北京市中考数学一模分类汇编几何综合学生版

2012年北京市中考数学一模分类汇编——几何综合

等边三角形、等腰三角形+旋转变换

1. （燕山）已知：如图，点P 是线段AB 上的动点，分别以AP 、BP 为边向线段AB 的同侧作正△APC 和正

△BPD ，AD 和BC 交于点M .

（1）当△APC 和△BPD 面积之和最小时，直接写出AP : PB 的值和∠AMC 的度数；

（2）将点P 在线段AB 上随意固定，再把△BPD 按顺时针方向绕点P 旋转一个角度α，当α<60°时，旋转

过程中，∠AMC 的度数是否发生变化？证明你的结论.

（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°<α<120°，∠AMC 的大小是否会发生变化？若变化，

请写出∠AMC 的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC 的度数.

2. （东城） 已知∠ABC =90°，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），分别以AB 、AP 为边在∠

ABC 的内部作等边△ABE 和△APQ ,连结QE 并延长交BP 于点F .

（1）如图1，若AB =32，点A 、E 、P 恰好在一条直线上时，求此时EF 的长（直接写出结果）； （2）如图2，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想EF 与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的

线段），并加以证明；

（3）若AB =32，设BP =x ，以QF 为边的等边三角形的面积y ，求y 关于x 的函数关系式．

C

M D

A P B

3．（顺义）问题：如图1， 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，点D 是射线CB 上任意一点，△ADE

是等边三角形，且点D 在ACB ∠的内部，连接BE ．探究线段BE 与DE 之间的数量关系． 请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以

证明.

（1） 当点D 与点C 重合时（如图2），请你

补全图形．由在 ，容易

BAC ∠的度数为 ，点E 落

得出BE 与DE 之间的数量关系为 ；

（2） 当点D 在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE 与DE 之间的数量关系是否与（1）中的结

论相同，写出你的猜想并加以证明．

图1

D E

B C

A

D

B C

A

A

B

C (

D )

图3

图2

4.（延庆）如图1，已知：已知：等边△ABC ，点D 是边BC 上一点（点D 不与点B 、点C 重合），求证：BD+DC > AD

下面的证法供你参考：

把ACD ∆绕点A 瞬时间针旋转

60得到ABE ∆，连接ED ， 则有ABE ACD ∆≅∆,DC=EB ∵AD=AE,

60=∠DAE

∴ADE ∆是等边三角形

∴AD=DE

在DBE ∆中，BD+EB > DE 即：BD+DC >AD

实践探索：

（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：

如图2，点D 是等腰直角三角形△ABC 边上的点（点D 不与B 、C 重合），

求证：BD+DC>2AD

A

C

A B D 图1 C

A

B

（2）如果点D 运动到等腰直角三角形△ABC 外或内时，BD 、DC 和AD 之间又存在怎样的数量关系？ 直接写

出结论.

间接利用旋转变换添加辅助线 5．（密云）已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．

（1）如图1，当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时，有BM DN MN +=．当MAN ∠ 绕点A 旋转到

BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明

理由；

（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的

猜想，并证明．

图 1

图 2

F

O

D

B F O

D

B

A

C

A C E

E

6．（平谷）如图，已知四边形ABCD 是正方形，对角线ACBD 相交于O . （1） 如图1，设 E 、F 分别是AD 、AB 上的点，且

∠EOF =90°，线段AF 、BF 和EF 之间存在一定的数量关系． 请你用等式直接写出这个数量关系；

（2）如图2，设 E 、F 分别是AB 上不同的两个点，且∠EOF =45°，请你用等式表示线段AE 、BF 和EF 之间的数量关系，并证明.

7．（怀柔）探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：

（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是边BC、

CD上的点，且∠EAF=

2

1

∠BAD”，则（1）问中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由；

（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，

如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..

与中点有关的问题

8．（丰台）已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC 的中点M，联结BM和DM．

（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；

（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是

B