非线性规划问题的常见解法

2 2 2 % ’ 5’ ( 5% ( : -% ’( : 6 * $ 2 2 2 当题目中涉及的 ! 项 "比较 多时 # 可以构
造 多 维 向 量# 一般有几! 项" 就构造几维向 #
H H
量$ 设 H维 向 量 @* + % # % # I# % / # A* + ’ # , 2 H ,
, , 2 5 , / 3 + 5 / + %. ( / #所 以 %. ’ ’ .( , , 7 , 5 6 6 # %. ’ ’ . ( %. ( %. ( , , , 5 5 &8 $ %. ’ ’ .( ( .% 例9 + 第: 届< 设% 为正 ; =>试题 / # ’ # ( 所以 , 求证 ? : , 数# % ’ ( *, # 5 : 5 %+ ’ 5( / ’ + %5 ( / , : 6 $ : ( + %5 ’ / 2 分析 题目中左边是三个 ! 项" 之和 # 可 构造三维向量 $ 证明 构 造 向 量 @* +-% + ’ 5( / #
即点 B0:#)1 在线段 CD上 # 所以目 @ # 8 A # 7 7 :) ) ) 标函数最值 " * ,0 1 + )5 2E F, ’ + ) 7 )) : 0 1 , ! 7 7 以上 数 例 虽 有 一 定 的 难 度 # 但几何意义 明显 # 解法学生易于理解掌握 ! 翻阅一些各地 的G 考试大纲释疑H 如G 浙江省 ) 0 I年 考 试 大 纲 释 疑H 对此类G 目标函数不是线性函 1 # 数# 但 具 有 明 显 的 几 何 意 义 H的 问 题 明 显 有 一定的要求 # ) I年部分省市的高考卷也正 好 说 明了这一点 # 因此笔者觉得这类 问 题 有 必要引起重视 !
从以 上 几 个 例 子 看 出 # 对于类似的不等 构造适 当的向量 都能比 较简 捷 地 给 式 证明 # 予 证明# 这样的 证明也包 含了更 多的 解 题 机 值得我们深入地研究 $ 智#
非线性规划问题的常见解法
张朱艳 浙江省象山中学 + : , ] ^ 8 8 / 在2 年全国各地的高考试卷中 # 出现 8 8 ] 了非线性规划的问题 $ 限于中学水平 # 对于非 线 性规划问题的求解 # 其 步骤与线 性 规 划 类 似? 作出 约 束 区 域 # 根据目标函数的结构赋 予 合 理 的几何 意义 # 再根据 图形 求出 目 标 函 数的最值和最优解 $ 本文旨在介绍限于中学水平的非线性规 划问题的基本解法 # 意在抛砖引玉 $ _ 利用直线的斜率求最值
#
因 为, ’所 示 5 67
# # 则) / / # + * ) 6 # + 表示焦点在 7& 6 # )轴 上 的 具 有 相 同
的点到原点的距离的平方 5 由图 #可知 , 目标 函数在直线 )- # +/ ’7 $与直线 4 )- + - 47 $的交点 : " # * 4 (处 取 到 最 大 值 * 6 ;< =
#
围成的矩形的面积 5 由图 #可知 , 目标函数在 直线 )- # 与直线 4 +/ ’ 7$ )- +- 4 7 的交点 : 处6 取到最大值 * $ " # * 4 ( 6 > ;< =7 # 47 ? 5 利用距离的意义求最值 @ )/ +- #0 $ * 2# # 例 @ 已知1)- # 求6 +/ ’0 $ * 7) 34 )- +- 4. $ * # 的最值 5 /+ 人教社教材复习题 " ( 分析 约束条件与例 #相同 * 故可行域
-’ -( + %5 ( / # + %5 ’ / / # A* B D , , , # # : # : : C %+ E ’ 5( / ’+ %5 ( / (+ %5 ’ / 2 2 2 因为 4 所以 @ 4 4 A 4 64 @1 A 4 #
因4 - :#- 2#- 2#- 2/ \* + # [1\ 43
图&
由题意易知 * 最小值为原点到直线 # )/ + - #7 $ 的 距 离 的 平 方 * 即 6 ;< = 7
#
B
G
-# # # A# /&
C 7 %5
源自文库
’
