结构力学-稳定计算
《结构力学》习题集及答案（下册）第十章结构弹性稳定计算
第十章 结构弹性稳定计算一、判断题：1、稳定方程即是根据稳定平衡状态建立的平衡方程。
2、压弯杆件和承受非结点荷载作用的刚架丧失稳定都属于第一类失稳。
3、在稳定分析中，有n 个稳定自由度的结构具有n 个临界荷载。
4、两类稳定问题的主要区别是：荷载—位移曲线上是否出现分支点。
5、静力法确定临界荷载的依据是结构失稳时的静力平衡条件。
6、能量法确定临界荷载的依据是势能驻值原理。
二、计算题：7、用静力法推导求临界荷载cr P 的稳定方程。
PE I ,l8、写出图示体系失稳时的特征方程。
k lEIk AB P9、求刚架在反对称失稳时的稳定方程。
n 为常数。
l Pl P n E IEIEI A C BD10、求图示完善体系的临界荷载cr P 。
转动刚度kl k r 2=，k 为弹簧刚度。
P l k r kl kEIO O EI O O11、求图示刚架的临界荷载cr P 。
已知弹簧刚度l EI k 33= 。
PEIlA BC lO O 0EI k12、求图示中心受压杆的临界荷载cr P 。
PEI l13、用静力法求图示结构的临界荷载cr P ，欲使B 铰不发生水平移动，求弹性支承的最小刚度k 值。
PlEI A Bk14、用静力法确定图示具有下端固定铰，上端滑动支承压杆的临界荷载crP。
P PEI yxδly15、用能量法求图示结构的临界荷载参数crP。
设失稳时两柱的变形曲线均为余弦曲线：yxh=-δπ(cos).12提示：cos d sin22u u u uabab⎰=+⎡⎣⎢⎤⎦⎥214。
PEIP2EI h3EA16、用能量法求中心受压杆的临界荷载crP与计算长度,BC段为刚性杆，AB段失稳时变形曲线设为：()y x a xxl=-().32EIPllEIABCyx→∞17、用能量法求图示体系的临界荷载cr P 。
l PEIEI 1=H18、用能量法求图示中心压杆的临界荷载cr P ，设变形曲线为正弦曲线。
岸塔式进水口整体稳定的计算方法
岸塔式进水口整体稳定的计算方法卞全(中国水电顾问集团西北勘测设计研究院，西安710065 )摘要由于岸塔式进水口背靠岩体，靠基础和塔背的岩体来支撑并维持稳定，具有独特的优势，已被许多工程所采用；对于其整体稳定的方法，已有不少出版物进行了推导和论述，但在运用中，仍有不少问题还没有得到解决。
本文通过对其整体稳定计算方法的分析、总结、补充和验证，完善了岸塔式进水口整体稳定的计算方法，可供设计人员采用。
关键词岸塔式进水口稳定应力计算方法1 引言岸塔式进水口背靠岸坡岩体，是“镶嵌”在L型地基中的进水塔，塔体两侧平压，可将顺水流方向的荷载传递到基础和岸坡岩体，靠基础和塔背的岩体来支撑并维持稳定。
因此，岸塔式进水口沿水流方向的整体稳定，不同于一侧挡水、另一侧临空的重力坝和重力式挡土墙。
对于“镶嵌”在L型地基中的岸塔式进水口，其整体稳定问题不像重力坝和重力式挡土墙那样，有沿基础面滑动的可能和绕趾点倾覆的可能，只要基础应力和岸坡应力都在岩体允许应力或抗力范围之内，塔体就不致发生整体失稳。
借助于日趋流行的三维有限元技术，目前已经可以开展岸塔式进水口的有限元计算，得到比较接近实际的基础和岩体的应力结果。
但由于在三维有限元计算中，首先要模拟地基岩体、岸坡岩体、塔体结构，初始应力场、开挖应力释放过程等，然后才能进行进水塔完建后的各工况下的稳定及应力计算(采用弹塑性或非线性分析方法)；前处理并不简单，不能很快地得到结果，费时费力，不利于体型初拟时的决策和分析。
而按常规结构力学的方法快速、方便，方法成熟可靠，符合目前的结构可靠度设计的国家标准，被广大设计人员普遍采用。
对于岸塔式进水口整体稳定的计算方法，已有不少出版物，包括《水电站进水口设计》(杨欣先、李彦硕主编，大连理工大学出版社)，《水利水电工程技术设计阶段水电站岸塔式进水口设计大纲范本》(编号为FJD34030)，以及《水工专业设计大纲范本汇编8》等，提出了岸塔式进水口的结构力学方法。
结构力学常用的三种计算方法
结构力学常用的三种计算方法
结构力学常用的三种计算方法是：
1. 力系平衡或运动条件――平衡方程。
2. 变形的几何连续条件――变形协调方程。
3. 应力应变关系――本构方程。
此外，结构力学研究的内容包括结构的组成规则，结构在各种效应（外力，温度效应，施工误差及支座变形等）作用下的响应，包括内力（轴力，剪力，弯矩，扭矩）的计算，位移（线位移，角位移）计算，以及结构在动力荷载作用下的动力响应（自振周期，振型）的计算等。
结构力学通常有三种分析的方法：能量法，力法，位移法，由位移法衍生出的矩阵位移法后来发展出有限元法，成为利用计算机进行结构计算的理论基础。
