系中点()P m n ,关于直线l 的对称点P '的坐标为______． （3）运用与拓展已知两点()2,3E -、()1,4F --，试在直线l 上作出点Q ，使点Q 到E 、F 点的距离之和最小，并求出相应的最小值．2．已知ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，点M 是AC 的中点，延长BM 至点D ，使DM ＝BM ，连接AD ．（1）如图①，求证：DAM ≌BCM ； （2）已知点N 是BC 的中点，连接AN ． ①如图②，求证：ACN ≌BCM ；②如图③，延长NA 至点E ，使AE ＝NA ，连接，求证：BD ⊥DE ．3．如图，直线l1：y1=﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2=12x+b过点P．（1）求点P坐标和b的值；（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；②求出t为多少时，△APQ的面积小于3；③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．4．如图，已知A(3，0)，B(0，-1)，连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA=BC，连接AC（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：PA=CQ；（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，直接写出此时∠APB的度数及P点坐标5．如图，直线11 2y x b=-+分别与x轴、y轴交于A，B两点，与直线26y kx=-交于点()C4,2．（1）b= ；k= ；点B坐标为；（2）在线段AB上有一动点E，过点E作y轴的平行线交直线y2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以O、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形；（3）若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P，Q，A，B四个点能构成一个菱形．若存在，直接写出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B 的另一条直线交x轴正半轴于点C，且OC＝3．图1 图2 （1）求直线BC 的解析式；（2）如图1，若M 为线段BC 上一点，且满足S △AMB ＝S △AOB ，请求出点M 的坐标； （3）如图2，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，连接FG ，以FG 为边向FG 右侧作正方形FGQP ，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线BC 上时，求点G 的坐标； 7．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P ，∠A ＝64°，则∠BPC ＝ ；（2）如图2，△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E ．其中∠A ＝α，求∠BEC ．（用α表示∠BEC ）；（3）如图3，∠CBM 、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，请你写出∠BQC 与∠A 的数量关系，并说明理由；（4）如图4，△ABC 外角∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，∠A=64°，∠CBQ ，∠BCQ 的平分线交于点P ，则∠BPC= ゜，延长BC 至点E ，∠ECQ 的平分线与BP 的延长线相交于点R ，则∠R= ゜．8．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义：若1,(2),(2)b a b b a -≥⎧=<⎩'⎨当时当时，则称点Q 为点P 的限变点．例如:点(2,3)的限变点的坐标是(2,2)，点(2,5)--的限变点的坐标是(2,5)-，点(1,3)的限变点的坐标是(1,3)．（1）①点3,1)-的限变点的坐标是________；②如图1，在点(2,1)A -、(2,1)B 中有一个点是直线2y =上某一个点的限变点，这个点是________；（填“A ”或“B ”）（2）如图2，已知点(2,2)C --，点(2,2)D -，若点P 在射线OC 和OD 上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是b m '≥或b n '≤，其中m n >．令s m n =-，直接写出s 的值． （3）如图3，若点P 在线段EF 上，点(2,5)E --，点(,3)F k k -，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是25b '-≤≤，直接写出k 的取值范围．9．(1)问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．①请直接写出∠AEB 的度数为_____；②试猜想线段AD 与线段BE 有怎样的数量关系，并证明；(2)拓展探究：图2， △ACB 和△DCE 均为等腰三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同－直线上， CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由．10．学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，我们继续对“两个三角形满足两边的其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． （初步思考）我们不妨将问题用符号语言表示为：在△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． （深入探究）第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．（1）如图①，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ＝90°，根据______，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC ≌△DEF ．（2）如图②，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角．求证：△ABC ≌△DEF ．第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．（3）在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角．请你用直尺在图③中作出△DEF ，使△DEF 和△ABC 不全等，并作简要说明．11．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是BC 的中点，且满足∠ADE ＝60°，DE 交等边三角形外角平分线于点E ．试探究AD 与DE 的数量关系．操作发现：（1）小明同学过点D 作DF ∥AC 交AB 于F ，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD 与DE 的数量关系，并进行证明．类比探究：（2）如图2，当点D 是线段BC 上任意一点(除B 、C 外)，其他条件不变，试猜想AD 与DE 之间的数量关系，并证明你的结论．拓展应用：（3）当点D 在线段BC 的延长线上，且满足CD ＝BC ，在图3中补全图形，直接判断△ADE 的形状(不要求证明)．12．在Rt ABC 中，ACB =∠90°，30A ∠=︒，点D 是AB 的中点，连结CD ．（1）如图①，BC 与BD 之间的数量关系是_________，请写出理由；（2）如图②，若P 是线段CB 上一动点（点P 不与点B 、C 重合），连结DP ，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，请猜想BF，BP，BD三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图③中补全图形，并直接写出BF，BP，BD三者之间的数量关系．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．(1) （3，-2）；(2) （n，m）；(3)图见解析,点Q到E、F点的距离之和最小值为210【解析】【分析】（1）根据题意和图形可以写出C'的坐标；（2）根据图形可以直接写出点P关于直线l的对称点的坐标；（3）作点E关于直线l的对称点E'，连接E'F，根据最短路径问题解答.【详解】（1）如图，C'的坐标为（3，-2），故答案为（3，-2）；P m n,关于直线l的对称点P'的坐标为（n，m），（2）平面直角坐标系中点()故答案为（n，m）；（3）点E关于直线l的对称点为E'（-3,2），连接E'F角直线l于一点即为点Q，此时点Q到E、F点的距离之和最小，即为线段E'F，∵E'F()[]221(3)2(4)210 =---+--=⎡⎤⎣⎦，∴点Q到E、F点的距离之和最小值为210.【点睛】此题考查轴对称的知识，画关于直线的对称点，最短路径问题，勾股定理关键是找到点的对称点，由此解决问题.2．（1）见解析；（2）①见解析；②见解析【解析】【分析】（1）由点M是AC中点知AM=CM，结合∠AMD=∠CMB和DM=BM即可得证；（2）①由点M，N分别是AC，BC的中点及AC=BC可得CM=CN，结合∠C=∠C和BC=AC 即可得证；②取AD中点F，连接EF，先证△EAF≌△ANC得∠NAC=∠AEF，∠C=∠AFE=90°，据此知∠AFE=∠DFE=90°，再证△AFE≌△DFE得∠EAD=∠EDA=∠ANC，从而由∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM即可得证．【详解】解：（1）∵点M是AC中点，∴AM=CM，在△DAM和△BCM中，∵AM CMAMD CMBDM BM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAM≌△BCM（SAS）；（2）①∵点M是AC中点，点N是BC中点，∴CM=12AC ，CN=12BC ， ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴AC=BC ， ∴CM=CN ，在△BCM 和△ACN 中，∵CM CN C C BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BCM ≌△ACN （SAS ）； ②证明：取AD 中点F ，连接EF ，则AD=2AF ， ∵△BCM ≌△ACN ， ∴AN=BM ，∠CBM=∠CAN ， ∵△DAM ≌△BCM ，∴∠CBM=∠ADM ，AD=BC=2CN ， ∴AF=CN ，∴∠DAC=∠C=90°，∠ADM=∠CBM=∠NAC ， 由（1）知，△DAM ≌△BCM ， ∴∠DBC=∠ADB ， ∴AD ∥BC ， ∴∠EAF=∠ANC ， 在△EAF 和△ANC 中，AE AN EAF ANC AF NC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EAF ≌△ANC （SAS ）， ∴∠NAC=∠AEF ，∠C=∠AFE=90°， ∴∠AFE=∠DFE=90°， ∵F 为AD 中点， ∴AF=DF ， 在△AFE 和△DFE 中，AF DF AFE DFE EF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AFE ≌△DFE （SAS ）， ∴∠EAD=∠EDA=∠ANC ，∴∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM=180°-90°=90°， ∴BD ⊥DE ． 【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握中点的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点． 3．（1）b=72；（2）①△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为S=﹣32t +272或S=32t ﹣272；②7＜t ＜9或9＜t ＜11，③存在，当t 的值为3或9+或9﹣或6时，△APQ 为等腰三角形． 【解析】分析：（1）把P (m ,3)的坐标代入直线1l 的解析式即可求得P 的坐标，然后根据待定系数法即可求得b ；（2）根据直线2l 的解析式得出C 的坐标，①根据题意得出9AQ t =-，然后根据12P S AQ y =⋅即可求得APQ 的面积S 与t 的函数关系式；②通过解不等式273322t -<或327 3.22t -<即可求得7<t <9或9<t <11.时，APQ 的面积小于3；③分三种情况：当PQ =PA 时,则()()()2222(71)032103,t -++-=++-当AQ =PA 时,则()()222(72)2103,t --=++-当PQ =AQ 时,则()222(71)03(72)t t -++-=--， 即可求得．详解：解;(1)∵点P (m ,3)为直线l 1上一点， ∴3=−m +2，解得m =−1， ∴点P 的坐标为(−1,3)， 把点P 的坐标代入212y x b =+ 得,()1312b =⨯-+， 解得72b =； (2)∵72b =； ∴直线l 2的解析式为y =12x +72， ∴C 点的坐标为(−7,0)，①由直线11:2l y x =-+可知A (2,0)，∴当Q 在A . C 之间时，AQ =2+7−t =9−t ， ∴11273(9)32222S AQ yP t t =⋅=⨯-⨯=-； 当Q 在A 的右边时，AQ =t −9， ∴11327(9)32222S AQ yP t t ；=⋅=⨯-⨯=- 即△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为27322S t =-或327.22S t =- ②∵S <3， ∴273322t -<或327 3.22t -< 解得7<t <9或9<t <11. ③存在；设Q (t −7,0)，当PQ =PA 时,则()()()2222(71)032103,t -++-=++-∴22(6)3t -=,解得t =3或t =9(舍去)， 当AQ =PA 时,则()()222(72)2103,t --=++-∴2(9)18,t -=解得9t =+9t =- 当PQ =AQ 时,则()222(71)03(72)t t -++-=--，∴22(6)9(9)t t -+=-， 解得t =6.故当t 的值为3或9+9-6时，△APQ 为等腰三角形．点睛：属于一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质以及三角形的面积,分类讨论是解题的关键.4．（1）(1，-4)；（2）证明见解析；（3）()135,1,0APB P ︒∠= 【解析】【分析】（1）作CH ⊥y 轴于H ，证明△ABO ≌△BCH ，根据全等三角形的性质得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH ，得到C 点坐标；（2）证明△PBA ≌△QBC ，根据全等三角形的性质得到PA=CQ ；（3）根据C 、P ，Q 三点共线，得到∠BQC=135°，根据全等三角形的性质得到∠BPA=∠BQC=135°，根据等腰三角形的性质求出OP ，得到P 点坐标．【详解】解：(1)作CH ⊥y 轴于H ，则∠BCH+∠CBH=90°，因为AB BC ⊥，所以.∠ABO+∠CBH=90°，所以∠ABO=∠BCH ，在△ABO 和△BCH 中，ABO BCH AOB BHC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABO BCH ∴∆≅∆:BH=OA=3，CH=OB=1，:OH=OB+BH=4，所以C 点的坐标为（1，-4）；(2)因为∠PBQ=∠ABC=90°，,PBQ ABQ ABC ABQ PBA QBC ∴∠-=∠-∠∴∠=∠在△PBA 和△QBC 中，BP BQ PBA QBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PBA QBC ∴∆≅∆:.PA=CQ ；(3) ()135,1,0APB P ︒∠= BPQ ∆是等腰直角三角形，:所以∠BQP=45°，当C 、P ，Q 三点共线时，∠BQC=135°，由（2)可知，PBA QBC ∴∆≅∆；所以∠BPA=∠BQC=135°，所以∠OPB=45°，所以.OP=OB=1，所以P 点坐标为（1，0) ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（1）4；2；(0，4)；（2）125m =或285m =；（3）存在．Q点坐标为()-，()4，()0,4-或()5,4． 【解析】【分析】（1）根据待定系数法，将点C (4，2)代入解析式可求解；（2）设点E (m ，142m +)，F (m ，2m -6)，得()154261022EF m m m =-+--=-，由平行四边形的性质可得BO =EF =4，列出方程即可求解；（3）分两种情况讨论，由菱形的性质按照点平移的坐标规律，先确定P 点坐标，再确定O 点坐标即可求解．【详解】解：（1）（1）∵直线y 2=kx -6交于点C (4，2)，∴2=4k -6，∴k =2， ∵直线212y x b =-+过点C (4，2)， ∴2=-2+b ，∴b =4， ∴直线解析式为：212y x b =-+，直线解析式为y 2=2x -6， ∵直线212y x b =-+分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点， ∴当x =0时，y =4，当y =0时，x =8，∴点B (0，4)，点A (8，0)，故答案为：4；2；(0，4)（2）∵点E 在线段AB 上，点E 的横坐标为m ， ∴1,42E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(),26F m m -， ∴()154261022EF m m m =-+--=-． ∵四边形OBEF 是平行四边形，∴EF BO =， ∴51042m -=， 解得：125m =或285m =时， ∴当125m =或285m =时，四边形OBEF 是平行四边形．（3）存在．此时Q 点坐标为()-，()4，()0,4-或()5,4．理由如下：假设存在．以P ，Q ，A ，B 为顶点的菱形分两种情况：①以AB 为边，如图1所示．因为点()8,0A ，()0,4B ，所以45AB =．因为以P ，Q ，A ，B 为顶点的四边形为菱形，所以AP AB =或BP BA =．当AP AB =时，点()845,0P -或()845,0+；当BP BA =时，点()8,0P -． 当()845,0P -时，()8458,04Q --+，即()45,4-； 当()845,0P +时，()8458,04Q +-+，即()45,4； 当()8,0P -时，()880,004Q -+-+-，即()0,4-．②以AB 为对角线，对角线的交点为M ，如图2所示．可得5AP =，点P 坐标为()3,0．因为以P ，Q ，A ，B 为顶点的四边形为菱形，所以点Q 坐标为()5,4．综上可知：若点P 为x 轴上一点，则在平面直角坐标系中存在一点Q ，使得P ，Q ，A ，B 四个点能构成一个菱形，此时Q 点坐标为()45,4-，()45,4，()0,4-或()5,4．【点睛】本题是一次函数综合题，利用待定系数法求解析式，平行四边形的性质，菱形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 6．（1）443y x =-+；（2）612(,)55M ；（3）23(0,)7G 或(0,-1)G 【解析】【分析】（1）求出点B ，C 坐标，再利用待定系数法即可解决问题；（2）结合图形，由S △AMB ＝S △AOB 分析出直线OM 平行于直线AB ，再利用两直线相交建立方程组求得交点M 的坐标；（3）分两种情形：①当n ＞2时，如图2-1中，点Q 落在BC 上时，过G 作直线平行于x 轴，过点F ，Q 作该直线的垂线，垂足分别为M ，N ．求出Q （n-2，n-1）．②当n ＜2时，如图2-2中，同法可得Q （2-n ，n+1），代入直线BC 的解析式解方程即可解决问题．【详解】解：（1）∵直线y=2x+4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴A （-2，0），B （0，4），，又∵OC=3，∴C （3，0），设直线BC 的解析式为y=kx+b ，将B 、C 的坐标代入得： 304k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为443y x =-+； （2）连接OM ，∵S △AMB ＝S △AOB ，∴直线OM 平行于直线AB ，故设直线OM 解析式为：2y x =,将直线OM 的解析式与直线BC 的解析式联立得方程组2443y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩， 解得：65125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故点612(,)55M ； （3）∵FA=FB ，A （-2，0），B （0，4），∴F （-1，2），设G （0，n ），①当n ＞2时，如图2-1中，点Q 落在BC 上时，过G 作直线平行于x 轴，过点F ，Q 作该直线的垂线，垂足分别为M ，N ．∵四边形FGQP 是正方形，易证△FMG ≌△GNQ ，∴MG=NQ=1，FM=GN=n-2，∴Q （n-2，n-1），∵点Q 在直线443y x =-+上， ∴41(2)43n n -=--+， ∴23=7n , ∴23(0,)7G ． ②当n ＜2时，如图2-2中，同法可得Q （2-n ，n+1），∵点Q 在直线443y x =-+上， ∴4+1(2)43n n =--+， ∴n=-1，∴(0,-1)G ． 综上所述，满足条件的点G 坐标为23(0,)7G 或(0,-1)G 【点睛】 本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．7．（1） 122°；（2）12BEC α∠=；（3）01902BQC A ；（4）119，29 ； 【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用A ∠与1∠表示出2∠，再利用E ∠与1∠表示出2∠，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出EBC ∠与ECB ∠，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）根据（1），（3）的结论可以得出∠BPC 的度数；根据（2）的结论可以得到∠R 的度数．【详解】解：（1）BP 、CP 分别平分ABC ∠和ACB ∠，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠11180()22ABC ACB =︒-∠+∠， 1180()2ABC ACB =︒-∠+∠， 1(180180)2A =︒-︒-∠， 1180902A =-︒+︒∠， 9032122，故答案为：122︒；（2）如图2示，CE 和BE 分别是ACB ∠和ABD ∠的角平分线，112ACB ∴∠=∠，122ABD ∠=∠， 又ABD ∠是ABC ∆的一外角，ABD A ACB ∴∠=∠+∠，112()122A ABC A ∴∠=∠+∠=∠+∠， 2∠是BEC ∆的一外角，112111222BEC A A α∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=； （3）1()2QBC A ACB ∠=∠+∠，1()2QCB A ABC ∠=∠+∠， 180BQC QBC QCB ∠=︒-∠-∠，11180()()22A ACB A ABC =︒-∠+∠-∠+∠， 11180()22A A ABC ACB =︒-∠-∠+∠+∠， 结论1902BQC A ∠=︒-∠． （4）由（3）可知，119090645822BQCA ， 再根据（1），可得180()BPCPBC PCB 1118022QBC QCB1180902Q 118090582 119；由（2）可得：11582922R Q ;故答案为：119，29．【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．8．（1）①()3,1；②B ；（2）3s =；（3）59k ≤≤． 【解析】【分析】（1）利用限变点的定义直接解答即可；（2）先利用逆推原理求出限变点(2,1)A -、(2,1)B 对应的原来点坐标，然后把原来点坐标代入到2y =，满足解析式的就是答案； （3）先OC OD ，的关系式，再求出点P 的限变点Q 满足的关系式，然后根据图象求出m n ，的值，从而求出s 即可；（4）先求出线段EF 的关系式，再求出点P 的限变点Q 所满足的关系式，根据图像求解即可．【详解】解：（1）①∵32a =，∴11b b ==-='，∴坐标为：()3,1，故答案为：()3,1； ②∵对于限变点来说，横坐标保持不变，∴限变点(2,1)A -对应的原来点的坐标为：()2,1-或()21--，， 限变点(2,1)B 对应的原来点的坐标为：()2,2，∵()2,2满足2y =，∴这个点是B ，故答案为：B ；（2）∵点C 的坐标为(2,2)--，∴OC 的关系式为：()0y x x =≤，∵点D 的坐标为(2,2)-，∴OD 的关系式为：()0y x x =-≥，∴点P 满足的关系式为：()()00x x y x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩， ∴点P 的限变点Q 的纵坐标满足的关系式为： 当2x ≥时：1b x '=--，当02x <<时：b x x '=-=，当0x ≤时，b x x '==-，图像如下：通过图象可以得出：当2x ≥时，3b '≤-，∴3n =-， 当2x <时，0b '≥，∴0m =， ∴()033s m n =-=--=；（3）设线段EF 的关系式为：()022y ax c a x k k =+≠-≤≤>-，，， 把(2,5)E --，(,3)F k k -代入得：253a c ka c k -+=-⎧⎨+=-⎩，解得：13a c =⎧⎨=-⎩， ∴线段EF 的关系式为()322y x x k k =--≤≤>-，， ∴线段EF 上的点P 的限变点Q 的纵坐标满足的关系式4(2)|3|3(22)x xb x x x -⎧'=⎨-=--<⎩，图象如下：当x ＝2时，b ′取最小值，b '＝2﹣4＝﹣2，当b '＝5时，x ﹣4＝5或﹣x +3＝5，解得：x ＝9或x ＝﹣2，当b ′＝1时，x ﹣4＝1，解得：x ＝5，∵ 25b '-≤≤，∴由图象可知，k 的取值范围时：59k ≤≤．【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握新定义“限变点”，解答此题还需要掌握一次函数的图象与性质以及最值的求解，此题有一定的难度．9．（1）①60°；②AD=BE.证明见解析；（2）∠AEB ＝90°；AE=2CM+BE ；理由见解析.【解析】【分析】（1）①由条件△ACB 和△DCE 均为等边三角形，易证△ACD ≌△BCE ，从而得到：AD=BE ，∠ADC=∠BEC ．由点A ，D ，E 在同一直线上可求出∠ADC ，从而可以求出∠AEB 的度数．②由△ACD ≌△BCE ，可得AD=BE ；（2）首先根据△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，可得AC=BC ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD ≌△BCE ，即可判断出BE=AD ，∠BEC=∠ADC ，进而判断出∠AEB 的度数为90°；根据DCE=90°，CD=CE ，CM ⊥DE ，可得CM=DM=EM ，所以DE=DM+EM=2CM ，据此判断出AE=BE+2CM ．【详解】（1）①∵∠ACB=∠DCE ，∠DCB=∠DCB ，∴∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°−∠CDE=120°，∴∠AEB=∠CEB−∠CED=60°；②AD=BE.证明：∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．（2）∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90°，∴AC = BC， CD = CE，∠ACB =∠DCB =∠DCE－∠DCB，即∠ACD = ∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴AD = BE，∠BEC = ∠ADC=135°．∴∠AEB =∠BEC－∠CED =135°－ 45°= 90°．在等腰直角△DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM =DM= ME，∴DE = 2CM．∴AE = DE+AD=2CM+BE．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，解题时需注意运用已有的知识和经验解决相似问题．10．（1）HL；（2）见解析；（3）如图②，见解析；△DEF就是所求作的三角形，△DEF 和△ABC不全等．【解析】【分析】（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等；（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．【详解】（1）在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用的是HL．（2）证明：如图①，分别过点C、F作对边AB、DE上的高CG、FH，其中G、H为垂足．∵∠ABC、∠DEF都是钝角∴G、H分别在AB、DE的延长线上．∵CG⊥AG，FH⊥DH，∴∠CGA＝∠FHD＝90°．∵∠CBG＝180°－∠ABC，∠FEH＝∠180°－∠DEF，∠ABC＝∠DEF，∴∠CBG ＝∠FEH ．在△BCG 和△EFH 中，∵∠CGB ＝∠FHE ，∠CBG ＝∠FEH ，BC ＝EF ，∴△BCG ≌△EFH ．∴CG ＝FH ．又∵AC ＝DF ．∴Rt △ACG ≌△DFH ．∴∠A ＝∠D ．在△ABC 和△DEF 中，∵∠ABC ＝∠DEF ，∠A ＝∠D ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF ．（3）如图②，△DEF 就是所求作的三角形，△DEF 和△ABC 不全等．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．11．（1）AD ＝DE ，见解析；（2）AD ＝DE ，见解析；（3）见解析，△ADE 是等边三角形，【解析】【分析】（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明ADF EDC ∆∆≌即可得解； （2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明AFD DCE ∆∆≌即可得解； （3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.【详解】（1）如下图，数量关系：AD ＝DE .证明：∵ABC ∆是等边三角形∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝∵DF ∥AC∴BFD BAC ∠∠＝，∠BDF ＝∠BCA∴60B BFD BDF ∠∠∠︒＝＝＝∴BDF ∆是等边三角形，120AFD ∠︒＝∴DF ＝BD∵点D 是BC 的中点∴BD ＝CD∴DF ＝CD∵CE 是等边ABC ∆的外角平分线∴120DCE AFD ∠︒∠＝＝∵ABC ∆是等边三角形，点D 是BC 的中点∴AD ⊥BC∴90ADC ∠︒＝∵60BDF ADE ∠∠︒＝＝∴30ADF EDC ∠∠︒＝＝在ADF ∆与EDC ∆中AFD ECD DF CDADF EDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴()ADF EDC ASA ∆∆≌∴AD ＝DE ；（2）结论：AD ＝DE .证明：如下图，过点D 作DF ∥AC ，交AB于F∵ABC ∆是等边三角形∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝∴BFD BAC BDF BCA∠∠∠∠＝，＝∴60B BFD BDF∠∠∠︒＝＝＝∴BDF∆是等边三角形，120AFD∠︒＝∴BF＝BD∴AF＝DC∵CE是等边ABC∆的外角平分线∴120DCE AFD∠︒∠＝＝∵∠ADC是ABD∆的外角∴60ADC B FAD FAD∠∠∠︒∠＝＋＝＋∵60ADC ADE CDE CDE∠∠∠︒∠＝＋＝＋∴∠FAD＝∠CDE在AFD∆与DCE∆中AFD DCEAF CDFAD EDC∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴()AFD DCE ASA∆∆≌∴AD＝DE；（3）如下图，ADE∆是等边三角形.证明：∵BC CD=∴AC CD=∵CE平分ACD∠∴CE垂直平分AD∴AE=DE∵60ADE∠=︒∴ADE∆是等边三角形.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键. 12．（1）BC BD=，理由见解析；（2）BF BP BD+=，证明见解析；（3）BF BP BD+=．【解析】（1）利用含30的直角三角形的性质得出12BC AB =，即可得出结论； （2）同（1）的方法得出BC BD =进而得出BCD ∆是等边三角形，进而利用旋转全等模型易证DCP DBF ∆≅∆，得出CP BF =即可解答；（3）同（2）的方法得出结论．【详解】解：（1）90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，60CBA ∴∠=︒，12BC AB =， 点D 是AB 的中点，BC BD ∴=，故答案为：BC BD =；（2）BF BP BD +=，理由：90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，60CBA ∴∠=︒，12BC AB =， 点D 是AB 的中点，BC BD ∴=，DBC ∴∆是等边三角形，60CDB ∴∠=︒，DC DB =，线段DP 绕点D 逆时针旋转60︒，得到线段DF ，60PDF ∴∠=︒，DP DF =，CDB PDB PDF PDB ∴∠-∠=∠-∠，CDP BDF ∴∠=∠，在DCP ∆和DBF ∆中， DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DCP DBF ∴∆≅∆，CP BF ∴=，CP BP BC +=，BF BP BC ∴+=，BC BD =，BF BP BD ∴+=；（3）如图③，BF BD BP =+，理由：90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，60CBA ∴∠=︒，12BC AB =， 点D 是AB 的中点，BC BD ∴=，DBC ∴∆是等边三角形，60CDB ∴∠=︒，DC DB =，线段DP 绕点D 逆时针旋转60︒，得到线段DF ，60PDF ∴∠=︒，DP DF =，CDB PDB PDF PDB ∴∠+∠=∠+∠，CDP BDF ∴∠=∠，在DCP ∆和DBF ∆中， DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DCP DBF ∴∆≅∆，CP BF ∴=，CP BC BP =+，BF BC BP ∴=+，BC BD =，BF BD BP ∴=+．【点睛】 此题是三角形综合题，主要考查了含30的直角三角形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解本题的关键是判断出DCP DBF ∆≅∆，是一道中等难度的中考常考题．。