D 利用函数值的几何意义求最值 变 量
例 D 已知 E 都是不为零的 常 数 且 E * F $ *
H 满 足 不 等 式 组,
I J KH/ F L M IH 0$ * 2E 试求 I 的最大值 5 1 J KH 3E L M IH -F I J KH 0$ * 分析 2)7 L M IH * 则 由 约 束 条 件* 令1 3+7 I J KH * )/ E +0 $ * 2F
# # 3) /+ 7& *
4 斜率 + 取到最大值 45 8" & * (处时 * # ) # 9 利用面积求最值 )/ +- #0 $ * 2# 求 67 例 9 已 知1)- # +/ ’0 $ * 34 )- +- 4. $ * ) +的最大值 5 分析 根据约束 条件作出可行域 * 如图 #所示 * 6 7) +表示可 行域中的点到两坐标 轴距离的乘积 * 即过该 点作两坐标轴的垂线 * 垂线段与两坐标轴所
2 2 2 2 则有 4 ’ # I# ’ / # @ 4 *J % 4 A 4 *J ’ 2 H K# K# K *, K *, H 2 2 它们同样满足上述四个 + @ 1 A / *+ ’ / # K K J% K *,
性质 $ 例L + 不等式 # 第三届 < MN O P N Q R S T U => 试题 /在 VWX 记% 为三边长 # Y中 # # ’ # ( Z为
]
^
0 U 1垂心 0 W 1外心 O O 故 解 因为 [ C/ [ \ E F/, [ CD [ \ E FD # O O 则 可设 [ C/ [ \ E F/, [ CD [ \ E FD, ‘ # O O C/ CD O O + O Y M, Y C+ Z O [C/[ \ E F/ [CD [ \ E FD Z O Z O O , Y C+ 0 C/ + CD 1 0 ? @ # ‘ ‘ + _1 1 !
2 8 8 ;年第 :期 分析 证明 +
中学数学月刊
:
‘: : ‘
将第三 ! 项" 移到不等式的右边 # 因 %& ’& ( #设 向 量 ) *
就可以构造二维向量来证明 $ , , # / # 0 * + -%. ’ # -%. ’ -’ .( 2 2 2 则由 + 得到 + -’ .( / # )1 0 / 34 )4 1 4 0 4 ,
2 2 2 故 7 -: 5 2 4 [ 414 \ 4 # % 5 2 ’ 5 2 ( 3 2 7 7 7 2 2 : -, ; Z 52 % 52 ’ 52 ( *: + % 5’ 5 2 2 2 2 所以 % 5 ’ 5 ( 6 7 - :Z (/ # $ 证明过程简洁明快 $
-
-
-
F % + ’5 ( /5 ’ + %5 ( /5 ( + %5 ’ / G1 , , , , F: 5 : 5 : G 6+ % %+ ’ 5( / ’ + %5 ( / ( + %5 ’ / , 2 所以 , , , 5 5 / # 5 : 5 : ’ ( % + ’ 5( / ’ + %5 ( / 2 + % ’ 5’ ( 5% ( / , 6 * : 2 2 2 (+ %5 ’ / 2 %’(+ % ’ 5’ ( 5% ( /
离心率的相似椭
图’
) 9年第 .期 圆! 椭圆越大 $ 椭圆越小 ! 由图 "越大 # "越小 #
中学数学月刊
d. I d
%可知 & 当且仅当椭圆经过直线 ’( ) *+ % ,与直线 . 的交点 / 时# ’( *( . ,0 ) # . 1 " ) ) 取最大值 # " ) ! 23 4 , ) + )5 . , ) 当 且仅当椭圆与直线 ) 相 ’+ *( ) ,切时 # "最小 ! ) ’+ *( ), # 把直线方程代入 ) ) *# ", ’ + ) ) 椭 圆方程得 & 由 ;, 7 ’ (8 9 ’+ : (" ,# 由
图#
约束条 件 可 化 为1E 目标函数为 )- F +0 $ * 67 + 5 根据约 " & (若 F G$ * 束条 件 作 出 可 行 域 * 如图 显 然* 直线 E 4所 示 5 )与单位圆的交点纵 F + 7$ 坐标 为 所 求 最 大 值 5 计算 得+ ;< =7
