高等传热学_第二章_稳态导热
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2-2-1等截面直肋 分析等截面直肋中的温度分布有助于掌握分析各种扩展表面问题
的一般方法。图2-4给出了一个等截面直肋的几何配置。肋根(x＝ 0)与热壁相连，温度为t0。肋的侧面与温度为tf的流体对流换热， 表面传热系数为h。如果肋片的宽度L足够大，宽度方向的温度不 均匀可以忽略不计的话，肋片内部的温度分布应该是二维的。但 是可以设想，如果肋片足够薄、导热系数足够大，肋片厚度方向 的温差也可以近似地忽略不计，那么肋片中的温度场仅是高度(x 坐标)的函数，肋片中的导热问题简化为“准一维”问题。更精确 地说，能否进行这样简化的判据应该是Bi＝hδ/λ足够小[也有把肋 Bi 片厚度的一半作为特征尺寸，则Bi＝hδ/(2λ)]。无量纲量 1h 表征肋片厚度方向的导热热阻与表面对流换热热阻之比。为了作 “准一维”简化，通常要求Bi＜0.1，但实际上这一判据也与肋片 的几何形状参数H/δ有关。当然，进行这样简化引起的偏差必须通 过与二维问题的解作比较才能确定。
（2-2-6）
由边界条件式(2-2-4)、(2-2-6)确定常数C1和C2，整理后可得
（2-2-7）
则肋端过余温度为：
H
0
ch(mH )
（2-2-8）
2-2 扩展表面——准一维问题
单位宽度肋片的散热量可根据傅里叶定律由肋基处的温度梯度求
得，或根据牛顿冷却定律由表面过余温度的积分求得：
q
t t dt 1 2 dx
（2-1-5）
注意到热流密度与坐标x无关，是一个常量。 从导热微分方程出发求解温度分布是解决导热问题的一般方法，
但对于无内热源的一维稳态导热问题这样的特例，则可以从傅里 叶定律直接积分确定热流。对于一维导热，傅里叶定律可写作
dt q dx
（2-1-22） 以上温度分布可以看作两个温度分布的叠加：后一项是非齐次的 微分方程（有热源）在齐次边界条件下的解，前两项是齐次的微 分方程在非齐次边界条件下的解，也就是无内热源大平壁稳态导 热的解式(2-1-4)。 任一点处的热流密度可由傅里叶定律得到：
x 0,
t t1
t2 t1
2-1 一维稳态导热
通过长圆筒壁（图2-2）的导热由傅里叶定律直接积分的方法。 若已知圆筒壁的内外壁面温度分别为t1和t2。注意到，圆筒壁的导
热面积在径向上是变化的，但单位长度上的总热流量ql（单位为 W/m）仍应是常量（不随r变化）。由傅里叶定律可得
分离变量并积分
ql
dt 2 r dr
（2-1-26）
如果给定另一个边界条件是第三类边界条件，即
r R,
dt h(t t f ) dr
（2-1-27）
代入通解可得
t tf
qv R qv (R2 r 2 ) 2h 4
（2-1-28）
2-2 扩展表面——准一维问题
在固体壁面与流体的对流换热系统中，例如各
x 0, x ,
并整理得到
t 0 t 0
（2-1-20）
代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数，
qV t x( x) 2
（2-1-21）
2-1 一维稳态导热
如果给定两个表面的温度分别为t1和t2，即
t t1 x , t t 2 代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数， 并整理得到
（2-2-3）
2-2 扩展表面——准一维问题
其中
hP m A
常数C1和C2需借助于合适的边界条件求得。一个条件是已知助基
温度，即
x 0, 0
可写作
（2-2-4）
如果另一端以对流换热的方式把热量传给周围环境，则边界条件
x H , A
d h2 A dx