北师大版八年级上册压轴题数学模拟试卷
北师大版八年级上册压轴题数学模拟试卷一、压轴题1．探索发现：111111111;;12223233434=-=-=-⨯⨯⨯…… 根据你发现的规律，回答下列问题： （1）145⨯＝ ，1(1)n n ⨯+＝ ；（2）利用你发现的规律计算：1111122334(1)n n ⋅++++⨯⨯⨯⨯+（3）利用规律解方程：1111121(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)x x x x x x x x x x x x x -++++=++++++++++2．如图，Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，E 点为射线CB 上一动点，连结AE ，作AF AE ⊥且AF AE =．（1）如图1，过F 点作FD AC ⊥交AC 于D 点，求证：FD BC =；（2）如图2，连结BF 交AC 于G 点，若3AG =，1CG =，求证：E 点为BC 中点． （3）当E 点在射线CB 上，连结BF 与直线AC 交于G 点，若4BC =，3BE =，则AGCG=______．（直接写出结果） 3．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线1l ，2l ，3l 上，90BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：（1）小明说：我只需要过B 、C 向1l 作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB 的长. （2）小林说：“我们可以改变ABC 的形状.如图2，AB AC =，120BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长.”（3）小谢说：“我们除了改变ABC 的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC 三个顶点分别落在三条平行线1l ，2l ，3l 上，且1l 与2l 之间的距离为1，2l 与3l 之间的距离为2，求AB 的长、”请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB 的长度.4．在ABC 中，AB AC =，D 是直线AB 上一点，E 在直线BC 上，且DE DC =． （1）如图1，当D 在AB 上，E 在CB 延长线上时，求证：EDB ACD ∠=∠； （2）如图2，当ABC 为等边三角形时，D 是BA 的延长线上一点，E 在BC 上时，作//EF AC ，求证：BE AD =；（3）在（2）的条件下，ABC ∠的平分线BF 交CD 于点F ，连AF ，过A 点作AH CD ⊥于点H ，当30EDC ∠=︒，6CF =时，求DH 的长度．5．探究：如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若∠B ＝30°，则∠ACD 的度数是 度；拓展：如图②，∠MCN ＝90°，射线CP 在∠MCN 的内部，点A 、B 分别在CM 、CN 上，分别过点A 、B 作AD ⊥CP 、BE ⊥CP ，垂足分别为D 、E ，若∠CBE ＝70°，求∠CAD 的度数；应用：如图③，点A 、B 分别在∠MCN 的边CM 、CN 上，射线CP 在∠MCN 的内部，点D 、E 在射线CP 上，连接AD 、BE ，若∠ADP ＝∠BEP ＝60°，则∠CAD +∠CBE +∠ACB ＝ 度．∆中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以6．如图，在等边ABC∆，连结BE．CD为一边在CD的下方作等边CDE∠的度数；（1）求CAM∆≅∆；（2）若点D在线段AM上时，求证：ADC BEC∠是否（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断AOB为定值？并说明理由．7．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC 上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，BP= cm，CQ= cm．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（4）若点Q以（3）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次相遇？8．如图，△ABC是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AE与CD垂直交BC的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF与AB在AE的两侧，EF⊥AF．（1）依题意补全图形．（2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短；②求证：点D到AF，EF的距离相等．9．在△ABC 中，∠BAC =45°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，M 为线段DB 上一动点（不包括端点），点N 在直线AC 左上方且∠NCM =135°，CN =CM ，如图①． （1）求证：∠ACN =∠AMC ；（2）记△ANC 得面积为5，记△ABC 得面积为5．求证：12S AC S AB； （3）延长线段AB 到点P ，使BP =BM ，如图②．探究线段AC 与线段DB 满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M ，AN =CP 始终成立？（写出探究过程）10．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P ，∠A ＝64°，则∠BPC ＝ ；（2）如图2，△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E ．其中∠A ＝α，求∠BEC ．（用α表示∠BEC ）；（3）如图3，∠CBM 、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，请你写出∠BQC 与∠A 的数量关系，并说明理由；（4）如图4，△ABC 外角∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，∠A=64°，∠CBQ ，∠BCQ 的平分线交于点P ，则∠BPC= ゜，延长BC 至点E ，∠ECQ 的平分线与BP 的延长线相交于点R ，则∠R= ゜．11．（1）探索发现：如图1，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 过点C ，过点A 作AD ⊥l ，过点B 作BE ⊥l ，垂足分别为D 、E ．求证：AD ＝CE ，CD ＝BE ． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M 的坐标为（1，3），求点N 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y ＝﹣3x+3与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．12．数学活动课上，老师出了这样一个题目：“已知：MF NF ⊥于F ，点A 、C 分别在NF 和MF 上，作线段AB 和CD （如图1），使90FAB MCD ∠-∠=︒．求证：//AB CD ”．（1）聪聪同学给出一种证明问题的辅助线：如图2，过A 作//AG FM ，交CD 于G ．请你根据聪聪同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），给出问题的证明．（2）若点E 在直线CD 下方，且知30BED ∠=︒，直接写出ABE ∠和CDE ∠之间的数量关系．13．如图1，我们定义：在四边形ABCD 中，若AD=BC ，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD 叫做互补等对边四边形．（1）如图2，在等腰ABE △中，AE=BE ，四边形ABCD 是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=12∠AEB ． （2）如图3，在非等腰ABE △中，若四边形ABCD 仍是互补等对边四边形，试问∠ABD=∠BAC=12∠AEB 是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．14．现给出一个结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；该结论是正确的，用图形语言可以表示为：如图1在ABC ∆中，90︒∠=C ,若点D 为AB 的中点，则12CD AB =． 请结合上述结论解决如下问题：已知，点P 是射线BA 上一动点（不与A,B 重合）分别过点A,B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E,F,其中Q 为AB 的中点（1）如图2，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系____________；QE 与QF 的数量关系是__________（2）如图3，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明．(3)如图4，当点P 在线段BA 的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路．15．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：2114x x =+，求代数式x 2+21x的值． 解：∵2114x x =+，∴21x x+＝4 即21x x x+＝4∴x +1x ＝4∴x 2+21x ＝（x +1x ）2﹣2＝16﹣2＝14材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k ”，将连等式变成几个值为k 的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若2x ＝3y ＝4z ，且xyz ≠0，求xy z+的值． 解：令2x ＝3y ＝4z ＝k （k ≠0）则11kk k k x 622,,,117234y z 7k k 3412x y z ===∴===++ 根据材料回答问题：（1）已知2114x x x =-+，求x +1x的值． （2）已知523a b c ==，（abc ≠0），求342b c a+的值． （3）若222222yz zx xy x y z bz cy cx az ay bx a b c++===+++++，x ≠0，y ≠0，z ≠0，且abc ＝7，求xyz 的值．16．（1）发现：如图1，ABC ∆的内角ABC ∠的平分线和外角ACD ∠的平分线相交于点O 。
北师大版八年级数学上学期压轴题攻略专题09 平面直角坐标系压轴题的五种考法全梳理(原卷版)
专题09平面直角坐标系压轴题的五种考法全梳理目录【考法一、坐标系中的面积问题】 (1)【考法二、坐标中的角度问题】 (3)【考法三、坐标系中的定值定点问题】 (6)【考法四、坐标系中的将军饮马最值问题】 (6)【考法四、坐标系中的三角形全等问题】 (10)【课后训练】 (12)【考法一、坐标系中的面积问题】例．如图①，在平面直角坐标系中，()(),0,,A a C b c ，且满足()2330a c ++-=，过C 作CB x ⊥轴于B ．(1)ABC S = _______；(2)如图②，若过B 作BD AC ∥交y 轴于D ，且AE DE ，分别平分CAB ∠，ODB ∠，求AED ∠的度数；(3)在y 轴上是否存在点P ，使得APC ABC S S = P 点的坐标；若不存在，请说明理由．变式1．如图，在平面直角坐标系中，点()()()()0,,,,,7,4,0A a B b a C b D -，连接,AB AD ，连接CD 交y 轴于点E ，连接BC 交x 轴于点H ，且满足()280a -=．(1)直接写出点A 的坐标为，B 的坐标为，点C 的坐标为；(2)如图2，点P 从点A 出发以每秒2个单位长度的速度向B 运动，运动时间为t ，请用含t 的式子表示四边形PCDA 的面积；(3)如图3，点P 从点A 出发以每秒2个单位长度的速度向y 轴负方向运动，运动时间为t ，连接,,PC PD AC ，将线段AD 沿x 轴负方向平移17.5个单位长度，得到线段FG ，延长FG 正好与点C 相交，当45GCA CDP S S ∆∆=时，求出此时点P 的坐标．变式2．如图，在以点A 为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形ABCD ，AB m =，BC n =，且80m -+=．点E 是CD 边上的一点，且2DE =，动点P 从A 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿A B C E →→→运动，最终到达点E ．设点P 运动的时间为t 秒．(1)填空：m =______，n =______；(2)当8t =时，求APE V 的面积；(3)是否存在P 点使APE V 的面积等于20，若存在，请求出P 点坐标．若不存在，请说明理由．变式3．已知在平面直角坐标系中，(),0A a ，(),B a b -，且a 、b 2140a b +-=，连接AB 、OB ，AB 交y 轴于点C ，210AB AC ==．(1)求点A 、B 的坐标；(2)动点P 从点A 出发以每秒1个单位的速度沿射线AB 运动，运动的时间为t ，连接PO ，设POC △的面积为S ，请用含t 的式子表示S ．（不要求写出t 的取值范围）(3)在（2）的条件下，在点P 运动的同时，点R 从点A 出发以每秒3个单位的速度沿AO 向．左运动，点C 关于x 轴的对称点为D ，连接DR 、DB 、BR ，当点P 在AC 之间时，若3BDR POC S S =△△，求t 的值．【考法二、坐标中的角度问题】例．在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴和x 轴上，顶点B 在第一象限，且AB x ∥轴．(1)如图1，5AB =，()0,A a ，(),0C c ，且a ，c 满足100a c +-+，直接写出点A 、B 、C 的坐标．(2)如图2，点P 是x 轴上点C 左边的一点，连接PB ，PBA ∠和PCB ∠的角平分线交于点D ，则CBP ∠与CDB ∠的数量关系为______，请证明你的结论．(3)如图3，若点N 是线段OA 延长上的一动点，NCH k OCH ∠=∠，CNQ k BNQ ∠=∠，其中1k >，NQ CJ ∥，求HCJ ABN∠∠的值（结果用含k 的式子表示）．变式1．在平面直角坐标系中，已知()()()0,0,,0,0,O A a B b 2(2)0b a -=．(1)写出,A B 两点的坐标；(2)如图1，已知坐标轴上有两个动点P Q 、同时出发，P 点从A 点出发沿x 轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动，Q 点从O 点出发以每秒3个单位长度的速度沿y 轴正方向移动，点()1,4C 为线段AB 上一点．设运动时间为(0)t t >秒．问：是否存在这样的t ，使OCP OCQ S S =三角形三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．(3)如图2，点G 是第二象限上的点，连,OG OG AB ∥，点F 是线段AB 上一点，满足2BOG BOF ∠=∠．点E 是射线OB 上一动点，连AE ，交直线OF 于点H ，当点E 在射线OB 上运动的过程中，求OHA ∠与,BAE OEA ∠∠的数量关系．变式2．如图1，在平面直角坐标系中，已知点(),0A x ，()0,B y ，且x ，y 满足26(2)0x y -+-=．(1)求AOB 的面积；(2)如图1，以AB 为斜边构造等腰直角ABC ，请直接写出点C 的坐标；(3)如图2，已知等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是腰AC 上的一点（不与A ，C 重合），连接BD ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为点E ．①若BD 是ABC ∠的角平分线，求证：2BD AE =；②探究：如图3，连接CE ，当点D 在线段AC 上运动时（不与A ，C 重合），BEC ∠的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．变式3．如图，在平面直角坐标系中，已知(),0A a ，()0,B b 两点分别在x 轴、y 轴正半轴上，且a ，b 2110a b -=；(1)如图(1)，若点C 坐标为()4,5，连接AC 、BC ，求ABC 的面积；(2)如图(2)，BD 是ABO ∠邻补角的平分线，BD 的反方向延长线与BAO ∠的平分线交于点E ，求AED ∠度数；(3)如图(3)，以AO 为边长作AOF 为等边三角形，AO AF OF ==，60AOF OFA FAO ∠=∠=∠=︒，若点M 、点N 分别是线段OA 、线段AF 上的两个动点，且OM AN =，ON 与MF 相交于点P ，在点M 、点N 运动过程中，请问OPF ∠的大小是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请证明并求出其值．【考法三、坐标系中的定值定点问题】例．在平面直角坐标系中，(,0)A a ，(,0)B b ，且满足2(a 2)0+=，过点B 作直线m x ⊥轴，点P 是直线m 上一动点，连接AP 交y 轴于点D ，过点B 作BC AP ∥交y 轴于C 点．(1)填空：=a ，b =．(2)如图，若AE CE ，分别平分PAB OCB ∠∠，，在点P 的运动过程中，AEC ∠的度数是否变化？若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由；(3)①若点P 的纵坐标为4-，点Q 在y 轴上，且APQ △的面积和ABP 的面积相等，请求出Q 点坐标；②在点P 的运动过程中，OD PB是否为定值？请说明理由．变式1．在平面直角坐标系中，,A P 分别是x 轴、y 轴正半轴上的点，B 是线段OA 上一点，连接PB ．(1)如图1，CA x ⊥轴于点,,A BC PB D ⊥是OP 上一点，且BDO PBO ∠=∠；①求证：DBO CBA ∠=∠；②若OP OA =，求证：BD BC BP +=；(2)如图2，()()5,0,2,0,A B G 是PB 的中点，连接,AG M 是x 轴负半轴上一点，2PM AG =，当点P 在y 轴正半轴上运动时，点M 的坐标是否会发生变化，若不变，求点M 的坐标，若改变，求出其变化的范围．变式2．（1）如图1，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，分别过点B ，C 作直线l 的垂线，垂足分别为D ，E ，求证：CAE ABD ≌△△．（2）在（1）的条件下，猜想：线段AB ，BD ，AD 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图2，在平面直角坐标系中，()3,0A ，点()0,P P y 是y 轴正半轴上的一个动点，以AP 为直角边作等腰直角APD △，点(),B B B x y 在第二象限内，且90APB ∠=︒，在点P 的运动过程中，P B y y -的值是否会发生变化？若不变，求出这个值；若变化，请说明理由．变式3．如图1，已知()0A a ，，(),0B b 且a ，b 满足2(2)40a b -+-=．(1)求A 、B 两点的坐标；(2)如图2，连接AB ，若()0,6D -，DE AB ⊥于点E ，B 、C 关于y 轴对称，M 是线段DE 上的一点，且DM AB =，连接AM ，试判断线段AC 与AM 之间的位置和数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，在()2的条件下，若N 是线段DM 上的一个动点，P 是MA 延长线上的一点，且DN AP =，连接PN 交y 轴于点Q ，过点N 作NH y ⊥轴于点H ，当N 点在线段DM 上运动时线段QH 的长度是否发生变化？若是，请求取值范围；若不是，请求出QH 的长度．【考法四、坐标系中的将军饮马最值问题】例．阅读材料：的几何意义，并求它的最小值．=几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点(,0)P x 是x 可以看成点P 与点(0,1)A P 与点(3,2)B 的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA PB +的最小值．求最小值：设点A 关于x 轴对称点A '，则PA PA '=．因此，求PA PB +的最小值，只需求PA PB '+的最小值，而点A '，B 间的直线段距离最短，所以PA PB '+的最小值为线段A B '的长度．为此，构造直角三角形A CB '，因为3A C '=，3CB =，所以由勾股定理得A B '=，即原式的最小值为根据以上阅读材料，解答下列问题：(1)的值可以看成平面直角坐标系中点(,0)P x 与点(1,1)A ，点B 的距离之和．（填写点B 的坐标）(2)(),0P x 与点A 、点B 的距离之和．（填写点A ，B 的坐标）(3)变式1．如图1，直线l BC ⊥于点B ，90ACB ∠=︒，点D 为BC 中点，一条光线从点A 射向D ，反射后与直线l 交于点E （提示：作法线）．(1)求证：BE AC =；(2)如图2，连接AB 交DE 于点F ，连接FC 交AD 于点H ，AC BC =，求证：CF AD ⊥；(3)如图3，在（2）的条件下，点P 是AB 边上的动点，连接PC ，PD ，8ABD S =△，2CH =，求PC PD +的最小值．变式2．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点分别为()()()2,3,3,1,1,2A B C ---．(1)请在图中作出ABC 关于y 轴对称的11l A B C △，并直接写出点A 的对应点1A 的坐标；(2)求出ABC 的面积；(3)在y 轴上有一点P ，使得ABP 的周长最小，在图中找出点P 的位置，并直接写出ABP 的周长最小值．变式3．已知：平面直角坐标系中，如图1，点(),A a b ，AB x ⊥轴于点B ，并且满足440a b ++-=．(1)试判断AOB 的形状，并说明理由．(2)如图2，若点C 为线段AB 的中点，连OC 并作OD OC ⊥，且OD OC =，连AD 交x 轴于点E ，求证:2BC BE =．(3)如图3，点M 为点B 的左边x 轴负半轴上一动点，以AM 为一边作45MAN ∠=︒交y 轴负半轴于点N ，连MN ，将AMN 沿直线AN 翻折，点M 的对应点为M '，点P 是x 轴上的一动点，当12OM AB '=且PAM '△的周长最小时，请直接写出ΔΔPAM PMM S S ''的值.【考法五、坐标系中的三角形全等问题】例．如图①，在平面直角坐标系中，AB 交y 轴和x 轴于A ，B 两点，点()0,A m ，(),0B n ，且m ，n ，满足25,3218.m n m n +=⎧⎨-=⎩(1)求点A ，B 的坐标；(2)如图②，过点A 作AD AB ⊥，截取AD AB =，点D 在第一象限内，过点D 作DC x ⊥轴于点C ，点P 从点A 出发以每秒2个单位长度的速度沿y 轴向下运动，连接DP ，DO ，若点P 运动的时间为t 秒，三角形PDO 的面积为S ，请用含t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围；(3)在（2）的条件下，连接AC ，在坐标平面内是否存在点M （点M 不与点D 重合），使ACM △与ACD 全等？若存在，请直接写出点M 的坐标：若不存在，请说明理由．变式1．如图，将一块等腰直角三角板ABC 放置在平面直角坐标系中，已知，90ACB AC BC ∠=︒=，，点A 在y 轴的正半轴上，点C 在x 轴的负半轴上，点B 在第二象限，点A 坐标为()02，，点C 坐标为()10-，，过点B 作轴BD x ⊥与点D ．(1)求证：AOC CDB ≌ ；(2)求OD 的长并直接写出点B 的坐标；(3)连接AD ，在平面直角坐标系中是否存在点E 使得以点D C E 、、为顶点的三角形与ACD 全等？若存在直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．变式2．如图，平面直角坐标系中有点()1，0B 和y 轴上一动点(0,)A a -，其中0a >，以点A 为直角顶点在第四象限内作等腰直角ABC ，设点C 的坐标为(,)c d ．(1)当2a =时，点C 的坐标为．(2)动点A 在运动的过程中，试判断+c d 的值是否发生变化，若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．(3)当3a =时，在坐标平面内是否存在一点P （不与点C 重合），使PAB 与ABC 全等？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【课后训练】1．在平面直角坐标系中，(0,)A a，(,0)B b ，且a 、b |4|0b +=．(1)填空：=a ，b =；(2)如图1，点(2,)M t ，若三角形MAB 的面积为三角形OAB 的面积的2倍，求点M 的坐标；(3)如图2，若将线段AB 平移至CD ，点C 、D 也在坐标轴上，点F 为线段AB 上的一动点，①若P 为直线AB 、CD 之间的一个点，直接写出∠FPC 、PCD ∠、PFB ∠之间的数量关系；②连接OF ，若FP 平分BFO ∠，2BCP PCD ∠=∠，求式子CPF COF OFP∠∠+∠的值．2．如图，点(),0A a ，()0,B b ，满足()220a b b -+-=．图1图2(1)直接写出AOB 的面积为______．(2)如图1，点C 在线段AB 上（不与A 、B 重合）移动，AB BD ⊥，且CD AC BD =+，求COD ∠的度数．(3)如图2，()2,2F ，点E 是x 轴上一动点（点E 在点A 的左边且不与点O 重合），在y 轴正半轴上取一点K ，连接EK ，FK ，FE ，使45EFK ∠=︒，试探究线段BK ，KE ，EA 之间的数量关系，并给出证明．3．已知：四边形ABCO 是长方形，点E ，F 分别在边BC 和AB 上，()0,A n ，(),F m n ，(),2E k ，460m n ++-=．(1)m =______，n =______．(2)设EOF 的面积为S ，用含k 的式子表示S ．(3)在（2）的条件下，当26S =的情况下，动点P 从E 出发沿线段EB BA →运动，速度为每秒2个单位长度．运动时间为t ．求t 为何值时AEP △的面积与FOA 面积相等？4．如图1，在平面直角坐标系中，(),0A m ，()4,0B ，(),4C n ，且满足440m n +-=．(1)则m =______，n =______；(2)在x 轴上是否存在点P ，使得ABC 和OCP △的面积相等，若存在，求出点P 坐标，若不存在，试说明理由；(3)若过B 作BD AC ∥交y 轴于D ，且AE ，DE 分别平分CAB ∠，ODB ∠，如图2，图3，求AED ∠的度数．5．等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点A 、点B 分别是x 轴、y 轴两个动点，直角边AC 交x 轴于点D ，斜边BC 交y 轴于点E ．(1)如图1，若()0,1A ，()2,0B ，求C 点的坐标；(2)如图2，在等腰Rt ABC △不断运动的过程中，若满足BD 始终是ABC ∠的平分线，试探究：线段OA 、OD 、BD 三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．6．如图，点(),0A a ，()0,B b ，满足()21220a b -+-=，若点P 为射线OA 上异于原点O 和点A 的一个动点．(1)如图1，①直接写出点A 的坐标为，点B 的坐标为；②当点P 位于点O 与点A 之间时，连接PB ，以线段PB 为边作等腰直角BPE （P 为直角顶点，B ，P ，E 按逆时针方向排列），连接AE ．求证：AB AE ⊥；(2)点D 是直线AB 上异于点A 与点B 的一点，使得BPO APD ∠∠=，过点D 作DF BP ⊥交y 轴于点F ，探究BP ，DP ，DF 之间的数量关系，并证明．7．已知，如图1，在平面坐标系中，(4,4)A -，B 、C 点分别为x 、y 轴负半轴上的动点，AB AC ⊥，垂足为A ．(1)直接写出AB 与AC 间的数量关系；(2)当B 、C 在x 、y 轴负半轴上运动时，线段OB 与OC 之间总存在某种固定的数量关系，请写出这种数量关系，并说明理由．(3)如图2，D 为第二象限AB 边上方一点，过D 作DE DB ⊥于D ，DE DB =，连EC ，并取EC 中点F ，连DF 、AF ，试探究线段DF 与AF 间的关系，写出结论，并说明理由．8．如图（1），在平面直角坐标系中．已知点()22A -，，()82B --，，将线段AB 平移得到线段DC ，点A 的对应点D 在x 轴上，点B 的对应点C 在y 轴上．(1)直接写出点D ，点C 的坐标；(2)若P 是y 轴上的一个动点，当三角形APD 的而积恰好等于三角形CPD 面积的两倍时，求点P 的坐标；(3)若动点E 从点D 出发向左运动，同时动点F 从点C 出发向上运动，两个点的运动速度之比为3:2，运动过程中直线DF 和CE 交于点M ．①当点M 在第二象限时，探究三角形DEM 和三角形CFM 面积之间的数量关系，并说明理由；②若三角形DCM 的面积等于14，直接写出点M 的坐标．。
