第五章_系统的稳定性

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5.4 Bode（伯德）稳定判据
一、nyquist图和bode图的对应关系
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5.4 Bode（伯德）稳定判据
ωc
：开环频率特性幅值为1时所对应的角频率为幅值穿越频率或
剪切频率Wc。 在极坐标平面上，开环nyquist图穿越单位圆的点所对应的角 频率就是幅值穿越频率Wc。 在bode图上，开环幅频特性穿越0dB线的点所对应的角频率 就是幅值穿越频率Wc。
即：s 4 6 s 2 8 0
( s 2 2)( s 2 4) 0 s1, 2 j 2 s3, 4 j 2
结论：系统是不稳定的(本题是临界稳定)。 由辅助方程式可以求得系统对称于原点的 根:
这两对根是原方程的 根的一部分。
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5.2 Routh（劳斯）稳定判据
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5.2 Routh（劳斯）稳定判据
三、Routh判据的特殊情况 1）劳斯表第一列出现系数为零。
4 3 3 例5-5：设线性系统特征方程式为： D( s) s 2s 2s 4s 5 0 试判断系统的稳定性。
解：建立劳斯表：
s s s s
4 3 2
1 2 0
2 4 5
5 0
围（－1，j0）点两 圈,N=2。 而p＝0，所以闭环 不稳定。
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5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
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5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
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5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
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5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
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5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
D( s) s 6 2s 5 8s 4 12 s 3 20 s 2 16 s 16 0
试判断系统的稳定性。 解：建立劳斯表：
s6 s5 s4 s3 s2
1
8
20 16 0
2 12 16 2 12 16 0 0
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5.2 Routh（劳斯）稳定判据
Routh表中出现某行系数全为零，这是因为在系统的特征方程中出 现了对称于原点的根（如大小相等，符号相反的实数根；一对共轭纯虚 根；对称于原点的两对共轭复数根）。 解决的办法：
系统的特征方程
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5.4 Bode（伯德）稳定判据
Nyquist稳定判据是利用开环频率特性Gk(jw)的极坐标图
（nyquist图）来判定闭环系统的稳定性。
如果将开环极坐标图改画为开环对数坐标图，即bode图，同样 可以利用它来判定系统的稳定性。这种方法称为对数频率特性判据，
简称为对数判据或伯德判据。
例5.7：设线性系统特征方程式为：
D( s) s 6 s 5 2s 4 3s 3 7 s 2 4s 4 0
试判断系统的稳定性。 解：建立劳斯表：
s6 s5 s4 s3 s2 s
1
1 1 1 4 6
2 3 3 6
7 4 4
4 0
s 4 3s 2 4 4s 3 6s
对称于原点的根可由全零行上面一行的系数构造一个辅助方程式
F(s)=0求得，而全零行的系数则由全零行上面一行的系数构造一个辅 助多项式F(s)对s求导后所得的多项式系数来代替，劳斯表可以继续计
算下去。（s的次数为偶数）
结论：一旦劳斯表中出现某行系数全为零，则系统的特征方程中出现 了对称于原点的根，系统必是不稳定的。劳斯表中第一列系数符号改 变的次数等于系统特征方程式根中位于右半s平面的根的数目。 这些数值相同、符号相异的成对的特征根，可通过解由辅助多项式构
（b）图包围（－1，j0）点， 故相应的闭环系统不稳定。
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5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
例5－5 下图为某系统的开环nyquist图，其开环传递函数为：
因为G(S)H(S)在[s]平面的 右半平面有一个极点，为s ＝1/T2,所以p＝1 当w由－∞至＋∞时，由于
开环nyquist轨迹逆时针包
ωg
：开环频率特性的相位等于－180°时，所对应的角频率称
为相位穿越频率，记为Wg。
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5
5.1系统稳定性额初步概念
二、稳定的定义
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5.1系统稳定性额初步概念
7
5.1系统稳定性额初步概念
8
5.1系统稳定性额初步概念
j
稳 定 区 不 稳 定 区 不 稳 定 区 s平面
所以：

稳 定 区 临界 稳定
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5.1系统稳定性额初步概念（系统稳定的判别方法）
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5.2 Routh（劳斯）稳定判据
围（－1，j0）点一圈，所 以闭环系统仍然是稳定的。
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5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
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5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
首先画出开环系统的 Nyquist图， 然后，根据两个积分环 节按顺时针从π到-π转 过半径为无穷大的圆弧。
当w由－∞到＋∞时，开
环nyquist轨迹顺时针包
