第六章 变分法模型

离定义为
(t ) − x 0 (t ) |} d ( x (t ), x 0 (t )) = max {| x (t ) − x 0 (t ) |, | x
t1 ≤ t ≤ t 2
泛函的极大值可以类似地定义。 x 0 (t ) 称为泛函的极值函数或极值曲线。 1.1.3 泛函的变分 如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。 作为 泛函的自变量，函数 x (t ) 在 x 0 (t ) 的增量记为
d ) = 0 Fx (t , x dt ) = c1 ，由此可求出 x = ϕ (t , c1 ) ，积分后得到 将上式积分一次，便得首次积分 Fx (t , x
可能的极值曲线族
x=
这时 Fx
) ，即 F = F ( x (iii) F 只依赖于 x
tx xx
∫ ϕ (t , c )dt
t0
tf
（6）
*
的极值，一般是用泛函极值的必要条件去寻找一条曲线 x (t ) ，使给定的二阶连续可微 函数 F 沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为极值曲线（或轨线），记为 x (t ) 。 1.2.1 端点固定的情况
-209-
设容许曲线 x (t ) 满足边界条件
x (t 0 ) = x 0 ， x(t f ) = x f
J ( y ( x)) = ∫ 2πy ( x) 1 + y '2 ( x) dx
x1
x2
（1） （2） （3）
容许函数集可表示为
S = { y ( x) | y ( x) ∈ C 1[ x1 , x2 ], y ( x1 ) = y1 , y(x 2 ) = y 2 }
最简单的一类泛函表为
)dt J ( x(t )) = ∫ F (t , x, x
c (θ − sin θ ) + c 2 2 由边界条件 y (0) = 0 ，可知 c 2 = 0 ，故得 x= x= y= c1 (θ − sin θ ) 2 c1 (1 − cosθ ). 2
= y 2 来确定。 这是摆线（圆滚线）的参数方程，其中常数 c1 可利用另一边界条件 y ( x 2） 例 2 最小旋转面问题 J ( y ( x )) = ∫ 2πy ( x ) 1 + y ' 2 ( x ) dx
作一次积分得 令 y ' = ctg
θ , 则方程化为 2 c1 c θ y= = c1 sin 2 = 1 (1 − cosθ ) 2 1 + y' 2 2
y (1 + y ' 2 ) = c1
又因
dy dx = = y'
积分之，得
θ θ c1 sin cos dθ c 2 2 = 1 (1 − cosθ )dθ θ 2 ctg 2
（10）
通常这是 x (t ) 的二阶微分方程，其通解的两个任意常数由（7）式中的两个端点条件 确定。 1.2.2 最简泛函的几种特殊情形 ，即 F = F (t , x ) (i) F 不依赖于 x 这时 Fx ≡ 0 ，欧拉方程为 Fx (t , x ) = 0 ，这个方程以隐函数形式给出 x ( t ) ，但它 一般不满足边界条件，因此，变分问题无解。 ) (ii) F 不依赖 x ，即 F = F (t , x 欧拉方程为
例 1 (最速降线问题)最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。 它是约 B 翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 是铅直 平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当质 点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。 解 将 A 点取为坐标原点， x 轴水平向右， y 轴垂直向下， B 点为 B ( x 2 , y 2 ) 。 根 据能量守恒定律，质点在曲线 y ( x ) 上任一点处的速度
1
= 0, F = 0, F = 0 ，欧拉方程为
Fx x x =0
-210-
= 0 或 Fx = 0 ，则得到含有两个参数的直线族 x = c1t + c 2 。 x x 由此可设 x = 0 ，如果
另外若 Fx x = 0 有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数 c 的直线族 x = kt + c ，它包含于上面含有两个参数的直线族 x = c1t + c2 中，于是，
且二次可微。 首先计算（6）式的变分：
（7）
δJ =
∂ J ( x (t ) + α δ x (t )) α = 0 ∂α tf ∂ (t ) + α δ x (t )) α = 0 dt = ∫ F (t , x (t ) + α δ x (t ), x t0 ∂ α )δx + Fx )δx ]dt = ∫ [ Fx (t , x, x (t , x, x