建筑中的结构力学与稳定性分析
建筑中的结构力学与稳定性分析在建筑领域中，结构力学与稳定性分析是非常重要的一部分。
它们涉及到建筑物的强度、稳定性以及抗震性能等方面，对于确保建筑物的安全性和可靠性具有至关重要的作用。
本文将对建筑中的结构力学与稳定性分析进行探讨。
一、结构力学结构力学是研究物体受力和变形的力学学科，其应用范围广泛，涉及到了建筑、桥梁、管道等领域。
在建筑领域中，结构力学的目的是确定建筑物的受力情况，以确保其足够强大，能够承受各种荷载和外部力的作用。
在结构力学中，常用的分析方法包括静力学和动力学。
静力学是研究物体在静力平衡状态下的受力情况，通过受力平衡方程可以计算出各个节点的受力情况。
在建筑中，静力学分析方法可以用于确定建筑物的内力分布、应力大小以及变形情况。
动力学是研究物体在受到外部力作用下的运动情况，包括振动和冲击等。
在建筑中，动力学分析方法可以用于评估建筑物的抗震性能。
通过计算建筑物在地震作用下的响应，可以确定其是否满足相关的抗震要求，并采取相应的措施来提高抗震性能。
二、稳定性分析稳定性分析是指对建筑物在受到外部力作用下的稳定性进行评估和分析的过程。
建筑物的稳定性是指其在受力后不会发生失稳、倾覆或垮塌的能力。
稳定性分析主要包括两个方面，即静力稳定性和动力稳定性。
静力稳定性是指建筑物在受到静力荷载作用下的稳定性能。
通过计算建筑物的重心位置、最大倾覆力矩等参数，可以判断建筑物是否具有足够的抗倾覆能力。
动力稳定性是指建筑物在受到动力荷载作用下的稳定性能。
在地震等动力荷载作用下，建筑物可能发生横向倾覆或垮塌的现象。
动力稳定性分析方法可以通过计算建筑物的自振周期、阻尼比等参数，来评估其在地震作用下的稳定性。
稳定性分析还涉及到建筑材料的强度与稳定性。
不同的材料具有不同的力学特性，对建筑物的稳定性产生不同的影响。
因此，在建筑设计中需要对材料的强度进行合理的选择和计算，以保证建筑物的稳定性。
结构力学与稳定性分析是建筑设计中必不可少的一环，它们确保了建筑物的稳定性和安全性。
结构力学——结构的稳定计算1
5 nl
y
2
2
2
得 A Ql 0
BnPQ 0
P
A cn o B ls sn i n 0 l
经试算 nl4.493tannl4.485 1
0
0l n 1 0
Pcr n2EI (4.49)2E 3 I2.0 1E 9/Il2 l
cosnl sin nl 0 稳定方程
n cln o s lsn i n 0 l tanlnl
一.一个自由度体系
P
l EI
A k
k
1
k
MA0
kPslin0
小挠度、小位移情况下： sin
(k P)l0
0
k Pl0
----稳定方程（特征方程）
抗转弹簧
Pcr k /l ---临界荷载
二.N自由度体系
Pk
（以2自由度体系为例）
MB 0 k1y lP (y2y1)0
y1 l EI kB
l
ky 1 ky 2
d2y2(x) d2M dx
dx2
GAdx2
Q
方程的通解
y(x)A co m sB xsim nx
边界条件 y (0) 0 y(l) 0
挠曲微分方程为
d2dy(x2x)E MIG Add2M x2
对于图示两端铰支的等截面杆,有
M P ,M y P y
x
d2dy(2xx)P EyIG PA dd2y2x
d2dy(x2x)E MIG Add2M x2
对于图示两端铰支的等截面杆,有
M P ,M y P y
x
d2dy(2xx)P EyIG PA dd2y2x
P EI y2(x)
y(1P)Py0
结构力学教学-11结构的稳定计算
y
稳定方程
k
k
脱离体，受 力分析
EI
y(x) n2 y
k
(l x)
1
0
k / FP
通解为
y(x)
A cos
nx
EI l B sin
nx
k
(l
x)
0 cos nl
n sin nl
(k / FPl 1) 0 0
边界条件 y(0) 0, y(0) P, ly(l) 0
A k 0
P
Bn ( k 1) 0
Pl
nl
tan nl
1 EI (nl)2
k l
解方程可得nl的 最小正根
FPcr n2EI
Acosnl Bsin nl 0
FP
FP
Q
l EI
y
x M
A y
k
k
nl
Q
tan nl
1 EI (nl)2
k l
解方程可得nl的 最小正根
FPcr n2EI
FP
若 k 0
tan nl 0
FP
l
l
l (1
cos
)
l
1
2
2
l
1 2
y2
l
y1
2
y2
y1 2
2l
,因而荷载所作的功为: W
FP
y2
y1 2
2l
l
(a) l
l (b)
B FP
B y2
FP B
例: 求图示结 构的临界 荷载.