（2-1-6）
2-1 一维稳态导热
由于是稳态导热且无内热源，q应该是不随x变化的常量，因为如
果任意两个平行平面上的热流密度不等，则根据能量守恒原理， 这两个平面间的温度一定会发生变化。对上式分离变量并积分：
（2-1-7） 对于常物性问题，可直接得到式（2-1-5）。对于变物性问题，如 果已知导热系数随温度变化的函数关系 (t ) ，定义
（2-1-17）
2-1 一维稳态导热
2-1-2 带有内热源的一维稳态导热 导电体通电时发热是导热物体内热源的最常见的例子，计算由于
这种发热引起的温升对于设计电器设备是很重要的。在浇灌大量 的混凝土时，混凝土水化时的发热也会形成过高的温度，常常需 要设计特殊的冷却系统。此外，在释放化学能和原子能的场合， 也会涉及内热源的问题。 考虑一个带有均匀分布的内热源的大平壁，其体积发热率为qV。 建立如图2-3所示的坐标。对于这样一个一维稳态导热问题，导热 微分方程可简化为
x
qV x( x) 2
q
t t q dt 1 2 V (2 x ) dx 2
（2-1-23）
2-1 一维稳态导热
上式同样可以看作是两个简单问题的热流密度的叠加。由于有内
热源的作用，q已不再是常量，且各点处热流的方向取决于上式中 两项的相对大小。 由此可看到解决非齐次问题时常用的“线性叠加原理”方法，即 把复杂的线性非齐次问题分解为几个较简单的问题再把结果相加。 实心长圆柱体有均匀的体积发热率qv，试求圆柱体中的稳态温度 分布。导热微分方程简化为柱坐标系中的一维稳态导热方程 qv 1 d dt (r ) （2-1-24） r dr dr 积分两次可得以上微分方程的通解
H d A( ) x 0 hP dx AhP0th(mH ) （2-2-9） 0 dx
双曲函数的值可在数学函数表中查得，或根据其定义计算得到：
e x e x e x e x shx chx , shx , thx 2 2 chx 如果由边界条件式(2-2-4)、(2-2-5)确定常数C1和C2，即考虑肋端 的散热损失，可得
0 t1
qdx dt
t2
m
t2
t1Байду номын сангаас
dt
t2 t1
t1 t2
（2-1-8）
为t1~ t2温度范围内的平均导热系数，则可得
q m
（2-1-9）
2-1 一维稳态导热
如果导热系数随温度的变化是如式（1-1-11）所描述的线性函数，
则很显然，按式（2-1-8）定义的平均导热系数即是材料在平 均温度 tm (t1 t2 ) 2 下的导热系数，即
2-2 扩展表面——准一维问题
图2-4 等截面直肋的导热
2-2 扩展表面——准一维问题
由于忽略了厚度y方向的导热，y方向就不会出现边界条件，肋片
表面的散热在微分方程中必须作为(负的)热源来处理。对图2-4中 长度为dx的微段进行分析，可得体积发热率为 h(t t f ) Pdx qv （2-2-1） Adx
t
qv 2 r C1 ln r C2 4
（2-1-25）
2-1 一维稳态导热
r＝0处温度应该有界，即 t
r 0
，可以作为一个边界条件，
由此可得C1＝0。如果给定另一个边界条件是第一类边界条件， 即r＝R，t＝t1。代入通解可得
t t1
qv 2 2 (R r ) 4
（2-1-1）
问题的边界条件为
t C1 x C2
x 0, x , t t1 t t2
（2-1-2）
（2-1-3）
2-1 一维稳态导热
由此可确定通解中的两个任意常数，得到该问题的温度分布
t t1
t1 t2
x
（2-1-4）
根据傅里叶定律可进一步确定平壁中的热流密度
2-1 一维稳态导热
图2-1通过大平壁的导热
2-1 一维稳态导热
2-1-1 无内热源的一维导热 求解导热问题的一般思路是首先从导热微分方程和相应的定解条