速降线问题 短程线问题 等周问题 极小曲面问题
第六章
变分法模型
动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控 制函数使某个泛函达到极值。 当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题 又简化为求普通函数的极值。 求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。 §1 变分法简介 变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。 下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大 值原理。 1.1 变分法的基本概念 1.1.1 泛函 设 S 为一函数集合，若对于每一个函数 x (t ) ∈ S 有一个实数 J 与之对应，则称 J 是对应在 S 上的泛函，记作 J ( x (t )) 。 S 称为 J 的容许函数集。 通俗地说，泛函就是“函数的函数”。 例如对于 xy 平面上过定点 A( x1 , y1 ) 和 B ( x 2 , y 2 ) 的每一条光滑曲线 y ( x ) ，绕 x 轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线 y ( x ) 的泛函 J ( y ( x )) 。由微积分知识不难 写出
y (0) = 0, y ( x 2 ) = y 2
最速降线满足欧拉方程，因为
F ( y, y ' ) =
1 + y'2 y
不含自变量 x ，所以方程（10）可写作 等价于
Fy − Fyy ' y '− Fy ' y ' y ' ' = 0
d ( F − y ' Fy ' ) = 0 dx
-211-
ds 满足（ s 为弧长） dt
1 ds m = mgy 2 dt
将 ds = 1 + y ' 2 ( x ) dx 代入上式得
2
1 + y'2 dt = dx 2 gy 于是质点滑行时间应表为 y ( x ) 的泛函 J ( y ( x )) =
端点条件为
∫
x2 0
1 + y'2 dx 2 gy
y = c1 1 + y ' 2
dx =
令 y &#h 2 t = c1cht
dy c1 shtdt = = c1dt y' sht 积分之，得 x = c1t + c2 x − c2 消去 t ，就得到 y = c1ch 。 c1
其中 L 为 δx 的线性项，而 r 是 δx 的高阶项，则 L 称为泛函在 x 0 (t ) 的变分，记作
δJ ( x0 (t )) 。用变动的 x (t ) 代替 x0 (t ) ，就有 δJ ( x(t )) 。 泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数 α 的导数： ∂ δ J ( x (t )) = J ( x (t ) + α δ x (t )) α = 0 ∂α
t1
t2
。（1）式是最简泛函。 被积函数 F 包含自变量 t ，未知函数 x 及导数 x 1.1.2 泛函的极值
泛 函 J ( x (t )) 在 x 0 (t ) ∈ S 取 得 极 小 值 是 指 ， 对 于 任 意 一 个 与 x 0 (t ) 接 近 的
x (t ) ∈ S ，都有 J ( x(t )) ≥ J ( x0 (t )) 。 所谓接近，可以用距离 d ( x (t ), x0 (t )) < ε 来度量，而距
δ x ( t ) = x (t ) − x0 (t )
也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作
∆J = J ( x 0 (t ) + δx (t )) − J ( x0 (t ))
如果 ∆J 可以表为
-208-
∆J = L( x0 (t ), δx (t )) + r ( x0 (t ), δx (t ))
ϕ ( x ) ∈ C[ x1 , x 2 ] ， ∀η ( x ) ∈ C 1 [ x1 , x 2 ] ，η ( x1 ) = η ( x2 ) = 0 ，有
∫
x2
x1
ϕ ( x )η ( x )dx ≡ 0 ，
则ϕ(x)≡0,∈[1]2。 1.2 无约束条件的泛函极值 求泛函
(t ))dt J = ∫ F (t , x (t ), x
这是因为当变分存在时，增量
（4）
∆J = J ( x (t ) + αδx ) − J ( x (t )) = L( x (t ),αδx ) + r ( x (t ),αδx ) 根据 L 和 r 的性质有 L( x (t ),αδx ) = αL( x (t ), δx ) r ( x (t ), α δ x ) r ( x (t ), α δ x ) lim = lim δx = 0 α → 0 α → 0 α αδx