FP k
l
k
l
FP y1
y2
EI
解: 应变能
结构力学各章节思考习题
积分573 帖子477 2012-5-31 22:02平面体系的几何组成分析：1、确定计算自由度W 时应注意些什么？2、如何理解三刚片六链杆的的几何不变体系？3、在几何组成分析中，装置能否重复利用？4、在几何组成分析中，瞬铰在无穷远时如何下结论？5、体系内部作构造等效变换时，会改变其几何组成特性？6、瞬变体系为何不能用作结构？其特点是什么？7、如何区分瞬变体系和常变体系？8、当体系不能用三角形规则进行几何组成分析时怎么处理？9、对体系如何进行运动分析？一切坏的刚刚好！！！积分573 帖子477 2012-5-31 22:15静定结构的受力分析：1、如何理解用分段叠加法作弯矩图？2、在竖向荷载作用下斜梁内力有什么特点？3、求静定结构反力和内力时，外力偶可以随意移动？4、如何快速作出静定刚架的弯矩图？5、仅仅已知静定梁的弯矩图，能否求得与其相应的荷载？6、如何利用对称性进行静定结构内力分析？7、在荷载作用下曲杆内力图有何特点？8、任意荷载下拱形结构都存在合理拱轴线？9、静定组合结构在受力上有何优点？10、什么叫做复杂桁架？如何求其内力？11、如何选择静定桁架的合理外形与腹杆布置？12、如何证明静定结构约束力解答唯一性原理？一切坏的刚刚好！！！积分573 帖子477 2012-6-2 07:58虚功原理与结构位移计算：1、利用刚体系虚位移原理求静定结构约束力的优缺点何在？计算虚位移有哪些方法？2、利用刚体系虚位移原理能否同时计算多个约束力？3、怎样利用刚体系虚位移原理建立静定梁和刚架的弯矩方程？4、在变形体虚功原理中，两个状态的变形体是否必须为同一体系？5、为什么说荷载作用下的位移计算公式：Δ＝∑∫（MMp/EI）ds＋∑∫（NNp/EA）ds＋∑∫（kQQp/GA）ds对曲杆来说是近似的？6、如何计算静定结构在荷载作用下某点的全量线位移？7、计算平面刚架的位移时，忽略剪切变形和轴向变形引起的误差有多大？8、用图乘法求位移时哪些情况容易出错？9、增加各杆刚度就一定能减小位移吗？10、有应力就一定有应变，有应变就一定有应力，这种说法对吗？11、功的互等定理中，体系的两种状态应具备什么条件？12、在位移互等定理中，为什么线位移与角位移可以互等？在反力—位移互等定理中，为什么反力与位移可以互等？互等后的两个量的量纲是否相同？一切坏的刚刚好！！！积分573 帖子477 2012-6-2 08:17力法：1、在力法中为什么可以采用切断链杆后的体系作为基本体系？2、对力法的基本结构有何要求？3、在力法计算中，可否利用超静定结构作为基本结构？4、在超静定桁架和组合结构中，切开或撤去多余链杆的基本体系，两者的力法方程有何异同？5、应用力法时，对超静定结构做了什么假定？他们在力法求解过程中起什么作用？6、用力法计算超静定结构的解是唯一的吗？7、满足力法方程能使基本体系与原结构在所有截面的对应位移都相同吗？8、超静定结构发生支座位移时，选择不同基本体系，力法方程有何不同？9、在力法计算中利用组合未知力有何优点？组合未知力能否任意选择？10、求力法方程中的系数与自由项时，单位未知力与荷载可否加与不同的基本体系？11、用变形条件校核超静定结构内力计算结果时应注意什么？12、支座位移产生的自内力如何校核？13、温度变化引起的自内力如何校核？14、在力法计算中，什么情况下可用刚度的相对值？为什么？一切坏的刚刚好！！！积分573 帖子477 2012-6-2 13:10位移法：1、位移法是怎样体现结构力学应满足的三方面条件？（平衡条件、几何条件、物理条件）2、在弯曲杆件刚度方程中，什么情况下可以由杆件内力确定杆端位移？3、铰接端角位移和滑动支承端线位移为什么不作为位移法的基本未知量？4、固端力表中三类杆件的固端力之间有何关系？5、固铰化法确定结点独立线位移时应注意些什么？6、弹性支座处杆端位移是否应为位移法基本未知量？7、什么情况下独立结点线位移可以不作为位移法基本未知量？8、非结点处的截面位移可作为位移法的基本位置量吗？9、位移法的两种计算方法的基本方程是否相同？它们的关系是什么？10、位移法可否求解静定结构？11、具有刚性杆件的结构用位移法计算时应注意什么问题？一切坏的刚刚好！！！积分573 帖子477 2012-6-2 14:27渐近法与近似法：1、力矩分配法和位移法有何异同？2、连续梁端部若带有静定伸臂部分，用力矩分配法计算时怎样处理？应注意什么？3、力矩分配法的计算过程收敛于真实解吗？4、怎样估算力矩分配法的计算误差？5、用力矩分配法计算时如何处理结点力偶荷载？6、用力矩分配法求出杆端弯矩后，怎样求结点角位移？7、柱的侧移刚度和侧移柔度有什么关系？对于各柱并联的刚性横梁刚架怎样由各柱的侧移刚度和总侧移柔度？8、各柱串联的刚性横梁多层刚度顶端的总侧移刚度与单柱侧移刚度是什么关系？刚架总侧移柔度与单柱侧移柔度又是什么关系？