图4 E 5 # AE / F 若 单位圆上的点" " # ( F N$ * $ * & (始 终 满足约束条件 * 故+ 5 ;< =7 &
6
) 得 ", 8 9 ( %5 75 0 :( " 1, #
: ! 7
= ’, : 当" 得< , 时# 7 *, >
: # 7 因为 ’, :? 7 ) # 7
透过三角形的 G 心H 展望高考走势
宋书华 江苏省前黄高级中学 0 ) 8 . 8 9 8 1 近几年的高考中 # 与三 角 形 四 G 心H JJ 重心 K 垂心 K 内心 K 外心相关的问题频频出现 # 笔 者 想通过几个典型的改编 题 # 谈谈此类问 题的解题方法 ! L 与重心相关的问题 O O 命题 & M 为 NC/ D的重心 P M C+ M / O +M D, Q ! 改 编 题 L M 是 NC/ D所 在 平 面 上 一 点# 三条边上的中点 分 别 为 B# NC/ D R # S # O O O 且M 则 M 是 NC/ B+ M R+ M S, Q # D的 1 ! 0 T1重心 0 U 1垂心 0 V 1内心 0 W 1外心 O 解 如图 8 # M C+ O O O O M /, ) M B# M /+ M D, O O O O ) M R # M D+ M C, ) M S # O O O 故M C+ M /+ M D O O O ,M B+ M R+ M S, Q ! 根据上面命题易知 图8 点 M 是 NC/ D的重心 ! 0 改 编 题 X Y 是 平 面 上 一 定 点# C# / # D O 是平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 # 动点 M满足Y M O O C/ CD O + # Z ? ,Y C+ Z O O [ C/ [ \ E F/ [ CD [ \ E FD 则 M 点 的 轨 迹 一 定 通 过 NC/ @ #+ _1 # D 的0 1 !
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中学数学月刊
# # 7# /4 7& 4 5
# $ $ ?年第 4期
例! " # $ $ %年江西卷 理 科 第 & ’题 (设 * 2)- +- #. $ 实数 ) 则 + 的最 * +满足 , +- ’0 $ * 1)/ # ) 3# +- 4. $ * 大值是 5 分析 根据约束条件作出可行域 * 如图 + 表示可行 &所示 *67 ) 域中的点到原点连线的 斜率 5 由图 & 可知 , 目标函 数 在直线 )/ # +- ’ 7$ 与直线 # 的交点 + -4 7$
2 2 2 面积 # 则有 % 5’ 5( 6 7 - :Z $ 分析 这个不等式证法较多 # 下面尝试
用向量来证明 $ 证明
2 7 7 由海伦公式得 ? , ; Z 52 + % 5’ 7 2 2 2 2 左边有四 ! 项" 构造 5( / *+ % 5’ 5( /# #
2 2 2 四维向 量 [* + 7 Z #- 2% #- 2’ #- 2( / #
# # 表示可行域上 仍旧如图 #所示 5 67 ) /+
O 利用曲线的相似性求最值 )/ +- #0 $ * 2# # 求6 例 O 已知1)- # 7) +/ ’0 $ * 34 )- +- 4. $ * # 的最值 5 /# + 根据人教社教材复习题改编 " ( 分析 根据约束条件作出可行域 * 如图
0 T1重心 0 V 1内心
]
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Z则 O O O 设a CM, a 0 C/+ CD 1 ,) a b , # ‘ O 其中 c 为 / Cc0 a ? @ #+ _1 # D边 的 中 点1 所以 C# 故点 M 的 轨 迹 # M# c 三点共线 # 是从 C 点出发经过 c 点的射线 ! 故点 M 的轨迹经过 NC/ D的重心 !