第一章++勾股定理几何压轴题+讲义+2023—2024学年北师大版数学八年级上册
提升课：勾股定理几何压轴题一、勾股定理与全等三角形——倍长中线1. 已知，如图△ABC 中，∠C=90°，回答下列问题：（1）若M 为AB 中点，P ，Q 分别是AC 和BC 上的动点，∠PMQ=90°，求证PQ 2=AP 2+BQ 2；（2）若P ，Q,M 分别是AC ，BC 和AB 上的动点，BC=3，AC=4，求三角形PQM 周长的最小值（注意：在本小问中，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，无需证明，直接使用）。
【练习1】已知△ACB 是直角三角形，∠ACB=90°，F 是直线BC 上动点，E 是直线AC 上的动点，D 是AB 中点，且DE ⊥DF ，连接EF.（1）如图1，若F 与B 重合，且AB=8，DE=3,求线段EF 的长；（2）如图2，当F 不与B 重合时，求证：222EF BF AE =+（3）若AC=6，BC=8，CE=2，求CF 的长图1 图2 图3二、勾股定理与全等三角形——“手拉手”模型1. 如图所示，等腰直角△ABC 中，AB=AC=2,∠BAC ＝90°，D 、E 为BC 上两点，且∠DAE ＝45°，AF ⊥AD ，AD=AF ，连接DF,CF,回答下列问题：（1）求证：△BAD ≌△CAF ；（2）求证：△DAE ≌△FAE ；（3）求证：222DE CE BD =+（4）D 点从B 运动到C 的过程中，画出F 点的运动轨迹，并求出2AF 的最小值【练习3】如图所示，等腰直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，D 、E 为BC 上两点，且∠DAE ＝45°，回答下列问题：（1）求证：222DE CE BD =+；（2）若12,7=⨯=+CE BD CE BD ，求DE 的长；（3）若BD=4，CD=8，求DE 和CE 的长。
【练习4】（1）如图，AB=AC=2，D 是BC 上的一动点，若AD=AE ，且∠BAC=∠DAE=120°，若F 是AC 中点，当D 在BC 边上移动时，求出EF 的最大值和最小值。
专题12三角形内角和定理(原卷版)
2021-2022学年北师大版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题12三角形内角和定理一．选择题1．（2021春•曹县期末）如图，在△ABC中，DF∥AB交AC于点E，交BC于点F，连接DC，∠A＝70°，∠D＝38°，则∠DCA的度数是（）A．42°B．38°C．40°D．32°2．（2021春•仁寿县期末）如图，∠CBA＝∠ACB＝65°，∠ACE＝15°，则∠AEC的度数是（）A．35°B．50°C．65°D．80°3．（2021春•济南期中）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°4．（2021春•海陵区校级期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°5．（2021春•建平县期末）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为48°，那么这个“特征角”α的度数为（）A．48°B．96°C．88°或48°D．48°或96°或88°6．（2021春•青山区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF 交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．A．①②③④B．①②③C．②④D．①③二．填空题7．（2021春•盘龙区期末）如图，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，则∠CDF＝．8．（2021春•遂宁期末）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC 交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G．下列结论：①∠AFB＝135°；②∠BDG＝2∠CBE；③BC平分∠ABG；④∠BEC＝∠FBG．其中正确的是．9．（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°．将三角形沿EF翻折，使点C与边AB上的D点重合．若∠EFD＝2∠AED，则∠AED的度数为．10．（2021春•沙坪坝区校级期中）将一副三角板如图放置，其中∠C＝30°，∠D＝45°，点E在BC边上，M，N分别为AB，DF上的点，G为三角板外一点，连接GM，GN，若∠G＝50°，则∠GMB+∠BED+∠DNG＝．11．（2020秋•沙坪坝区校级期末）如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E′OF′，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m秒（0≤m≤20），当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝．12．（2021春•射阳县校级期末）如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A'处，若∠BDA′+∠CEA′＝70°，则∠A＝°．13．（2021春•淮阳区校级期末）如图，∠B＝36°，∠E＝48°，∠BAE的平分线与∠BDE的平分线交于点F，则∠F＝°．14．（2021春•江都区校级期末）△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC ＝．15．（2019春•江汉区期中）如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，AP，DP分别平分∠CAO和∠BDC，若∠C+∠P+∠B＝165°，则∠C的度数是．16．（2019秋•临安区期中）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，分别交AB、AD、AC、BC的延长线于E、H、F、G，已知下列四个式子：（1）∠1＝（∠2+∠3）；（2）∠1＝2（∠3﹣∠2）；（3）∠4＝（∠3﹣∠2）；（4）∠4＝∠1．其中有两个式子是正确的，它们是和．17．（2018春•靖江市校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠DCE＝∠DEC，点F在AC、点G在DE的延长线上，∠DFG＝∠DGF．若∠EFG＝35°，则∠CDF的度数为．三．解答题18．（2021春•朝阳区校级期末）如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．（1）如图1，若∠MON＝90°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝°；（2）如图2，若∠MON＝n°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝°；（3）如图2，若∠MON＝n°，△AOB的外角∠ABN、∠BAM的平分线交于点D，求∠ACB与∠ADB 之间的数量关系，并求出∠ADB的度数；（4）如图3，若∠MON＝80°，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E．试问：随着点A、B的运动，∠E的大小会变吗？如果不会，求∠E的度数；如果会，请说明理由．19．（2021春•海陵区校级期末）如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝40°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G．（1）求∠AGF的度数；（2）求∠EAD的度数．20．（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．AD为△ABC的角平分线．点E为BC上一点，过点E作射线EF，交AC于点G．（1）若∠C＝30°，求∠BAD的度数；（2）若∠FGC+∠BAD＝180°，求证：EF∥AD．21．（2021春•大英县期末）在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．（1）如图1，若∠B＝70°，∠C＝34°，求∠DAE的度数．（2）探索∠B，∠C，∠DAE之间的数量关系（如图1，∠B＞∠C），请证明你的结论．（3）如图2、3，设点F为AE所在直线上一动点，当它在AE上运动，AD变成FD时，探索∠DFE，∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论．22．（2021春•市中区期末）在△ABC中，∠BCA＞∠BAC，三个内角的平分线交于点O．（1）填空：如图1，若∠BAC＝36°，则∠BOC的大小为；（2）点D在BA，AC边上运动．①如图2，当点D在BA边上运动时，连接OD，若OD⊥OB．试说明：∠ADO＝∠AOC；②如图3，BO的延长线交AC于点E，当点D在AC边上运动（不与点E重合）时，过点D作DP⊥BO，垂足为点P，请在图3中画出符合条件的图形，并探索∠ADP、∠ACB、∠BAC者之间的数量关系．23．（2021春•广陵区校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）若∠A＝40°，∠BDC＝60°，求∠BED的度数；（2）若∠A﹣∠ABD＝20°，∠EDC＝65°，求∠A的度数．24．（2021春•鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，∠1＝100°，∠C＝80°，∠2＝∠3，BE平分∠ABC 交AD于E，求∠4的度数．25．（2021春•高邮市期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CP．（1）当∠B＝72°时；①若∠CPB＝54°，则△ACP“倍角三角形”（填“是”或“否”）；②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度数；（2）当△ABC、△BPC、△ACP都是“倍角三角形”时，求∠BCP的度数．26．（2021春•江阴市校级月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．27．（2021春•太康县期末）【问题背景】如图1，在三角形ABC中，直线EF经过点A且EF∥BC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°；【尝试应用】如图2，直线l1与直线l2相交于点O，夹角为α，点B在点O右侧，点C在l1上方，点A 在O点左侧运动，点E在射线CO上运动（不与C、O重合）．①当α＝60°时，AG平分∠EAB，EF平分∠AEC交直线AG于点G，求∠AGE；【拓展创新】②如图3，点E在线段CO上运动（不与C、O重合），∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，m+2n＝1，EF交AG于点G，当n为何值时，∠AGE不随∠EAB的变化而变化，并用含α的代数式表示∠AGE的值（写出解答过程）．当点E在线段CO的延长线上时，直接写出∠AGE＝．。
北师大版八年级数学上册期末压轴题
一．选择题（共20小题）1．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的北师大版八年级数学上册期末压轴题面积，则一定能求出()A ．直角三角形的面积B ．最大正方形的面积C ．较小两个正方形重叠部分的面积D ．最大正方形与直角三角形的面积和2．已知，如图，C 为线段AE 上一动点（不与A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ，OC ，以下四个结论：①AD BE =；②CPQ ∆是等边三角形；③AD BC ⊥；④OC 平分AOE ∠．其中正确的结论是()A ．①、②B ．③、④C ．①、②、③D ．①、②、④3．如图，已知一次函数2y kx =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与正比例函数13y x =交于点C ，已知点C 的横坐标为2，下列结论：①关于x 的方程20kx +=的解为3x =；②对于直线2y kx =+，当3x <时，0y >；③对于直线2y kx =+，当0x >时，2y >；④方程组302y x y kx -=⎧⎨-=⎩的解为2,23x y =⎧⎪⎨=⋅⎪⎩，其中正确的是()4．如图①，在正方形ABCD 中，点P 沿边DA 从点D 开始向点A 以1/cm s 的速度移动，同时点Q 沿边AB ，BC 从点A 开始向点C 以2/cm s 的速度移动，当点P 移动到点A 时，P 、Q 同时停止移动．设点P 出发x 秒时，PAQ ∆的面积为2ycm ，y 与x 的函数图象如图②，则下列四个结论，其中正确的有()①当点P 移动到点A 时，点Q 移动到点C ；②正方形边长为6cm ；③当AP AQ =时，PAQ ∆面积达到最大值；④线段EF 所在的直线对应的函数关系式为318y x =-+A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，已知ABC ∆中，AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，AE 是BAC ∠的外角平分线，//ED AB 交AC 于点G ，下列结论：①AD BC ⊥；②//AE BC ；③AE AG =；④2224AD AE AG +=．其中正确结论的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，在Rt ABO ∆中，90OBA ∠=︒，(4,4)A ，点C 在边AB 上，且13AC CB =，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为()A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，83D ．(3,3)7．如图，已知直线55:3AB y x =+分别交x 轴、y 轴于点B 、A 两点，(3,0)C ，D 、E 分别为线段AO 和线段AC 上一动点，BE 交y 轴于点H ，且AD CE =．当BD BE +的值最小时，则H 点的坐标为()A ．B ．(0,5)C ．(0,4)D ．8．在平面直角坐标系中，已知四边形AMNB 各顶点坐标分别是：(0,2)A -，(2,2)B ，(3,)M a ，(3,)N b ，且1MN =，a b <，那么四边形AMNB 周长的最小值为()A ．6+B ．6+C 1++D 1++9．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，8BC =，点E 是BC 边上一点，且AE EC =，点P 是边AD 上一动点，连接PE ，PC ，则下列结论：①3BE =；②当5AP =时，PE 平分AEC ∠；③PEC ∆周长的最小值为15；④当256AP =时，AE 平分BEP ∠．其中正确的个数有()A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 是边CB 延长线上一点，F 为AB 边上一点，BE BF =，连接EF 并延长交线段AD 于点G ，连接CF 交BD 于点M ，连接CG 交BD 于点N ．则下列结论：①AE CF =；②BFM BMF ∠=∠；③45CGF BAE ∠-∠=︒；④当15BAE ∠=︒时，MN =．其中正确的个数有()11．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，3AD cm =，点E 是AB 的中点，点P 沿E A D C ---以1/cm s 的速度运动，连接CE 、PE 、PC ，设PCE ∆的面积为2ycm ，点P 运动的时间为t 秒，则y 与x 的函数图象大致为()A ．B ．C ．D ．12．如图，四边形ABCD 的顶点坐标分别为(4,0)A -，(2,1)B --，(3,0)C ，(0,3)D ，当过点B 的直线l 将四边形ABCD 分成面积相等的两部分时，直线l 所表示的函数表达式为()A ．116105y x =+B ．2133y x =+C ．1y x =+D ．5342y x =+13．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D ，E 是边AB 上的点，连接CD ，CE ，先将边AC 沿CD 折叠，使点A 的对称点A '落在边AB 上；再将边BC 沿CB 折叠，使点B 的对称点B '落在CA '的延长线上．若15AC =，20BC =，则下列结论：①//EB CD '，②45DEC ∠=︒，③3EA '=，④18BCE S ∆=．其中正确的个数有()A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个14．如图，已知在正方形ABCD 中，4AD =，E ，F 分别是CD ，BC 上的一点，且45EAF ∠=︒，1EC =，点G 在CB 延长线上且GB DE =，连接EF ，则以下结论：①DE BF EF +=，②47BF =，③307AF =，④507AEF S ∆=中正确的个数有()个．A ．1B ．2C ．3D ．415．已知直线1:l y kx b =+与直线21:2l y x m =-+都经过6(5C -，8)5，直线1l 交y 轴于点(0,4)B ，交x 轴于点A ，直线2l 交y 轴于点D ，P 为y 轴上任意一点，连接PA 、PC ，有以下说法：①方程组12y kx b y x m =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩的解为6585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；②BCD ∆为直角三角形；③6ABD S ∆=；④当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为(0,1)．其中正确的说法是()A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④16．如图，等腰直角三角形纸片ABC 中，90C ∠=︒，把纸片沿EF 对折后，点A 恰好落在BC 上的点D 处，若1CE =，AB =()①BC =；②BD CE >；③2CED DFB EDF ∠+∠=∠；④DCE ∆与BDF ∆的周长相等．17．在平面直角坐标系中，对于任意三点A 、B 、C 的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h ：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S ah =．例如：三点坐标分别为(1,2)A ，(3,1)B -，(2,2)C -，则“水平底”5a =，“铅垂高”4h =，“矩面积”20S ah ==，若(1,2)D 、(2,1)E -、(0,)F t 三点的“矩面积”为15，则t 的值为()A ．3-或7B ．4-或6C ．4-或7D ．3-或618．如图，在长方形ABCD 中，6AB =，18BC =，点E 是BC 边上一点，且AE EC =，点P 是边AD 上一动点，连接PE ，PC ，则下列结论：①8BE =；②当10AP =时，PE 平分AEC ∠；③PEC ∆的周长最小值为；④当254AP =时，AE 平分BEP ∠．其中正确的个数有()A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个19．如图所示，在ABC ∆中，内角BAC ∠与外角CBE ∠的平分线相交于点P ，BE BC =，PB 与CE 交于点H ，//PG AD 交BC 于F ，交AB 于G ，连接CP ．下列结论：①2ACB APB ∠=∠；②::PAC PAB S S AC AB ∆∆=；③BP 垂直平分CE ；④PCF CPF ∠=∠．其中，正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20．如图，点M 是直线y ＝2x +3上的动点，过点M 作MN 垂直于x 轴于点N ，y 轴上是否存在点P ，使得△MNP 为等腰直角三角形，则符合条件的点P 有（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（）二．填空题（共40小题）21．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为__________cm ．22．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为CD 中点，F 为BC 边上一点，且1CF =，连AF ，EG AF ⊥交BC 于G ，则BG =________．23．如图，已知点D 为ABC ∆内一点，AD 平分CAB ∠，BD AD ⊥，C CBD ∠=∠．若10AC =，6AB =，则AD 的长为________．24．如图，放置的1OAB ∆，△112B A B ，△223B A B ，⋯都是边长为2的等边三角形，边AO 在y 轴上，点1B 、2B 、3B ⋯都在直线3y x =上，则点2019A 的坐标为________．25．如图，直线33y x =上有点1A ，2A ，3A ，1n A +⋯，且11OA =，122A A =，234A A =，12n n n A A +=，分别过点1A ，2A ，3A ，1n A +⋯作直线y =的垂线，交y 轴于点1B ，2B ，3B ，1n B +⋯，依次连接12A B ，23A B ，34A B ，1n n A B +⋯，得到△112A B B ，△223A B B ，△334A B B ，⋯，△1n n n A B B +，则△445A B B 的面积为________．26．如图，在平面直角坐标系中，点(6,0)A ，点(0,2)B ，点P 是直线1y x =--上一点，且45ABP ∠=︒，则点P 的坐标为________．27．如图，E 是腰长为2的等腰直角ABC ∆斜边上一点，且BE BC =，P 为CE 上任意一点，PQ BC ⊥于点Q ，PR BE ⊥于点R ，则PQ PR +的值是________．28．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点E 在AC 上，且1AE =，连接BE ，90BEF ∠=︒，且BE FE =，连接CF ，则CF 的长为________．29．甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的A ，B 两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A 处后行走的路程y （单位：)m 与行走时间x （单位：)min 的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离y （单位：)m 与甲行走时间x （单位：)min 的函数图象，则a b -=________．30．如图，已知//AB CD ，CE 、BE 的交点为E ，现作如下操作：第一次操作，分别作ABE ∠和DCE ∠的平分线，交点为1E ，第二次操作，分别作1ABE ∠和1DCE ∠的平分线，交点为2E ，第三次操作，分别作2ABE ∠和2DCE ∠的平分线，交点为3E ，⋯，第n 次操作，分别作1n ABE -∠和1n DCE -∠的平分线，交点为n E ．若1n E ∠=度，那BEC ∠等于________度．31．如图，由多个直角三角形拼成的美丽图案，已知直角边2OA =，其它直角边11223341AA A A A A A A ====⋯=，则2021OA =________．32．已知关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的唯一解是41x y =⎧⎨=⎩，则关于m ，n 的方程组11112222(26)(26)a m b n c b a m b n c b --=+⎧⎨--=+⎩的解是________．33．如图，ABC ∆中，10BC =，4AC AB -=，AD 是BAC ∠的角平分线，CD AD ⊥，则BDC S ∆的最大值为________．34．如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，点E 是AD 中点，过点E 作BC 垂线交BC 于点F ，已知10BC =，ABD ∆的面积为18，则EF 的长为________．35．某通信公司提供了两种移动电话收费方式：方式1：收月基本费20元，再以每分钟0.1元的价格计费：方式2：收月基本费20元，送80分钟通话时间，超过80分钟的部分，以每分钟0.15元的价格计费．下列结论：①如图描述的是方式1的收费方法；②若月通话时间少于240分钟，选择方式2省钱；③若月通信费为50元，则方式1比方式2的通话时间多；@若方式1比方式2的通信费多10元，则方式1比方式2的通话时间多100分钟．其中正确结论的序号是________________．36．如图，直线22y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 是第二象限内一点，ABC ∆为等腰直角三角形且90C ∠=︒，则直线BC 的解析式为________________．37．如图在ABC ∆，ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①BD CE =；②BD CE ⊥；③45ACE DBC ∠+∠=︒；④2222()BE AD AB =+，其中结论正确的是________________．38．如图，一次函数483y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点．P 是x 轴上一个动点，若沿BP 将OBP ∆翻折，点O 恰好落在直线AB 上的点C 处，则点P 的坐标是________________．39．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的一点，4BE =，8EC =，将正方形边AB 沿AE 折叠到AF ，延长EF 交DC 于点G ，连接AG ，现在有如下四个结论：①45EAG ∠=︒；②FG FC =；③//FC AG ；④14.4GFC S ∆=．其中结论正确的序号是________________．40．如图，在平面直角坐标系中，对ABC ∆进行循环往复的轴对称变换，若原来点A 的坐标是(2,3)，则经过第2020次变换后所得的A 点坐标是________________．41．如图，矩形ABCD 中，4AD =，2AB =．点E 是AB 的中点，点F 是BC 边上的任意一点（不与B 、C 重合），EBF ∆沿EF 翻折，点B 落在B '处，当DB '的长度最小时，BF 的长度为________．42．如图，以AB 为斜边的Rt ABC ∆的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN ，正方形BCPQ ，正方形ACEF ，且边EF 恰好经过点N ．若346S S ==，则15S S +=________．（注：图中所示面积S 表示相应封闭区域的面积，如3S 表示ABC ∆的面积）43．如图，长方形ABCD 中，4AD =，3AB =，点P 是AB 上一点，1AP =，点E 是BC 上一动点，连接PE ，将BPE ∆沿PE 折叠，使点B 落在B '，连接DB '，则PB DB ''+的最小值是________．44．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,6)，点B 为x 轴上一动点，以AB 为边在直线AB 的右侧作等边三角形ABC ．若点P 为OA 的中点，连接PC ，则PC 的长的最小值为________．45．在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，点D 在边AB 上，连接CD ，将ADC ∆沿直线CD 翻折，点A 恰好落在BC 边上的点E 处，若3AC =，1BE =，则DE 的长是________．46．如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，10BC =，P 是边AD 上一点，将ABP ∆沿着直线BP 翻折得到△A BP '．当8AP =时，A D '=2，连接A C '，当2AP =时，此时△A BC '的面积为________________．47．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(0,2)，点B 为x 轴上的动点，以AB 为边作等边三角形ABC ，当OC 最小时点C 的坐标为____________________________．48．如图，点(2,0)A -，直线33:?33l y x =+与x 轴交于点B ，以AB 为边作等边1ABA ∆，过点1A 作11//A B x 轴，交直线l 于点1B ，以11A B 为边作等边△112A B A ，过点2A 作22//A B x 轴，交直线l 于点2B ，以22A B 为边作等边△223A B A ，则点3A 的坐标是________．49．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，D 为BC 上一点，连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，取AE AD =，连接BE 交AC 于F ．当AEF ∆为等腰三角形时，CD =________．50．在平面直角坐标系xOy 中，我们把点O ，(0,4)A ，(8,4)B ，(8,0)C 顺次连接起来，得到一个长方形区域，P 为该区域（含边界）内一点．若将点P 到长方形相邻两边的距离之和的最小值记为d ，则称P 为“d 距点”．例如：点(5,3)P 称为“4距点”．当4d =时，横、纵坐标都是整数的点P 的个数为________个．51．如图，已知ABC ∆中，6AB AC ==，45A ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，将BCD ∆沿BC 翻折，使点D 落在点E 处，延长EB 与CD 的延长线交于点F ．求BF 的长为________．52．已知：k 为正数，直线1:1l y kx k =+-与直线2:(1)l y k x k =++及x 轴围成的三角形的面积为k S ，则2S =_______，1232020S S S S +++⋯+的值为__________．53．如图，ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ACB ∆的顶点A 在ECD ∆的斜边DE 上，CD 交AB 于点F，若AE =2AD =，则ACF ∆的面积为________________．54．在长方形ABCD 中，52AB =，4BC =，CE CF =，延长AB 至点E ，连接CE ，CF 平分ECD ∠，则BE =________．55．如图，在平面直角坐标系中，点1(1,1)A 在直线y x =图象上，过1A 点作y 轴平行线，交直线y x =-于点1B ，以线段11A B 为边在右侧作正方形1111A B C D ，11C D 所在的直线交y x =的图象于点2A ，交y x =-的图象于点2B ，再以线段22A B 为边在右侧作正方形2222A B C D ⋯依此类推．按照图中反映的规律，则点n A 的坐标是第2020个正方形的边长是________________．56．如图，已知30MON ∠=︒，B 为OM 上一点，BA ON ⊥于A ，四边形ABCD 为正方形，P 为射线BM 上一动点，连接CP ，将CP 绕点C 顺时针方向旋转90︒得CE ，连接BE ，若AB =，则BE 的最小值为________．——————57．当m ，n 是正实数，且满足m n mn +=时，就称点(,m P m n为“美好点”．已知点(1,8)A 与点B 的坐标满足y x b =-+，且点B 是“美好点”，则OAB ∆的面积为．58．如图，在平面直角坐标系中，点A ，1A ，2A ，⋯在x 轴上，点P ，1P ，2P ，⋯在直线3:(0)4l y kx k =+>上，90OPA ∠=︒，点(1,1)P ，(2,0)A ，且1AP ，12A P ，⋯均与OP 平行，11A P ，22A P ，⋯均与AP 平行，则有下列结论：①直线1AP 的函数解析式为2y x =-；②点2P 的纵坐标是259；③点2021P 的纵坐标为20215()3．其中正确的是（填序号）．59．如图，ABC ∆中，45A ∠=︒，3AB =，AC =，若点D 、E 、F 分别是三边AB 、BC 、CA 上的动点，则DEF ∆60．如图，ABC ∆中，75BAC ∠=︒，60ACB ∠=︒，4AC =，则ABC ∆D ，点E ，点F分别为BC ，AB ，AC 上的动点，连接DE ，EF ，FD ，则DEF ∆的周长最小值为．。