件出发，解得温度场。 对于如图2-1所示的大平壁的稳态导热，已知两表面的温度分别为 t1和t2。导热微分方程简化为
其通解为
d 2t 0 2 dx
动力工程及工程热物理学科研究生
高等传热学（32课时）
第二章 稳态导热
稳态导热问题，即忽略温度随时间的变化，只考虑温度的空间分
布。严格来说，完全稳定的导热现象是不存在的，但当温度随时 间的变化相对很小时，可以近似地看作稳态导热。在工程实际中， 像稳定运行的热工设备、电缆的散热等计算大多以稳态导热为基 础。研究稳态导热的主要目标是求得物体内部的温度分布，由此 可进一步导出热流密度和热流量。 在一维稳态导热中温度场只是一个空间坐标的函数，同样是一种 物理模型上的简化。如能抓住主要矛盾，突出重点，许多实际问 题是可以简化为一维问题的。这样的模型使问题的数学处理得以 大大简化，常常可以分析求解，而且常可使导热现象的一些主要 特征变得更加突出，一些基本规律体现得更加明显。 在更多的情况下一维导热的近似是不合适的，或不可能的。此时 必须讨论二维或三维导热问题，相应的导热微分方程是偏微分方 程，在常物性条件下也就是拉普拉斯方程或泊松方程。在分析求 解拉普拉斯方程和泊松方程方面已经积累了许多成功的经验，本 章将简要介绍其中的分离变量法和虚拟热源法。但是，迄今为止 各种分析解法的效能仍是有限的，只能求解几何形状比较简单、 具有线性边界条件的问题。求解更为一般的导热问题常常有赖于 数值解。
qV d 2t 2 dx
（2-1-18）
2-1 一维稳态导热
图2-3 有均匀内热源的 平壁中的温度分布
2-1 一维稳态导热
对以上方程积分两次，可得该常微分方程的通解
t
零，即
qV 2 x C1 x C2 2
（2-1-19）
如果首先考虑第一类齐次边界条件，即给定两个表面的温度均为
（2-1-13）
l r 1 对于常物性问题，整理后可得
q
r2
t2 dr 2 dt t1 r
（2-1-14）
（2-1-15） 对于变物性问题，同样可用式（2-l-8）定义的平均导热系数代替
ql
2 (t1 t2 ) 2 (t1 t2 ) ln(r2 r1 ) ln(d 2 d1 )
种换热设备中，常在换热表面上增添一些肋， 以增大换热表面，达到减小换热热阻的目的。
对各种助片的温度场和传热性能的分析常归结
为扩展表面问题。此外，一些工程部件，如插 入管道的测温元件的套管、透平叶片等，也涉 及突出的细长杆与周围流体的换热，在分析其 温度场时，也可归结为扩展表面问题。
2-2 扩展表面——准一维问题
（2-2-5）
其中肋端表面传热系数h2通常不等于肋表面的对流换热表面传热
系数。
2-2 扩展表面——准一维问题
如果肋的高度足够大，肋端过余温度很小，因而常常可把肋端的
热损失忽略不计，则以上上边界条件可简化为
d x H, 0 dx
ch[m( H x)] 0 ch(mH )
上式中的常物性导热系数来计算圆筒壁的热流量。
2-1 一维稳态导热
对于空心圆球壁，稳态径向总热流量Q为常量。同理，由傅里叶
定律可写出
dt 4 r 2 dr
推导得到
（2-1-16）
当己知两个壁面的温度时，可同样用分离变量并积分的方法自行
4 r1r2 (t1 t2 ) r2 r1
t1 t2 m 0 (1 b ) 2
（2-1-10）
如果改变式（2-1-7）中的积分上限，写作
x
0
qdx dt
t1
t2
（2-1-11）
则可得大平壁中稳态温度分布的另一种形式
t t1
q
x
（2-1-12）
2-1 一维稳态导热
图2-2 通过圆筒壁的导热
其中A是垂直于x轴的肋片截面面积，P＝2(L+δ)≈2L是该截面的周
长。 引进过余温度θ＝t-tf，该肋片的稳态导热微分方程有如下的形式：
d 2 hP 0 2 dx A