9、什么是复式刚架？刚架顶部的总侧移刚度如何计算？一切坏的刚刚好！！！xiaotao_10积分0帖子1 #82012-6-2 21:49⊙﹏⊙b汗0 分积分573 帖子477 2012-6-2 22:15超静定结构总论：1、超静定结构在荷载作用下的内力分布随各部分刚度比值变化的规律是什么？2、在荷载作用下，当超静定结构各部分刚度比值变化时，内力分布是否必定随之变化？3、刚架计算中什么情况下需要考虑轴向变形的影响？决定轴向变形影响大小的主要因素是什么？4、刚架计算中什么情况下需要考虑剪切变形的影响？决定剪切变形影响大小的主要因素是什么？5、荷载作用下超静定梁和刚架的变形图怎样绘制？6、当支座移动时，超静定梁和刚架的变形图怎样绘制？7、当温度变化时，超静定梁和刚架的变形图怎样绘制？一切坏的刚刚好！！！积分573 帖子477 2012-6-3 08:00影响线及其应用：1、如何绘制移动的单位力偶作用下静定结构内力的影响线？2、机动法绘制间接荷载作用下的影响线应注意什么？3、如何求静定结构位移影响线？4、静定结构位移影响线和超静定结构内力影响线都是由曲线组成的吗？5、在行列荷载作用下，确定与其某截面剪力极大（小）值对应的荷载临界位置时，如何应用判别式？6、当左右微动荷载∑Rtanα均为正值（或负值）时，荷载应怎样移动才能得到临界位置。
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b．F＞Fcr
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如图 13-1-2（b）所示，当 F 达到临界值 Fcr（比上述中心受压直杆的临界荷载小）时，
即使荷载丌增加甚至减小，挠度仍继续增加。
②特征
平衡形式并丌发生质变，变形按原有形式迅速增长，使结构丧失承载能力。
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第 13 章 结构弹性稳定
13.1 复习笔记
【知识框架】
结构失稳形式 第一类失稳（分支点失稳）
结构失稳概述
第二类失稳（极值点失稳）
临界荷载的确定
结构稳定的自由度
静力法的描述
用静力法确定临界荷载 单自由度结构的丼例
多自由度结构的丼例
当 φ≠0 时，φ 不 F 的数值仍是一一对应的（图 13-1-3（c）中的曲线 AC）。 ③近似处理 若丌涉及失稳后的位秱计算而只要求临界荷载的数值。则可采用近似方程求解。 3．多自由度结构 对于具有 n 个自由度的结构 （1）对新的平衡形式列出 n 个平衡方程，它们是关于 n 个独立参数（丌全为 0）的齐次 方程； （2）由系数行列式 D＝0 建立稳定方程； （3）求解稳定方程的 n 个特征荷载，其最小值便为临界荷载。
图 13-1-3 （1）平衡条件
Flsinφ－kφ＝0 当位秱很微小时，sinφ＝φ，式（13-1）可近似写为
（Fl－k）φ＝0 （2）平衡二重性 ①对于原有的平衡形式，φ＝0，上式成立； ②对于新的平衡形式，φ≠0，因而 φ 的系数应等于零，即
5 / 61
（13-1） （13-2）
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4 / 61
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结构力学 结构的稳定计算
0
简写为：
([K][S]){a} {0}
K S 0
这就是计算临界荷载的特征方程，其展开式是关于P的n 次线性方程组，可求出n个根，由最小根可确定临界荷载。
第14章
14.3 弹性支承等截面直杆的稳定计算
具有弹性支承的压杆的稳定问题。一般情况下有四类
x Δ
B EI y
Pc r kΔ
l x
y
x Δ Pc r
一、临界状态的静力特征
1、体系失稳前在弹性阶段工作
（1）应力、应变成线性关系。 （2）挠曲线近似微分方程成立。
2、采用小挠度理论分析
y
x
M0, 0
y M 或：EIy M EI
（1）无论采用小挠度理论，还是大挠度理论，所得临界荷载值 是相同的。
（2）大挠度理论可以反映体系屈曲失稳后平衡路径的变化，而 小挠度理论则欠缺，采用简化假定的原因。
0
sinαi cosαo 0
tanl l 3EI
k
(14-21)
第14章
二、一端自由、另一端为弹性抗转支座
x Δ Pc r
EI B y
x
平衡方程： 边界条件：
稳定方程：
M P( y )
(1) x 0: y 0
( 2 ) x 0 : y P
k
A
y MA= kθ θ
l tanl k
条件求稳定方程。 （4）解稳定方程，求临界荷载。
第14章
3、举例 （1）试求图示结构的临界荷载。
p
pcr
EI l x
x
y
pcr
解：建立坐标系、取隔离体、写平衡方程
R
M p y R (l x) (1)
l-x
结构力学稳定理论