专题2.1 一元二次方程根与系数的关系(压轴题专项讲练)(北师大版)(解析版)
专题2.1 一元二次方程根与系数的关系【典例1】已知关于x的二次方程x2−ax+a2−4=0．（1）a为何值时，方程有两个不同的正根；（2）a为何值时，方程只有一个正根．（1）根据一元二次方程有两个不相等正根，则根的判别式Δ=(−a)2−4(a2−4)>0，x₁+x₂＞0，x₁·x₂＞0，组成不等式组求出a的取值范围即可；（2）根据一元二次方程只有一个正实数根，分为三种情况，一是有且只有一个正根，二是有两个根其中一个是正根，另一个根式负根或0，结合判别式以及根与系数的关系列不等式，求出a的值即可．解：（1）根据题意得，方程x2−ax+a2−4=0有两个不同的正根，∴Δ=(−a)2−4(a2−4)=−3a2+16＞0①，且x₁+x₂=a＞0②，x₁·x₂=a²-4＞0③，解由①②③组成的不等式组得，2＜a故当2＜a（2）Ⅰ当方程x2−ax+a2−4=0只且只有一个正根时，∴Δ=(−a)2−4(a2−4)=−3a2+16=0①，且x₁+x₂=a＞0②，x₁·x₂=a²-4＞0③，解①得：a=当②、③，而a=②，故舍去，故当Ⅱ 当方程x 2−ax +a 2−4=0有一个正根，一个负根，则Δ=(−a )2−4(a 2−4)=−3a 2+16>0①，且x₁·x₂=a²-4＜0②解①得：a 解②得：-2＜a ＜2，即−2<a <2Ⅲ 当方程x 2−ax +a 2−4=0有一个正根，一个0，则Δ=(−a )2−4(a 2−4)=−3a 2+16>0①，且x₁·x₂=a²-4=0②x₁+x₂=a ＞0③解①得：a 解②得： a=±2，由③a ＞0即a=2综上所述：−2<a ≤21．（2022·四川宜宾·九年级专题练习）关于x 的方程ax 2+（a +2）x +9a ＝0有两个不等的实数根x 1，x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是（ ）A ．﹣27＜a ＜25B ．a ＞25C ．a ＜﹣27D ．﹣211＜a ＜0【思路点拨】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围．又存在x 1＜1＜x 2，即（x 1-1）（x 2-1）＜0，x 1x 2-（x 1+x 2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a 的取值范围．【解题过程】解：∵方程有两个不相等的实数根，则a≠0且△＞0，由（a+2）2-4a×9a=-35a2+4a+4＞0，解得−27<a<25，又∵x1＜1＜x2，∴x1-1＜0，x2-1＞0，那么（x1-1）（x2-1）＜0，∴x1x2-（x1+x2）+1＜0，∵x1+x2=−a2a，x1x2=9，即9+1<0，解得−211<a<0，综上所述，a的取值范围为：−211<a<0.故选D．2．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）若方程x2+2px−3p−2=0的两个不相等的实数根x1、x2满足x12+x13=4−(x22+x23)，则实数p的所有值之和为（）A．0B．−34C．−1D．−54【思路点拨】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到x12+2px1−3p−2=0，x1+x2=−2p，进而推出x13 =3px1+2x1−2px12，则x13+x12=3px1+2x1−2px12+x12，x23+x22=3px2+2x2−2px22+x22，即可推出(3p+2)(x1+x2)+(1−2p)(x12+x22)=4，然后代入x1+x2=−2p，x12+x22=(x1+x2)2−4p得到2p(4p+3)(p+1)=0，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案．【解题过程】解：∵x1、x2是方程x2+2px−3p−2=0的两个相等的实数根，∴x12+2px1−3p−2=0，x1+x2=−2p，x1x2=−3p−2，∴x12+2px1=3p+2，∴x13+2px12=3px1+2x1，∴x13=3px1+2x1−2px12，∴x13+x12=3px1+2x1−2px12+x12，同理得x23+x22=3px2+2x2−2px22+x22，∵x12＋x13=4−(x22+x23)，∴x12+x13+(x22+x23)=4，∴3px1+2x1−2px12+x12+3px2+2x2−2px22+x22=4，∴(3p+2)(x1+x2)+(1−2p)(x12+x22)=4，∴(3p+2)(−2p)+(1−2p)(−2p)2−2(−3p−2)=4，∴−6p2−4p+(1−2p)4p2+6p+4=4，∴−6p2−4p+4p2+6p+4−2p4p2+6p+4=4，∴−2p2+2p−2p4p2+6p+4=0，∴−2p4p2+6p+4+p−1=0，∴2p4p2+7p+3=0，∴2p(4p+3)(p+1)=0，，解得p1=0，p2=−1，p3=−34∵Δ=(2p)2+4(3p+2)>0，∴p2+3p+2>0，∴(p+1)(p+3)>0，∴p=−1不符合题意，∴p1+p3=−34∴符合题意，故选B．3．（2022秋·全国·九年级专题练习）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②(m−1)2+(n−1)2≥2；③−1≤2m−2n≤1，其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【思路点拨】设方程x2+2mx+2n=0的两根为x1、x2，方程y2+2ny+2m=0同的两根为y1、y2．①根据方程解的情况可得出x1•x2=2n＞0、y1•y2=2m＞0，结合根与系数的关系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，进而得出这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，将（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y1+1）（y2+1）-1、2n-2m=（x1+1）（x2+1）-1，结合x1、x2、y1、y2均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出结论．【解题过程】解：设方程x2+2mx+2n=0的两根为x1、x2，方程y2+2ny+2m=0同的两根为y1、y2．①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，∴x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0，∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，∴这两个方程的根都是负根，①正确；②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确；③∵y1•y2=2m，y1+y2=-2n，∴2m-2n=y1•y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，∵y1、y2均为负整数，∴（y1+1）（y2+1）≥0，∴2m-2n≥-1．∵x1•x2=2n，x1+x2=-2m，∴2n-2m=x1•x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，∵x1、x2均为负整数，∴（x1+1）（x2+1）≥0，∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．∴-1≤2m-2n≤1，③成立．综上所述：成立的结论有①②③．故选D．4．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2−(n+2)x−2n2=0的两个根为a n,b n(n≥2)，则1(a2−2)(b2−2)+1(a3−2)(b3−2)+⋯+1(a2021−2)(b2021−2)=__________．【思路点拨】由根与系数的关系得a n+b n=n+2，a n⋅b n=−2n2，所以(a n−2)(b n−2)=a n b n−2(a n+b n)+4=−2n2−2(n+2)+4=−2n(n+1)，则1(a n−2)(b n−2)=−12n(n1)=−12(1n−1n1)，然后代入即可求解．【解题过程】由根与系数的关系得a n+b n=n+2，a n⋅b n=−2n2，所以(a n−2)(b n−2)=a n b n−2(a n+b n)+4=−2n2−2(n+2)+4=−2n(n+1)，则1(a n−2)(b n−2)=12n(n1)=−12(1n−1n1)，则1(a2−2)(b2−2)+1(a3−2)(b3−2)+⋯+1(a2021−2)(b2021−2)=−12[(12−13)+(13−14)+…+(12021−12022)]=−12×(12−12022)=−12×10102022=−5052022．故答案为：−5052022．5．（2022秋·全国·九年级专题练习）关于x的方程x2−(m−2)x−m24=0两个实根x1,x2满足|x1|=|x2|+3，则m的值为_______．【思路点拨】先判断一元二次方程根的情况，然后利用根与系数的关系，得到x1+x2=m−2，x1•x2=−m24≤0，结合|x1 |−|x2|=3，通过变形求值，即可求出m的值.【解题过程】解：在方程x2−(m−2)x−m24=0中，有Δ=[−(m−2)]2−4×1×(−m24)=2m2−4m+4=2(m−1)2+2>0，∴原方程有两个不相等的实数根；根据根与系数的关系，有：x1+x2=−−(m−2)1=m−2，x1•x2=−m241=−m24≤0，∵|x1|=|x2|+3，∴|x 1|−|x 2|=3，∴x 21−2|x 1•x 2|+x 22=9，∴(x 1+x 2)2−2x 1•x 2−2|x 1•x 2|=9，∴(x 1+x 2)2−2x 1•x 2+2x 1•x 2=9，∴(m−2)2=9，解得：m 1=5，m 2=−1；故答案为：5或−1.6．（2022春·九年级课时练习）已知实系数一元二次方程ax 2+2bx +c ＝0有两个实根x 1，x 2，且a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，设d =|x 1−x 2|，则d 的取值范围为_____．【思路点拨】先根据一元二次方程根与系数的关系求出d 2的表达式，再根据二次函数性质求其取值范围即可．【解题过程】解：∵实系数一元二次方程ax 2+2bx +c ＝0有两个实根x 1、x 2，∴x 1+x 2＝﹣2b a ，x 1·x 2＝c a ，∴d 2＝|x 1﹣x 2|2=（x 1+x 2）2﹣4x 1·x 2＝（﹣2b a ）2﹣4c a＝−﹣4c a −4ac a 2＝4[（c a ）2+c a +1]＝4[（c a +12）2+34]，∵a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，∴a ＞0，c ＜0，a ＞﹣a ﹣c ＞c ，解得：﹣2＜c a ＜﹣12，∵y ＝4[（c a +12）2+34]的对称轴为：c a ＝﹣12，∴当﹣2＜ca ＜﹣12时，y随ca增大而减小，∴3＜d2＜12，<d<d<7．（2022秋·八年级单元测试）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，甲由于看错了二次项系数，求得两个根为3和6，乙由于看错了某一项系数的符号，求得两个根为3+2b3c4a=____________【思路点拨】先利用两根分别表示出错误的方程为：对于甲：设k(x−3)(x−6)=0，得：kx2−9kx+18k=0；对于乙：设+=0，得：px2−6px−12p=0，乙的错误不可能是看错了一次项系数的符号，分两种情况：①若乙看错了二次项系数的符号，那么甲和乙的方程里面一次项和常数项分别相等；②若乙看错了常数项的符号，那么甲和乙的方程里面一次项相等，常数项互为相反数，则正确的方程为px2−6px+12p=0，求代数式的值即可.【解题过程】解：对于甲：设k(x−3)(x−6)=0得：kx2−9kx+18k=0对于乙：设+=0得：px2−6px−12p=0分情况讨论：①若乙看错了二次项系数的符号，那么−9k=−6p18k=−12p解得：k=p=0，不符合题意，舍去②若乙看错了常数项的符号，那么−9k=−6p18k−12p=0解得：p=32k则a=p,b=−6p,c=12p2b3c 4a =−12p36p4p=6③若乙看错了一次项项的符号，那么−9k=6p18k=−12p解得：p=−32k则a=p,b=6p,c=−12p2b+3c4a =12p−36p4p=−6故答案为±68．（2022春·四川内江·九年级专题练习）将两个关于x的一元二次方程整理成a(x+ℎ)2+k＝0（a≠0，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)2−2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，则b－2c＝______，ax1+x1x2+ax2的最大值是______．【思路点拨】利用ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)2−2=0是“同源二次方程”得出b=2a，c=a−2，即可求出b−2c；利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=−2，x1x2=a−2a，进而得出ax1+x1x2+ax2=−2a+1，设a+1a=t（t>0），得a2−t⋅a+1=0，根据方程a2−t⋅a+1=0有正数解可知Δ=t2−4≥0，求出t的取值范围即可求出ax1+x1x2+ax2的最大值．【解题过程】解：根据新的定义可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0）可变形为a(x+1)2−2=0，∴a(x+1)2−2=ax2+bx+c，展开，ax2+2ax+a−2=ax2+bx+c，可得b=2a，c=a−2，∴b−2c=2a−2(a−2)=4；∵x1+x2=−2，x1x2=a−2a，∴ax1+x1x2+ax2=a(x1+x2)+x1x2=−2a+a−2a=−2a+1，∵方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，∴Δ=b2−4ac=(2a)2−4a(a−2)=8a≥0，且a≠0，∴a>0，=t（t>0），得a2−t⋅a+1=0，设a+1a∵方程a2−t⋅a+1=0有正数解，∴Δ=t2−4≥0，≥2，解得t≥2，即a+1a∴ax1+x1x2+ax2=−2a+1≤−3．故答案为：4，-3．9．（2022秋·广东江门·九年级统考阶段练习）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．①方程x2−x−2=0是“倍根方程”；②若(x−2)(mx+n)=0是“倍根方程”，则4m2+5mn+n2=0；③若p,q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是“倍根方程”；④若方程ax2+bx+c=0是“倍根方程”，则必有2b2=9ac．【思路点拨】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；③当p,q满足pq=2时，有px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，求出两个根，再根据pq=2代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；④用求根公式求出两个根，当x1=2x2或2x1=x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．【解题过程】解：①解方程x2−x−2=0，得x1=2，x2=−1，∵x1≠2x2，∴方程x2−x−2=0不是“倍根方程”．故①不正确；②∵(x−2)(mx+n)=0是“倍根方程”，且x1=2，因此x2=1或x2=4．当x2=1时，m+n=0，当x2=4时，4m+n=0，∴4m2+5mn+n2=(m+n)(4m+n)=0，故②正确；③∵pq=2，∴px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，∴x1=−1p，x2=−q，∴x2=−q=−2p=2x1，因此px2+3x+q=0是“倍根方程”，故③正确；④方程ax2+bx+c=0的根为x1=2若x1=2x2×2，2=0，=0，∴b+=0，∴=−b，∴9(b2−4ac)=b2，∴2b2=9ac，若2x1=x22==0，∴−b+=0，∴b=∴b2=9(b2−4ac)，∴2b2=9ac．故④正确，故答案为：②③④．10．（2023春·全国·八年级专题练习）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使1x1−1x2＝1成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求得k的取值范围．（2）利用根与系数的关系，根据1x 1−1x 2=x 2−x 1x 1x 2,即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在．【解题过程】解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0，即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0，∴12k ＞﹣4解得：k ＞−13且k ≠0（2）存在，且k =7±∵x 1+x 2=2(k 1)k ,x 1x 2=k−1k,又有1x 1−1x 2=x 2−x 1x 1x 2=1,∴x 2−x 1=x 1x 2,∴x 22−2x 1x 2+x 21=x 21x 22,∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2=(x 1x 2)2,∴2−4k−4k =(k−1k)2, ∴(2k +2)2−k(4k−4)=(k−1)2, ∴k 2−14k−3=0, ∵a =1,b =−14,c =−3, ∴Δ=b 2−4ac =208,∴k =7±∵ k ＞−13且k ≠0，∵≈−0.21＞−13, 7+−13.∴满足条件的k 值存在，且k =7±．11．（2022·浙江·九年级自主招生）已知方程x 2+4x +1=0的两根是α、β．（1）求|α−β|的值；（2（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：x 3+y 3=(x +y)x 2+y 2−xy ．【思路点拨】（1）利用一元二次方程根与系数的关系可得α+β=−4,αβ=1，再求得(α−β)2的值，进而求得|α−β|的值．（2）+α最后将α+β=−4,αβ=1代入计算即可；（3）+的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．【解题过程】（1）解：∵方程x 2+4x +1=0的两根是α、β∴α+β=−4,αβ=1∴(α−β)2=(α+β)2−4αβ=12∴|α−β|=（2）解：由（1）可知：α<0，β<0，∵=αβ+βα+2=α2+β2αβ+2=(α+β)2−2αβαβ+2=16，4（负值舍去）；（3+=(1α+1β+−===−1=−52==1所以新的一元二次方程x 2+52x +1=0．12．（2022春·四川南充·九年级专题练习）已知：关于x 的方程(k−1)x 2−2kx +k +2=0有实数根．（1）求k 的取值范围．（2）若x 1，x 2是方程(k−1)x 2−2kx +k +2=0的两个实数根，问：是否存在实数k ，使其满足(k−1)x 21+2k x 2+k +2=4x 1x 2，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式，再求解即可；（2）根据已知得出(k−1)x 21−2kx 1+k +2=0①，x 1+x 2=−−2kk−1=2kk−1，x 1⋅x 2x 2=2kk−1−x 1，求出(k−1)x 21−2kx 1+k +2+4k 2k−1=4⋅k 2k−1②，把①代入②得出4k 2k−1=4⋅k 2k−1，最后求出k 即可.【解题过程】解：（1）当k−1=0即k =1时，方程−2x +3=0，x =32，即方程有实数根，当k−1≠0时，Δ=(−2k)2−4⋅(k−1)⋅(k +2)≥0，方程有实数根，即k ≤2，综合上述：k 的取值范围是k ≤2．（2）∵x 1，x 2是方程(k−1)x 2−2kx +k +2=0的两个实数根，∴(k−1)x 21−2kx 1+k +2=0，①x 1+x 2=−−2kk−1=2kk−1，x 1⋅x 2=∴x 2=2kk−1−x 1，∵(k−1)x 21+2kx 2+k +2=4x 1x 2，∴(k−1)x 21+1+k +2=4⋅k 2k−1，∴(k−1)x 21+4k 2k−1−2kx 1+k +2=4⋅k 2k−1，即：(k−1)x 21−2kx 1+k +2+4k 2k−1=4⋅k 2k−1，②把①代入②得：4k 2k−1=4⋅k 2k−1，k 2−k−2=0，k =2，k =−1，由（1）可知k 需满足：k ≤2且k ≠1，∴k =2或−1．13．（2022秋·九年级单元测试）已知关于x 的一元二次方程x 2−2x−a 2−a =0(a >0)．（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）若对于a =1，2，3，…，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1,α2和β2,α3和β3，…，α2019和β2019,α2020和β2020，+1α2+1α3+…+1α2019+1β2+1β3+…+1β2019的值．【思路点拨】（1）设方程的两根是α1，β1，得出α1+β1=2，α1·β1=−a 2−a ，代入(α1−2)(β1−2)，=α1β1−2(α1+β1)+4，求出其结果是−a 2−a ，求出−a 2−a <0即可；（2）得出α1+β1=2，α1·β1=−a 2−a =−a(a +1)，把(1α1+1α2+1α3+…+1α2019+1α2020)+(1β1+1β2+1β3+…+1β2019+1β2020)112233+20202020−2×(1−12+12−13+13−14+…+12020−12021)，推出−2×(1−12021)，求出即可．【解题过程】解：（1）证明：设方程的两根是α1，β1，则α1+β1=2，α1·β1=−a 2−a ，∴(α1−2)(β1−2)=α1β1−2(α1+β1)+4=−a 2−a−2×2+4=−a 2−a ，∵a >0，∴−a 2−a <0，即这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）∵α1+β1=2，α1·β1=−a2−a=−a(a+1)∵对于a=1，2，3，…，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1，α2和β2，α3和β3，…，α2019和β2019，α2020和β2020，∴(1α1+1α2+1α3+…+1α2019+1α2020)+(1β1+1β2+1β3+…+1β2019+1β2020)=1α1+1β1+1α2+1β2+1α3+1β3+…+1α2019+1β2019+1α2020+1β2020=α1+β1α1β1+α2+β2α2β2+α3+β3α3β3+…+α2020+β2020α2020β2020=2−1×2+2−2×3+2−3×4+…+2−2020×2021=−2×(11×2+12×3+13×4+…+12020×2021)=−2×(1−12+12−13+13−14+…+12020−12021)=−2×(1−1 2021)=−40402021．14．（2022秋·九年级课时练习）一元二次方程x2+2ax+6−a=0的根x1,x2分别满足以下条件，求出实数a 的对应范围．（1）两个根同为正根；（2）两个根均大于1；（3）x1x2=3．【思路点拨】（1）由一元二次方程x2+2ax+6−a=0有两个正根，可列不等式组∴{△=(2a)2−4(6−a)≥0①x1+x2=−2a>0②x1x2=6−a>0③，再解不等式组即可；（2）由一元二次方程x2+2ax+6−a=0两个均大于1，可得(x1−1)(x2−1)>0,即x1x2−(x1+x2)+1>0,再结合根与系数的关系列不等式，结合△≥0，从而可得答案；（3）由x1x2=3可得x1=3x2,结合x1+x2=−2a,求解x1,x2,再利用x1x2=6−a,再解方程求解a的值，再检验即可.【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x2+2ax+6−a=0有两个正根，∴{△=(2a)2−4(6−a)≥0①x 1+x 2=−2a >0②x 1x 2=6−a >0③由①得：a 2+a−6≥0, 解得：a ≥2或a ≤−3, 由②得：a <0, 由③得：a <6,所以a 的取值范围为：a ≤−3；（2）解： 由（1）得：a ≤−3,一元二次方程x 2+2ax +6−a =0两个均大于1，∴(x 1−1)(x 2−1)>0, 即x 1x 2−(x 1+x 2)+1>0, 而x 1+x 2=−2a,x 1x 2=6−a, ∴6−a +2a +1>0, 解得：a >−7, 综上−7<a ≤−3（3）解：∵ x 1x 2=3，则x 1=3x 2, ∵x 1+x 2=−2a, 解得：x 1=−32a,x 2=−12a, ∵x 1x 2=6−a, ∴34a 2=6−a,整理得：3a 2+4a−24=0,∴a ==∵ a ≥2或a ≤−3,经检验：a =a =.15．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m 是不小于﹣1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2（m ﹣2）x ＋m 2﹣3m ＋3＝0有两个实数根x 1，x 2．（1）若x 21+x 22=2，求m 的值；（2）令T ＝mx 11−x 1＋mx 21−x 2，求T 的取值范围．【思路点拨】首先根据方程有两个实数根及m是不小于-1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x12+x22为（x1+x2）2-2x1x2，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值；（2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围．【解题过程】解：（1）∵关于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个实数根，∴Δ=4（m-2）2-4（m2-3m+3）≥0，解得m≤1，∵m是不小于-1的实数，∴-1≤m≤1，∵方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2=-2（m-2）=4-2m，x1•x2=m2-3m+3．∵x12+x22=2，∴（x1+x2）2-2x1x2=2，∴4（m-2）2-2（m2-3m+3）=2，整理得m2-5m+4=0，解得m1=1，m2=4（舍去），∴m的值为1；（2）T＝mx11−x1＋mx21−x2，=mx1(1−x2)mx2(1−x1)(1−x1)(1−x2)12)121−42m3=−2m(m−1)2m2−m=−2m(m−1)2m(m−1)=2-2m．∵当x=1时，方程为1＋2（m﹣2）＋m2﹣3m＋3＝0，解得m=1或m=0．∴当m=1或m=0时，T没有意义．∴−1≤m<1且m≠0∴0<2-2m≤4且T≠2．即0<T≤4且T≠2．16．（2022秋·福建泉州·九年级石狮市石光中学校考期中）已知关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0(m≠0)．（1）求证：方程有两个实数根；（2）若m<0，方程的两个实数根分别为x1,x2（其中x1<x2），若y是m的函数，且y=x1−1x2，求这个函数的解析式．（3）若m为正整数，关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0(m≠0)的两个根都是整数，a与a+b(b≠0)分别是关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0的两个根．求代数式4a2+12ab+5b2+16b+8的值．【思路点拨】（1）利用Δ求出关于m的式子，然后证明关于m的式子大于或等于0即可；（2）利用公式法确定两根，代入即可得出这个函数解析式；（3）利用根与系数的关系求出m的值，即可得到a与a+b(b≠0)分别是关于x的方程x2+4x+3−b=0的两个根，利用根与系数的关系得到a+a+b=−4，即a=−4b4，代入代数式化简即可求出答案．【解题过程】（1）解：∵由题意可知Δ=(3m+1)2−4m×3=9m2−6m+1=(3m−1)2≥0，∴方程有两个实数根；（2）mx2+(3m+1)x+3=0解：由（1）可知，方程有两个实数根，∴x<0)，∴x=−3m−1±(1−3m)2m，∵x1<x2，∴x1=−3，x2=−1m，∴y=x1−1x2=−3−1−1m=−3+m,(m<0)．∴y=−3+m,(m<0)．（3）解：∵a与a+b(b≠0)分别是关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0的两个根．∴a+a+b=2a+b=−3m1m =−3−1m，a(a+b)=3m，∵a与b是整数，∴1m 与3m同为整数，∵m是正整数，∴m=1，∴方程为x2+4x+3=0，∴a+a+b=2a+b=−4，∴a=−4−b2，将a=−4−b2代入4a2+12ab+5b2+16b+8原式=4×++5b2+16b+8=16+8b+b2−24b−6b2+5b2+16b+8=24．17．（2022秋·福建·九年级统考期末）已知关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0有实数根．