根据Routh表，由系统稳定的充要条件，有： （ ）＋1 0,即 1; 1 (2) ( ) 0,即 0, ; (3) 1 0, 即 1。 所以，使系统稳定的、的取值范围为：
0及 1。
参考教材P163 图5.2.2
系统是不稳定的。特征方程共有6个根：
16
100 16
s0
s1, 2 2 s3, 4 j s5,6
1 j 3 2
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5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
前面介绍了判断系统稳定性的方法。代数判据法根据特征方程 根和系数的关系判断系统的稳定性。 本节介绍另一种重要并且实用的方法——乃奎斯特稳定判据。 这种方法可以根据系统的开环频率特性，来判断闭环系统的稳定性， 并能确定系统的相对稳定性。是频域分析法的重要成果。
由上式可见，复变函数F(s)的 零点为系统特征方程的根(闭环 极点)s1、s2 、…sn， 而F(s)的极点则为系统的开环 极点p1、 p2 、… pn。
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5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
（一）s平面与F(S)平面的映射关系
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5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
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5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
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5.3 nyquist（乃奎斯特）稳定判据
一、幅角定理（又称映射定理） 它是建立在复变函数理论基础上的。 下面简要介绍幅角定理： 如图所示的闭环系统，设其开环传递函数为：
K (s z1 )( s z 2 )(s z m ) G( s) H ( s) (s p1 )( s p2 )(s pn )
4.根据辐角原理确定z是否为零。如果z=0,表示闭环系统稳定。Z≠0, 表示该闭环系统不稳定。Z的数值反映了闭环特征方程式的根在s 右半面上的个数。
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5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
下面两图为当P＝0时，系统的开环nyquist图，求系统 的闭环稳定性。
（a）图不包围（－1，j0）点， 故相应的闭环系统稳定。
二、基于辅助函数F(S)的奈氏判据
乃奎斯特轨迹由两部分组成：
一部分是沿着虚轴由下向上移动的直线
段L1，在此线段上s=jω，ω由-∞变到+∞。 另一部分是半径为无穷大的半圆L2。如
此定义的封闭曲线肯定包围了F(s)的位于右
半部的所有零点和极点。
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5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
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5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
3
5.1系统稳定性额初步概念
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5.1系统稳定性额初步概念
上例中，系统是在输入撤销后，从偏离平衡位置所处得初 始状态出发，因系统本身的固有特性而产生振动的，故线性系 统的稳定性只取决于系统本身的结构与参数，而与输入无关。
分析P155 单位反馈系统 控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定 性，也就是说，是讨论输入为零，系统仅存在有初始状态不为 零时的稳定性，即讨论系统自由振荡是收敛的还是发散的。
系统的闭环传递函数： 系统的特征方程为： F(s)=1+G(s)H(s)=0 可得： F ( s) 1
K (s z1 )( s z 2 )(s z m ) (s s1 )( s s 2 )(s s m ) (s p1 )( s p2 )(s pn ) (s p1 )( s p2 )(s pn )
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5.2 Routh（劳斯）稳定判据（判断系统稳定性）
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5.2 Routh（劳斯）稳定判据（判断系统稳定性）
例5.4：设某系统的特征方程
D( s ) s 3 ( 1) s 2 ( 1) s 1 0 试确定待定参数及，以便使系统稳定。
解：根据特征方程的各项系数，列出Routh表：
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5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
应用奈氏判据判别闭环系统的稳定性步骤： 1.作出开环系统的奈氏曲线G(jw)H(jw). 2.计算奈氏曲线G(jw)H(jw）对点（－1,j0）按顺时针方向的包围圈 数N. 3.确定开环系统是否稳定，若不稳定，则确定开环系统在右半s平 面上的极点数P。
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5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
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5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
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5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
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5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
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5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
Routh判据是基于方程式根与系数的关系建立的，通过对系统特 征方程式的各项系统进行代数运算，得出全部根具有负实部的条件， 从而判断系统的稳定性。