解。即在荷载达到临界值前后，总势能由正定过渡到非正定θ。 3）如以原始平衡位置作为参考状态，当体θ系处于中性平衡P=Pcr
时，必有总势能θ=0。对于多自由度体系，结论仍然成立。
2）能量法
•在新的平衡位 置各杆端的相 对水平位移
A
YA=Py1/l
y1
Bk
R1=ky1
y2
kC
R2=ky2
Dλ P YD=Py2/l
l
l
l cos
2l sin 2
2
1 2
l能①2量给法出12步新l(骤的ly )平:2 衡 形12 式yl 2 ;②写出
体系具有足够的应变能克服荷载势能，使压杆恢复到原有平
衡位置)当θ=0，Π为极小值0。
对于稳定平衡状态，真实的位移使Π为极小值
2）P>k/l ，当θ≠0，Π恒小于零（Π为负定） (即U<UP表示体系缺 少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置) 。当 θ=0，Π为极大值0。原始的平衡状态是不稳定的。
对于具有n找个新自的由平度衡的位结置构，，列新平的衡平方衡程形，式需E要I=∞n个独立的位
l
移参数确定，由在此新求的临平界衡荷形载式。下也可列出n个独立的平衡方程，
它们是以n个独立的位移参数为未知量的齐次代数方θ程组。根据
临P(l界Pl状Mkk态)A的静00 力θ特=0征，，原该始齐平次衡方程组除零解转外动（刚对应于原有平
结构力学名词解释问答题东北大学考研
第一章1-1什么是结构：房屋、桥梁、隧道、大坝等用以担负预定任务、支撑荷载的建筑物。
结构力学的研究对象主要是杆系结构，其主要任务是:1、研究结构在荷载等因素作用下的内里和位移的计算。
2、研究结构的稳定计算，以及在动力荷载作用下的动力反应。
3、研究结构的组成规则和合理形式等问题。
1-2什么是荷载：作用在结构上的主动力。
按作用时间分：恒载和活载按作用位置分：固定荷载和移动荷载按产生的动力效应大小：静力荷载和动力荷载静力荷载：是指大小、方向和位置不随时间变化或者变化很缓慢的荷载，它不致结构产生显著的加速度，因而可以略去惯性力的影响。
动力荷载：是指随时间迅速变化的荷载，它将引起结构振动，使结构产生不容忽视的加速度，因而必须考虑惯性力的影响。
1-4什么是结构的计算简图：对实际结构加以简化，表现其主要特点，略去次要因素，用一个简化的图形来代替实际结构，这个图形就是结构的计算简图。
如何结构的计算简图：1杆件的简化：常以其轴线代表。
2支座和结点简化：3荷载的简化：常简化为集中荷载及线分布荷载。
4体系的简化：将空间结构转化为平面结构。
1-5支座：把结构和基础联系起来的装置。
1）活动铰支座2）固定铰支座3）固定支座4）滑动支座结点：结构中杆件相互连接处。
刚结点、铰结点、组合结点。
1-6按照几何特征分：杆系结构、薄壁结构、实体结构杆系结构受力特性：梁：是一种受弯构件，轴线通常为直线，当荷载垂直于梁轴线时，横截面上的内力只有弯矩和剪力，没有轴力。
拱：拱的轴线为曲线且在竖向荷载作用下会产生水平反力（推力），这使得拱比跨度、荷载相同的梁的弯矩及剪力都要小，而有较大的轴向压力。
刚架：由直杆组成并具有刚结点，各杆均为受弯杆，内力通常是弯矩、剪力、轴力都有桁架：由直杆组成，但所有结点均为铰结点，当只受到作用于结点的集中荷载时各杆只产生轴力组合结构：由桁架和梁或者桁架和钢架组合在一起的结构有些只受轴力，另一些同时还承受着弯矩和剪力悬索结构：主要承重构件为悬挂于塔、柱上的缆索，只受轴向拉力。
《结构力学习题》(含答案解析)
第三章 静定结构的位移计算一、判断题：1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。
2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。
3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。
4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取：A.;; B.D.C.=1=15、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。
6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。
M k M p 21y 1y 2**ωω( a )M =17、图a 、b 两种状态中，粱的转角ϕ与竖向位移δ间的关系为：δ=ϕ 。
8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。
a a9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。
二、计算题：10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角ϕA ，EI = 常数。