（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．【思路点拨】（1）根据关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式确定m的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x1+x2=m−1m，若方程的两根之和为整数，即m−1m为整数，即可确定m的值；（2）分两种情况讨论：当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，求解可得x=−2，符合题意；当m≠0时，对于关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0可有x m为整数，则Δ=m2−10m+1为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0有两个根，且为实数根，∴m≠0，且Δ=[−(m−1)]2−4m×2=m2−10m+1≥0，根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x1+x2=−−(m−1)m =m−1m，若方程的两根之和为整数，即m−1m为整数，∵m−1m =1−1m，∴1m是整数，∴m=±1，当m=1时，Δ=1−10+1=−8<0，不符合题意；当m=−1时，Δ=1+10+1=12>0，m−1m =−1−1−1=2，为整数，符合题意；∴m的值为−1；（2）当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，解得x=−2；当m≠0时，对于关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0的根为：x若方程的根为有理根，且m为整数，则Δ=m2−10m+1为完全平方数，设m2−10m+1=k2（k为正整数），则：m==5±∵m为整数，设24+k2=n2（n为正整数），∴(k+n)(n−k)=24，∴k+n=12n−k=2或k+n=6n−k=4或k+n=8n−k=3或k+n=24n−k=1，解得：k=5n=7或k=1n=5或k=52n=112（不合题意，舍去）或k=232n=252（不合题意，舍去）∴m2−10m+1=12=1或m2−10m+1=52=25；当m2−10m+1=1时，解得m=10或m=0（舍去）；当m2−10m+1=25时，解得m=−2或m=12，综上所述，若方程的根为有理根，则整数m的值为0或10或−2或12．18．（2022秋·四川资阳·九年级统考期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若x1<x2<0，且3<x1x2<4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30=0的两根为x1=−10，x2=−3，因−10<−3<0，3<−10−3<4，所以一元二次方程x2+13x+30=0为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：（1）判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；（2）若关于x的一元二次方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2 =−1，求k的值；（3）若关于x的一元二次方程x2+(1−m)x−m=0是“限根方程”，求m的取值范围．【思路点拨】（1）解该一元二次方程，得出x1=−7，x2=−2，再根据“限根方程”的定义判断即可；（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出x1+x2=−k72，x1x2x1+x2+x1x2=−1，即可求出k1=2，k2=−1．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可；（3）解该一元二次方程，得出x1=−1，x2=m或x1=m，x2=−1．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出Δ>0，m<0且m≠−1，可求出m 的取值范围．最后分类讨论即可求解．【解题过程】（1）解：x2+9x+14=0，(x+2)(x+7)=0，∴x+2=0或x+7=0，∴x1=−7，x2=−2．∵−7<−2，3<−7−2=72<4，∴此方程为“限根方程”；（2）∵方程2x2+(k+7)x+k2+3=0的两个根分比为x1、x2，∴x1+x2=−k72，x1x2=．∵x1+x2+x1x2=−1，∴=−1，解得：k1=2，k2=−1．分类讨论：①当k=2时，原方程为2x2+9x+7=0，∴x1=−72，x2=−1，∴x1<x2<0，3<x1x2=72<4，∴此时方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，∴k=2符合题意；②当k=−1时，原方程为2x2+6x+4=0，∴x1=−2，x2=−1，∴x1<x2<0，x1x2=2<3，∴此时方程2x2+(k+7)x+k2+3=0不是“限根方程”，∴k=−1不符合题意．综上可知k的值为2；（3）x2+(1−m)x−m=0，(x+1)(x−m)=0，∴x+1=0或x−m=0，∴x1=−1，x2=m或x1=m，x2=−1．∵此方程为“限根方程”，∴此方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，m<0且m≠−1，∴(1−m)2+4m>0，即(1+m)2>0，∴m<0且m≠−1．分类讨论：①当−1<m<0时，∴x1=−1，x2=m，∵3<x1x2<4，∴3<−1m<4，解得：−13<m<−14；②当m<−1时，∴x1=m，x2=−1，∵3<x1x2<4，∴3<m−1<4，解得：−4<m<−3．综上所述，m的取值范围为−13<m<−14或−4<m<−3．19．（2022秋·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校联考期中）已知方程①：2(x−k)=x−4为关于x的方程，且方程①的解为非正数；方程②：(k−1)x2+2mx+3−k+n=0（k、m、n均为实数）为关于x的一元二次方程．（1）求k的取值范围；（2）如果方程②的解为负整数，k−m=2，2k−n=6且k为整数，求整数m的值；（3）当方程②有两个实数根x1，x2满足(x1+x2)(x1−x2)+2m(x1−x2+m)=n+5，且k为正整数，试判断m2≤4是否成立？并说明理由．【思路点拨】（1）将k当作已知数解出方程2(x−k)=x−4的解，根据该方程的解为非正数，可得出k的取值范围，方程②：(k−1)x2+2mx+3−k+n=0（k、m、n均为实数）为关于x的一元二次方程，二次项系数不为0，即k −1≠0，解得k≠1，即可求出k的取值范围；（2）根据k−m=2，2k−n=6可得m=k−2，n=2k−6，代入方程②，可得(k−1)x2+2(k−2)x+(3−k)+2k−6=0，可得x1=−1+2k−1，x2=−1，由于②的解为负整数且k为整数，所以k−1=−1或k−1=−2，可得k=0或−1，即可求出整数m的值；（3）方法1：由（1）可知k≤2且k≠1，且k为正整数，可知k=2，所以方程②为x2+2mx+1+n=0，因为方程②有两个实数根x1，x2，所以Δ≥0，x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n，由Δ≥0可求出m2≥n+1，将x1+x2=−2 m，x1⋅x2=1+n，代入(x1+x2)(x1−x2)+2m(x1−x2+m)=n+5，可得n=2m2−5，将其代入m2≥n+1，即可证明m2≤4；方法2：先得出k=2，m2≥n+1，x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n，根据x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n求出(x1−x2)2=4(m2−1−n)，可得x1−x2x1−x2x1−x2=−2x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n，代入(x1+x2)(x1−x2)+2m(x1−x2+m)=n+5，可得n=2m2−5，将其代入m2≥n+1，即可证明m2≤4．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程2(x−k)=x−4的解为x=2k−4，且该方程的解为非正数，∴2k−4≤0，解得k≤2，又∵关于x 的方程(k−1)x 2+2mx +(3−k )+n =0是一元二次方程，∴k−1≠0，k−1≠0，解得k≠1，综上所述，k 的取值范围是k≤2且k≠1．（2）解：由（1）可知k≤2且k≠1，∵k−m =2，2k−n =6，∴m =k−2，n =2k−6，∴方程②为(k−1)x 2+2(k−2)x +(3−k )+2k−6=0，即(k−1)x 2+2(k−2)x +k−3=0，[(k−1)x +(k−3)](x +1)=0，解得：x 1=3−kk−1=−(k−1)2k−1=−1+2k−1，x 2=−1，∵方程②为(k−1)x 2+2(k−2)x +(3−k )+2k−6=0，方程②的解为负整数，∴k−1=−1或k−1=−2，∴k =0或−1，当k =0时，m =k−2=0−2=−2，当k =−1时，m =k−2=−1−2=−3，∴m 的值为−2或−3．（3）解：方法1：m 2≤4成立，理由如下：由（1）可知k≤2且k≠1，又∵k 为正整数，∴k =2，∴方程②为x 2+2mx +1+n =0，∵方程②有两个实数根x 1，x 2，∴Δ≥0，x 1+x 2=−2m ，x 1⋅x 2=1+n ，∴(2m )2−4×1×(1+n )≥0，∴m 2≥n +1（*）∵(x 1+x 2)(x 1−x 2)+2m (x 1−x 2+m )=n +5，∴−2m (x 1−x 2)+2m (x 1−x 2+m )=n +5即−2m (x 1−x 2)+2m (x 1−x 2)+2m 2=n +5，即2m 2=n +5，即n =2m 2−5代入（*）∴m2≥2m2−5+1∴m2≤4；方法2：m2≤4成立，理由如下：由（1）可知k≤2且k≠1，又∵k为正整数，∴k=2，∴方程②为x2+2mx+1+n=0，∵方程②有两个实数根x1，x2，∴Δ≥0，x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n，∴(2m)2−4×1×(1+n)≥0，∴m2≥n+1，∵(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1⋅x2=(−2m)2−4(1+n)=4(m2−1−n)，∴x1−x2∵(x1+x2)(x1−x2)+2m(x1−x2+m)=n+5∴当x1−x2(−2m)⋅m2m=n+5，∴2m2=n+5，∴n=2m2−5，∴m2≥2m2−5+1，∴m2≤4；当x1−x2=1种情况扣1分）(−2m)⋅−2m−2m=n+5，∴2m2=n+5，∴n=2m2−5，∴m2≥2m2−5+1，∴m2≤4；综上所述，m2≤4成立．20．（2022春·湖南邵阳·九年级邵阳市第二中学校考自主招生）已知关于x的方程|x2+2px−3p2+5|−q=0．其中p，q都是实数．（1）若q=0时方程有两个不同的实数根x1，x2，且1x1+1x2=843．求实数p的值．（2）若方程有三个不同的实数根x1，x2，x3，且1x1+1x2+1x3=0．求实数p和q的值．（3）是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4=3若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）利用根的判别式，根与系数关系定理，转化为一元二次方程求解即可．（2）根据方程根的情况，判定去绝对值后的两个方程，一个有两个不相等实数根，一个有两个相等实数根，运用根的判别式，根与系数关系定理，转化为一元二次方程求解即可．（3）根据方程根的情况，判定去绝对值后的两个方程，都有两个不相等实数根，运用根的判别式，根与系数关系定理，质数的性质，分类转化为一元二次方程求解即可．【解题过程】解：（1）当q=0时，方程为x2+2px−3p2+5=0，∴由Δ>0得p2>54，∵方程有两个不同的实数根x1，x2，∴x1+x2=−2p，x1x2=5−3p2，∵1 x1+1x2=843，∴x1x2x1x2=843，∴−2p 5−3p2=843，整理，得12p2−43p−20=0，解得：p=4，p=−512舍去，故P=4．（2）原方程化为：x2+2px−3p2+5−q=0，x2+2px−3p2+5+q=0．由题意可知q>0，∴Δ1=44p2−5+q>0，Δ2=44p2−5−q=0，∴x2+2px−3p2+5−q=0，x2+2px+p2=0，不妨设x1+x2=−2p，x1x2=−3p2+5−q，x3=−p，∵1 x1+1x2+1x3=0，12−1x3，∴−2p−3p25−q =−1−p，整理，得p2=5−q，∵4p2−5−q=0，解得q=3，p=±（3）同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4=3，原方程化为：x2+2px−3p2+5−q=0，x2+2px−3p2+5+q=0．由题意及q>0，∴Δ1=44p2−5+q>0，Δ2=44p2−5−q＞0，不妨设x1+x2=−2p，x1x2=−3p2+5−q，x3+x4=−2p，x3x4=−3p2+5+q，∵x1x2x3x4=，∴3p2−5+q3p2−5−q=3p4，∵q>0，p为质数，∴3p2−5+q>3p2−5−q，且3p2−5+q>p2，又3p4=3p4×1=p4×3=3p3×p=p3×3p=3p2×p2，∴3p2−5+q=3p43p2−5−q=1，此时Δ1=36−4×3×11＜0，方程组无解；3p2−5+q=3p33p2−5−q=p，此时3p3−6p2+p+10=0，∴3p2(p−2)+p+10=0，∵q>0，p为质数，∴3p2(p−2)+p+10＞0，此时方程组无解；3p2−5+q=p33p2−5−q=3p，此时p3−6p2+3p+10=0，(p−2)(p2−3p−5)=0，∴p=2或p=5或p=-1(舍去)；当p=2时，q=1；当p=5时，q=55；3p2−5+q=p43p2−5−q=3，此时Δ4=36−4×13×1＜0，方程组无解；3p2−5+q=3p23p2−5−q=p2，解得pq或p=q=，∵p是质数，∴不符合题意；综上所述，p=2，q=1或p=5，q=55．。
2023学年北师大版八年级数学上学期压轴题专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型含解析
专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型类型一、面积问题例1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AB 与x 轴交于A 点 （2，0）与y 轴交于点B （0，1）． （1）求直线AB 的解析式；（2）点M （-1，y 1），N （3，y 2）在直线AB 上，比较y 1与y 2的大小. （3）若x 轴上有一点C ，且S △ABC =2，求点C 的坐标【变式训练1】已知一次函数12y kx =+的图象与x 轴交于点(2,0)B -，与正比例函数2y mx =的图象交于点(1,)A a ．（1）分别求k ，m 的值；（2）点C 为x 轴上一动点，如果ABC 的面积是6，请求出点C 的坐标．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 为线段DC 上的一个动点．设DP x =，由点,,,A B C P 首尾顺次相接形成图形的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数表达式及x 的取值范围；（2）设（1）中函数图象的两个端点分别为M N 、，且P 为第一象限内位于直线MN 右侧的一个动点，若MNP △正好构成一个等腰直角三角形，请求出满足条件的P 点坐标；（3）在（2）的条件下，若l 为经过(1,0)-且垂直于x 轴的直线，Q 为l 上的一个动点，使得MNQNMPS S=，请直接写出符合条件的点Q 的坐标．【变式训练3】如图，已知直线1:3l y x =+与过点A （3，0）的直线2l 交于点C （1，m ），且与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ． （1）求直线2l 的解析式；（2）若点D 关于x 轴的对称点为P ，求△PBC 的面积．类型二、一次函数与平行四边形例1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x ，y 轴分别交于点(4,0)A ，(0,3)B ，点C 是直线554y x =-+上的一个动点，连接BC ．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）如图1，若//BC x 轴，求点C 到直线AB 的距离；（3）如图2，点(1,0)E ，点D 是直线AB 上的动点，试探索点C ，D 在运动过程中，是否存在以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C ，D 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】一次函数y = kx+1（k ≠ 0）的图象过点P （-3，2），与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求k 的值及点A 、B 的坐标；（2）已知点C （-1，0），若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标．【变式训练2】平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x b =+与直线2l ：12y x =交于点()2,P m ． （1）求m ，b 的值；（2）直线()0x n n =≠与直线1l ，2l 分别交于M ，N 两点，当MN ＝3时，若以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标．类型三、一次函数与等腰三角形例1．一次函数的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 0），B （0，1），以AB 为边在第一象限内做等边△ABC ． （1）线段AB 的长是 ，△BAO ＝ °，点C 的坐标是 ；（2）如果在第二象限内有一点P （a ，1），试用含a 的代数式表示四边形ABPO 的面积． （3）在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等腰三角形，请直接写出点M 的坐标．【变式训练1】如图一，已知直线l ：6y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线m 与v 轴交于点(0,2)C -，与直线l 交于点(,1)D t ．（1）求直线m 的解析式；（2）如图二，点P 在直线l 上且在y 轴左侧，过点P 作//PQ y 轴交直线m 于点Q ，交x 轴于点G ，当2PCG QCG S S ∆∆=，求出P ，Q 两点的坐标；（3）将直线l ：6y x =-+向左平移12个单位得到直线n 交x 轴于E 点，点F 是点C 关于原点对称点．过点F 作直线//k x 轴．点M 在直线k 上，写出以点C ，E ，M ，为顶点且CE 为腰的等腰三角形，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．【变式训练2】在如图的平面直角坐标系中，直线n 过点A （0，﹣2），且与直线l 交于点B （3，2），直线l 与y 轴交于点C ．（1）求直线n 的函数表达式；（2）若△ABC 的面积为9，求点C 的坐标；（3）若△ABC 是等腰三角形，求直线l 的函数表达式．【变式训练3】如图，直线1:l y ax a =-，1l 与x 轴交于点B ，直线2l 经过点(4,0)A ，直线1l ，2l 交于点(2,3)C -．（1）a =______；点B 的坐标为______． （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ABC 的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ABP △为等腰三角形，请直接写出P 点的横坐标？类型四、一次函数与直角三角形例1.如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋2的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝13x ＋b 的图象交于点C （－2，m ）． （1）求m 和b 的值；（2）函数y ＝－x ＋b 的图象与x 轴交于点D ，点E 从点D 出发沿DA 向，以每秒2个单位长度匀速运动到点M （到A 停止运动），设点E 的运动时间为t 秒． ①当ΔACE 的面积为12时，求t 的值；②在点E 运动过程中，是否存在t 的值，使ΔACE 为直角三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图1，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，对角线AC BD 、交于点,O P 从B 点出发，沿B DC →→方向匀速运动，P 点运动速度为1cm/s ．图2是点P 运动时，APC △的面积2()cm y 随P 点运动时间()s x变化的函数图像．（1）AB =_______cm,a =_____；（2）P 点在BD 上运动时，x 为何值时，四边形ADCP ； （3）在P 点运动过程中，是否存在某一时刻使得APB △为直角三角形，若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．【变式训练2】在平面直角坐标系xOy 中，将直线2y x =向下平移2个单位后，与一次函数132y x =-+的图象相交于点A ．（1）将直线2y x =向下平移2个单位后对应的解析式为 ； （2）求点A 的坐标；（3）若P 是x 轴上一点，且满足△OAP 是等腰直角三角形，直接写出点P 的坐标．类型五、最值问题例1．如图，将直线34y x=-向上平移后经过点()4,3A，分别交x轴y轴于点B、C．（1）求直线BC的函数表达式；（2）点P为直线BC上一动点，连接OP．问：线段OP的长是否存在最小值？若存在，求出线段OP的最小值，若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图，四边形OABC是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，5OC=，点E在边BC上．（1）若点N的坐标为(3,0)，过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M，将纸片沿直线OE折叠，顶点C恰好落在MN上，并与MN上的点G重合．①求点G、点E的坐标；②若直线:l y mx n=+平行于直线OE，且与长方形ABMN有公共点，请直接写出n的取值范围．（2）若点E为BC上的一动点，点C关于直线OE的对称点为G，连接BG，请求出线段BG的最小值．专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型类型一、面积问题例1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AB 与x 轴交于A 点 （2，0）与y 轴交于点B （0，1）． （1）求直线AB 的解析式；（2）点M （-1，y 1），N （3，y 2）在直线AB 上，比较y 1与y 2的大小. （3）若x 轴上有一点C ，且S △ABC =2，求点C 的坐标 【答案】（1）112y x =-+；（2）y 1＞y 2；（3）()6,0C 或()2,0-． 【解析】（1）解：设直线AB 的解析式为y kx b =+△A （2，0）B （0,1），△201k b b +=⎧⎨=⎩，解得：k =12-，b =12△直线AB 的解析式为112y x =-+ （2）△y ＝﹣12x +1中k ＝﹣12＜0，△y 值随x 值的增大而减小， △﹣1＜3，△y 1＞y 2；（3）△x 轴上有一点C ，设点C （x ，0），△AC ＝|2﹣x |， △S △ABC ＝2，△12×|2﹣x |×1＝2，△x ＝﹣2或x ＝6， △C （﹣2，0）或C （6，0）． 故答案为：（1）112y x =-+；（2）y 1＞y 2；（3）()6,0C 或()2,0-． 【变式训练1】已知一次函数12y kx =+的图象与x 轴交于点(2,0)B -，与正比例函数2y mx =的图象交于点(1,)A a ．（1）分别求k ，m 的值；（2）点C 为x 轴上一动点，如果ABC 的面积是6，请求出点C 的坐标． 【答案】（1）1k =，3m =；（2）点C 的坐标为(2,0)或(6,0)- 【解析】（1）一次函数1=2y kx +的图象与x 轴交于点2,0B -（），220k ∴-+=1k ∴=12y x ∴=+一次函数12y x =+的图象与正比例函数2y mx =的图象交于点(1,)A a ，12a ∴=+，a m =，3m ∴=； （2）设点C 的坐标为(,0)n ，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．ABC 的面积是6，162BC AD ∴⋅=，1|(2)|362n ∴--⨯=，2n ∴=或6n =-∴点C 的坐标为(2,0)或(6,0)-，或过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．ABC 的面积是6，162BC AD ∴⋅=，1362BC ∴⨯=，4BC ∴=，点B 的坐标为(2,0)-，∴点C 的坐标为(2)0，或(60)-，． 【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 为线段DC 上的一个动点．设DP x =，由点,,,A B C P 首尾顺次相接形成图形的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数表达式及x 的取值范围；（2）设（1）中函数图象的两个端点分别为M N 、，且P 为第一象限内位于直线MN 右侧的一个动点，若MNP △正好构成一个等腰直角三角形，请求出满足条件的P 点坐标；（3）在（2）的条件下，若l 为经过(1,0)-且垂直于x 轴的直线，Q 为l 上的一个动点，使得MNQNMPS S=，请直接写出符合条件的点Q 的坐标．【答案】（1）y =-2x +16，0＜x ＜4；（2）（12，12）或（8，20）或（6，14）；（3）（-1，-2）或（-1，8）或（-1，38）或（-1，28）【解析】（1）由线段的和差，得PC =（4-x ），由梯形的面积公式，得y =-2x +16， △四边形ABCD 是正方形，△AB =CD =4，△x 的取值范围是0＜x ＜4； （2）设P 点坐标是（a ，b ），M （0，16），N （4，8），以MN 为边，在MN 右侧做正方形，MNAB ，正方形中心为H ，则易知A ，B ，H 即为所求P 的坐标；示意图如下求得A （12，12），B （8，20），O （6，14），故P 点可能的坐标为（12，12）或（8，20）或（6，14）； （3）由S △MNQ =S △NMP ，设Q （-1，m ），QN 所在直线方程为y =kx +b ， 把Q 和N 代入方程，求得b =845m +，则可求S △NMP =12|16-b |×[4-（-1）]=|36-2m |当P 为（12，12）时，S △MNQ =40，△|36-2m |=40；解得m =-2或38，当P （8，20），同理解得m =-2或38，当P （8，20），有S △MNQ =20，解得m =8或28， 综上，符合条件的Q 的坐标为（-1，-2）或（-1，8）或（-1，38）或（-1，28）．【变式训练3】如图，已知直线1:3l y x =+与过点A （3，0）的直线2l 交于点C （1，m ），且与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ． （1）求直线2l 的解析式；（2）若点D 关于x 轴的对称点为P ，求△PBC 的面积．【答案】（1）-26y x =+；（2）12．【解析】（1）把(1,)C m 代入y ＝x ＋3，得1＋3＝m ，△m ＝4，△(1,4)C设2l 的解析式为：y ＝kx ＋b （k ≠0），将点A ,C 的坐标代入，则430k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得26k b =-⎧⎨=⎩，△2l 的解析式为：-26y x =+（2）当y ＝0时，30x += ，△3x =-，△(3,0)B -， 当x =0时，y =3，△(0,3)D ，△点P 、D 关于x 轴对称，△(0,3)P - ,如图，连接BP ,PC ,设PC 与x 轴的交点为Q ，设直线PC 的解析式为(0)y kx b k =+≠，将点(1,4),(0,3)C P -代入：43k b b +=⎧⎨=-⎩，解得73k b =⎧⎨=-⎩，△直线PC 的解析式为：73y x =-，令y =0，解得37x =， △BPCBQP BQCSSS=+1122c BQ OP BQ y =+1124()712227c BQ OP y =+=⨯⨯=．类型二、一次函数与平行四边形例1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x ，y 轴分别交于点(4,0)A ，(0,3)B ，点C 是直线554y x =-+上的一个动点，连接BC ．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）如图1，若//BC x 轴，求点C 到直线AB 的距离；（3）如图2，点(1,0)E ，点D 是直线AB 上的动点，试探索点C ，D 在运动过程中，是否存在以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C ，D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）334y x =-+；（2）2425；（3）17(2，45)8-、15(2-，69)8或1(2-，45)8、1(2，21)8或17(2，45)8-、15(2，21)8- 【解析】（1）设直线AB 的表达式为y kx b =+，则304b k b =⎧⎨=+⎩，解得343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故AB 的表达式为334y x =-+；（2）//BC x 轴，故点C 的纵坐标为3，当3y =时，即5534y x =-+=，解得85x =，即点C 的坐标为8(5，3)，则85BC =；由点A 、B的坐标得，5AB ==，过点C 作CH AB ⊥于点H ，在△ABC 中，S △ABC =1122BC OB AB CH ⨯⨯=⨯⨯，即18135252CH ⨯⨯=⨯⨯，解得：2425CH =，即点C 到直线AB 的距离为2425；（3）设点C 、D 的坐标分别为5(,5)4m m -+、3(,3)4n n -+，当EB 是对角线时，由中点坐标公式得：01m n +=+且53305344m n +=-+-+，解得172152m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故点C 、D 的坐标分别为17(2，45)8-、15(2-，69)8；当EC 是对角线时，同理可得：1m n +=且5353344m n -+=-++，解得，1212m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故点C 、D 的坐标分别为1(2-，45)8、1(2，21)8；当ED 是对角线时，同理可得：1n m +=且35035344n m -+=-++，解得152172m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点C 、D 的坐标分别为17(2，45)8-、15(2，21)8-．综上，点C 、D 的坐标分别为17(2，45)8-、15(2-，69)8或1(2-，45)8、1(2，21)8或17(2，45)8-、15(2，21)8-．