（2-2-2）
这是一个二阶线性齐次常微分方程，有如下形式的通解：
C1emx C2e mx
的一般方法。图2-4给出了一个等截面直肋的几何配置。肋根(x＝ 0)与热壁相连，温度为t0。肋的侧面与温度为tf的流体对流换热， 表面传热系数为h。如果肋片的宽度L足够大，宽度方向的温度不 均匀可以忽略不计的话，肋片内部的温度分布应该是二维的。但 是可以设想，如果肋片足够薄、导热系数足够大，肋片厚度方向 的温差也可以近似地忽略不计，那么肋片中的温度场仅是高度(x 坐标)的函数，肋片中的导热问题简化为“准一维”问题。更精确 地说，能否进行这样简化的判据应该是Bi＝hδ/λ足够小[也有把肋 Bi 片厚度的一半作为特征尺寸，则Bi＝hδ/(2λ)]。无量纲量 1h 表征肋片厚度方向的导热热阻与表面对流换热热阻之比。为了作 “准一维”简化，通常要求Bi＜0.1，但实际上这一判据也与肋片 的几何形状参数H/δ有关。当然，进行这样简化引起的偏差必须通 过与二维问题的解作比较才能确定。
（2-2-6）
由边界条件式(2-2-4)、(2-2-6)确定常数C1和C2，整理后可得
（2-2-7）
则肋端过余温度为：
H
0
ch(mH )
（2-2-8）
2-2 扩展表面——准一维问题
单位宽度肋片的散热量可根据傅里叶定律由肋基处的温度梯度求
得，或根据牛顿冷却定律由表面过余温度的积分求得：
q
t t dt 1 2 dx
（2-1-5）
注意到热流密度与坐标x无关，是一个常量。 从导热微分方程出发求解温度分布是解决导热问题的一般方法，
但对于无内热源的一维稳态导热问题这样的特例，则可以从傅里 叶定律直接积分确定热流。对于一维导热，傅里叶定律可写作
dt q dx
（2-1-22） 以上温度分布可以看作两个温度分布的叠加：后一项是非齐次的 微分方程（有热源）在齐次边界条件下的解，前两项是齐次的微 分方程在非齐次边界条件下的解，也就是无内热源大平壁稳态导 热的解式(2-1-4)。 任一点处的热流密度可由傅里叶定律得到：
x 0,
t t1
t2 t1
2-1 一维稳态导热
通过长圆筒壁（图2-2）的导热由傅里叶定律直接积分的方法。 若已知圆筒壁的内外壁面温度分别为t1和t2。注意到，圆筒壁的导
热面积在径向上是变化的，但单位长度上的总热流量ql（单位为 W/m）仍应是常量（不随r变化）。由傅里叶定律可得
分离变量并积分
ql
dt 2 r dr
（2-1-26）
如果给定另一个边界条件是第三类边界条件，即
r R,
dt h(t t f ) dr
（2-1-27）
代入通解可得
t tf
qv R qv (R2 r 2 ) 2h 4
（2-1-28）
2-2 扩展表面——准一维问题
在固体壁面与流体的对流换热系统中，例如各
x 0, x ,
并整理得到
t 0 t 0
（2-1-20）
代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数，
qV t x( x) 2
（2-1-21）
2-1 一维稳态导热
如果给定两个表面的温度分别为t1和t2，即
t t1 x , t t 2 代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数， 并整理得到
（2-2-3）
2-2 扩展表面——准一维问题
其中
hP m A
常数C1和C2需借助于合适的边界条件求得。一个条件是已知助基
温度，即
x 0, 0
可写作
（2-2-4）
如果另一端以对流换热的方式把热量传给周围环境，则边界条件
x H , A
d h2 A dx
（2-1-6）
2-1 一维稳态导热
由于是稳态导热且无内热源，q应该是不随x变化的常量，因为如