q l l l /211、求图示静定梁D 端的竖向位移 ∆DV 。
EI = 常数 ，a = 2m 。
a a a 10kN/m12、求图示结构E 点的竖向位移。
EI = 常数 。
l l l /3 2 /3/3q13、图示结构，EI=常数 ，M =⋅90kN m , P = 30kN 。
求D 点的竖向位移。
P 3m 3m 3m14、求图示刚架B 端的竖向位移。
ql15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。
q16、求图示刚架中Ｄ点的竖向位移。
EI ＝常数。
l/217、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。
EI＝常数。
18、求图示刚架中D点的竖向位移。
E I = 常数。
qll l/219、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角，EI＝常数。
l/23l/320、求图示结构A、B两点的相对水平位移，E I = 常数。
ll21、求图示结构B点的竖向位移，EI = 常数。
混凝土结构的稳定性计算原理
混凝土结构的稳定性计算原理一、引言混凝土结构是建筑工程中常见的一种结构形式。
混凝土结构的设计需要考虑到其稳定性，以确保其在使用过程中不会出现倒塌等安全问题。
本文将从混凝土结构的力学原理、荷载及其作用和混凝土结构的稳定性计算三个方面进行探讨。
二、混凝土结构的力学原理混凝土结构的力学原理包括材料力学和结构力学两个方面。
1. 材料力学混凝土是由水泥、砂、石等材料按一定比例配合而成的一种复合材料。
混凝土具有一定的强度和刚度，但其弹性模量较小，易受压缩力的影响。
在混凝土结构设计中，需要考虑混凝土的材料特性，如抗拉强度、抗压强度、弹性模量等。
2. 结构力学混凝土结构的结构力学涉及到力的平衡、变形、应力和应变等方面。
在混凝土结构设计中，需要考虑结构的受力情况，如荷载作用、结构的变形和应力状态等。
三、荷载及其作用荷载是指施加在混凝土结构上的外力，包括静荷载和动荷载两种。
静荷载包括自重荷载、永久荷载和可变荷载三种，动荷载包括风荷载、地震荷载等。
1. 自重荷载自重荷载是指混凝土结构自身重量所产生的荷载。
在混凝土结构设计中，需要考虑结构的自重荷载，以确保其能够承受自身重量。
2. 永久荷载永久荷载是指在混凝土结构使用过程中始终存在的荷载，如墙体受力、地基承载等。
在混凝土结构设计中，需要考虑永久荷载的影响，以确保结构稳定。
3. 可变荷载可变荷载是指在混凝土结构使用过程中可能出现的荷载，如人员、设备等。
在混凝土结构设计中，需要考虑可变荷载的影响，以确保结构能够承受可能出现的荷载。
4. 风荷载风荷载是指风对混凝土结构所产生的荷载。
在混凝土结构设计中，需要考虑风荷载的影响，以确保结构能够承受风荷载。
5. 地震荷载地震荷载是指地震对混凝土结构所产生的荷载。
在混凝土结构设计中，需要考虑地震荷载的影响，以确保结构能够承受地震荷载。
四、混凝土结构的稳定性计算混凝土结构的稳定性计算是指在结构受到荷载作用时，保证结构能够承受荷载并不发生倒塌等安全事故的计算过程。
结构力学-稳定计算
sin(
)
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
23
Fpcr kl(1 sin 3 )2
极值点之后，位移增大而承载力反而减 小，所以位移增大的过程是不稳定的
临界荷载(极值点)和初
位移有关
单自由度非完善体系的极值点失稳
4.按小挠度理论
Fp
kl
cos
1
sin sin(
非完善体系
体系处于荷载随位移增大而增大的状态，荷载与位移一一对 应，则平衡状态为稳定衡平状态。 否则体系处于不稳定平衡状态。
稳定问题的自由度：与动力问题相似，确定体系变形状态 所需要的独立几何参数（一般指的是位移, 并垂直于力的 方向）的数目
x Δ
B EI
Pc r kΔ
θ
A y
单自由 度体系
x Δ
B EI y
Pc r kΔ
l x
y
x Δ Pc r
EI B y
x
A y
MA= kθ θ
无限自由 度体系
Pc r RB
y EI
x A
y MA= kθ θ
小挠度理论与大挠度理论的位移计算差异
大挠度理论
小挠度理论
l sin
l
l
l(1 cos )
1 l 2 2
2l sin2
2
2l
2
大挠度理论
FRB=kΔ
y
单自由度非完善体系的极值点失稳
3.按大挠度理论
F 1.2 p
kl 1
0.8
0.6
0.4
ε=0 ε=0.01
ε=0.1 ε=0.2
Fpcr 1.2 kl 1
0.8 0.6 0.4
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θ