【变式训练1】一次函数y = kx+1（k ≠ 0）的图象过点P （-3，2），与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求k 的值及点A 、B 的坐标；（2）已知点C （-1，0），若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标．【答案】（1）13k =-，与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B （0，1）；（2）D （4，1）或D （2，-1）或D （-4，1）．【解析】（1）将P （-3，2）代入()10y kx k =+≠，得：13k =-函数表达式：113y x =-+，令y =0，x =3，令x =0，y =1，△与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B （0，1）；（2）分三种情况：①BC 为对角线时，点D 的坐标为（-4，1）；②AB 为对角线时，点D 的坐标为（4，1），③AC 为对角线时，点D 的坐标为（2，-1）．综上所述，点D 的坐标是（4，1）或（-4，1）或（2，-1）．【变式训练2】平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x b =+与直线2l ：12y x =交于点()2,P m ． （1）求m ，b 的值；（2）直线()0x n n =≠与直线1l ，2l 分别交于M ，N 两点，当MN ＝3时，若以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标．【答案】（1）13m b ==-,；（2）点Q 的坐标为()2,4，()2,2-或()6,6 【解析】（1）△直线1l ：2y x b =+与直线2l ：12y x =交于点()2,P m ，△4122m b m =+⎧⎪⎨=⨯⎪⎩，△1 3.m b ==-， （2）依题意可得直线1l ：23y x =-，△直线1l 与y 轴的交点为（0，-3） △直线()0x n n =≠与直线1l ，2l 分别交于M ，N 两点， MN ＝3， △M ，N 不是y 轴上的点，设M （x ，2x -3），则N （x ，12x ） 由MN ＝3，得（2x -3）-12x =3，解得x =4，△M （4，5），则N （4，2） △以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，①当MN 为四边形MPNQ 的对角线时，MN 的中点坐标为（4，3.5） 故()2,1P 、Q 关于（4，3.5）对称，△点Q 的坐标为()6,6，②当MN 为四边形MNQP 的一边时，MN =PQ =3，且PQ 与y 轴平行，故点Q 的坐标为()2,4或()2,2- 综上，点Q 的坐标为()2,4，()2,2-或()6,6． 类型三、一次函数与等腰三角形例1．一次函数的图像与x 轴、y 轴分别交于点A0），B （0，1），以AB 为边在第一象限内做等边△ABC ． （1）线段AB 的长是 ，△BAO ＝ °，点C 的坐标是 ；（2）如果在第二象限内有一点P （a ，1），试用含a 的代数式表示四边形ABPO 的面积． （3）在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等腰三角形，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）2，30，C2）；（22a-；（3）（0，-1）或（0，3）【解析】（1）(3A ，0)，(0,1)B ，在Rt AOB ∆中，2AB =，2OB =AB ，可30BAO ∴∠=︒，以AB 为边在第一象限内做等边ABC ∆，60ACB ∠=︒∴，AB AC =，90OAC ∴∠=︒，C ∴2)，故答案为2，30，C 2)；（2）四边形ABPO 的面积BAO =∆的面积OBP +∆的面积1111()222a a =+⨯⨯-=；（3）2AB =，30BAO ∠=︒，60OBA ∴∠=︒，①当AB BM =时，2BM =，(0,1)M -或(0,3)M ；②当AB AM =时，ABM ∆是等边三角形，M ∴与B 关于x 轴对称，(0,1)M ∴-； ③当BM AM =时，ABM ∆是等边三角形，M ∴与B 关于x 轴对称，(0,1)M ∴-； 综上所述：MAB ∆为等腰三角形时，M 点坐标为(0,1)-或(0,3)．【变式训练1】如图一，已知直线l ：6y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线m 与v 轴交于点(0,2)C -，与直线l 交于点(,1)D t ．（1）求直线m 的解析式；（2）如图二，点P 在直线l 上且在y 轴左侧，过点P 作//PQ y 轴交直线m 于点Q ，交x 轴于点G ，当2PCG QCG S S ∆∆=，求出P ，Q 两点的坐标；（3）将直线l ：6y x =-+向左平移12个单位得到直线n 交x 轴于E 点，点F 是点C 关于原点对称点．过点F 作直线//k x 轴．点M 在直线k 上，写出以点C ，E ，M ，为顶点且CE 为腰的等腰三角形，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来． 【答案】（1）直线m 的解析式为325y x =-；（2）P 点的坐标为（-10，16），Q 点坐标为（-10，-8）；（3）当CE 为腰时，点M 的坐标为：M （2）或M （-2）或M （0，2）．过程见解析． 【解析】（1）△D （t ，1）在直线l ：y =-x +6上，△1=-t +6，△t =5，△D （5，1），设直线m 的解析式为y =kx +b ，将点C ，D 代入得，512k b b +=⎧⎨=-⎩，解得，352k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以，直线m 的解析式为325y x =-； （2）设P （a ，6-a ），△点P 在x 轴的左侧，△0a < △PQ △轴，G （a ，0），Q （a ，325a -），如图，点P 、Q 在x 轴两侧，△S △PCG =12PG •（-a ），S △QCG =12GQ •(-a )且S △PCG =2S △QCG ， △PG =2QG ，△6-a =2（2-35a ），解得：a =-10， △66(10)16a -=--=，332(10)2855a -=⨯--=-△P 点的坐标为（-10，16），Q 点坐标为（-10，-8）；（3）对于直线l ：y =-x +6，当x =0时，y =6；当y =0时，x =6．△A （6，0），B （0，6），△将直线l ：y =-x +6向左平移12个单位得直线n 交x 轴于点E ，点F 是点C 关于原点的对称点．点C （0，-2）， △E （-6，0），F （0，2）， 如图，△将直线l ：y =-x +6向左平移12个单位得直线n ，△直线n ：y =-x -6， 又△F （0，2）△k 的解析式为：y =2，设M （a ，2），则MCME，CE ，当△MCE 为等腰三角形，且CE 为腰，有：①CE =MCa =a =-M （2）．M （-2）， ②ME =CE解得，a =0或a =-12（此时三点共线，不构成三角形，舍去），即M （0，2），综上，当CE 为腰时，点M 的坐标为：M （2）或M （-2）或M （0，2）．【变式训练2】在如图的平面直角坐标系中，直线n 过点A （0，﹣2），且与直线l 交于点B （3，2），直线l 与y 轴交于点C ．（1）求直线n 的函数表达式；（2）若△ABC 的面积为9，求点C 的坐标；（3）若△ABC 是等腰三角形，求直线l 的函数表达式．【答案】（1）y ＝43x ﹣2；（2）C （0，4）或（0，﹣8）；（3）直线l 的解析式为：y ＝﹣13x +3或y ＝3x ﹣7或y ＝﹣43x +6或y ＝724x +98 【解析】（1）设直线n 的解析式为：y ＝kx +b ，△直线n ：y ＝kx +b 过点A （0，﹣2）、点B （3，2），△232b k b =-⎧⎨+=⎩ ，解得：432k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ，△直线n 的函数表达式为：y ＝43x ﹣2； （2）△△ABC 的面积为9，△9＝12•AC •3，△AC ＝6， △OA ＝2，△OC ＝6﹣2＝4或OC ＝6+2＝8，△C （0，4）或（0，﹣8）； （3）分四种情况：①如图1，当AB ＝AC 时，△A （0，﹣2），B （3，2），△AB 22(22)＝5，△AC ＝5，△OA ＝2，△OC ＝3，△C （0，3），设直线l 的解析式为：y ＝mx +n ，把B （3，2）和C （0，3）代入得：323m n n +=⎧⎨=⎩ ，解得：133m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ，△直线l 的函数表达式为：y ＝13-x +3； ②如图2，AB ＝AC ＝5，△C （0，﹣7），同理可得直线l 的解析式为：y ＝3x ﹣7； ③如图3，AB ＝BC ，过点B 作BD △y 轴于点D ，△CD ＝AD ＝4，△C （0，6），同理可得直线l 的解析式为：y ＝43-x +6； ④如图4，AC ＝BC ，过点B 作BD △y轴于D ，设AC ＝a ，则BC ＝a ，CD ＝4﹣a ，根据勾股定理得：BD 2+CD 2＝BC 2，△32+（4﹣a ）2＝a 2，解得：a ＝258， △OC ＝258﹣2＝98 ，△C （0，98），同理可得直线l 的解析式为：y ＝724x +98； 综上，直线l 的解析式为：y ＝13-x +3或y ＝3x ﹣7或y ＝43-x +6或y ＝724x +98． 【变式训练3】如图，直线1:l y ax a =-，1l 与x 轴交于点B ，直线2l 经过点(4,0)A ，直线1l ，2l 交于点(2,3)C -．（1）a =______；点B 的坐标为______． （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ABC 的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ABP △为等腰三角形，请直接写出P 点的横坐标？【答案】（1）3a =-，()10B ,；（2）362y x =-；（3）92；（4）52，2813【解析】（1）△直线1:l y ax a =-经过点(2,3)C -，32a a ∴-=-，解得：3a =-；即直线1:l y ax a =-的解析式为33y x =-+；当y =0时，-3x +3=0，解得1x =，则()10B ,；故答案为：-3，（1,0）；（2）设直线2l 的解析式为:y kx b =+， △经过点()4,0A 和点(2,3)C -，△0432k b k b=+⎧⎨-=+⎩，解得：32k ，6b =-．△直线2l 的解析式为：362y x =-； （3）设ABC 的面积的面积为ABC S ；则413AB =-=，ABC 的高为3，则193322ABCS=⨯⨯=； （4）存在，设点P 的坐标为（x ，362x ），分三种情况： ①当AP=BP 时，点P 在线段AB 的垂直平分线上，△A （4,0），B （1,0），△点P 的横坐标为：41522+=； ②当AP=AB =3时，过点P 作PH △x 轴于点H ，△222PH AH AP +=，△2223(6)(4)32x x -+-=，解得x③当AB=BP =3时，作PM △x 轴于点M ， △222PM BM BP +=，△2223(6)(1)32x x -+-=，解得x =2813或x =4（舍去）；综上，符合条件的P 点的横坐标是52，2813，5213± 类型四、一次函数与直角三角形例1.如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋2的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝13x ＋b 的图象交于点C （－2，m ）． （1）求m 和b 的值；（2）函数y ＝－x ＋b 的图象与x 轴交于点D ，点E 从点D 出发沿DA 向，以每秒2个单位长度匀速运动到点M （到A 停止运动），设点E 的运动时间为t 秒． ①当ΔACE 的面积为12时，求t 的值；②在点E 运动过程中，是否存在t 的值，使ΔACE 为直角三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）m =4，b =143；（2）①t =5；②t ＝4或t ＝6 【解析】（1）△点C （−2，m ）在直线y ＝−x ＋2上， △m ＝−（−2）＋2＝2＋2＝4，△点C （−2，4）， △函数y ＝13x ＋b 的图象过点C （−2，4），△4＝13×（−2）＋b ，得b =143，即m 的值是4，b 的值是143； （2）①△函数y ＝−x ＋2的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，△点A （2，0），点B （0，2）， △函数y ＝13x ＋143的图象与x 轴交于点D ，△点D 的坐标为（−14，0），△AD ＝16， △△ACE 的面积为12，△(16−2t )×4÷2＝12，解得，t ＝5．即当△ACE 的面积为12时，t 的值是5； ②当t ＝4或t ＝6时，△ACE 是直角三角形，理由：当△ACE ＝90°时，AC △CE ， △点A （2，0），点B （0，2），点C （−2，4），点D （−14，0），△OA ＝OB ，AC ＝，△△BAO ＝45°，△△CAE ＝45°，△△CEA ＝45°，△CA ＝CE ＝，△AE ＝8， △AE ＝16−2t ，△8＝16−2t ，解得，t ＝4；当△CEA ＝90°时，△AC ＝，△CAE ＝45°，△AE ＝4， △AE ＝16−2t ，△4＝16−2t ，解得，t ＝6；由上可得，当t ＝4或t ＝6时，△ACE 是直角三角形．【变式训练1】如图1，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，对角线AC BD 、交于点,O P 从B 点出发，沿B DC →→方向匀速运动，P 点运动速度为1cm/s ．图2是点P 运动时，APC △的面积2()cm y 随P 点运动时间()s x变化的函数图像．（1）AB =_______cm,a =_____；（2）P 点在BD 上运动时，x 为何值时，四边形ADCP； （3）在P 点运动过程中，是否存在某一时刻使得APB △为直角三角形，若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2；（2；（3或1【解析】（1）在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，则ABC ∆、ACD ∆为全等的两个等边三角形，设ABC ∆的边长为a，则其面积为24a ， 由图2知，当点P 在点A 时，y ABC =∆的面积2=，解得2a =（负值已舍去）， 即菱形的边长为2，则2()AB cm =，由题意知，点P 与点O 重合时，对于图2的a 所在的位置，则1AO =，故a BO ====2（2）由（1）知点P 在BO 段运动时，对于图2第一段直线，而该直线过点、0)，设其对应的函数表达式为y kx t =+，则0t t ⎧=⎪+=，解得1k t =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故该段函数的表达式为=-+y x ，当点P 在BD 上运动时，四边形ADCP，则点P 只能在BO 上，则四边形ADCP 的面积ACD S y ∆=+=x x =；（3）存在，理由：由（1）知，菱形的边长为2，则BP =1AO =，过点A 作AP DC ''⊥于点P ''交BD 于点P '，ABC ∆、ACD ∆均为等边三角形，则30PAP DAP ∠'=∠''=︒，①当点P 和点O 重合时，APB ∠为直角，则x BP ==②当BAP ∠'为直角时，则同理可得：PP '=x BP PP =+'=；③当BAP ∠''为直角时，则112x BD DP AD =+''=+=，综上，x 或1． 【变式训练2】在平面直角坐标系xOy 中，将直线2y x =向下平移2个单位后，与一次函数132y x =-+的图象相交于点A ．（1）将直线2y x =向下平移2个单位后对应的解析式为 ； （2）求点A 的坐标；（3）若P 是x 轴上一点，且满足△OAP 是等腰直角三角形，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）22y x =-；（2）（2，2）；（3）（2，0）或（4，0）．【解析】（1）根据题意，得22y x =-；故答案为：22y x =-．（2）由题意得：22132y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：22x y =⎧⎨=⎩，△点A 的坐标为（2，2）； （3）如图所示，△P 是x 轴上一点，且满足△OAP 是等腰直角三角形，当OA =OP 时，P 点坐标为（4，0），当OP =AP 时，P 点坐标为（2，0）， 综上，P 点的坐标为：（2，0）或（4，0）． 类型五、最值问题 例1．如图，将直线34y x =-向上平移后经过点()4,3A ，分别交x 轴y 轴于点B 、C ．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）点P 为直线BC 上一动点，连接OP ．问：线段OP 的长是否存在最小值？若存在，求出线段OP 的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）364y x =-+；（2）存在，线段OP 的最小值为4.8．【解析】（1）设平移后的直线BC 的解析式为34y x b =-+，代入()4,3A 得3344b =-⨯+，解得6b = △直线BC 的解析式为364y x =-+； （2）存在，理由如下：令x =0，得y =6，△C （0，6），故OC =6令y =0，得x =8，△B （8，0）故OB =8△BC 10= △OP △BC 时，线段OP 最小， △S △ABC =12BO CO ⨯=12BC OP ⨯，△OP = 4.8BO COBC⨯=，即线段OP 的最小值为4.8． 【变式训练1】如图，四边形OABC 是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，5OC =，点E 在边BC 上．（1）若点N 的坐标为(3,0)，过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M ，将纸片沿直线OE 折叠，顶点C 恰好落在MN 上，并与MN 上的点G 重合． ①求点G 、点E 的坐标；②若直线:l y mx n =+平行于直线OE ，且与长方形ABMN 有公共点，请直接写出n 的取值范围． （2）若点E 为BC 上的一动点，点C 关于直线OE 的对称点为G ，连接BG ，请求出线段BG 的最小值．【答案】（1）①G （3，4），E （53，5）；②-15≤n ≤-4；（2）5【解析】（1）由折叠的性质可知，OG =OC =5，由勾股定理得，GN 4=， △点G 的坐标为（3，4）；设CE =x ，则EM =3-x ，由折叠的性质可知：EG =CE =x ， △GN =4，△GM =5-4=1，在Rt △EMG 中，222EG EM MG =+，即()22231x x =-+，解得：x =53， △点E 的坐标为（53，5）；设OE所在直线的解析式为：y=kx，则53k=5，解得，k=3，△OE所在直线的解析式为：y=3x，△直线l：y=mx+n平行于直线OE，△m=3，即直线l的解析式为y=3x+n，当直线l经过点M（3，5）时，5=3×3+n，解得，n=-4，当直线l经过点A（5，0）时，0=3×5+n，解得，n=-15，△直线l与长方形ABMN有公共点时，-15≤n≤-4；（3）连接OB，OG，△OC=BC=5，△OCB=90°，△BC OC=△点C关于直线OE的对称点为点G，△OC=OG=5，△BG≥OB-OG，△当O、B、G三点共线时，BG取得最小值，△BG的最小值为5．。
北师大版数学八年级上学期期末备考压轴题培优：一次函数(含答案)
期末备考压轴题培优：一次函数1．【模型建立】（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△CDA≌△BEC．【模型运用】（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式．【模型迁移】如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P 为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．证明：【模型建立】（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠D＝∠E＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，且CA＝BC，∠D＝∠E＝90°∴△CDA≌△BEC（AAS）【模型运用】（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E∵直线y＝x+4与坐标轴交于点A、B，∴A（﹣3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，由（1）得△BOA≌△AED，∴DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，∴OE＝7，∴D（﹣7，3）设l2的解析式为y＝kx+b，得解得∴直线l2的函数表达式为：【模型迁移】（3）若点P在x轴正半轴，如图3，过点B作BE⊥OC，∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC∴BC＝4，∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，∴AP＝BP，∠APB＝30°，∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC，∴∠OAP＝∠BPC，且∠OAC＝∠PCB＝30°，AP＝BP，∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4，∴点P（4，0）若点P在x轴负半轴，如图4，过点B作BE⊥OC，∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC∴BC＝4，∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，∴AP＝BP，∠APB＝30°，∵∠APE+∠BPE＝30°，∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC，∴∠APE＝∠PBC，∵∠AOE＝∠BCO＝30°，∴∠AOP＝∠BCP＝150°，且∠APE＝∠PBC，P A＝PB ∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4，∴点P（﹣4，0）综上所述：点P坐标为（4，0）或（﹣4，0）2．如图在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和射线AC上运动．（1）求直线AB的函数关系式；（2）求△OAB的面积；（3）是否存在点M，使△OMC的面积与△OAB的面积相等？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得：．则直线的解析式是：y＝﹣x+6；（2）∵y＝﹣x+6，当y＝0时，x＝6，∴B（0，6），∴OB＝6，∴△OAB的面积＝×6×2＝6；（3）存在点M，使△OMC的面积与△OAB的面积相等，理由如下：如图所示：设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2，解得：m＝．则直线的解析式是：y＝x，∵点C（0，6），∴OC＝6，∴OB＝OC＝6，∵△OMC的面积与△OAB的面积相等，∴M到y轴的距离＝点A的纵坐标2，∴点M的横坐标为2或﹣2；当M的横坐标为2时，在y＝x中，当x＝2时，y＝1，则M的坐标是（2，1）；在y＝﹣x+6中，当x＝2则y＝4，则M的坐标是（2，4）．则M的坐标为（2，1）或（2，4）．当M的横坐标为﹣2时，在y＝﹣x+6中，当x＝﹣2时，y＝8，则M的坐标是（﹣2，8）．综上所述：点M的坐标为：（2，1）或（2，4）或（﹣2，8）．3．如图，直线MN与x轴、y轴分别交于A、C两点，分别过A、C两点作x轴、y轴的垂线相交于B点，且OA、OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根．（1）求A、C两点的坐标．（2）求直线MN的表达式．（3）在直线MN上存在点P，使以点P、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．解：（1）∵x2﹣14x+48＝0，解得：x1＝6，x2＝8．∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根，∴OC＝6，OA＝8．∴A（8，0），C（0，6）；（2）设直线MN的解析式是y＝kx+b（k≠0）．由（1）知，A（8，0），C（0，6），∵点A、C都在直线MN上，∴，解得：，∴直线MN的解析式为y＝﹣x+6；（3）∵A（8，0），C（0，6），过A、C两点作x轴、y轴的垂线相交于B点，∴B（8，6）．∵点P在直线MNy＝﹣x+6上，∴设P（a，﹣a+6），当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况讨论：如图所示：①当PC＝PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P（4，3）；②当PC＝BC时，a2+（﹣a+6﹣6）2＝82，解得：a＝±，则P（﹣，）或（，）；③当PB＝BC时，（a﹣8）2+（a﹣6+6）2＝64，解得：a＝，则﹣a+6＝﹣，∴P（，﹣）．综上所述，P点的坐标为（4，3）或（﹣，）或（，）或（，﹣）．4．如图，直线y＝2x+4分别与x轴，y轴交于B，A两点（1）求△ABO 的面积；（2）如果在第三象限内有一点P （﹣1，m ），请用含m 的式子表示四边形AOPB 的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使四边形AOPB 的面积是△ABO 面积的2倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）当x ＝0时，y ＝4，∴OA ＝4，当y ＝0时，2x +4＝0，x ＝﹣2，∴OB ＝2，∴△ABO 的面积＝＝＝4；（2）四边形AOPB 的面积＝S △AOB +S △BOP ＝4+＝4﹣m ；（3）存在满足条件的点P ．∵S 四边形AOPB ＝2S △ABO ，∴4﹣m ＝8，∴m ＝﹣4，∴存在点P （﹣1，﹣4），使得S 四边形ABOP ＝2S △ABO ．5．如图，直线y ＝kx +6与x 轴、y 轴分别相交于点E 、F ，点E 的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0），点P是直线EF上的一个动点．（1）求k的值；（2）点P在第二象限内的直线EF上的运动过程中，写出△OP A的面积S与x的函整表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究，当点P在直线EF上运动到时，△OP A的面积可能是15吗，若能，请求出点P的坐标；若不能，说明理由．解：（1）点E的坐标为（﹣8，0），且在直线y＝kx+6上，则﹣8k+6＝0，解得，；（2）∵点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，∴，∴；（3）当点P在x轴的上方时，由题意得，＝15，整理，得，解得，，则．此时点P的坐标是；当点P在x轴的下方时，y＝﹣5，此时综上所述，△OP A的面积是15时，点P的坐标为或．6．如图，A，B是直线y＝x+4与坐标轴的交点，直线y＝﹣2x+b过点B，与x轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）点D是折线A﹣B﹣C上一动点．①当点D是AB的中点时，在x轴上找一点E，使ED+EB的和最小，用直尺和圆规画出点E的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求E点的坐标．②是否存在点D，使△ACD为直角三角形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）在y＝x+4中，令x＝0，得y＝4，令y＝0，得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．把B（0，4）代入y＝﹣2x+b，得b＝4∴直线BC为：y＝﹣2x+4．在y＝﹣2x+4中，令y＝0，得x＝2，∴C点的坐标为（2，0）；（2）①如图∵点D是AB的中点，A（﹣4，0），B（0，4）．∴D（﹣2，2）．点B关于x轴的对称点B1的坐标为（0，﹣4）．设直线D B1的解析式为y＝kx+b．把D（﹣2，2），B1（0，﹣4）代入，得．解得k＝﹣3，b＝﹣4．故该直线方程为：y＝﹣3x﹣4．令y＝0，得E点的坐标为（，0）．②存在，D点的坐标为（﹣1，3）或（，）．附：当点D在AB上时，由OA＝OB＝4得到：∠BAC＝45°，由等腰直角三角形求得D 点的坐标为（﹣1，3）；当点D在BC上时，如图，设AD交y轴于点F．在△AOF与△BOC中，∴△AOF≌△BOC（ASA）．∴OF＝OC＝2，∴点F的坐标为（0，2），易得直线AD的解析式为，与y＝﹣2x+4组成方程组，解得．∴交点D的坐标为（，）．7．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，其坐标为（0，4），x轴上的一动点P从原点O出发，沿x轴正半轴方向运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．（1）填空：当t＝2时，点B的坐标为（6，2）．（2）在P点的运动过程中，当AB∥x轴时，求t的值；（3）通过探索，发现无论P点运动到何处，点B始终在一直线上，试求出该直线的函数解析式．解：（1）将点P的坐标向右平移2个单位到达点O，此时，点A的坐标为：（﹣2，4），将点A围绕点O顺时针旋转90°，此时点B的坐标为：（4，2），将点B的坐标向右平移2个单位，即为此时的点B（6，2），故答案为：（6，2）；（2）过点B作BC⊥x轴于点C，如图所示．∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，∴四边形ABCO为长方形，∴AO＝BC＝4．∵△APB为等腰直角三角形，∴AP＝BP，∠P AB＝∠PBA＝45°，∴∠OAP＝90°﹣∠P AB＝45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA＝OP＝4，t＝4÷1＝4（秒）；（3）∵△APB为等腰直角三角形，∴∠APO+∠BPC＝180°﹣90°＝90°．又∵∠P AO+∠APO＝90°，∴∠P AO＝∠BPC．∠P AO＝∠BPC，在△P AO和△BPC中，∠AOP＝∠PCB＝90°，∴△P AO≌△BPC（AAS）．AP＝BP，∴AO＝PC，BC＝PO．∵点A（0，4），点P（t，0），点B（x，y），∴PC＝AO＝4，BC＝PO＝t＝y，CO＝PC+PO＝4+y＝x，∴y＝x﹣4．8．【模型建立】（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A 作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；【模型应用】（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A 逆时针旋转45°至直线l2；求直线l2的函数表达式；（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y 轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．