抛物线中的压轴题

抛物线中的压轴题

常见模型

思考在边长为1的正方形网格中有A, B, C三点，

画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边形

ABCD。

在射线BD上可以找出

一点组成三角形，可得

△ABC、△BEC、△

CBD为等腰三角形。

探究点一：因动点产生的平行四边形的问题

例1: 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．

求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。

解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），

将A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点代入函数解析式得：

1640

4

420

a b c

c

a b c

-+

⎪

-

+

⎪

⎩+

⎧

⎨

＝

＝

＝

解得1412a b c -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝

＝＝，所以此函数解析式为：y=12x 2+x −4； （2）∵M 点的横坐标为m ，且点M 在这条抛物线上，∴M 点的坐标为：（m ，

12m 2+m −4）， ∴S=S △AOM +S △OBM -S △AOB =12×4×（-12m 2-m+4）+12×4×（-m ）-12

×4×4=-m 2-2m+8-2m-8 =-m 2-4m=-（m+2）2+4，∵-4＜m ＜0，当m=-2时，S 有最大值为：S=-4+8=4．答：m=-2时S 有最大值S=4．

（3）设P （x ，12

x 2+x-4）． 当OB 为边时，根据平行四边形的性质知PQ ∥OB ，且PQ=OB ，∴Q 的横坐标等于P 的横坐标，

又∵直线的解析式为y=-x ，则Q （x ，-x ）．由PQ=OB ，得|-x-（12

x 2+x-4）|=4， 解得x=0，-4，-2±25．x=0不合题意，舍去．如图，当BO 为对角线时，知A 与P 应该重合，OP=4．四边形PBQO 为平行四边形则BQ=OP=4，Q 横坐标为4，代入y=-x 得出Q 为（4，-4）．

由此可得Q （-4，4）或（-2+25，2-25）或（-2-2 5，2+2 5）或（4，-4）．

【变式训练】如图，经过点C （0，-4）的抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴相交于A （-2，0），B 两点．

（1）a ＞ 0，b 2-4ac ＞ 0（填“＞”或“＜”）；

（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，连接AC ，E 是抛物线上一动点，过点E 作AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）a＞0，b2-4ac＞0；（2）∵直线x=2是对称轴，A（-2，0），∴B（6，0），

∵点C（0，-4），将A，B，C的坐标分别代入y=ax2+bx+c，解得：a=1

3

，b=-

4

3

，c=-4，

∴抛物线的函数表达式为y=1

3

x2-

4

3

x-4；

（3）存在，理由为：

（i）假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，

过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1所示，

则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形，

∵抛物线y=1

3

x2-

4

3

x-4关于直线x=2对称，∴由抛物线的对称性可知，E点的横坐标为4，

又∵OC=4，∴E的纵坐标为-4，∴存在点E（4，-4）；

（ii）假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是

平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，

∴AC=E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，

∵AC∥E′F′，∴∠CAO=∠E′F′G，

又∵∠COA=∠E′GF′=90°，AC=E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，

∴E′G=CO=4，∴点E′的纵坐标是4，∴4=1

3

x2-

4

3

x-4，

解得：x17，x27，

∴点E′的坐标为（7，4），同理可得点E″的坐标为（7，4）。

探究点二：因动点产生的等腰三角形的问题

例2.如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N 从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．

解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，

10

3

b c

c

+

⎨

⎩

+

⎧＝

＝

，解得：b=-4，c=3，

∴二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；

（2）令y=0，则x2-4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3

2

，

点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，

①当CP=CB时，2，∴2或2-3

∴P1（0，2），P2（0，2）；

②当PB=PC时，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3，

∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，2）或（0，2）或（0，-3）或（0，0）；

（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2-t，则DN=2t，∴S△MNB=1

2

×（2-t）×2t=-t2+2t=-

（t-1）2+1，

即当M（2，0）、N（2，2）或（2，-2）时△MNB面积最大，最大面积是1。