FRB=kΔ
B
弹簧的反力 FRB k kl sin(θ ) sin
sin 所以：Fp kl cos 1 sin( ) 求极值
dFP cos ( ) kl sin( ) sin 1 0 2 d sin ( )
Δ Fp C
临界荷载
0
Fpcr 3EI 2 l
A
MAC= SAB
A y SABθ
MAB=SAB
l
θ
结构力学（2）
A y1 B k y2 C k
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pcr
Fp
y
kl
kl O
达到临界荷载时，位移不断增大而承载力反 而减小，所以位移增大的路径是不稳定的。 结论：红兰两条路径均不稳定
结构力学（2） 2. 按小挠度理论
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x
单自由度完善体系的分支点失稳
Δ
Fp
kΔ
M
A
0
,
Fp (l sin ) FRB (l cos ) 0
1.2
Fpcr
ε=0.01 ε=0
1.2 1 0.8 0.6 0.4
1
kl
0.8
0.6
ε=0.1 ε=0.2
0.4
0.2
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
1.6 1.8
0.2 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0.35
sin Fp kl cos 1 sin( )
2
大挠度理论
d
l sin l cos
2
2
l
小挠度理论
d cos
结构力学（2） 完善体系大挠度理论分析
Fp
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弹性稳定问题的6种情况
完善体系小挠度理论分析
Fp
Fp
1. 分支点失稳
Fpcr O
2. 分支点失稳
Fpcr
5. 稳定平衡
体系处于荷载随位移增大而增大的状态，荷载与位移一一对 应，则平衡状态为稳定衡平状态。 否则体系处于不稳定平衡状态。
结构力学（2）
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稳定问题的自由度：与动力问题相似，确定体系变形状态 所需要的独立几何参数（一般指的是位移, 并垂直于力的 方向）的数目
x Δ B EI θ y l x A A A y y x x Pc r kΔ x Δ B EI x Pc r Δ
Fp
Fp
Fp Fpcr 临界状态
Fp
原 状 态
干 扰 状 态
Fp Fpcr
由于取消干扰后结构无 法恢复原状,所以原状态 为不稳定状态
结构力学（2）
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16.2 两类稳定问题计算
系极值点失稳
3. 跃越失稳
两种理论分析方法 大挠度分析法: 考虑大的变形及变形对几何形状的影响 小挠度分析法: 只考虑微小的变形，不考虑变形对几何形状的影 响，用近似公式计算位移
MAB= kθ 分支后，承载力随位移增大而 增大。在材料应变容许范围内， 不存在极值，所以位移增大的 过程是稳定的。最大荷载可超 过分支临界荷载。
k θ>0, Fp l sin
结构力学（2）
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单自由度非完善体系的稳定问题
6. 按大挠度理论
x
Δ Fp
B
l sin( ) M AB k
（c） 荷载—位移曲线（P—Δ 曲线）
结构力学（2）
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2、第二类失稳（非完善体系极值点失稳）：虽不出现新的 变形形式，但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许 可值，结构不能正常工作。
P eP
临界荷载
P
小挠度理论
Δ
A
B Pcr Pc r O C
大挠度理论
Δ
P
(a) 偏心受压杆
kl O
达到临界荷载时，位移不断增大而承载力不增大， 所以位移增大的路径是不稳定的。 结论：红兰两条路径均不稳定
结构力学（2）
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x Fp
单自由度非完善体系的极值点失稳
3.按大挠度理论
Δ
M A 0
,
FPl sin(θ ) FRBl cos(θ ) 0
(b) 荷载——位移曲线（P—Δ 曲线）
3. 跃越失稳
结构力学（2）
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弹性静稳定平衡的条件
完善体系
