高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一3三个正数的算术—几何平均不等式同步配套教学案新人教A版选修4-

3．三个正数的算术—几何平均不等式

对应学生用书P8

1．定理3

如果a ，b ，c ∈R ＋，那么

a ＋

b ＋c

3

≥3

abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，用文字语

言可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．

(1)不等式

a ＋

b ＋c

3

≥3

abc 成立的条件是：a ，b ，c 均为正数，而等号成立的条件是：

当且仅当a ＝b ＝c .

(2)定理3可变形为：①abc ≤(

a ＋

b ＋c

3

)3；②a 3＋b 3＋c 3

≥3abc .

(3)三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”．

2．定理3的推广

对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即

a 1＋a 2＋…＋a n

n

≥n

a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．

对应学生用书P8

用平均不等式证明不等式

[例1] 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：

b ＋

c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c

c

≥3. [思路点拨] 欲证不等式的右边为常数3，联想到不等式a ＋b ＋c ≥33

abc (a ，b ，c ∈R

＋

)，故将所证不等式的左边进行恰当的变形．

[证明]

b ＋

c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c

c

＝⎝

⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a

c ＋⎝

⎛⎭

⎪⎫c a ＋a b ＋b

c －3

≥33b a ·c b ·a c ＋33c a ·a b ·b c

－3＝6－3＝3.

当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．

证明不等式的方法与技巧

(1)观察式子的结构特点，分析题目中的条件．若具备“一正，二定，三相等”的条件，可直接应用该定理．

若题目中不具备该条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．

(2)三个正数的算术—几何平均不等式是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此凡是利用该不等式证明的不等式，一般可用比较法证明．

1．设a ，b ，c ＞0，求证：1a 3＋1b 3＋1

c

3＋abc ≥2 3.

证明：因为a ，b ，c ＞0，由算术—几何平均不等式可得 1

a

3

＋1

b 3＋1

c 3≥331

a 3

·1b 3·1c

3，

即1a 3＋1b 3＋1c

3≥3

abc

(当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)．

所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3

abc

＋abc .

而

3

abc

＋abc ≥2

3

abc

·abc ＝23(当且仅当a 2b 2c 2

＝3时，等号成立)，

所以1a 3＋1b 3＋1c

3＋abc ≥23(当且仅当a ＝b ＝c ＝6

3时，等号成立)．

2．已知a 1，a 2，…，a n 都是正数，且a 1a 2…a n ＝1，求证： (2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n

.

证明：因为a 1是正数，根据三个正数的平均不等式，有2＋a 1＝1＋1＋a 1≥33

a 1. 同理2＋a j ≥3 3

a j (j ＝2,3，…n )． 将上述各不等式的两边分别相乘即得 (2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n ) ≥(33a 1)(33a 2)…(33

a n ) ＝3n

·3a 1a 2…a n .

∵a 1a 2…a n ＝1，∴(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n

. 当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＝1时，等号成立.

用平均不等式求最值

[例2] (1)求函数y ＝(x －1)2

(3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1

(2)求函数y ＝x ＋

4

x －1

2

(x >1)的最小值．

[思路点拨] 对于积的形式求最大值，应构造和为定值． (2)对于和的形式求最小值，应构造积为定值． 解：(1)∵1

2

，∴3－2x >0，x －1>0.

y ＝(x －1)2(3－2x )

＝(x －1)(x －1)(3－2x )≤⎝

⎛⎭

⎪⎫x －1＋x －1＋3－2x 33

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝1

27

， 当且仅当x －1＝x －1＝3－2x ， 即x ＝43∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32时，y max ＝127.

(2)∵x ＞1，∴x －1>0，y ＝x ＋4

x －1

2

＝12(x －1)＋12(x －1)＋4x －1

2

＋1

≥3

312

x －1·

12

x －1·

4x －1

2

＋1＝4，

当且仅当12(x －1)＝1

2(x －1)＝

4

x －1

2

，

即x ＝3时等号成立．即y min ＝4.

(1)利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．

(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件“即一正二定三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．

3．设x >0，则f (x )＝4－x －1

2x

2的最大值为( ) A ．4－

2

2

B ．4－ 2

C ．不存在

D.52

解析：∵x >0，∴f (x )＝4－x －12x 2＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋12x 2≤4－33x 2·x 2·12x 2＝4－32＝52.

答案：D

4．若0＜x ＜1，则函数y ＝x 4

(1－x 2

)的最大值是________，此时x ＝________. 解析：因为0＜x ＜1，所以y ＝x 4

(1－x 2

)＝12x 2·x 2(2－2x 2

)≤12⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 2

＋x 2

＋2－2x 2

33＝427，当且仅当x 2＝x 2＝2－2x 2

，即x ＝

63时，函数y ＝x 4(1－x 2

)取得最大值427

. 答案：427 63

用平均不等式解应用题