解：（1）如图1所示：∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC＝180°，∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BEC＝90°，又∵∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△CDA和△BEC中，，∴△CDA≌△BEC（AAS）；（2）过点B作BC⊥AB交AC于点C，CD⊥y轴交y轴于点D，如图2所示：∵CD⊥y轴，x轴⊥y轴，∴∠CDB＝∠BOA＝90°，又∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，又∵∠ABO+∠ABC+∠CBD＝180°，∴∠ABO+∠CBD＝90°，又∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠BAO＝∠CBD，又∵∠BAC＝45°，∴∠ACB＝45°，∴AB＝CB，在△ABO和∠BCD中，，∴△ABO≌∠BCD（AAS），∴AO＝BD，BO＝CD，又∵直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），∴AO＝2，BO＝3，∴BD＝2，CD＝3，∴点C的坐标为（﹣3，5），设l2的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），点A、C两点在直线l2上，依题意得：，解得：，∴直线l2的函数表达式为y＝﹣5x﹣10；（3）能成为等腰直角三角形，依题意得，①若点P为直角时，如图3甲所示：设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4+m，∵∠CPD＝90°，CP＝PD，∠CPM+∠CDP+∠PDH＝180°，∴∠CPM+∠PDH＝90°，又∵∠CPM+∠DPM＝90°，∴∠PCM＝∠PDH，在△MCP和△HPD中，，∴△MCP≌△HPD（AAS），∴CM＝PH，PM＝PD，∴点D的坐标为（7+m，﹣3+m），又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，∴﹣2（7+m）+1＝﹣3+m，解得：m＝﹣，即点D的坐标为（，﹣）；②若点C为直角时，如图3乙所示：设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4+n，CA＝CD，同理可证明△PCM≌△CDH（AAS），∴PM＝CH，MC＝HD，∴点D的坐标为（4+n，﹣7），又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，∴﹣2（4+n）+1＝﹣7，解得：n＝0，∴点P与点A重合，点M与点O重合，即点D的坐标为（4，﹣7）；③若点D为直角时，如图3丙所示：设点P的坐标为（3，k），则PB的长为4+k，CD＝PD，同理可证明△CDM≌△PDQ（AAS），∴MD＝PQ，MC＝DQ，∴点D的坐标为（4+K，﹣3+K），又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，∴﹣2（4+K）+1＝﹣3+K，解得：k＝﹣，∴点P与点A重合，点M与点O重合，即点D的坐标为（，﹣）；综合所述，点D的坐标为（，﹣）或（4，﹣7）或（，﹣）．9．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B 的直线交x轴于点C，且AB＝BC．（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC延长线上一点，且AP＝CQ，PQ交x轴于N，设点Q横坐标为m，△PBQ的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点M在y轴负半轴上，且MP＝MQ，若∠BQM＝45°，求直线PQ的解析式．解：（1）∵直线y＝2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点B（0，8），点A（﹣4，0）∴AO＝4，BO＝8，∵AB＝BC，BO⊥AC，∴AO＝CO＝4，∴点C（4，0），设直线BC解析式为：y＝kx+b，由题意可得：解得：∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+8；（2）如图1，过点P作PG⊥AC，PE∥BC交AC于E，过点Q作HQ⊥AC，∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA，∵点Q横坐标为m，∴点Q（m，﹣2m+8）∴HQ＝2m﹣8，CH＝m﹣4，∵AP＝CQ，∠BAC＝∠BCA＝∠QCH，∠AGP＝∠QHC＝90°，∴△AGP≌△CHQ（AAS），∴AG＝HC＝m﹣4，PG＝HQ＝2m﹣8，∵PE∥BC，∴∠PEA＝∠ACB，∠EPF＝∠CQF，∴∠PEA＝∠P AE，∴AP＝PE，且AP＝CQ，∴PE＝CQ，且∠EPF＝∠CQF，∠PFE＝∠CFQ，∴△PEF≌△QCF（AAS）∴S△PEF ＝S△QCF，∴△PBQ的面积＝四边形BCFP的面积+△CFQ的面积＝四边形BCFP的面积+△PEF的面积＝四边形PECB 的面积，∴S ＝S △ABC ﹣S △P AE ＝×8×8﹣×（2m ﹣8）×（2m ﹣8）＝16m ﹣2m 2； （3）如图2，连接AM ，CM ，过点P 作PE ⊥AC ，∵AB ＝BC ，BO ⊥AC ，∴BO 是AC 的垂直平分线，∴AM ＝CM ，且AP ＝CQ ，PM ＝MQ ，∴△APM ≌△CQM （SSS ）∴∠P AM ＝∠MCQ ，∠BQM ＝∠APM ＝45°，∵AM ＝CM ，AB ＝BC ，BM ＝BM ，∴△ABM ≌△CBM （SSS ）∴∠BAM ＝∠BCM ，∴∠BCM ＝∠MCQ ，且∠BCM +∠MCQ ＝180°，∴∠BCM ＝∠MCQ ＝∠P AM ＝90°，且∠APM ＝45°， ∴∠APM ＝∠AMP ＝45°，∴AP ＝AM ，∵∠P AO +∠MAO ＝90°，∠MAO +∠AMO ＝90°，∴∠P AO ＝∠AMO ，且∠PEA ＝∠AOM ＝90°，AM ＝AP ， ∴△APE ≌△MAO （AAS ）∴AE ＝OM ，PE ＝AO ＝4，∴2m ﹣8＝4，∴m ＝6，∴Q（6，﹣4），P（﹣2，4）设直线PQ的解析式为：y＝ax+c，∴解得：∴直线PQ的解析式为：y＝﹣x+2．10．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，再将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合、直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．（1）点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，4）；（2）在直线AB上是否存在点P使得△APO的面积为12？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）求OC的长度．解：（1）令x＝0，则y＝4，∴B（0，4），令y＝0，则0＝﹣x+4，∴x＝8，∴A（8，0），故答案为：（8，0），（0，4）；（2）设点P（x，﹣x+4）∵△APO的面积为12，∴12＝×8×|﹣x+4|∴x＝2或14，∴点P（2，3）或（14，3）（3）设点C（a，0），则OC＝a，∴AC＝8﹣a，由折叠知，BC＝AC＝8﹣a，在Rt△BOC中，OB＝4，根据勾股定理得，BC2﹣OC2＝OB2，∴（8﹣a）2﹣a2＝16，∴a＝3，即：OC＝3，11．如图，已知直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．（1）将△ABC沿B′D对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的关系；（2）若在x轴上存在点P，使△ADP为等腰三角形，求出符合条件的点P坐标．解：（1）令y＝0，则﹣x+3＝0，解得x＝2，∴A（2，0），令x＝0，则y＝3，∴C（0，3）；由折叠可知：CD＝AD，设AD＝x，则CD＝x，BD＝3﹣x，由题意得，（3﹣x）2+22＝x2，解得x＝，此时AD＝，∴D（2，），设直线CD为y＝kx+3，把D（2，）代入得＝2k+3，解得k＝﹣，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3；（2）∵A（2，0），D（2，），∴AD＝．∵∠DAP＝90°，∴△ADP是等腰直角三角形，∴当AD＝AP＝时，P点的坐标是（﹣，0）或（，0）．12．如图1，在平画直角坐标系中，直线交x轴于点E，交y轴于点A，将直线y ＝﹣2x﹣7沿x轴向右平移2个单位长度交x轴于D，交y轴于B，交直线AE于C．＝22；（1）直接写出直线BD的解析式为y＝﹣2x﹣3，S△ABC（2）在直线AE上存在点F，使BA是△BCF的中线，求点F的坐标；（3）如图2，在x轴正半轴上存在点P，使∠PBO＝2∠P AO，求点P的坐标．解：（1）直线y＝﹣2x﹣7沿x轴向右平移2个单位长度后，所得直线方程为y＝﹣2（x ﹣2）﹣7＝﹣2x﹣3．则直线BD的解析式为y＝﹣2x﹣3．解方程组，得，∴C（﹣4，5）．在中，令x＝0，得y＝8，∴A（0，8）．在y＝﹣2x﹣3中，令x＝0，得y＝﹣3，∴B（0，﹣3）．∴AB＝11，＝×11×4＝22．∴S△ABC故答案是：y＝﹣2x﹣3，22．（2）如图1，作CG⊥y轴于G，FH⊥y轴于H，∴CG＝4，∠CGA＝∠FHA＝90°，∵BA为△BCF的中线，∴CA＝F A，∵∠CAG＝∠F AH，∴△CAG≌△F AH（AAS），∴FH＝CG＝4，在中，当x＝4时，y＝11，∴F（4，11）．（3）由（1）知A（0，8），B（0，﹣3），∴OA＝8，OB＝3．如图2，在y轴正半轴上取一点Q，使OQ＝OB＝3，∵∠POB＝90°，∴PQ＝PB，∴∠PBO＝∠PQO＝∠P AO+∠APQ，∵∠PBO＝2∠P AO，∴∠P AO＝∠APQ，∴PQ＝AQ＝5，∴OP＝4，∴P（4，0）．13．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．（1）求点A、点B、点C的坐标，并求出△COB的面积；（2）若直线l2上存在点P（不与B重合），满足S△COP ＝S△COB，请求出点P的坐标；（3）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，则点A、B 的坐标分别为（6，0）、（0，3），联立式y＝x，y＝﹣x+3并解得：x＝2，故点C（2，2）；△COB的面积＝×OB×x C＝×3×2＝3；（2）设点P（m，﹣m+3），S△COP ＝S△COB，则BC＝PC，则（m﹣2）2+（﹣m+3﹣2）2＝22+12＝5，解得：m＝4或0（舍去0），故点P（4，1）；（3）设点M、N、Q的坐标分别为（m，m）、（m，3﹣m）、（0，n），①当∠MQN＝90°时，∵∠GNQ+∠GQN＝90°，∠GQN+∠HQM＝90°，∴∠MQH＝∠GNQ，∠NGQ＝∠QHM＝90°，QM＝QN，∴△NGQ≌△QHM（AAS），∴GN＝QH，GQ＝HM，即：m＝3﹣m﹣n，n﹣m＝m，解得：m＝，n＝；②当∠QNM＝90°时，则MN＝QN，即：3﹣m﹣m＝m，解得：m＝，n＝yN＝3﹣＝；③当∠NMQ＝90°时，同理可得：n＝；综上，点Q的坐标为（0，）或（0，）或（0，）．14．在平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b经过点P（2，2）和点Q（0，﹣2），与x轴交于点A，与直线y2＝mx+n交于点P．（1）求出直线y1＝kx+b的解析式；（2）当m＜0时，直接写出y1＜y2时自变量x的取值范围；（3）直线y2＝mx+n绕着点P任意旋转，与x轴交于点B，当△P AB是等腰三角形时，点B有几种位置？请你分别求出点B的坐标．解：（1）把P（2，2）和点Q（0，﹣2）分别代入y1＝kx+b，得．解得．则直线y1＝kx+b的解析式为：y1＝2x﹣2；（2）如图所示，P（2，2）．所以，当x＜2时，y1＜y2．（3）解：过点P作PM⊥x轴，交于点M．由题意可知A（1，0），M（2，0），AP＝，AM＝1当m＞0时，点B有3种位置使得△P AB为等腰三角形①当AP＝AB时，AB＝，∴B（+1，0）②当P A＝PB时，AB＝2AM＝2，∴B（3，0）③当BA＝BP时，设AB＝x，由等面积法可得S△ABP＝2x＝解得x＝2.5，∴B（3.5，0）当m＜0时，点B有1种位置使得△P AB为等腰三角形．当AB＝AP时，OB＝﹣1，∴B（1﹣，0）．综上所述，点B有4种位置使得△P AB为等腰三角形，坐标分别为（+1，0）、（3，0）、（3.5，0）、（1﹣，0）．15．阅读下列两则材料，回答问题，材料一：定义直线y＝ax+b与直线y＝bx+a互为“互助直线”，例如，直线y＝x+4与直y ＝4x+1互为“互助直线”；材料二：对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），P1、P2两点间的直角距离d（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．如：Q1（﹣3，1）、Q2（2，4）两点间的直角距离为d（Q1，Q2）＝|﹣3﹣2|+|1﹣4|＝8；材料三：设P0（x0，y0）为一个定点，Q（x，y）是直线y＝ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y＝ax+b的直角距离．（1）计算S（﹣1，6），T（﹣2，3）两点间的直角距离d（S，T）＝4；（2）直线y＝﹣2x+3上的一点H（a，b）又是它的“互助直线”上的点，求点H的坐标．（3）对于直线y＝ax+b上的任意一点M（m，n），都有点N（3m，2m﹣3n）在它的“互助直线”上，试求点L（5，﹣1）到直线y＝ax+b的直角距离．解：（1）d（S，T）＝|﹣1+2|+|6﹣3|＝4，故答案为4；（2）直线y＝﹣2x+3上的“互助直线”为：y＝3x﹣2，设点H（a，﹣2a+3），将点H坐标代入y＝3x﹣2得：﹣2a+3＝3a﹣2，解得：a＝1，故点H（1，1）；（3）M（m，n）在y＝ax+b上，则n＝am+b…①，点N在“互助直线”y＝bx+a上，则2m﹣3n＝3bm+a…②，联立①②并整理得：m（2﹣3a﹣3b）＝a+3b，对于任意一点M（m，n）都等式均成立，故：a+3b＝0，2﹣3a﹣3b＝0，解得：a＝1，b＝﹣，故函数的表达式为：y＝x﹣，设点P（x，x﹣）是函数上的点d（L，P）＝|5﹣x|+|x﹣+1|＝|x﹣5|+|x+|，则d（L，P）的最小值为5．。
专题07 一次函数的应用(铅锤法求面积)(解析版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册北师大版)
专题07一次函数的应用（铅锤法求面积）【方法说明】常规图形中：平面直角坐标系中：()1212ABC S BD d d =+ ()1212ABC S BD y y =+ ()1212ABC S BD x x =+ (1)A 、B 两点坐标分别为________，________；(2)点(3,0)M 在x 轴上，若点P 是直线AB 上的一个动点，当标．【答案】(1)(2,0)，(0,3)；(2)(4,3)-或(4,9)-【分析】（1）根据直线332y x =-+，令0y =求出B 的坐标；（2）分类讨论：点P 在x 轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件，列出方程，利用方程求得点P 的坐标即可．【详解】（1）解：对于直线332y x =-+，当0x =时，3y =．12PBM PAM ABM S S S =+=△△△∴3P y =，∵点P 在x 轴下方，∴3P y =-，当=3y -时，代入32y =-解得4x =．∴3(4,)P -；②当点P 在x 轴上方时，12PBM APM ABM S S S =-=△△△∴9P y =，∵点P 在x 轴上方，∴9P y =．(1)求A B ，两点的坐标；(2)求C 点坐标及b 的值；(3)如图2，直线BC 交y 轴于点D ，在直线BC 上取一点E ，使AE AC ＝F ．①求证：BD ED ＝；②在直线AE 上是否存在一点P ，使ABP 的面积等于ABD 的面积？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)()02A ，，()10B ，(2)点31C （，）；12b =-(3)①见解析；②点P 的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或17,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）22y x =-+中求出0x =时y 的值和0y =时x 的值即可得；（2）作CD x ⊥轴，证明ABO BCD ≌△△得2BD OA ==，1CD OB ==根据待定系数法求解可得；（3）①过点C 作CG x ⊥轴于点G ，作EM x ⊥轴于点M ，EN y ⊥轴于点BCG BEM AAS ≌（）、BDO EDN AAS ≌（），即可求解；则90AOB BDC ∠=∠=︒，∴90OAB ABO ∠+∠=︒，∵ABC 是等腰直角三角形，∴90AB BC ABC =∠=︒，，∴90ABO CBD ∠+∠=︒，∴OAB DBC ∠=∠，∴()AAS ABO BCD ≌△△，∴21BD OA CD OB ====，，则点()31C ，，∵直线BC 所在直线解析式为y =将点()31C ，代入，得：132b ⨯+=（3）①过点C 作CG x ⊥轴于点则BGC BME END BOD ∠=∠=∠=∠∵90ABC AE AC ∠=︒=，，∴AB 是CE 的中垂线，∴BC BE =，∵CBG EBM ∠=∠，∴AAS BCG BEM ≌（） ，∴21BM BG EM CG ====，，∵1BO =，∴1OM EN OB ===，∵BDO EDN ∠=∠，∴()AAS BDO EDN ≌ ，∴BD ED =；②如图③，作EH x ⊥轴于点H 由1122y x =-知10,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即OD 则52AD OA OD =+=，∴115512224ABD S AD OB =⨯=⨯⨯= 由①知()11E --，，(1)求一次函数y kx b =+的关系式；(2)点P 是一次函数24y x =+图象上的动点，设点关于n 的函数关系式．ΔΔ1202ABC PAC P s s s AC y =-=-⨯⨯12010242n =-⨯⨯+ΔΔ1202PAC ABC P s s S AC y =-=⨯⨯-11024202n =⨯⨯+-(1)求点A 、B 的坐标；(2)如图1，若点C (−2，2)，求三角形ABC 的面积；(3)若点P 是第一、三象限角平分线上一点，且三角形ABP 的面积为392，求点当CE 为对角线时，,CE BF 的中点为O ，则CO OE=∴()4,0E综上所述，E 的坐标为()4,4-或()4,0；（3）解：如图所示，设BD 交x 轴于点G ，∵BD 将四边形ABCD 的面积分成2:3的两部分，则:=2:3AG CG 或:3:2AG CG =∵()()1,0,4,0A C -∴5AC =则()1,0G -或()2,0-当()1,0G -时，设直线BG 的解析式为11y k x b =+(1)求直线l 的表达式；(2)求直线BC 的表达式；(3)求AOB 的面积；(4)点P 是第三象限在直线l 【答案】(1)35y x =(2)8y x =-+(3)12(4)()5,3--【分析】（1）根据待定系数法求解即可；()()5,3,8,0A B 3,8AD OB ∴==11822AOB S OB AD =⨯=⨯⨯△（4）解：如图，(1)写出S 与x 之间的函数关系，并写出(2)当AOC 的面积为6时，求出点(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点角形面积也为6，若存在，请直接写出点【答案】(1)(3186S x =+-(2)2()4,C -(3)存在，()10,2M ，2(0,M 【分析】（1）先求出点A （2）将6S =代入函数解析式可求得点（3）根据三角形三个顶点不同分类讨论求出点【详解】（1）解：点(C x 当0y =时，x 6=-，则AO1164622BM BM ⋅-⋅=，∴6BM =，(1)A点和B点坐标分别为，；是以AB为腰的等腰三角形，求点(2)点C在x轴上，若ABCM在x轴上，若点P是直线AB上的一个动点，(3)点(3,0)【答案】(1)(2,0),(0,3)①当AB BC =时，点②当AB AC =时，∵(2,0),(0,3),A B ∴222313,AB =+=∵13,AB AC '==∴(132,0)(2C C '''+、综上所述，符合条件的点（3）∵(3,0),M ∴3,OM =∴32 1.AM =-=①当点P 在x 轴下方时，PBM PAM ABMS S S ∆∆∆=+1122AM OB AM =⋅⋅+⋅11131||22P y =⨯⨯+⨯⨯3,=∴|3|P y =∵点P 在x 轴下方，∴3,P y =-当=3y -时，代入y =解得 4.x =∴3(4,)P -；②当点P 在x 轴上方时，PBM APM ABM S S S ∆∆∆=-∴||9,P y =∵点P 在x 轴上方，∴9.P y =9y =y =-(1)填空：=a ，b =；(2)如果在第三象限内有一点M (3)在（2）的条件下，当2m =-时，的面积相等，请求出点P 的坐标．【答案】(1)-1，3(2)2m -(3)14(0,)5P -或2(0,)5P∵()1,0A -，()3,0B ，∴AB =3-(-1)=4∵(2,)M m -位于第三象限∴MN m m ==-∴114(22ABM S AB MN =⋅=⨯⨯- 故答案为：2m -；（3）当2m =-时，2ABM S =-⨯ 设BM 与y 轴的交点为Q 点，BM 将()3,0B 和(2,2)M --代入得：0322k b k b =+⎧⎨-=-+⎩，解得2565k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴BM 的解析式为2655y x =-，当x =0时，65y =-，∴1(2PBM PBQ PMQ S S S =+=⨯ 解得145n =-，∴14(0,)5P -；当P 点位于Q 点上方时，如图所示，1(2PBM PBQ PMQ S S S n =+=⨯+ 解得25n =，∴2(0,)5P ；综上所述，14(0,)5P -或2(0,)5P ．【点睛】本题考查了一次函数中的几何问题，面积找出点的坐标，分类讨论思想和灵活运用函数知识和几何知识是本题的关键．。
北师大版八年级上专题复习_压轴题
WORD 格式整理版专题：B 卷部分1.如图，Rt△ACB 中，∠ACB=90°，△ABC 的角平分线 AD、BE 相交于 点 P，过 P 作 PF⊥AD 交 BC 的延长线于点 F，交 AC 于点 H，则下列结论：①∠APB=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB；④S = 四边形 ABDE 3 S△ABP，其 2中正确的是（ ） A．①③ B．①②④ C．①②③ D．②③ 2.如图：△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且 CE=CD，连接 BD，DE，BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③ AD⊥BE；④ CD =1．其中正确的是（ ）BD A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 3.在△ABC 中，∠ABC=45°，AD，BE 分别为 BC、AC 边上的高，AD、BE 相交于 点 F，下列结论：①∠FCD=45°，②AE=EC，③S△ABF：S△AFC=BD：CD，④若 BF=2EC， 则△FDC 周长等于 AB 的长．正确的是（ ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 4.如图，将 30°的直角三角尺 ABC 绕直角顶点 A 逆时针旋转到 ADE 的 位置，使 B 点的对应点 D 落在 BC 边上，连接 EB、EC，则下列结论： ①∠DAC=∠DCA；②ED 为 AC 的垂直平分线；③EB 平分∠AED；④ ED=2AB．其中正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 5.如图，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，AE 平分∠BAC 交 BC 于 E， BD⊥AE 于 D，DM⊥AC 交 AC 的延长线于 M，连接 CD，给出四个结论： ①∠ADC=45°；②BD= 1 AE；③AC+CE=AB；④AB-BC=2MC；其中正确的2 结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.如图，已知△ABC 中，∠ABC=45°，AC=4，H 是高 AD 和 BE 的交点， 则线段 BH 的长度为 7.如图，Rt△ACB 中，∠ACB=90°，∠ABC 的角平分线 BE 和∠BAC 的 外角平分线 AD 相交于点 P，分别交 AC 和 BC 的延长线于 E，D．过 P 作 PF⊥AD 交 AC 的延长线于点 H，交 BC 的延长线于点 F，连接 AF 交 DH 于点 G．则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD-AH=AB；④ DG=AP+GH．其中正确的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④8．如果直线 y=ax+2 与直线 y=bx-3 相交于 x 轴上的同一点，则 a： b 等于（ ） 9．已知等腰三角形的两个内角的度数之比为 1：2，则这个等腰三 角形的顶角为________．专业学习 参考资料WORD 格式整理版10.已知∠MAN，AC 平分∠MAN． （1）在图 1 中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC； （2）在图 2 中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成 立，请给出证明；若不成立，请说明理由．11.如图，已知在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，DF 垂直平分 AB 交 AB 于 F，交 BC 于 D． 求证：BD= 1 DC .212.等边△ABC 边长为8，D 为 AB 边上一动点，过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，过点 E 作 EF⊥AC 于点 F． （1）若 AD=2，求 AF 的长； （2）求当 AD 取何值时，DE=EF．专业学习 参考资料WORD 格式整理版13.我区 A，B 两村盛产荔枝，A 村有荔枝200吨，B 村有荔枝300吨．现将这些荔枝运到 C，D 两 个冷藏仓库，已知 C 仓库可储存240吨，D 仓库可储存260吨；从 A 村运往 C，D 两处的费用分别 为每吨20元和25元，从 B 村运往 C，D 两处的费用分别为每吨15元和18元．设从 A 村运往 C 仓库 的荔枝重量为 x 吨，A，B 两村运往两仓库的荔枝运输费用分别为 yA 元和 yB 元． （1）请填写下表，并求出 yA，yB 与 x 之间的函数关系式；CD总计Ax吨200吨B300吨总计 240吨 260吨 500吨（2）试讨论 A，B 两村中，哪个村的运费较少； （3）考虑到 B 村的经济承受能力，B 村的荔枝运费不得超过4830元．在这种情况下，请问怎样 调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．14．已知△ABC 为边长为10的等边三角形，D 是 BC 边上一动点：①如图1，点 E 在 AC 上，且 BD=CE，BE 交 AD 于 F，当 D 点滑动时，∠AFE 的大小是否变化？ 若不变，请求出其度数． ②如图2，过点 D 作∠ADG=60°与∠ACB 的外角平分线交于 G，当点 D 在 BC 上滑动时，有下 列两个结论：①DC+CG 的值为定值；②DG-CD 的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请 你选择正确的结论加以证明并求出其值．专业学习 参考资料WORD 格式整理版15．如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 交 x 轴于点 A（a，0），交 y 轴于点 B（0，b），且 a、b 满足 a 4 +(b-2)2=0，直线 y=x 交 AB 于点 M．（1）求直线 AB 的解析式； （2）过点 M 作 MC⊥AB 交 y 轴于点 C，求点 C 的坐标； （3）在直线 y=x 上是否存在一点 D，使得 S△ABD=6？若存在，求出 D 点的坐标；若不存在，请说 明理由．15．如图1，在 Rt△ACB 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°AC=1点 D 为 AC 上一动点，连接 BD，以 BD 为边作等边△BDE，EA 的延长线交 BC 的延长线于 F，设 CD=n， （1）当 n=1时，则 AF=____________； （2）当0＜n＜1时，如图2，在 BA 上截取 BH=AD，连接 EH，求证：△AEH 为等边三角形．专业学习 参考资料WORD 格式整理版16．如图，在平面直角坐标系 xoy 中，直线 AP 交 x 轴于点 P（p，0），交 y 轴于点 A（0，a），且 a、b 满足 a 3 (p 1)2 0 .（1）求直线 AP 的解析式； （2）如图1，点 P 关于 y 轴的对称点为 Q，R（0，2），点 S 在直线 AQ 上，且 SR=SA，求直线 RS 的解析式和点 S 的坐标； （3）如图2，点 B（-2，b）为直线 AP 上一点，以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABC，点 C 在第 一象限，D 为线段 OP 上一动点，连接 DC，以 DC 为直角边，点 D 为直角顶点作等腰三角形 DCE，EF⊥x 轴，F 为垂足，下列结论：①2DP+EF 的值不变；② AO EF 的值不变；其中只有一个结 2DP论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．17.如图，点 A、C 分别在一个含45°的直角三角板 HBE 的两条直角边 BH 和 BE 上，且 BA=BC， 过点 C 作 BE 的垂线 CD，过 E 点作 EF 上 AE 交∠DCE 的角平分线于 F 点，交 HE 于 P． （1）试判断△PCE 的形状，并请说明理由； （2）若∠HAE=120°，AB=3，求 EF 的长．专业学习 参考资料WORD 格式整理版18.如左图：直线 y=kx+4k（k≠0）交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C，点 M（2，m）为直线 AC 上一点，过点 M 的直线 BD 交 x 轴于点 B，交 y 轴于点 D．（1）求 OC 的值（用含有 k 的式子表示）. OA（2）若 S△BOM=3S△DOM，且 k 为方程（k+7）（k+5）-（k+6）（k+5）= 9 的根，求直线 BD 的解析式． 2（3）如右图，在（2）的条件下，P 为线段 OD 之间的动点（点 P 不与点 O 和点 D 重合），OE 上AP 于 E，DF 上 AP 于 F，下列两个结论：① AE OE 值不变；② AE OE 值不变，请你判断其DFDF中哪一个结论是正确的，并说明理由并求出其值．19.已知：三角形 ABC 中，∠A=90°，AB=AC，D 为 BC 的中点， （1）如图，E，F 分别是 AB，AC 上的点，且 BE=AF，求证：△DEF 为等腰直角三角形； （2）若 E，F 分别为 AB，CA 延长线上的点，仍有 BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF 是否仍 为等腰直角三角形？证明你的结论．20.如图 1，在平面直角坐标系中，A（0，a），C（c，0），△ABC 为等腰直角三角形且 a、c 满足 c a2 4 4 a2 20 .a2 （1）求点 B 的坐标； （2）如图 2，P 是直线 y 3 x 上的一个动点，是否存在点 P 使△PAC 的面积等于△BAC 的面积？5专业学习 参考资料WORD 格式整理版若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由； （3）如图 3，BF 是△ABC 内部且经过 B 点的任一条射线，分别过 A 作 AM⊥BF 于 M，过 CN⊥BF于 N．当射线 BF 绕点 B 在△ABC 内部旋转时，试探索下列结论：① BN CN 的值不变；② BN CNBMBM的值不变．21.如图△ABC 为等边三角形，直线 a∥AB，D 为直线 BC 上一点，∠ADE 交直线 a 于点 E，且∠ ADE=60°． （1）若 D 在 BC 上（如图1）求证 CD+CE=CA；（2）若 D 在 CB 延长线上，CD、CE、CA 存在怎样数量关系，给出你的结论并证明．22.在平面直角坐标系中，直线 y=-x+m 交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 B， 点 C 坐标（ m ，0 ），作 C 关于 AB 对称点 F，连 BF 和 OF，OF 交 AC2 于点 E，交 AB 于点 M． （1）求证：OF⊥AC；专业学习 参考资料WORD 格式整理版（2）连接 CF 交 AB 于点 H，求证：AH= 3 CF . 2（3）若 m=2，E 为 x 轴负半轴上一动点，连接 ME，过点 M 作 EM 的垂线交 FB 的延长线于点 D，问 EB-BD 的值是否改变，若 不变，求其值，若改变，求其取值范围．23.两个等腰直角△ABC 和等腰直角△DCE 如图 1 摆放，其中 D 点在 AB 上，连接 BE． （1）则 BE =_________，∠CBE=________度；AD （2）当把△DEF 绕点 C 旋转到如图 2 所示的位置时（D 点在 BC 上），连接 AD 并延长交 BE 于点 F，连接 FC，则 BE _________，∠CFE=_________度；AD （3）把△DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，请求出∠CFE 的度数__________．24.如图，直线 l1 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，直线 l2 与直线 l1 关于 x 轴对称，已知直线 l1 的解析式为 y=x+3， （1）求直线 l2 的解析式；专业学习 参考资料WORD 格式整理版（2）过 A 点在△ABC 的外部作一条直线 l3，过点 B 作 BE⊥l3 于 E，过点 C 作 CF⊥l3 于 F，请画出图形并求证：BE+CF=EF；（3）△ABC 沿 y 轴向下平移，AB 边交 x 轴于点 P，过 P 点的直线与 AC 边的延长线相交于点 Q，与 y 轴相交于点 M，且 BP=CQ，在△ABC 平移的 过程中，①OM 为定值；②MC 为定值．在这两个结论中，有且只有一个 是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．25.直线 AB：y=-x-b 分别与 x、y 轴交于 A （6，0）、B 两点，过点 B 的直线交 x 轴负半轴于 C， 且 OB：OC=3：1； （1）求直线 BC 的解析式； （2）直线 EF：y=kx-k（k≠0）交 AB 于 E，交 BC 于点 F，交 x 轴于 D，是否存在这样的直线 EF， 使得 S△EBD=S△FBD？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由； （3）如图，P 为 A 点右侧 x 轴上的一动点，以 P 为直角顶点、BP 为腰在第一象限内作等腰直角 三角形△BPQ，连接 QA 并延长交 y 轴于点 K．当 P 点运动时，K 点的位置是否发生变化？如果不 变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．专业学习 参考资料。
