八年级数学【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习(解析版)

八年级数学【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习（解析版）

一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）

1．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．

（1）求边AD 的长；

（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．

【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜

103)；（2）1769

或32 【解析】

【分析】

（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长；

（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；

（3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可．

【详解】

（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H

∵∠C=45°，DH ⊥BC

∴△DHC 是等腰直角三角形

∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90°

∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8

∴HC=8

∴BH=BC －HC=6

∴AD=6

（2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于点G

∵EF ∥AD,∴EF ∥BC

∴∠EFP=∠C=45°

∵EP ⊥PF

∴△EPF 是等腰直角三角形

同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形

∵AE=x

∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x

∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=()162

x + 同理，PR=

12y ∵AB=8，∴EB=8－x

∵EB=QR

∴8－x=

()11622

x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103

当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值

则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1

∴1≤x ＜103

（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=

83=AE

∴188176662339

ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：

与（2）相同，可得y=3x －10

则当y=2时，x=4，即AE=4

∴()16644322

ABCD S =

⨯++⨯=梯形 【点睛】

本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．

2．如图，在△ABC 中，AB=BC=AC=20 cm ．动点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点P ，点Q 的速度都是2 cm/s ，当点P 第一次到达B 点时，P ，Q 两点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （s ）．

（1）∠A=______度；

（2）当0＜t ＜10，且△APQ 为直角三角形时，求t 的值；

（3）当△APQ 为等边三角形时，直接写出t 的值．

【答案】（1）60；（2）

103或203

；（3）5或20 【解析】

【分析】

(1)根据等边三角形的性质即可解答；

（2）需分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况进行解答；

（3）需分以下两种情况进行解答：①由∠A=60°，则当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形；②当P 于B 重合，Q 与C 重合时，△APQ 为等边三角形.

【详解】

解：（1）60°．

（2）∵∠A=60°，

当∠APQ=90°时，∠AQP=90°－60°=30°．

∴QA=2PA ．

即2022 2.t t -=⨯

解得 10.3

t = 当∠AQP=90°时，∠APQ=90°－60°=30°．

∴PA=2QA ．

即2(202)2.t t -=

解得 20.3

t = ∴当0＜t ＜10，且△APQ 为直角三角形时，t 的值为

102033或． （3）①由题意得：AP=2t ，AQ=20-2t

∵∠A=60°

∴当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形

∴2t=20-2t ，解得t=5

②当P 于B 重合，Q 与C 重合，则所用时间为：4÷2=20

综上，当△APQ 为等边三角形时，t=5或20．

【点睛】

本题考查了等边三角形和直角三角形的判定以及动点问题，解答的关键在于正确的分类讨论以及对所学知识的灵活应用.

3．（问题情境）学习《探索全等三角形条件》后，老师提出了如下问题：如图①，△ABC 中，若AB=12，AC=8，求BC 边上的中线AD 的取值范围．同学通过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE.根据SAS 可证得到△ADC ≌△EDB ，从而根据“三角形的三边关系”可求得AD 的取值范围是 ．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.