果任意两个平行平面上的热流密度不等，则根据能量守恒原理， 这两个平面间的温度一定会发生变化。对上式分离变量并积分：
（2-1-7） 对于常物性问题，可直接得到式（2-1-5）。对于变物性问题，如 果已知导热系数随温度变化的函数关系 (t ) ，定义
（2-1-17）
2-1 一维稳态导热
2-1-2 带有内热源的一维稳态导热 导电体通电时发热是导热物体内热源的最常见的例子，计算由于
这种发热引起的温升对于设计电器设备是很重要的。在浇灌大量 的混凝土时，混凝土水化时的发热也会形成过高的温度，常常需 要设计特殊的冷却系统。此外，在释放化学能和原子能的场合， 也会涉及内热源的问题。 考虑一个带有均匀分布的内热源的大平壁，其体积发热率为qV。 建立如图2-3所示的坐标。对于这样一个一维稳态导热问题，导热 微分方程可简化为
x
qV x( x) 2
q
t t q dt 1 2 V (2 x ) dx 2
（2-1-23）
2-1 一维稳态导热
上式同样可以看作是两个简单问题的热流密度的叠加。由于有内
热源的作用，q已不再是常量，且各点处热流的方向取决于上式中 两项的相对大小。 由此可看到解决非齐次问题时常用的“线性叠加原理”方法，即 把复杂的线性非齐次问题分解为几个较简单的问题再把结果相加。 实心长圆柱体有均匀的体积发热率qv，试求圆柱体中的稳态温度 分布。导热微分方程简化为柱坐标系中的一维稳态导热方程 qv 1 d dt (r ) （2-1-24） r dr dr 积分两次可得以上微分方程的通解
H d A( ) x 0 hP dx AhP0th(mH ) （2-2-9） 0 dx
双曲函数的值可在数学函数表中查得，或根据其定义计算得到：
e x e x e x e x shx chx , shx , thx 2 2 chx 如果由边界条件式(2-2-4)、(2-2-5)确定常数C1和C2，即考虑肋端 的散热损失，可得
0 t1
qdx dt
t2
m
t2
t1Байду номын сангаас
dt
t2 t1
t1 t2
（2-1-8）
为t1~ t2温度范围内的平均导热系数，则可得
q m
（2-1-9）
2-1 一维稳态导热
如果导热系数随温度的变化是如式（1-1-11）所描述的线性函数，
则很显然，按式（2-1-8）定义的平均导热系数即是材料在平 均温度 tm (t1 t2 ) 2 下的导热系数，即
2-2 扩展表面——准一维问题
图2-4 等截面直肋的导热
2-2 扩展表面——准一维问题
由于忽略了厚度y方向的导热，y方向就不会出现边界条件，肋片
表面的散热在微分方程中必须作为(负的)热源来处理。对图2-4中 长度为dx的微段进行分析，可得体积发热率为 h(t t f ) Pdx qv （2-2-1） Adx
t
qv 2 r C1 ln r C2 4
（2-1-25）
2-1 一维稳态导热
r＝0处温度应该有界，即 t
r 0
，可以作为一个边界条件，
由此可得C1＝0。如果给定另一个边界条件是第一类边界条件， 即r＝R，t＝t1。代入通解可得
t t1
qv 2 2 (R r ) 4
（2-1-1）
问题的边界条件为
t C1 x C2
x 0, x , t t1 t t2
（2-1-2）
（2-1-3）
2-1 一维稳态导热
由此可确定通解中的两个任意常数，得到该问题的温度分布
t t1
t1 t2
x
（2-1-4）
根据傅里叶定律可进一步确定平壁中的热流密度
2-1 一维稳态导热
图2-1通过大平壁的导热
2-1 一维稳态导热
2-1-1 无内热源的一维导热 求解导热问题的一般思路是首先从导热微分方程和相应的定解条
件出发，解得温度场。 对于如图2-1所示的大平壁的稳态导热，已知两表面的温度分别为 t1和t2。导热微分方程简化为