北师大版八年级(上)期末数学压轴题系列专题练习(含答案)
图3EDBA图2EDBA图1EDCBA北师大版八年级上册期末压轴题系列11、如图，已知：点D 是△ABC 的边BC 上一动点，且AB =AC ，DA =DE ，∠BAC =∠ADE =α.⑴如图1，当α=60°时，∠BCE = ；⑵如图2，当α=90°时，试判断∠BCE 的度数是否发生改变，若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值，并给出证明；（图1） （图2） （图3）⑶如图3，当α=120°时，则∠BCE = ；2、如图1，在平面直角坐标系xoy 中，直线6y x =+与x 轴交于A ，与y 轴交于B ，BC ⊥AB 交x 轴于C 。
①求△ABC 的面积。
如图2，②D 为OA 延长线上一动点，以BD 为直角边做等腰直角三角形BDE ，连结EA .求直线EA 的解析式.③点E 是y 轴正半轴上一点，且∠OAE =30°，OF 平分∠OAE ，点M 是射线上一动点，是判断是否存在这样的点M 、N ，使得OM +NM 的值最小，若存在，请写出其最小值，并加以说明.3. 如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+，（1）求直线2l 的解析式；（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E ,过点C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。
在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。
4. 如图①，直线AB 与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点.OA 、OB 的长度分别为a 和b ，且满足2220a ab b -+=.⑴判断△AOB 的形状.⑵如图②，正比例函数(0)y kx k =<的图象与直线AB 交于点Q ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM =9，BN =4，求MN 的长.⑶如图③，E 为AB 上一动点，以AE 为斜边作等腰直角△ADE ，P 为BE 的中点，连结PD 、PO ，试问：线段PD 、PO 是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明.①5、如图，已知△ABC和△ADC是以AC为公共底边的等腰三角形，E、F 分别在AD 和CD 上，已知：∠ADC +∠ABC =180°，∠ABC =2∠EBF ；（1）求证：EF =AE +FC （2）若点E 、F 在直线AD 和BD 上，则是否有类似的结论？6、操作：如图①，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC =120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角两边分别交AB ，AC 边于M ，N 两点，连接MN ．（1）探究线段BM 、MN 、NC 之间的关系，并加以证明；（2）若点M 、N 分别是射线AB 、CA 上的点，其它条件不变，请你再探线段BM ，MN ，NC 之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．（3）求证：CN -BM =MN图① 图② 图③图④EDCBAF北师大版八年级上册期末压轴题5答案; 1、⑴如图1，当α=60°时，∠BCE =120°；⑵证明：如图，过D 作DF ⊥BC ，交CA 或延长线于F 。
第一章 勾股定理压轴题考点训练(解析版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册北师大版)
第一章勾股定理压轴题考点训练，，A．《周髀算经》【答案】D【分析】运用《九章算术注》相关知识即可直接解答．【详解】解：由于《九章算术注》是我国学者编撰的最早的一部测量数学著作，该书第一卷【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，得出CG NG =，CF DG NF ==，再根据三个正方形面积公式列式相加：12312S S S ++=，求出2GF 的值，从而可以计算结论即可．【详解】解： 八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，CG NG ∴=，CF DG NF ==，21()S CG DG ∴=+，222CG DG CG DG =++⋅，22GF CG DG =+⋅，22S GF =，2223()2S NG NF NG NF NG NF =-=+-⋅，2222212322312S S S GF CG DG GF NG NF NG NF GF ∴++=+⋅+++-⋅==，24GF ∴=，24S ∴=，12312S S S ++= ，138S S ∴+=，故选：D ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出2312GF =是解决问题的关键．7．如图，四个全等的直角三角形围成一个正方形ABCD 和正方形EFGH ，即赵爽弦图，连接AC ，FN 交EF ，GH 分别于点M ，N 已知AH=3DH ，且S 正方形ABCD 21=，则图中阴影部分的面积之和为（）A ．3B ．2【答案】C 【分析】过点K 作KM CF ⊥，与CF 的延长线交于点再求得22AK KF EF ==，2MK MF ==果．∵222AH DH ==，∴2DH GH ==，∵EFGH 是正方形，∴EF FG GH HE ===∴DH HE =，A．0.8米B．2米【答案】D【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度．【详解】解：如图，由题意可得：A．①②④B．①④【答案】A【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求得∠②根据正方形的性质求得OE2221(3∴=+=+CF FG CG【答案】3或6【分析】分两种情况分别求解，AED＝∠AED′＝45′，得DE＝（2）当∠ED′A＝90°时，如图得A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得∵∠CED′＝90°，根据轴对称的性质得∠AED∵∠D＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝6；根据轴对称的性质得∠AD′E 即∠CD′E＝90°，∴∠AD′E＋∠CD′E＝180°，∴A、D′、C在同一直线上，=根据勾股定理得AC AD35【答案】5或4【分析】本题按照题意合理画图，尽可能想到各种情况，然后根据等腰直角三角形的性质以及以此构造全等三角形，结合正切函数的概念，即可求解．【详解】分两种情况：第一种情况：如图，延长DE 交CA 于A '，∵CDE 是等腰直角三角形，∴45CDE ∠=︒．又=90ACD ∠︒，∴45D C A ∠='︒．由已知45DAC ∠=︒，且点C 、点A 、点A '在同一条直线上，∴A 与A '是同一点（或重合）．又∵tan 3QBP ∠=，且CBE △为直角三角形．∴3CE BE =，又由AE AB BE CE =+=得，103BE BE +=，解得：5BE =．第二种情况：如下图，分别自C 、D 作AE 的垂线，垂足为点O 、点F ，过D 作CO 延长线的垂线，与CO 的延长线交于点N ．设CD 与AE 交于R ．∵AC CD N DN ⊥⊥，C ，∴9090ACO OCR CDN OCR ∠=︒-∠∠=︒-∠，，∴ACO CDN ∠=∠．又∵90,AOC CND AC CD ∠=∠=︒=，∴ACO CDN =△△．①2ADC CAE ∠=∠；③若60BED ∠=︒，则4BE DE =【答案】①②③④【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，∴∠DAE=∠DBM，∵∠ADE=∠BDM，AD=BD，∴△ADE≌△BDM（AAS），∴DE=DM，若∠BED=60°，则BE=2EM=4DE【答案】22【分析】通过等腰直角三角形构建一线三等角模型求解即可．【详解】解：如图所示，分别过A 、D 作AE BC ⊥于E ，DF ∴90AEP DFP ∠=∠=︒∴90APE PAE ∠+∠=︒,90DPF PDF ∠+∠=︒∵90APD ∠=︒【答案】2.6【分析】将木块展开，根据两点之间线段最短及勾股定理即可求出答案．【答案】3或18或22【分析】分当点P 在线段AB 上运动时，当点P 在线段BC 上运动且在点E 的左边时三种情况讨论，即可求出【详解】解：∵90C ∠=︒，BC ∴2221612AB AC BC =+=+当点P 在线段BC 上运动且在点同理可知12cm 2CP CE ==∴()1282118t =+-÷=秒；故答案为∶3或18或22．【点睛】本题考查了三角形的面积公式的运用，勾股定理，以及中线的性质，分类讨论的数学思想，解答时分类讨论是是关键．18．如图，一个长方体纸箱，长是点B ，它所走的最短路线的长是（1）如图1，由题意知AC=4，BC=6+4=10由勾股定理得：AB=（2）如图（2）即为所求，正方形的边长为【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键面积公式求解即可．【详解】解：（1）证明：如图，过点G 作GH ∥AB ，因为AB ∥CD ，所以GH ∥CD ，所以∠AMG ＝∠MGH ，∠CFG ＝∠FGH ，∴∠MGF ═∠AMG +∠CFG∴∠AMG 、∠CFG 与∠M GF 之间的数量关系为∠G ＝∠AMG +∠CFG ．（2）∵2180GME AMG ∠+∠=︒，而∠AMG+∠GME+∠EMB=180°，∴∠GME=∠EMG过点E 作EJ//AB ，如图，∴∠MEJ=∠EMB=∠GME∵60GME E ∠-∠=︒∴∠MEG-∠E=60°=∠GEJ∵EJ//AB ，AB//CD ，∴EJ//CD∴∠GFC=∠GEJ=60°而∠GFC=∠FGN+∠GNC∴∠FGN=∠GFC-∠GNC=60°-25°=35°∵NG 平分∠MGF∴∠MGH=∠FGN=35°∴∠MGE=∠MGN+∠FGN=35°+35°=70°（3）∵KNE KHF ∠=∠，24FEN FHE AMG∠=∠+∠又15,60AMG FNE ∠=︒∠=︒由（2）得，∴BCE ACD ∠=∠而BC kAC =∴BC EC k AC DC==，AB=，FG=，（+）2DF，﹣DF•BD∴△（∵在Rt △ABC 中，22BC=AC AB =33-∵CH 平分∠BCA ，∴∠HCB=在△HCB 和△HCG 中HGC=HBC HCB=HCG CH=CH ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△HCB ≌△HCG （AAS ）∴BH=HG ，CG=BC③若AE=EC，如图所示，由PE=PC可知P点在CE的中垂线上，的交点即为P点，设AE=EC=x，则BE=BC EC=33x--在Rt△ABE中，由勾股定理得，()222-，解得x=2333x+3=x∴EC=23又∵PM垂直平分EC，∴MC=3。
北师大版八年级数学上学期压轴题攻略专题01 勾股定理与折叠问题两种考法全梳理(解析版)
专题01勾股定理与折叠问题两种考法全梳理目录【方法归纳】 (1)【考法一、三角形翻折问题】 (1)【考法二、四边形翻折问题】 (8)【课后练习】 (15)【方法归纳】1.折叠的基本性质：翻折前后对应的边与角相等；2.对于翻折都不确定的情况，注意分类讨论，避免漏掉解；3.方程思想：灵活设未知数，通过勾股定理建立方程，解出答案【考法一、三角形翻折问题】例．如图，Rt ABC △纸片中，90,6,8C AC BC ∠=︒==，点D 在边BC 上，以AD 为折痕ABD△折叠得到,AB D AB ''△与边BC 交于点E ．若DEB '△为直角三角形，则BD 的长是（）A ．2B ．3C ．5D ．2或5【答案】D 【分析】根据勾股定理求得AB 的长，由翻折的性质可知：10AB '=，DB DB '=，然后分90B DE '∠=︒和90B ED '∠=︒，两种情况画出图形求解即可．【详解】解：∵Rt ABC △纸片中，90,6,8C AC BC ∠=︒==，∴10AB =，∵以AD 为折痕ABD △折叠得到AB D 'V ，∴BD DB '=，10AB AB '==．如图1所示：当90B DE '∠=︒时，过点B 作B F AF '⊥，垂足为F ．则四边形CDB F '是矩形，∴,CD FB CF B D ''==．设BD DB x '==，则6AF =+在Rt AFB '△中，由勾股定理得：222B A AF B F ''=+，即()6x +解得：12x =，20x =（舍去）∴2BD =．如图2所示：当90B ED '∠=︒∵10AB AB '==，6AC =，∴设BD DB y '==，则8CD =-在Rt BDE △中，22B D DE '=+解得：5y =．∴5BD =．综上所述，BD 的长为2或5．故选D ．△ECD ，连接BE ，则线段BE 的长等于（）A ．5B ．75C ．145D ．365【答案】C 【分析】根据勾股定理及直角三角形的中线、翻折得CD=DE=BD=5，CE=AC=6，作DH ⊥BE 于H ，EG ⊥CD 于G ，证明△DHE ≌△EGD ，利用勾股定理求出75EH DG ==，即可得到BE.【详解】∵∠BCA=90∘，AC=6，BC=8，∴22226810AB AC BC =+=+=，∵D 是AB 的中点，∴AD=BD=CD=5，由翻折得：DE=AD=5，∠EDC=∠ADC ，CE=AC=6，∴BD=DE ，作DH ⊥BE 于H ，EG ⊥CD 于G ，∴∠DHE=∠EGD=90︒，∠EDH=12∠BDE=12（180︒-2∠EDC ）=90︒-∠EDC ，∴∠DEB=90︒-∠EDH=90︒-(90︒-∠EDC)=∠EDC ，∵DE=DE ，∴△DHE ≌△EGD ，∴DH=EG ，EH=DG ，设DG=x ，则CG=5-x ，∵2EG =2222DE DG CE CG -=-，∴222256(5)x x -=--，∴75x =，∴75EH DG ==，∴BE=2EH=145，故选：C.【点睛】此题考查翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，将求BE 转换为求其一半的长度的想法是关键，由此作垂线，证明△DHE ≌△EGD ，由此求出BE 的长度.变式2．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，AB =P 是边BC 上任意一点，连接AP ，将ABP 沿AP 翻折，点B 的对应点为B '，当APB ' 有一边与BC 垂直时，BP 的长为．在等腰直角三角形ABC 中，BAC ∠∴12212BC AB AQ BC ====，设BP x =，则B P x '=，1PQ =-∵将ABP 沿AP 翻折，∴2AB AB '==，45B '∠=︒，此时，112BP BC==；当B P BC'⊥时，如图，此时，点A，B，B'在同一直线上，综上，当APB'有一边与BC垂直时，故答案为：22-或1或2．变式3．如图，在ABC中，∠BC上任意一点，若将CDP△沿DP折叠得EDP△，若点E在ABC的中位线上，则CP的长度为．当E 在DM 上时，由折叠可知，CP PE =2ME DM DE =-=，在Rt PEM △中，PM 222PM ME PC ∴=+，当E 点落在DN 上时，由折叠可知，DE ∴四边形CDEP 是正方形3PC DE ∴==③如图，设BC 、∴点D 到MN 的距离为CM的三等分点B'处，求CE的长．【考法二、四边形翻折问题】例．在长方形ABCD 中，5AB =，12BC =，点E 是边AD 上的一个动点，把BAE 沿BE 折叠，点A 落在A '处，当A DE ' 为直角三角形时，DE 的长为（）A ．7B ．263C ．7或263D ．以上答案均不对设AE x =，由翻折的性质得：ED AD AE ∴=-=A D BD A B ∴=-'='综上，DE 的长为故选：C ．变式1．如图，已知矩形纸片P 点，将纸片沿直线BP 折叠，点A 落到A '处，设AP x =，当点A '恰好在矩形纸片的对称轴上时，则x 的值为．连接AA '，∴AA BA ''=，又AB BA '=，∴ABA '△是等边三角形，∴30BA M AA M ''∠=∠=︒，30ABP A BP '∴∠=∠=︒，在Rt A BF '△中，226425A F '=-=，在Rt A PE '△中，222A P PE A E ''=+ ，()222(4)625x x ∴=-+-，935x ∴=-③如图3中，当点A '在BC 的下方时，同法可得：()222(4)625x x =-++，935x ∴=+，故答案为：23或935+或935-．变式2．如图，长方形纸片ABCD ，AB 叠，点C 落在E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP OF =，则AF 长为．，得到中，利用勾股定理进将ADE V 沿AE 折叠得到D AE ' ，连接D B '，若ABD '△为直角三角形，则AE =-△的位置，当点B落在CD边(1)若P为边BC上一点，如图①将ABP沿直线AP翻折至AEP上点E处时，求PB的长；△沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上(2)如图②，点Q为射线DC上的一个动点，将ADQ的点D'处，求DQ的长．设DQ x =，则10QC =根据图形折叠的性质可知QD D Q x ='=，AD '=在Rt ABD ' 中根据图形折叠的性质可知DQA ∠∵AB CD ∥，∴DQA QAB ∠=∠．∴D QA QAB '∠=∠．∴10AB BQ ==．在Rt BCQ △中【课后练习】1．如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段DF 的长为（）AB C ．85D ．65沿直线AD 翻折得到ADE V ，线段AE 交直线CB 于点F ．若DEF 为直角三角形，则BD 的长是．则四边形DCGE 为长方形，∴,EG CD CG DE BD ===，∴4EF AE AC =-=，设BD x =，则：8CD x =-，由勾股定理，得：(2248x =+-解得：5x =；∴5BD =，线DE 翻折ADE V ，点A 落在BC 边上，记为点F ，如果2CF =，则BE 的长为．2∵90C AC BC ∠=︒==，∴62AB =，62BF =-∴222FG GB BF ===∴62AG AB BG =-=-设AE x =，则EF x =，在Rt EGF 中，2EG FG +即()()224222x x -+=解得522x =，∴62BE AB AE =-=-D 为边AB 上一点，连接DE ，将ADE V 沿DE 折叠得到A DE ' ，若EA '的延长线恰好经过点B ，则AD =．∵1CE =，∴3AE AC CE =-=，在Rt ABE △中，90A ∠=︒，∴222BE AB AE =+，形的长BC 为8，宽AB 为4，则阴影部分的面积为．设DE GE x ==，则8AE = 在Rt AEG △中，2AG GE +2224(8)x x ∴+=-，解得3x =，3DE ∴=，5AE =；ABC 沿AC 翻折，使点B 落点D 处，连接DE ，求DE 的长．【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．连接，由勾股定理求出 将ABC 沿AC 翻折，使点,,AB AD BC CD BF DF ===∴BF DF ∴=，90BFC ∠=︒，4AB = ，3BC =，22243AC AB BC ∴=+=+设CF x =，则5AF x =-，7．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，D 是AB 上的一点，连接CD ．将ACD 沿CD 折叠，使点A 落在A '处，且A C 'AB ⊥于点E ，若6CD =，5BD =．则线段CE 的长为．∴132DF FC DC===∴4BF=，∵1122BCDS BD EC DC BF =⨯=⨯∴642455 DC BFECBD⨯⨯===24△ACD沿AD翻折得到△AED，连接BE，则BE的长为．∵等腰△ABC，AB=AC=5，在AB 上的点D 处，再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E ，F ，则B DF ' 的面积为．10．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为斜边AB 上的一动点（不包含A ，B 两端点），以CP 为对称轴将ACP △翻折得到A CP ' ，连结BA '．当A P AB '⊥时，BA '的长为．由折叠性质可知12∠=∠，PA 又1290A PA '∠=∠+∠=︒145∠=∠2=︒∴，又2390∠+∠=︒ ，【初步感知】(1)如图1，在三角形纸片ABC 中，90C ∠=︒，18AC =，将A ∠沿DE 折叠，使点A 与点B 重合，折痕和AC 交于点E ，5EC =，求BC 的长；【深入探究】(2)如图2，将长方形纸片ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于E ，若4AB =，8BC =，求AE 的长(注：长方形的对边平行且相等)；【拓展延伸】(3)如图3，在长方形纸片ABCD 中，5AB =，8BC =，点E 为射线AD 上一个动点，把ABE 沿直线BE 折叠，当点A 的对应点F 刚好落在线段BC 的垂直平分线上时，求AE 的长(注：长方形的对边平行且相等)．142AN AD ∴==，BM 由折叠的性质得：BF =在Rt BFN △中，由勾股定理得：53FN MN FM ∴=-=-由折叠的性质得：BF BA =同①得：3FM =，FN ∴=设AE FE a ==，则EN a =-在Rt ENF △中，由勾股定理得：即AE 的长为10；综上所述，点【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾。
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图3E D
B
A
图2E
D
C
B
A
图1E
D
C
B
A
北师大版八年级上册期末压轴题系列
1、如图，已知：点D 是△ABC 的边BC 上一动点，且AB =AC ，DA =DE ，∠BAC =∠ADE =α. ⑴如图1，当α=60°时，∠BCE = ；
⑵如图2，当α=90°时，试判断∠BCE 的度数是否发生改变，若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值，并给出证明；
（图1） （图2） （图3）
⑶如图3，当α=120°时，则∠BCE = ；
2、如图1，在平面直角坐标系xoy 中，直线6y x =+与x 轴交于A ，与y 轴交于B ，BC ⊥AB 交x 轴于C 。
①求△ABC 的面积。
如图2，②D 为OA 延长线上一动点，以BD 为直角边做等腰直角三角形BDE ，连结EA .求直线EA 的解析式.
③点E 是y 轴正半轴上一点，且∠OAE 是线段AO 上一动点，是判断是否存在这样的点M 、N ，使得OM +NM 其最小值，并加以说明.
3. 如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1
l
的解析式为3y x =+，（1）求直线2l 的解析式；
（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E,过点C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF
（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。
在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。
4. 如图①，直线AB 与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点.OA 、OB 的长度分别为a 和b ，且满足2220a ab b -+=. ⑴判断△AOB 的形状
.
①
⑵如图②，正比例函数(0)y kx k =<的图象与直线AB 交于点Q ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=9，BN=4，求MN 的长.
⑶如图③，E 为AB 上一动点，以AE 为斜边作等腰直角△ADE ，P 为BE 的中点，连结PD 、PO ，试问：线段PD 、PO 是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明.
5、如图，已知△ABC 和△ADC 是以AC 为公共底边的等腰三角形，E 、F 分别在AD 和CD 上，已知：∠ADC+
∠ABC=180°，∠ABC=2∠EBF ；（1）求证：EF=AE+FC （2）若点E 、F 在直线AD 和BD 上，则是否有类似的结论？
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
F
6、操作：如图①，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角两边分别交AB ，AC 边于M ，N 两点，连接MN ．
（1）探究线段BM 、MN 、NC 之间的关系，并加以证明；（2）若点M 、N 分别是射线AB 、CA 上的点，其它条件不变，请你再探线段BM ，MN ，NC 之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．（3）求证：CN-BM=MN
北师大版八年级上册期末压轴题
答案; 1、⑴如图1，当α=60°时，∠BCE =120°；
⑵证明：如图，过D 作DF ⊥BC ，交CA 或延长线于F 。
易证：△DCE ≌△DAF ，得∠BCE =∠DFA
=45
°或
135°.
⑶如图3，当α=120°时，则∠BCE =30°或150°；
2、①求△ABC 的面积=36；②解：过E 作EF ⊥x 轴于F ，延长EA 交y 轴于H . 易证：△OBD ≌△FDE ；得：DF =BO =AO ，EF =OD
；∴AF =EF ，∴∠EAF =45°，
图① 图② 图③ 图④
∴△AOH 为等腰直角三角形.∴OA =OH ，∴H （0，-6）∴直线EA 的解析式为：6y x =--； ③解：在线段OA 上任取一点N ，易知使OM +NM 的值最小的是点O 到点N 关于直线AF 对称点N ’之间线段的长.当点N 运动时，ON ’最短为点O 到直线AE 的距离，即点O 到直线AE 的垂线段的长. ∠OAE =30°，OA=6，所以OM +NM 的值为3.
3. （1）A （－3，0） B （0，3） C （0，－3）3y x =--
答：BE CF EF +=；易证△BEA ≌△AFC ；∴BE ＝AF ，EA ＝FC ，；∴BE ＋CF ＝AF ＋EA ＝EF （3）①对，OM ＝3 过Q 点作QH ⊥y 轴于H ，则△QCH ≌△PBO ；∴QH ＝PO ＝OB=CH ∴△QHM ≌△POM ； ∴ HM ＝OM ；∴OM=BC-(OB+CM)=BC-(CH+CM)=BC-OM ；∴ OM ＝1
2
BC ＝3 4. 解：⑴等腰直角三角形 ∵2220a ab b -+= ∴2()0a b -= ∴a b =
∵∠AOB=90° ∴△AOB 为等腰直角三角形 ⑵∵∠MOA+∠MAO=90°,∠MOA+∠MOB=90° ∴∠MAO=∠MOB ； ∵AM ⊥OQ ，BN ⊥OQ ∴∠AMO=∠BNO=90°
在△MAO 和△BON 中MAO MOB
AMO BNO OA OB ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
； ∴△MAO ≌△NOB ；∴OM=BN,AM=ON,OM=BN
∴MN=ON-OM=AM-BN=5 ；⑶PO=PD 且PO ⊥PD ；
如上图3，延长DP 到点C ，使DP=PC,连结OP 、OD 、OC 、BC
在△DEP 和△CBP DP PC DPE CPB PE PB =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
；∴△DEP ≌△CBP ∴CB=DE=DA,
∠DEP=∠CBP=135°
在△OAD 和△OBC DA CB DAO CBO OA OB =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△OAD ≌△OBC ；∴OD=OC,∠AOD=∠COB
∴△DOC 为等腰直角三角形；∴PO=PD ，且PO ⊥PD.。