1. 平衡路径之前没有分支点，则体系的状态为稳定平衡状态。 2. 平衡路径之前有分支点，荷载随位移增大而增大，则体系的 状态为稳定平衡状态。 否则体系处于不稳定平衡状态。
非完善体系
Pc r
B y
Pc r EI
RB
kΔ
EI y
y MA= kθ θ
y MA= kθ θ
单自由 度体系
无限自由 度体系
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小挠度理论与大挠度理论的位移计算差异
大挠度理论 小挠度理论
l
l sin l (1 cos ) 2l sin
2
l 1 2 2 l 2 2l
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16.3 有限自由度体系的稳定—静力法
讨论分支点失稳问题，按小挠度理论求临界荷载
1、静力法
计算思路 假定体系处于微变形的临界状态，列出相应的平衡方程，进 而求解临界荷载。 计算步骤 （1）确定基本未知位移，取隔离体、建立静力平衡方程。 （2）建立平衡方程中位移有非0解条件的稳定方程(特征方程)。 （3）求解稳定方程的临界荷载。 （4）求解稳定方程的特征向量, 绘失稳形式图(buckling mode)。
平衡方程
Fp
1.4 1.2
k /l
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2
ε=0.01
θ
M AB Fp
ε=0.05
l
代入得
A y
k Fp l sin( ) k Fp l sin( )
0.4
0.6
0.8
1
1.2
MAB= kθ
θ
承载力随位移增大而增大。在材料极限应变容许范围内，不存在极值，所以 位移增大的过程是稳定的。因此对于该种体系，如采用大挠度理论，不存在 临界荷载的理论值。
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结构失稳的两种基本形式
1、第一类失稳（完善体系分支点失稳）：结构变形产生 了性质上的突变，带有突然性。
临界状态
P
P>Pc r
P
分支点 临界荷载
C B P2
Pc r A P1 O D D'
新平衡 大挠度理论
l
l l/2
Δ
小挠度理论
Δ
(a)直线平衡状态
(b) 弯曲平衡状态
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结 构 力 学（2）
第16章 结构的稳定计算
结构力学（2）
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16-1 稳定问题概述
基本概念 1、失稳（instability ）：当荷载超过某一数值时，体系由稳 定平衡状态转变为不稳定平衡状态，而丧失原始平衡状态的 稳定性，也称屈曲（buckling）。原先受压的构件突然发生弯 曲变形，或与受力方向垂直的变形现象 2、临界状态：由稳定平衡状态过度到不稳定状态的中间 状态（中性平衡状态）。 3、临界荷载：临界状态时相应的荷载。
Δ Fp
B
kΔ
M
A
0
,
Fp (l sin ) FRB (l cos ) 0
θ EI无穷大
弹簧的反力
FRB k kl sin θ
A
代入： ( Fp kl cos )l sin 0 分支后两条平衡路径： 1. θ=0， Fp为任意值(不稳定) 2. θ>0 ， Fp=kl cosθ (不稳定) 临界荷载 ： F
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总结
完善体系失稳——分支点失稳 非完善体系失稳——极值点失稳 分支点失稳形式的特征为：存在不同平衡路径的交叉，交叉 点处出现平衡的两重性。 极值点失稳形式的特征为：只存在一个平衡路径，但在平衡 路径上存在极值。 大挠度理论可得精确解，小挠度理论能得到分支点的解， 但路径不正确。 对于完善体系的分支点失稳，无论采用小挠度理论， 还是大挠度理论，所得临界荷载值是相同的。
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单自由度体系静力法求临界荷载（P216）
x
解：设转角，位移 l
Δ Fp
B
平衡方程：
M
A
0
Fpl M AB 0
M AB k
θ
代入得：
F l k 0
p
l
A
有非0解的条件
y
k Fp l
MAB= kθ
临界荷载：
Fpcr
F1 F2 F1+F2
1 2
线性(叠加原理成立)
1 2
非线性(叠加原理不成立)
结构力学（2）
Fp
Fp
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Fp
原 状 态
干 扰 状 态
取 消 干 扰 后 的 状 态
取 消 干 扰 后 的 状 态
Fp Fpcr
由于取消干扰后结构可 以恢复原状,所以原状 态为稳定状态