其通解为
d 2t 0 2 dx
动力工程及工程热物理学科研究生
高等传热学（32课时）
第二章 稳态导热
稳态导热问题，即忽略温度随时间的变化，只考虑温度的空间分
布。严格来说，完全稳定的导热现象是不存在的，但当温度随时 间的变化相对很小时，可以近似地看作稳态导热。在工程实际中， 像稳定运行的热工设备、电缆的散热等计算大多以稳态导热为基 础。研究稳态导热的主要目标是求得物体内部的温度分布，由此 可进一步导出热流密度和热流量。 在一维稳态导热中温度场只是一个空间坐标的函数，同样是一种 物理模型上的简化。如能抓住主要矛盾，突出重点，许多实际问 题是可以简化为一维问题的。这样的模型使问题的数学处理得以 大大简化，常常可以分析求解，而且常可使导热现象的一些主要 特征变得更加突出，一些基本规律体现得更加明显。 在更多的情况下一维导热的近似是不合适的，或不可能的。此时 必须讨论二维或三维导热问题，相应的导热微分方程是偏微分方 程，在常物性条件下也就是拉普拉斯方程或泊松方程。在分析求 解拉普拉斯方程和泊松方程方面已经积累了许多成功的经验，本 章将简要介绍其中的分离变量法和虚拟热源法。但是，迄今为止 各种分析解法的效能仍是有限的，只能求解几何形状比较简单、 具有线性边界条件的问题。求解更为一般的导热问题常常有赖于 数值解。
qV d 2t 2 dx
（2-1-18）
2-1 一维稳态导热
图2-3 有均匀内热源的 平壁中的温度分布
2-1 一维稳态导热
对以上方程积分两次，可得该常微分方程的通解
t
零，即
qV 2 x C1 x C2 2
（2-1-19）
如果首先考虑第一类齐次边界条件，即给定两个表面的温度均为
（2-1-13）
l r 1 对于常物性问题，整理后可得
q
r2
t2 dr 2 dt t1 r
（2-1-14）
（2-1-15） 对于变物性问题，同样可用式（2-l-8）定义的平均导热系数代替
ql
2 (t1 t2 ) 2 (t1 t2 ) ln(r2 r1 ) ln(d 2 d1 )
种换热设备中，常在换热表面上增添一些肋， 以增大换热表面，达到减小换热热阻的目的。
对各种助片的温度场和传热性能的分析常归结
为扩展表面问题。此外，一些工程部件，如插 入管道的测温元件的套管、透平叶片等，也涉 及突出的细长杆与周围流体的换热，在分析其 温度场时，也可归结为扩展表面问题。
2-2 扩展表面——准一维问题
（2-2-5）
其中肋端表面传热系数h2通常不等于肋表面的对流换热表面传热
系数。
2-2 扩展表面——准一维问题
如果肋的高度足够大，肋端过余温度很小，因而常常可把肋端的
热损失忽略不计，则以上上边界条件可简化为
d x H, 0 dx
ch[m( H x)] 0 ch(mH )
上式中的常物性导热系数来计算圆筒壁的热流量。
2-1 一维稳态导热
对于空心圆球壁，稳态径向总热流量Q为常量。同理，由傅里叶
定律可写出
dt 4 r 2 dr
推导得到
（2-1-16）
当己知两个壁面的温度时，可同样用分离变量并积分的方法自行
4 r1r2 (t1 t2 ) r2 r1
t1 t2 m 0 (1 b ) 2
（2-1-10）
如果改变式（2-1-7）中的积分上限，写作
x
0
qdx dt
t1
t2
（2-1-11）
则可得大平壁中稳态温度分布的另一种形式
t t1
q
x
（2-1-12）
2-1 一维稳态导热
图2-2 通过圆筒壁的导热
其中A是垂直于x轴的肋片截面面积，P＝2(L+δ)≈2L是该截面的周
长。 引进过余温度θ＝t-tf，该肋片的稳态导热微分方程有如下的形式：
d 2 hP 0 2 dx A
（2-2-2）
这是一个二阶线性齐次常微分方程，有如下形式的通解：
C1emx C2e mx