电偶极子

§2.7 电偶极子
一、电偶极子及其电偶极矩
1．电偶极子——两个相距很近的等量异号点电荷所组成的带电系统。

在原子物理学、电介质理论和无线电理论中，电偶极子是很重要的模型。

原子中带正电的原子核和带负电的电子。

电介质中有一类电介质分子的正、负电荷中心不重合，形成电偶极子，称为有极分子；另一类电介质分子的正、负电荷中心重合，称为无极分子，但在外电场作用下会相对位移，也形成电偶极子。

应用有偶极子天线，以及天线的辐射等现象,可以用振荡偶极子
t
j e e p ω来表示，研究从稳恒到 X 光频电磁场作用下电介质的色
散和吸收，等等具有广泛地应用。

将偶极子概念加以推广，可有多极子，其中最重要的是四极子。

电偶极子的特征：点电荷的电荷量(+q 、-q)，
两个点电荷的距离---电偶极子的轴线l
:从电偶极子的负电
荷到正电荷的一个矢径表示表示。

可集成为一个特征量----电偶极矩来表征电偶极子整体电性质，即用电偶
极矩表示电偶极子的大小和空间取向：
2. 电偶极子的电偶极矩——电偶极子中的一个电荷的电量与轴线的乘积，简称电矩。

记为：
l q p = 或l q p e
= （相对于磁矩m p ） (1)
p
是矢量，它是表征电偶极子整体电性质的重要物理量，
大小： 等于乘积，
方向： 规定由－q 指向＋q ， 单位：库·米（
）---国际制单位
德拜(debye)-----微观物理学中常用的单位为；1德拜＝3.336×10-30C ·m ，它相当于典型分子内部核间距离的十分之一(约2×10-11m)同一个电子的电荷e =1.6×10-19C 的乘积。

电偶极子在外电场中受力矩作用而旋转，使其电偶极矩转向外电场方向。

电偶极矩就是电偶极子在单位外电场下可能受到的最大力矩，故
简称电矩。

如果外电场不均匀，除受力矩外，电偶极子还要受到平移作用。

电偶极子产生的电场是构成它的正、负点电荷产生的电场之和。

二、电偶极子的电位 右图表示一个电偶极子。

采用球坐标系，将原点放在偶极子中心，轴与相合， 远处一点
的电位等于两点电荷电势的叠加：
2
010 π4 π4r q
r q εεϕ-=
2
1012 π4)
(r r r r q ε--
= (2)
其中
2
1
2
21cos 2⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θrl l r r
(3) 2
1
2
22cos 2⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θrl l r r
(4)
图1. 电偶极子
因为
>>，将、用二项式定理展开，并略去高阶项，得
θcos 2
1l
r r -=
所以
2
0 π4cos r ql εθϕ=10 π4r e p r ε ⋅= 3
0 π4r
r p ε⋅=
⎪⎭⎫ ⎝⎛∇⋅=r p 1 π40ε (5)
讨论：
0=θ 2
0 π41r p
εϕ≈
在正电荷端的延长线上
π=θ 2
0 π41r
p
εϕ-
≈ 在负电荷端的延长线上 2
π
=
θ 0=ϕ 在两电荷连线的中垂线上
三、偶极子的电场 由（5）式取梯度得到
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=-∇=θϕϕ
ϕθ21e r
e E r
3
0304sin 4cos 2r p e r p e r πεθ
πεθθ
+= (6) 或：
(7)
其场强分布的特点：
1）具有轴对称性，即无ϕ方向的影响
1）场强与电矩成正比，说明电偶极矩决定着电偶极子的电场性质。

2）电场按r 3反比变化，即当r 增大时，比点电荷的电场减小更快，这是因为在远处+q 和-q 的电场接近相互抵消的缘故。

四、电偶极子的等位面与电力线 1．等位面方程
电偶极子在空间一点产生的电位为
2
04cos r p πεθ
ϕ=
(5)
令为常数可得电偶极子的等位面方程为
2
1
04cos ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=ϕ
πεθp r θcos V C = 即
(8)
图2 电偶极子的等位线 2．电力线方程
电偶极子的电场为
(6)
利用电力线的特性：空间任意一点的电力线的切线方向即为该点处的电场方向，电力线的矢量方程可写为：
，叉乘等于零表示这两个矢量平行，即电场方向平行电力线方向，
令
，式中k 为一比例常量。

此式在球坐标系中表示为
于是得
(9)
电偶极子电场没有ϕE 分量，把电偶极子的电场方程中的
、
代入得
或
(10)
积分可得电力线方程为
(11)
3．结论
1). 电场强度与成反比。

2). 电场强度具有轴对称性。

3). 电力线与等位面垂直。

但在实际中，在偶极子附近，实际等位线和电力线的分布如上图所示。

实际电力线起始于正电荷，终止于负电荷。

例2.8 （P58）图3 电偶极子的电力线
2
4
6
30
21060
240
90
270
120
300
150
330
1800
2
4
6
30
21060
240
90
270
120
300
150
330
1800
五、辐射
当电偶极调和振荡时，可以描述。

在真空，它产生的场是：
当场与偶极距离很远时（），场的形式接近一个球面波：
辐射功率P为
说明：H=0，偶极矩与电场方向一致，静电能最小,稳定状态。

H=1800，偶极矩与电场方向相反，静电能最大，
不稳定状态。

六、外电场中的电偶极子
若电偶极子＋q 和－q 所在点的外电场的电位为V 1和V 2,则偶极子的位能
W =qV 1-qV 2=q (l ·墷)V ＝p ·墷 V ＝-p ·E o ,式中E o 为点偶极子所在的外电场强度。

偶极子在外电场中受到平移力
F ＝-墷W ＝墷(p ·E o )＝(p ·墷)E o 。

如果外电场均匀，E o 为常量，则F ＝0。

偶极子在外电场作用下受到的力矩 T ＝-дW ／дθ＝pE o sin θ或T ＝p ×E o ，它使电矩p 同外电场强度E o 的夹角减小。

如果p 同E o 平行，则力矩T ＝0。

并可看到p 的量值也就是电偶极子在单位外电场(E o =1)下可能受到的最大力矩，故称电矩。

如果点偶极子 p 1 处于另一偶极子 p 2 产生的电场E 2(r )中，则p 1的位能即相
互作用能为。

电偶极子在电场中的受力
E q
F i =
非均匀电场）
；均匀电场）；
；(0(0≠∑=∑F F
电偶极子在电场中的力矩； E P M e ⨯=
电偶极子的静电能 w ；
E P l d E q l d E q w w w p p p p ∙-=∙-=∙=+=⎰⎰+
-
+
-+_
说明：0=θ，偶极矩与电场方向一致，静电能最小,稳定状态。

︒=180θ，偶极矩与电场方向相反，静电能最大， 不稳定状态。

θ
+q -q
P e
M
E F 1
F 2
θ
+q -q
P e
M
x
F 1F 2。